Спектральная последовательность Лере Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЛЕРЕ - СЕРРА ТОЛЕРАНТНОГО КВАЗИРАССЛОЕНИЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПУТЕЙ

Е.В. Коробченко, С.И. Небалуев

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел. E-mail: KorobchenkoEV@mail.ru, NebaluevSI@yandex.ru

В статье построена гомологическая спектральная последовательность Лере - Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей и вычислены первые два члена этой последовательности.

Ключевые слова: толерантное пространство, толерантное квазирасслоение, спектральная последовательность.

Leray - Serra Spectral Sequence for Tolerant Quasifibering of Tolerant Ways

E.V. Korobchenko, S.I. Nebaluev

Saratov State University,

Chair of Computer Algebra and the Theory of Numbers E-mail: KorobchenkoEV@mail.ru, NebaluevSI@yandex.ru

The article constructs Leray- Serra homological spectral sequence for tolerant quasifibering of tolerant ways and computes the two first members of this sequence.

Key words: tolerant spaces, tolerant quasifibering, spectral sequence.

Толерантное пространство (Т-пространство) по определению Зимана [1] — это пара (X, т), где X — множество, а т с X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Отображение / : (X, т) — (К, 0) Т-пространств называется толерантным (Т-отображением), если из Х1ТХ2 следует /(ж1 )0/(х2). К настоящему времени имеется достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория Т-пространств (см. [2]).

В гомотопической толерантной теории гомотопические параметры берутся из толерантных отрезков (/т, ьт) длины т (т е М), в которых 1т = |т к = 0,ш}, т1т т— 1| < 1.

Т-отображения /о,/1 : (X, т) — (К, 0) называются толерантно гомотопными относительно подмножества А с X, что записывается как /0 ~ /1 (ге1А), если существуют п е N и Т-отобра-жение ^ : (X х /п,т х 1п) — (К, 0) такие, что: 1) (V х е X) ^(х, 0) = /о(х), ^(х, 1) = /1 (х), 2) (V х е А)^ к = 0,п) ^ (х, П) = /о(х).

Если п = 1, то Т-отображения /0,/1 называются просто толерантно гомотопными и записываются /о « Д(ге/А), или /о « /1 при А = 0.

Всякое Т-отображение ит : (1т,1т) — (X, т) называется толерантным путем (Т-путем) в пространстве (X,т) длины т с началом в точке от(0) и с концом в точке от(1). Если

(0) = шт(1) = хо, то Т-путь называется Т-петлей с вершиной в отмеченной точке хо е X. Символом (ех)т обозначим постоянный Т-путь длины т такой, что для всех к = 0, т выполняется (ех)т (т) = х- Если х = хо — отмеченная точка (X,т), то сократим запись (еХ0)т = ет.

Обозначим Р(X, хо) — множество Т-путей пространства (X, т) с началом в точке хо е X, О^, хо) — множество Т-петель пространства (X, т) с вершиной в хо, СР(X, хо) = СО^, хо) — множество постоянных Т-путей.

Если и — Т-пути в (X, т) такие, что (1) = (0), то обозначим через * Т-путь длины т + п такой, что

k \ )Шт (k/m), k = 0, m,

т + п) ((к — т)/п), к = т, т + п.

Определим толерантность к на множестве Т-путей Р(X,хо):

при п > т ^^ (з 7т е р(X, хо)) = £«-т * тт, ~ тт.

Если Т-пространство (X, т) линейно связное, тогда (Р(X, хо), к) является толерантно стягиваемым, и потому линейно связным. Если (X,т) — линейно связное и односвязное Т-пространство, т.е. фундаментальная группа п^, хо) тривиальна, то (О^, хо), к) — линейно связное Т-пространство.

Т-отображение p : (P(X, x0), к) ^ (X, т) такое, что p(wm)=wm(1), назовем толерантным квазирасслоением Т-путей. Так как отображение p обладает следующим свойством (см. [3]): для любого Т-пространства (Y, 0) и любых Т-отображений F : (Y х IM, 0 х iM), f : (Y, 0) ^ (P(X, x0), к) таких, что (V y е Y) F(y, 0) = p о f (y), существует Т-отображение F : Y х IM,0 х iM) ^ (P(X, x0), к)) такое, что p ◦ F = F, (V y е Y) F(y, 0) = f (y) * (£p0f (y) )m = f (y) * (£f(y,0))m.

Слоем квазирасслоения p над точкой x0 е X является Т-пространство Т-петель (0(X, x0), к). Как было указано выше, если пространство (X, т) линейно связное, то Т квазирасслоение p имеет линейно связные базу, слой и пространство квазирасслоения.

n n

Т-пространства (Im, im), где Im = х Im., im = х ¿m., называются Т-кубами размерности n

i=1 i = 1

и размера m = (ml5...,mn). Любое Т-отображение u : (Im, ¿m) ^ (X, т) называется толерантным сингулярным кубом (ТС-кубом) в пространстве (X,т). ТС-куб u называется пунктированным,

n

если и|(х{0,1}) = x0. ТС-куб w : (Im,¿m) ^ (P(X,x0),к) называется Q-пунктированным, ес-

n

ли w|(х{0,1}) С 0(X,x0). С помощью ТС-кубов строятся толерантные кубические сингулярные гомологии (ТКС-гомологии) Т-пространств естественно изоморфные гомологиям Зимана. При этом доказывается (см. [4]), что для линейно связных Т-пространств ТКС-гомологии не зависят от пунк-тированности ТС-кубов.

Определение 1. n-мерный ТС-куб u : (Im, ¿m) ^ (X, т) имеет вырожденность t, 0 < t < n, если и вырожден по последним t аргументам, т. е. (V ki = 0, mi, i = 1, n) u(in) = u(,..., ,0...,^, (n — t)-мерный куб u|kn_t+1=...=kn=0 невырожден по последнему аргументу.

Определение 2. n-мерный ТС-куб w : (Im, ¿m) ^ (P(X, x0), к) имеет вес v(w) = s, если ТС-куб p о w в пространстве (X, т) имеет вырожденность t = n — s. Имеют место свойства

0 < v(w) < n = dim w, (1)

(V j = 1, v(w))(V e = 0,1) v(df(w)) <v(w), (2)

(V j = v(w) + 1, n)(V e = 0,1) v(cj(w)) = v(w), (3)

где df(w) = w | kj =

Пусть ш : (1Ш, ¿ш) ^ (Р(X, х0), к) — п-мерный О-пунктированный ТС-куб такой, что V(ш) ^ 5 ^ < п, £ = п — 5. Определим два новых ТС-куба: Вв(ш) : (1(ТО1,...,т3),1(т1,...,т8)) ^ (X,т) — пунктированный ТС-куб, Т3(ш) : (/(Ша+1,...,шп),1(т3+ь...,ш„)) ^ (О(Х,хо), к), вв(ш)=(р о ш)|ка+1=...=А!а+<=0, ^ (ш)=ш|к1=...=к3 =0. Если ш : (1т, ¿т) ^ (Р (X, хо), к) — ТС-куб такой, что все Т-пути имеют общий конец, совпадающий с началом Т-пути а в простарнстве (X, т), тогда через ш * а обозначим ТС-куб такой, что ш * т^) _) = тг) _) * а.

Теорема 1. Пусть (X, т) —линейно связное и односвязное Т-пространство и пусть

и : ( х 1Ш. (и), х ¿т. (иЛ ^ (X, т) — произвольный пунктированный ТС-куб,

V ¿=1 г ¿=1 г / г г

v : ( х Im(j)(v), х ^ (0(X,x0), к) — произвольный ТС-куб.

Тогда существует Q-пунктированный ТС-куб

в г в г \

ш = ^(и, V) : х

1ш;(и) х х 1m(j)(v), х ^Шг(и) х х ^тОНи) ) (Р(X, х0)7 к) \г=1 .7 = 1 ¿=1 .7 = 1 /

такой, что

1) V(ш) < 5,

2) Вв(ш) = и,

в

3) (ш) = V * ем (и), где £М(и) — постоянный Т-путь в точке х0 е X длины М(и) = ^ т, (и),

_ _ ¿=1

4) (V з = 17£)(Уе = 0,1) (ш) = ^(и, dJe(v)),

5) если V — вырожденный ТС-куб, то ш — вырожденный ТС-куб.

Доказательство. Обозначим для краткости к=(к1, ...,кв), fc¿ = 0, m¿, % = 1,5; хк= = и( тк(и)'...' . Если же к = (к15..., кг, 0,..., 0), г < 5, то примем еще более короткую запись

(fci'0'---'0). Для каждого k = (ki,...,ks) построим Т-путь = a(kl'•••'ks) в простран-

стве (X, т) длины М(и) = ^ т,(и), соединяющий точку и(0,..., 0) = хо = х(о) с точкой хк. Т-путь

г = 1

а зададим последовательностью всех точек его траектории:

= х(о) х(1) х(2) х(М х(М х(к1,1) х(к1,2) ) ) ,^2)

о

mi(u)- ki m2(u)-k2

x(k1v,ks-1 ,1) x(k1',,,'ks — 1 ,2) x(k1',,,'ks — 1 ,ks ) xk xk

^ «Л^ ^ «Л^ ^ • • • j >Aj J >AJ J • • • j >AJ •

ms (u) ks

Искомый ТС-куб w = W(u, v) определим формулой

(v),...,-w) =vf_b_b) * a(k1 '-'ks). □

m10)> >_s(-u)> _ > _ (v) у ^ _ ' _t

Рассмотрим произвольный О-пунктированный ТС-куб

's+t s+t

Л+t s+t \

w : x /mi(w), X im,(wJ ^ (P(X ,xo), к) \i=1 i = 1 у

такой, что v(w) ^ s. Примем следую1

i = 1 , s, v = Fs(w) : ( x /m(j), x ¿m(j) ) ^ (0(X,xo),т), m(j) = mi+s(w), j = 1 , t,

v'=i j=i y

Примем следующие обозначения: u = Bs(w) : ( x /m., x ¿mi ) ^ (X,т), m, = m,(w),

i=1 i=1

j = 1, t, wk = w ( mm!, • • •, m, mw, • • •, kmr) , N (k) - длина Т-пути wk, N (w) = max{N (k)}.

k = (ki,.._., ks,k(1),...,k(t)), k = (ki,...,ks), k = (k(1),...,k(t)), k, = 0,mi, i = 1,s, k(j) = 0,m(j),

,k_„„ / fci fcs fci

ms ' m(1)

' k Теорема 2. Для произвольного (s + t)-мерного Q-пунктированного ТС-куба w такого, что

v (w) < s и для любого натурального числа N > N (w) найдется Q-пунктированный ТС-куб.

/в t s t \

Ds(w, N) M X /m. X /M(N,u) X X /m(j), X ¿m. X ¿M(N,u) X X ¿m(j) ^ (P(X, xo), к) \i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 У

такой, что

1) v(Ds(w, N)) < s,

2) Bs(Ds(w,N)) = Bs(w) = u,

- *

3) (V l = 0,M(N, u)) все Т-петли Ds(w,N))|k=0(l,k) имеют вид

£di(i) * vk * ed2(i), d1(l),d2(l) € N U{0},

4) d0+1 (Ds (w, N )) = w, d1+1(Ds (w, N )) = W (u, v),

5) (V j > s)(V e =0,1) N (jw)) < N (w), (Ds (w, N )) = D(d^(w), N ),

6) t > 0, w — вырожденный ТС-куб Ds(w, N) — вырожденный ТС-куб. Доказательство. Построение искомого (s+t+1)-MepHoro ТС-куба Ds(w, N) заключается в построении последовательности M (N, u) штук (s + ^-мерных ТС-кубов таких, что каждый последующий ТС-куб просто толерантно гомотопен предыдущему. Начнем с ТС-куба w и определим следующий ТС-куб + w формулой

(+ w)k e - * wk M (u)= x m,-

(+w)k=£,^ ч дг дг = * wk, M(u) = y^ m,•

v y M (u)+N-N (k) ' v y г

'М (к)

Имеет место простая Т-гомотопность ТС-кубов: ад.

Каждое значение параметра I = 0, N ■ М(и) представим в виде

i=1

l = q • N + r, q = 0,M(u), r = 0, N - 1,

и определим последовательность ТС-кубов (1) w, l = 0, N • M (u),

((1)w)k : =£M(u)-(q+1)+N-N(k) * (wk) * )q, (4)

26 Научный отдел

где хк = и^ Щ-,..., , (7т) для произвольного Т-пути 7Ш длины т > г представляет собой Т-путь длины т + 1 такой, что

мЛ^ш(Шш), к=0^_

V +4 17ш(к)) , к = г + 1,т + 1.

Из (4) получаем, что

(0)ш =+ ш, -м(и))ш=ш+, (ш + )к = + шК * (£хк)м(и), (1)ш ^(1 + 1) ш.

Для следующей серии параметров = 0, тв определим (0)ш+=ш+, а для > 0 полагаем при к = (к1,..., кв-1, кв = тв — + 1, к)

((11 )ш+)к=((1--1) ш+)К,

при к = (к1,..., кв-1, тв — 1 1 + 1, к)

) ш+ )к=( + ш)(К1 >...>К--1 ^ * (х^х,---.-^,.- . . . ,х

((11)ш+ )К = ( + ш)(К1 '...'К--1 >т--11>К) * (х(к1 ,...,к --1 -—1 -) х(к1 ,...,к - — 1,ш- -11) хк хк)

В последней формуле Т-путь длины М(и) задается последовательностью всех точек его траектории. Как и ранее, имеем простую Т-гомотопность (1 -)ш+ ~(1 -+1) ш+. Продолжая эту последовательность, определим для = 1, т в — 1 при к в = т в — 1 2 + 1

(т - )ш + )К = ((ш - +1^-1)ш + )К,

а при кв = т в — 1 2 + 1 —

((т- +1^)ш + )К = (+ш)(К1'...'К- — 1,ш - —12 — 1,К) * (х(К1,...,К- — 1,ш - —— 1) х^1 , . - — 1 ,т --1--1)

х , х , . . . , х ).

4-V-'

1 2

Во вновь построенной серии ТС-кубов каждый предыдущий просто Т-гомотопен последующему. Продолжим аналогичные построения до получения ТС-куба (ш- +(ш-—1)+...+1)ш+ :

(Ш - (ш - +1)/2ш + )К=( + ш)(К1 ,...,К - — 1,0,К) *

*(х(К1,...,К- — 1) х(К1,...,К- — 1) х(К1 ,...,К- — 1,1) х(К1 ,...,К- — 1,1) х^ х^ )

^ у 4 у 4 у

V V V

М (и)— ш3 К- — 1 ш- —К- + 1

В получившемся ТС-кубе выполним все предыдущие построения применительно к (5—1)-му аргументу кв—1, а затем и к оставшимся аргументам. Эти построения завершаются ТС-кубом Шг(шг+1)/2)ш+ таким, что (см. [4]) (^г=1шг(шг+1)/2)ш+)К =+ ш(0'...'0'к) * ак. Отсюда следует (см. [5]), что £?=1 щ(шг+1)/2)ш+ ~ ^(и , V). Построенная последовательность просто Т-гомотопных ТС-кубов определяет искомый ТС-куб Рв (ш, N) с

\ „,-„,/ N + 1) m¿(m¿ + 2N + 1) ,_, М(N,u) = 1+ N ■ М(и) + ^ ^-- + 1 = 2 + ^ н ¿ 2-. □

¿=1 2 ¿=1 2

Обозначим Сп = Сп(Р(X,х0)) группу нормализованных О-пунктированных ТКС-цепей (см. [4]) пространства (Р(X, х0), к). Для каждого 5 е 2 определим подгруппу С в С Спорожденную классами ш = ш + (X, х0)) такими, что ш —невырожденный О-пунктированный ТС-куб веса V(ш) ^ 5, (Р(X, х0)) — группа, свободно порожденная вырожденными О-пунктированными ТС-кубами. Из определения 2 и свойств (1)-(3) следует, что

5 < 0 С в = 0, и С в = СС в С Св+1, д(С в) С С в. (5)

в£Ж

Определим вес ненулевой однородной цепи c = Y1 aw е СЩ :

v(c)=min{s е Z|c е Сs} = max{v(w)|а = 0}.

Свойства (5) вместе с очевидным свойством 0 ^ v(c) ^ dim c = n означают, что {Cs}sez — регулярная возрастающая фильтрация цепного комплекса Сп (см. [5]). Короткая точная последовательность цепных комплексов

0 ^ Cs-1 ^ C

(7s ^ 0,

cs=cs/cs-1 = e с

n>0

C^s_fts lfts-1

n =Cn/Cn ,

определяет точную гомологическую последовательность

H (Cs-1)

H (Cs)

(6)

Н (С)

Выполняя прямое суммирование по 5 е получим точную пару (см. [5])

д (С" ) = (V, Е; м,к>, V = , Р5=Н (С5), Е = ©Е5, Е5 =Н (О),

в в

ассоциированную с нормальной фильтрацией {Скомплекса С". Точная пара д(С") допускает двойную градуировку V = © , =Н5+^(Св), Е = © Е^, Е^ =Н5+^((75), относительно которой гомоморфизмы к имеют степени (1, —1), (0, 0), (—1, 0) соответственно. Из (5) легко следует, что

(V 5< 0)^ £) =0, (V £< 0)(V 5) Ем = 0.

Таким образом, точная пара д(С") является регулярной д-парой (см. [5], гл. VIII). Производные точные пары д(С") = (V™,Ет;¿(т),^(т),к(т)>, т е N дают последовательность дифференциальных групп:

{(Ет = ©Ет ,^(т))\ й(т) = ^(т) о к(т), т = 1^},

которая называется спектральной последовательностью, ассоциированной с точной парой д(С"). Для регулярной д-пары спектральная последовательность {Ет} стабилизируется (см. [5], гл. VIII, п. 6):

при т > шах{з,£ + 1} Е^ = Ет^ = ... = Е^. Группа Е^ = © Е^ называется пределом сходящейся

' ' ' '

спектральной последовательности {Ет}. Из общей теории регулярных д-пар (см. [5], гл. VIII) следует Теорема 3. Группа гомологий Нп(Р(X, хо)) имеет фильтрацию

Нп(Р(X, хо)) = Нп,о(Р(X, хо)) Э Нп-1,1 (Р(X, хо)) Э ... Э Н-1,п+1(Р(X,xо)) = 0, Нм (Р (X, хо ))/Нв-1><+1 (Р (X, хо)) = Е^. Для вычисления первого члена Е1 = Е = © Е^, где Е^ = Н^(Св), рассмотрим цепной комплекс

7 = e cn, где cn = Cn/C,

n>0

s /Сs—1

n /Cn .

Для произвольной образующей w е СП обозначим [w]=w + СП 1 е Cn и определим

dn([w]) = £ (-1)j([dj(w)] - [d0(w)]) е csn—1.

j=s + 1

Рассмотрим цепной комплекс К =С*(X) © С(О^,хо)) = © (С*(X) © Сп-1 (О^,хо))), где С* —

п^о

пунктированные нормализованные ТКС-цепи, С — нормализованные ТКС-цепи. Граничный гомоморфизм д" в К определим формулой д"(а©Ь)=(—1)ва©дЬ. Имеется цепной гомоморфизм (р : Св — К, который на образующих корректно задается формулой

(Р([ш])=й © V, и = В5(ш), V =

s

—»

Для каждой пары (5, £) е 2 х 2 цепной гомоморфизм ( индуцирует гомоморфизм фв,г : Нв+г(Св) ^ ^ Нв+г(Кв). Так как Нв+г(£в) = Ев,г, Нв+г(Кв) = Свв(X) 0 Нг(О(^х0)) и С'(X) — свободная группа, имеем гомоморфизм фв,г : Ев,г ^ С'(X) 0 Нг(О(X, х0)).

Следующие леммы о гомологичности доказываются построением подходящих цепных гомотопий. Лемма 1. Для любого цикла г = ^ а¿v¿ е (С(О^, х0))) и любого натурального М цикл г * ем = а¿v¿ * ем гомологичен исходному г — г * ем е Вг(С(О^, х0))).

Лемма 2. Для односвязного пространства (X, т) и произвольной Т-петли а в (X, т) с вершиной в х0 е X любой цикл г е ^г(С(О^, х0))) гомологичен циклу г * а.

Теорема 4. Гомоморфизм фв,г является изоморфизмом: фв,г : Ев,г = С'(X) 0 Нг(О^, х0)). Доказательство. С помощью теоремы 1 построим цепной гомоморфизм А : Кв ^ С по формуле А (и 0 v)=[W (и, V)] = [ш]. Для каждой пары целых чисел (з,£) имеем индуцированный гомоморфизм групп гомологий:

рв,г : С;(X) 0 Нг(О(^х0)) ^ Ев,г.

Композиция фв,г о р в,г индуцируется цепным гомоморфизмом ( о А в размерности 5 + £. Из теоремы 1

следует, что ( о А (и 0 V) = и 0 V * ем(и). Возьмем произвольный цикл г = ^ a¿и 0 V е +г (К в) и

¿е/

обозначим: ,... , — все различные элементы в {и|% е 1}, 1К={% е 1 = }, к = . Тогда

N

г = ^ 0 , = ^ a¿V¿, и так как г — цикл, а группа С'(X) свободна, то дгк = 0. Отсюда по

к=1 ¿е/к

Лемме 1 для всех к = имеем гомологичность * ем(и ) = + деК, из которой следует, что

(фв,г о рв,г)(г + Вв+г(К в)) = г + (—1)вдЪ (^ «¿к 0 е^ + Вв+г(Кв) = г + В,г(Кв).

чК=1

Тем самым доказано, что ф в,г о р в,г = 1я-+,(к-) = 1с;(х)®я,(п(х,*с)).

Гомоморфизм р в,г о фв,г : Ев,г ^ Ев,г индуцируется цепным гомоморфизмом А о ( : С( в ^ С( в в размерности 5 + £, для которого имеем

А о £([w]) = [W(u,v)], u = Bs(w), v = F(w).

С помощью теоремы 2 корректно определяется гомоморфизм xn степени 1 на подходящем подкомплексе в C s такой, что xn([w])=(- 1)s[Ds(w,N)] и доказывается, что

+t+1(XN([w])) = [w] - А о <£([w]) - XN(ds+t([w]))-

Отсюда для произвольного цикла z = a [Wi] G Zs+t (Cs) и N > max N(wj) имеем гомологичность

i j ds+t+i(XN([W])) = z - А о <£(z), из которой следует, что о = +s) = 1£s t. □

Для вычисления второго члена E2 = © E;^ спектральной последовательности {Em} рассмотрим на

s,t '

©(С^(Х) 0 (0(X,xo))) структуру цепного комплекса C*(X) с простой системой коэффициентов

Н(О^, х0)) и граничным гомоморфизмом дх(и 0 к)= ^ (— 1)в(^)(и) 0 к — ^(и) 0 к).

.7=1

Теорема 5. Для односвязного пространства (X, т) изоморфизм ф = © фв, г является цепным,

в,г

т.е. дх о ф = ф о

Доказательство. Возьмем произвольный образующий элемент:

и 0 к е С'^) 0 Нг(О^,х0)),

/ в в \

где и : I х 1Шу, х I ^ (X, т) — произвольный невырожденный пунктированный ТС-куб,

к = г + ВДО^, х0)) — произвольный элемент в Нг(О^, х0)) с представляющим циклом г = а¿V¿ е (О(X, х0)). Из доказательства теоремы 4 следует:

г

ф—1(и 0 к) = р(и 0 к) = А (и 0 г) + В5п+г (Св) = [е] + В5п+г (^в) е Ев,г, (7)

где е = а¿(и, v¿) е С|+г. Из точной гомологической последовательности (6) и формулы (7)

' _ £к(Св)) = [де] 1 В" (С(в—1)

представлен в виде / = (й о ф—1)(и 0 к), и, следовательно,

следует, что гомологический класс f = d([c] + B"+t((7s)) = [dc] + (C s 1 ) e Es_i+t может быть

(ф о й о ф—1 )(и 0 к) = ф(/) = (([де]) + Вв—1+г(К в—1). С помощью теоремы 1 получаем формулу

де = ЕЕ Е(—1)'+£+1 a¿

¿ ' = 1е=0

которая позволяет цикл д=(([де]) е 1+г(Кв—1) представить в виде

в

д = Е Е(—1)' a¿ (Вв—1ц^и^)] 0 1(йт^и^ш—

¿ '=1

-Bs_i(d°(W(u, Vi))) 0 Fs_i(d°(W(u, Vi)))). Используя свойства 2) и 3) теоремы 1, получим

Bs_i(ej(W(u,Vi))) = d|(u), Fs-i(d°(W(u,Vi))) = v * £m(u),

в

д = Е(— 1)' (й)(и) 0 У — й°0(и) 0 (Е a¿V¿ * £м(и))) , '=1

g¿= Е а¿Fв—1 (й0(^(u,v¿))) = Е а¿V¿ * а(0'...'1'...'0). ¿¿

Отсюда с учетом лемм 1 и 2 следует, что (ф о й о ф—1 )(и 0 к) = дх(и 0 к). Из теоремы 5 непосредственно получается

Теорема 6. £сли (X, т) — линейно связное и односвязное пространство, тогда для любой пары целых чисел (з,£) цепной изоморфизм ф индуцирует изоморфизм групп гомологий:

Фв,г : Е2,г = Нв(X; Нг(О(^х0))).

Согласно принятой терминалогии исследованную выше спектральную последовательность следует называть спектральной последовательностью Лере - Серра толерантного квазирасслоения р: Р(X, х0), к) ^ (X, т).

Библиографический список

1. Zeeman, E.C. The topology of brain fnd visual perception / E.C. Zeeman // The Topology of 3-Mani-folds. N.Y., 1962.

2. Небалуев, С.И. Гомологическая теория толерантных пространств / С.И. Небалуев. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалуев, С.И. Толерантное расслоение путей и теорема Гуревича для толерантных пространств / С.И. Небалуев, М.Н. Сусин // Изв. Сарат. ун-та. Нов.

сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4, ч. 1. С. 41-44.

4. Небалуев, С.И. Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии / С.И. Небалуев, Е.В. Коробченко, М.Н. Сусин // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6.

5. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий / Ху Сы-цзян. М.: Мир, 1964.