Квазирасслоение путей, n-связные толерантные квазирасслоения и теоремы Гуревича для толерантных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 513.6

П-СВЯЗНЫЕ ТОЛЕРАНТНЫЕ КВАЗИРАССЛОЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ГУРЕВИЧА ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Е. В. Коробченко (г. Саратов)

Аннотация

В работе доказываются теорема Гуревича и обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств, устанавливающие связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами.

Толерантное пространство (Т пространство) по определению Зимина [?] — это пара (Х,т), где X — множество, а т С X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Отображение f : (Х,т) —> (У, 9) Т пространств называется толерантным (Т отображением), если из х 1 тх2 следует f (х1)9/(х2). К настоящему времени имеется достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория Т пространств (см. [?]).

В гомотопической толерантной теории гомотопические параметры берутся из толерантных отрезков (1т, 1т) длины т (т Е М), в которых

Іт = { — | к = 0,т! , —ьт— 4^ \к - 1\ ^ 1. уш ) т т

Произведение Т отрезков для краткости будем обозначать

(и П \

(Іт7 т) І X Іті, ^ 1ті )

уг=1 г=1 у

и

и называть толерантным кубом размера т = (т1,..., ти) Є X N.

Т отображения /о,/1 : (Х,т) —> (У,6) называются толерантно гомотопными относительно подмножества А С X, что записывается /0 ~ /1(гв1Л), если существуют п Є N и Т отобаржениє Г : (X X Іи,т X іи) —> (У, 9) такие, что

1)(Уж Є X) Г(х, 0) = /о(х), Г(х, 1) = /1(х),

2)(Чх Е Л)(Ук = 0,п) Г ^х, —^ = /0(х).

Если п = 1, то Т отображения /о,/1 называются просто толерантно гомотопными и записываются /0 ~ /1(тв1Л), ил и /0 ~ /1 при Л =

Всякое толерантное отображение шт : (1т,1т) —* (Х,т), т Е N называется толерантным путем (Т путем) в пространстве (X, т) длины т, соединяющим начало пути х0 = шт(0) Е X с концом пути хт = шт(1) Е X. Точки хк = шт(т), к = 0, т, называются траекторией толерантного пути шт. Обозначим через Р— множество Т путей в (X,т) с началом в точке х0 Е X. Если шт(0) = шт(1) = х0, то шт называется толерантной петлей в точке х0. Обозначим через х0) = {шт Е Р(X, х0)|шт(0) = шт(1) = х0} — подмножество Т петель множества Т путей в (X,т). На множестве Р(X) имеется обычная частичная операция *, сопоставляющая Т путям шт1 : (1т1,1т1) —* (X,т), шт2 : (1т2,1т2) —* (X,т ), удовлетворяющим условию Шт1 (1) = ш'т2 (0), новый путь

Шт1 * Шт2 : (1т1+т2 ,1т1+т2 ) * (X,T),

задаваемый формулой

ч , штл (—), к = 0,т1;

. - )= + тіК т~1П ______________________

т2 (ті+т2) 1 шт2 (к ті), к = т1,т1 + т2.

т2

Определение 1. Пусть шт1 ,ш' е Р— произвольные Т пути пространства (X, т) с началом в точке х0 Е X и пусть для определенности т2 ^ т1. Тогда Т пути шт1 и ш'т2 назовем х-толерантными, если выполняются следующие свойства:

1) ш'т2 = ет2-т1 * ^'тг, гДе £т2-т1 — постоянный путь длины т2 — т\.

(Ук = 0,т2 — т1) Єт2-ті () = хо

а 7'ті представляет собой отрезок пути Шт2: (Ук = 0, т1) т'ті (ті) = Шт2 (к+тг?12 ті);

2) шті ~ Іті.

При т1 = т2 = т, (єх0)т2-ті = є0 — постоянный путь длины 0 является формальным объектом, его траектория состоит из одной единственной точки х0, и относительно операции * он ведет себя как нейтральный элемент, т.е. є0 * т'т = 7'т = ш'т. Это означает, что согласно определению 1 имеет место правило:

Шткшт 4^ Шт ~ ш'т 44 [(Ук,1 = 0,т) \к — 1\ ^ 1 =4 Шт(к/т)тш'т(1/т)]

Из определения 1 следует, что все постоянные пути с началом в точке х0 являются х-толерантными друг другу.

Если Т пространство (Х,т) линейно связное, тогда (Р(Х,х0), к) является толерантно стягиваемым, и потому линейно связным (см. [?]). Если (Х,т) —

Ш і

линейно связное и односвязное Т пространство, т.е фундаментальная группа п^, х0) тривиальна, то (П^, х0), к) — линейно связное Т пространство.

Т отображение р : (Р(X,x0), к) —* ^,т) такое, что р(шт) = шт(1) назовем толерантным квазирасслоением Т путей, так как отображение р обладает следующим свойством (см. [?]): для любого Т пространства (У, 9) и любых Т отображений Г : (У х 1М,9 х 1М), / : (У, 9) —* (Р^ух^, к)) таких, что

(уу Е у) Г(у, 0) = р ◦ /(у), существует Т отображение Г : (У х 1М,9 х 1М) —* (Р(X,x0), к) такое, что

р ◦ Г Г (уу Е у) Г(у, 0) = /(у) * (£ро1{у))ы = 7(У) * (^(у,0))м.

Слоем квазирасслоения р над точкой х0 Е X является Т пространство Т петель (П^, х0), к). Как было указано выше, если пространство (X,т) линейно связ-

р

квазирасслоения.

Любое Т отображение и : (1т, 1т) —* (X, т) называется толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) в пространстве (X,т). ТС куб и называется пунк-

П

тированным, если и|(х{0,1}) = х0. ТС куб ш : (1т,1т) —* (Р(X,x0), к) на-

П

зывается П — пунктированным, если w|(х{0,1}) С П(X,x0). С помощью ТС кубов строятся толерантные кубические сингулярные гомологии (ТКС гомологии) Т пространств естественно изоморфные гомологиям Зимана, при этом доказывается (см. [?]), что для линейно связных Т пространств ТКС гомологии не зависят от пунктированности ТС кубов.

Определение 2. п-мерный ТС куб и : (1т, 1т) —* (X,т) имеет вырожден-ность Ь, 0 ^ Ь ^ п, если и вырожден то последним Ь аргументам, т.е.

(Укг = 0,т1,1 = 1,п) и(= и—,0...,0)

\ ° Э О 7 / ти / \т1 ти-Ь )

и (п — Ь)-мерный к уб и1кп-1+1=...=кп=0 невырожден по последнему аргументу.

Определение 3. п-мерный ТС куб w : (1т,1т) —* (Р(X,x0), к) имеет вес V(ш) = в, если ТС куб рош в иространстве (X, т) имеет вырожденность Ь = п—в. Имеют место свойства

0 ^ V(ш) ^ п = сИт ш; (1)

(Уз = V(ш) + 1, п)(Уе = 0,1) VШ(ш)) = V(ш); (3)

ГДе dj(w) ш|к3'=£^т^ .

Обозначим Сп = Сп(Р(X, х0)) группу нормализованных П-иунктированных ТКС цепей (см. [?]) пространства (Р^,х0), к). Для каждого в Е Ъ определим

подгруппу С3 С Сп, порожденную классами ш = ш + Оп(Р(X, х0)) такими, что ш — невырожденный П-пунктированный ТС куб веса V(ш) ^ в, Оп(Р(X,х0)) —

П

ми. Из определения 3 и свойств (1) — (3) следует, что

в < 0 =^ С3 = 0, и С3 = Сп,С3 С С3+1,д(С3) С С3. (4)

3&Ъ

Определим вес ненулевой однородной цепи С = ^ О-Щц Е СЩ :

V(с) = пнп{в Е Щс Е С3} = тах^(ш^а = 0}.

Свойство (4), вместе с очевидным свойством 0 ^ V(с) ^ сИт с = п означает, что {С3}3&2 — регулярная возрастающая фильтрация цепного комплекса Сп (см. [?]).

Короткая точная последовательность цепных комлексов

0 —* С3-1 * С3 -* С3 -* 0, С = С3/С3-1 = ® С3п, С3п = С3п/СП-1,

п^0

определяет точную гомологическую последовательность

Н (С 3-1)^+ Н (С3)

\к

Н (С3)

Выполняя прямое суммирование по в Е 2, получим точную пару (см. [?])

0 (Сп) =< V, £; г,з,к>, V = ®VS) V, = Н (С3), £ = ®£8, £3 = Н (С3),

33

ассоциированную с нормальной фильтрацией {С3} комплекса Сп. Точная пара 0(СЩ) допускает двойную градуировку V = ®V3 г, V3 t = Н3+г(С3), £ =

3,1

®£3 г, £3 г = Н3+г(С3), относительно которой гомоморфизмы I,], к имеют степе-

3 , г

ни (1, —1) (0, 0) (—1, 0) соответственно. Из (4) легко следует, что

(Ув < 0)(У^3,г = 0, (У < 0)(Ув)£3г = 0.

Таким образом, точная пара 0(Сп) является регулярной д-парой (см. [?],

гл. VIII). Производные точные пары 0(Сп) =< Vm, £т; г(т\](т), к(т) >, т Е N

дают последовательность дифференциальных групп

{£т = ® £3!], Щ(т)Щ(т) = з(т) о к(т), т = 1^},

3 , ] ’

которая называется спектральной последовательностью, ассоциированной с точной парой 0 (Сп). Для регулярной д-пары спектральная последовательность {£т} стабилизируется (см. [?], гл. VIII, п. 6) при т > тах{в,Ь + 1}:

пт __ ст+1 _____ _ с ж

£3, г = £3, г = ... = £3, г.

Группа £ж = ® £3°г называется пределом сходящейся спектральной последова-

3 г

тельностн {£т}. Из общей теории регулярных д-пар (см. [?], гл. VIII) следует теорема

Теорема 1. Группа гомологии Нп(Р(X, х0)) имеет фильтрацию Нп(Р(X,х0)) = Нп,0(Р(X,х0)) Э Нп-1 Л(Р(X,х0)) Э ... ЭН-1 ,п+1(Р(X,xо)) = 0, такую, что

Н3,г(Р(X, х0))/Н3-1 ]+1(Р(X,х0)) = £™г. □

Для вычисления первого члена £1 = £ = ф£3 г, £3 г = Н3+г(С3), рассмотрим

3 г

цепной комплекс С3 = ф Сп, Сп = Сп/Сп-1. Для произвольной образующей

п'^0

ш Е С п обозначим \ш]= ш + С3-1 Е С3п и определим

П

а,,(И) = £ (—1)<[ЩГсш)] — Щш]) е

3=3+1

Рассмотрим цепной комплекс

К3 = С^) 0 С(П^,х0)) = Ф (С^) 0 Cn-l(П(X,xо))),

п'^0

где С* — пунктированные нормализованные ТКС цепи, С — нормализованные ТКС цепи. Граничный гоморфизм дЩ в К3 определим формулой дЩ(а 0 Ь) = (—1)3а 0 дЬ. Имеется цепной гомоморфизм ф([ш]) = и 0 V, где

и : (1т1,...,тв , 1т1,...,т3 ) * (X,T), v : (1тв+1,...,тп , 1тв+1,...,тп ) * (П(X,x0), к) ,

и (р о ш)\ка+1=...=ка+г=0, v ш\к1 = ...=кв=0.

Для каждой пары (в,Ь) Е Ъ х Ъ цепной гомоморфизм С индуцирует гомоморфизм ф3,г : Н3+г(С3) —* Н3+г(К3). Так как то определению Н3+г(С3) = £3>г, и так как Н3+г(К3) = С•(X) 0Н^П^, х0)), в виду того, что ) — свободная группа, то имеем гомоморфизм ф3,г : £3,г —* С•(X) 0

Теорема 2. Гом ом орфизм, ф3,г является изом орфизм, ом,:

ф3,г : £3,г = С^) 0 Нг^, х0)). □

Теорема 3. Пусть (X, т) — линейно связное и односвязное пространство, тогда для, любой пары, целых чисел, (в, Ь) цепной изоморфизм, ф = ф ф3 г инду-

3 г

цирует изом,орфизм, соответствующих групп гомологий

Ъ3 , г : £% = Н3 (X; Нг^, х0))), в

базы, (X,т) с коэффициентами в группе Н^П^^о)) Ь-мерных ТКС гомологий слоя (П(X,x0)к). □

Согласно принятой термпналогип исследованную выше спектральную последовательность следует называть спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного квазирасслоения р : (Р(Х,х0), к) —^ (Х,т).

В качестве следствия получается следующая теорема

(Х, т)

ное пространство. Если натуральные числа в и Ь таковы, что (У0 < і < в) Нг(Х) = 0, (У0 < і <Ь) Н^ (О,(Х,х0)) = 0, тогда имеет м,есто точная последовательность Серра:

Н3+і-1(П(Х,хо)) Н3+І-1(Р(Х,хо)) Н8+-!(Х)

Н8+-2(П(Х,Хо)) ... Н2(Х) Н-і(П(Х,Хо)) □

-^ Н_(Р(Х,Хо)) Ні(Х) 0.

С помощью последовательности Серра доказывается утверждение до некоторой степени аналогичное теореме, доказанной в работе [?].

(Х, т)

пространство и пусть натуральное число в таково, что для всех (0 < і < в) выполняется Нг(Х) = 0. Тогда

(У0 <і< 2в - 2) Щ(П(Х, хо)) = НІ+1(Х). □

Назовем п-мерным толерантным сфероидом (Т сфероидом) размера т пространства (Х, т) в точке х0 Є Х любое толерантное отображение ат : (1т, 1т) —> (Х, т) такое, что ат(дІт) = х0, где

діт = | (д) Є Іт\(Зі = 1,п)к. Є {0,тг} | .

Договоримся в дальнейшем записывать М = (М_,..., Мп) ^ т, если (Уі =

1, п) Мг ^ тг. Дл я М ^ т определим продление ам т сферой да ат'

ам,т : (ІМ, 1М) > (Х, Т) ,

■®™((Мі-) -)={ат((

г'г=1 ,п/ І х0, (3і =1,пкг ^

х0, (Зі = 1,п кг ^ тг).

Определение 4. п-мерные Т сфероиды произвольного размера ат(і), а'_{2) (Х, т) хо

__ П ___ , .V

ат(і) ~ а'т(2), если существует М Є х N такое, что М > і = 1, 2, и имеет

место толерантная гомотопия

Р : аМ,т(1) ~ аМ,т(2) (ГЄІ дІМ)-

Классы эквивалентности толерантно гомотопных Т сфероидов будем обозначать [аш], а множество классов пп(Х,х0).

На множестве п-мерных Т сфероидов произвольного размера определим операцию *, сопоставив Т сфероидам

ат(1) : (1т(1) ,Ш1) ) -^ (Х,Т)> вШ(2) : (1Ш(2) , Ш2) ) -^ (Х,Т)

Т сфероид аш(1) * вш(2) : ИшЯ) +ш(2) , Ш^)+Ш2)) —^ (Х,т) такой, что

(Уг = 1, п) (Укг = 0, ш'11 + т(2'))

/( ч \ ( ат(1) ((к^/‘т(^'))г=1п) , (Уг =1п) к ^ т(1);

(ат(1) *вш(2))П тт+т(2)) ^Г] вш(2) (((кг — т<^))/т<12))г=ТП)’ № = 1,п) к ^ т(1);

г У х0, в остальных случаях.

Для Т сфероидов ат определяется двойное рамедление ат : (12т, 12т) —> (X, т) формулой ат^2т). з—) = а^(^{т[]) . . Такое двойное замедление имеет

свойства (см. [?]), позволяющие доказать, что на множестве классов толерантно гомотопных п-мерных Т сфероидов произвольного размера корректно определена операция

[аш(1) ] * [вш(2) ] = [аш(1) * Ш) ^

превращающая множество пп(Х, х0) в группу, которая называется п-й гомотопической группой Т пространства. Нейтральным элементом группы пп(Х,х0) будет класс [еШ; где еШ = х0.

В алгебраической топологии имеются две знаменитые теоремы, описывающие связи между гомотопическими группами и группами гомологий. Это, во-первых, — теорема Пуанкаре об изоморфизме первой группы гомологий линейно связного пространства и фактор-группы фундаментальной группы по ее коммутанту. Второй теоремой является теорема Гуревича, утверждающая, что для односвязных пространств первые нетривиальные гомотопические и гомологические группы изоморфны. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре был получен Небалуевым С.И. (см. [?]), а именно, имеет место теорема:

(Х, Т)

(Х, Т)

Нт(Х) = п(Х,хо)/[п(Х,хо),п(Х,хо)]. □

Следующая теорема является толерантным аналогом теоремы Гуревича.

(Х, Т)

и для натурального п и г = 1,п — 1 имеем пг(Х) = 0, то для г = 1,п — 1 Нг(Х) = 0 и Пп(Х) = Нп(Х).

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по п.

База индукции при п = 2 получается с помощью теоремы 6 и работ [?], [?]. Пусть теперь теорема верна для всех линейно связных пространств и для всех п ^ т — 1, т ^ 3, и пусть

(Уг = 1,т — 1) пг(Х) = 0. (5)

(Х, Т)

(Уг = 1,т — 2) Нг(Х) = 0; Нт-т(Х) = Пт-т(Х) = 0. (6)

Из [?] и (5) следует, что

(Уг = 1,т — 2) пг(0,(Х, х0)) = пг+т(Х) = 0. (7)

Из (7) по предположению индукции для пространства (П(Х, х0), к), используя

также [?], имеем

Пт(Х) = Пщ-1(П(Х,хо)) = Нт-т(П(Х, хо)). (8)

Формулы (6) показывают, что можно применить теорему 5 с в = т, и так как т — 1 < 2в — 2 = 2т — 2 при т ^ 3, то для г = т — 1

Нт-1(П(Х,хо)) = Нт(Х). (9)

Формулы (8) и (9) дают изоморфизм

Пт(Х) = Нт (Х). (10)

(6) и (10) показывают, что теорема верна для п = т. □

Определение 5. Гомоморфизм фп : пп(Х,х0) —> Нп(Х), определенный

формулой фп([аШ]) = ат + Вп(Х) будем называть гомоморфизмом Гуревича

(Х, Т)

морфизм пт(Х) = Нт(Х).

(Х, Т) п

оно линейно связное и для всех г = 1, п гомотопические группы пг(Х) = 0. Определение 7. Толерантное расслоение (или квазирасслоение)

р : (Е,т) —> (В, т)

назовем п-связным, если (В,т) линейно связное, (Е,т) п-связное и для всех г > п имеет место изоморфизм

Рщ : Пг(Е,хо) = п(В,Ьо), хо Е р-1(Ьо).

Для построения п-связного толерантного расслоения над произвольным линейно связным пространством (В,т) необходим будет следующий результат.

п

47

Теорема 8. Пусть ((В,т),Ь0) — произвольное пунктированное линейно связное толерантное пространство, и п — произвольное натуральное число. Тогда существует толерантное пространство (Х, тх ) такое, что

1) (В,т) — подпространство пространства (Х,тх);

3)(Уд < п) гЖч : пд(В,Ь0) = пд(Х,Ь0), где г : (В,т) ^ (Х,тх) — отображение

□

С помощью данного утверждения доказывается теорема о п-связном толерантном квазирасслоении:

(В, т)

натурального числа п Е N существует п-связное толерантное квазирасслоение р : (Е,т) —> (В,т). □

Из точной гомотопической последовательности для п-связного толерантного квазирасслоения р : (Е,т) —> (В,т) получается следующее утверждение:

Теорема 10. Пусть р : (Е,т) —> (В,т) п-связное толерантное расслое-

(В, т) (п — 1)

связным. Пусть (Р = р-1(Ь0),Т) — слой над произвольной точкой Ь0 Е В, и Ь0 Е Р — его произвольная точка. Тогда

Пусть (п,п) — пара, где п Е N а п — произвольная группа для п = 1, и п — произвольная абелева группа для п > 1.

(Х, т)

(п, п)

Т.о., в теореме 10 утверждается, что слой (Р,т) является пространством типа

Определение 9. Классом Серра абелевых групп называется класс К абелевых групп такой, что для любой точной последовательности абелевых групп А —> В —> С из А, С Е К следует В Е К.

морфизм произвольных абелевых групп. Тогда гомоморфизм ф называется К-инъективным, если ker ф Е К; ф называется К-сюръективным, если сокег ф Е К; ф называется К-изоморфизмом, если выполняются оба предыдущих условия.

2) Пп(Х, Ьо) = 0;

□

(Пп(В ),п — 1).

Определение 10. Пусть К — класс Серра, и пусть ф : АТ —> А2 — гомо-

Определение 11. Абелевы группы А1 и А2 называются К-экивалентными (К-пзоморфнымп) и записываются А1 = А2, если существуют абелева группа А

К

и К-изоморфизмы А —^ Аь А —^ А2.

Определение 12. Толерантное пространство (Х,т) и пара (Х,Х0) толерантных пространств (Х0,т) С (Х,т), Х0 = 0, называются К-ацикличными, если для пространства (Х,т) все его целочисленные гомологии Н^(Х) Е К для г > 0, а для пары (Х,Х0) все относительные целочисленные гомологии Н(Х, Х0) Е К для г ^ 0.

Определение 13. Класс Серра К называется ацикличным, если из А е К следует Нг(А) Е К для всех г > 0.

К

гда, когда всякое толерантное пространство (Х,т) типа (п, 1), где п Е К, является К-ацикличным. □

К

он замкнут относительно тензорного и периодического произведений, т.е. если выполняется следующее свойство:

А, В ЕК =^ А 0 В ЕК, А * В = Т0Г1(А, В) Е К.

Теорема 12. Пусть р : (Е,т) —> (В,т) — толерантное расслоение (или

(В, т)

ным слоем, (Р = р-1(Ь0),Т). Пусть (В0, т) — непустое линейно связное подпространство в (В,т) такое, что Ь0 Е В0 и Н1(В,В0) = 0. Пусть Е0 = р-1(В0).

К

(Уг = 2~р—Г) Нг(В, Во) Е К; (Уз = 1д—1) Н3 (Р) Е К; р,д> 0.

Тогда гом, ом орфизм, (р*)г : Н^(Е,Е0) —> Щ(В,В0) является, К-изом, орфизм, ом при г ^ г, и К-сюрьективным при г = г + 1, где г = шш{р, д + 1}. □

Теорема имеет ряд важных следствий.

К

р : (Е,т) —> (В, т)

— толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство расслоения, (Е,т) является К-ацикличным, слой расслоение (Р,т), где Р = р-1(Ьо) Ьо Е В (В, т)

связной, односвязной и Щ(В) Е К для г = 1,р — 1, р ^ 2. Тогда

1) (Уг =1р—2) Нг(Р) ЕК;

2) имеет м,есто эквивалентность Нр-1(Р) = Нр(В), определяемая К-изо-

К

морфизмами

Нр-1(Р) £ НР(Е, Р) ^ Нр(В,Ьо) = НР(В),

где д — связующий гомоморфизм из точной гомологической последовательности пары, (Р,т) С (Е,т). □

К

р : (Е,т) —> (В, т)

— толерантное расслоение (или квазирасслоение) с линейно связной и односвязной базой (В,т) и линейно связным слоем, (Р,т). Тогда из К-ацикличности любых двух пространств из трех (Е,т), (В,т) и (Р,т) следуегп К-ациклич-

□

Применим данную теорему к квазирасслоению р : (Р(Х,х0), к) —^ (Х,т). Заметим, что пространство квазирасслоения (Р(Х,х0), к) является ациклич-К

(Х, т)

К

(Х, т) К

гполерангпных петел,ь (П(Х, х0), к) будет К-ацшличным. □

К

(Х,т) ^ толерантное пространство типа, (п,п), где п ^ 1, ап Е К, тогда (Х, т) К □

(Х, т)

пространство. Рассмотрим последовательность толерантных отображений

(Еи-1,Ти-1) (Еи-2,Ти-2) ... ^ (Е1,Т1) = (Х,Т) (11)

таких, что У = 2,п — 1) р^ : (Ej,т^) —> (Е3-1,т3-1) — ^'-связное толерантное квазирасслоение. Существование такой последовательности следует из теоремы 9.

Теорема 17. Слой Р,^) толерантного квазирас слоения, pj : (Ej,^) —> (Ej-1,Тj-1), ] = 2,п — 1, в последовательности (11), является, толерантным, пространством, типа, (пj(Х),] — 1) □.

Следующая теорема представляет собой обобщенную теорему Гуревича для толерантных пространств.

К

(Х, т)

(Уг = 1, п — 1) щ(Х) Е К. (12)

Тогда

(Уг = ТП—Г) Щ(Х) Е К

и гомоморфизмы Гуревича

ф : пг(Х) -Нг(Х) являются К-изоморфизмами для всех г = 1,п.

Доказательство. Проведем индукцию по числу п ^ 2. При п = 2 утверждение теоремы 18 следует, из теоремы 7 (Гуревича). Предположим, что теорема верна, когда пг(Х) Е К для г = 1,п — 2. Возьмем п ^ 3 и пусть условие (12) выполнено.

Согласно предположению индукции имеем следующее:

(Уг = 1, п — 2) Нг(Х) Е К; (13)

(Уг = 1,п — 1) фг : пг(Х) —> Нг(Х) — К — изоморфизм. (14)

К

фп—1 : пп-1(Х) ^ НП-1(Х).

Так как по условию (12) пп-1(Х) Е К, то

т фп-1 = пп-1(Х)/кег фп-1 Е К.

Следовательно, в точной последовательности

Ш1 фп-1 ^ Нп-1(Х) —» Нп-1(Х )/йп фп-1 = соке г фп-1

К

Нп-1(Х) Е К. Объединяя этот результат с (13), будем иметь:

(Уг = 1, п — 1) Нг(Х) Е К. (15)

Рассмотрим последовательность (11), где, для З = 2,п — 1, pj — ^'-связное то-

лерантное квазирасслоение, слой (Рг, тг) которого имеет тип (пj(Х),З — 1) (см. теорему 16). Из (12) и теоремы 15 следует К-ацикличность слоев (Рj,^):

(УЗ = 2, п — 1)(Уг ^ 1) НгР) Е К. (16)

Докажем индукцией по З = 2, п — 1, что

(Уг = 1,п) (pj)*г : Hг(Ej) —> Hг(Ej-1) — К-изоморфизм. (17)

Рассмотрим сначала З = 2. Возьмем Х0 = {х0} С Х = Еь Р2 = р-1 (х0) С Е2. Ввиду односвязности (Х,т) го теоремы 6 иолучаем Н1(Х,х0) = Н1(Х) = 0. Отсюда и из свойств (15), (16) следует, что можно применить теорему 11 при

р = п, д = ж, г = шт{р, д + 1} = п, в результате чего получается следующее свойство:

(Уг = 1,п) (р2)*г : Нг(Е2,Р2) —> Нг(Е1) = Нг(Х) — К-изоморфизм. (18)

Из точной гомологической последовательности пары (Р2,т2) С (Е2,т2)

Заметим, что при г = 1, ввиду линейной связности пространств (Р2, т2) и (Е2, т2), имеется следующее свойство:

КК

З=2

Предположим, что свойство (17) выполняется для З — 1 (З ^ 2). Тогда, по-прежнему, H1(Ej_1,e0) = H1(Ej-1) = 0, где е0 Е Ej-1 — отмеченная точка, ввиду того, что п1(Ej_1) = 0 (так ка к Ej_1 — (З — 1)-связное).

Рассмотрим композицию fj-1 = р2 о ... о Рj-1 и индуцированные гомоморфизмы

По предположению индукции все гомоморфизмы (р2)*г,. . . , (Рj-1)*г являются К-изоморфизмами для г = 2, п. Следовательно

(Уг = 2,п) (fj-1)^,г : Hг(Ej-1,e0) = Hг(Ej-1) —> Нг(Х) — К-изоморфизм.

Отсюда и из свойства (15) для г = 2, п — 1 следует, что в точной последовательности

и из свойства (16) следует, что

кегЗ* = пп г* = НгР)/ кег г* Е К; сокег З* = Нг(Е2, Р^/пп З* = Нг(Е2, Р2)/кег д = пп д С Щ-1Р) Е К.

іт д = кег(і* : Н0(Е2) —> Н0(Е2)) = кег(і* : Ъ = Ъ) = 0 Є К.

Таким образом, доказано, что

(Уі = 1,п) 3* : Ні(Е2) —> Ні(Е2, Е2) — К-изоморфизм.

(19)

(Уі = 2,п — 1) Ні(Е^-\, во) = Ні(Е]-\) Є К.

Добавляя к изложенному выше свойство (16), получаем возможность применить теорему 11 при p = n, q = ж, r = min{p, q +1}, откуда следует

(Wi = 1,n) (pj)*i : Hi(Ej, Fj) —у Hi(Ej-l) — К-пзоморфпзм.

Далее, как и выше, с помощью (16) и с помощью точной гомологической последовательности доказывается, что

(Wi = 1, n) j* : Hi(Ej) —у Hi(Ej, Fj) — К-пзоморфпзм.

Тем самым завершается индукция по j = 2, n — 1.

Рассмотрим теперь композицию

f = p2 о ... о p— : (En-i,rn-i) —У (X, т).

Отображение f является (п — 1)-связным толерантным квазирасслоением. Из (17) следует, что f* : Hi(En-i) —у Hi(X), для i = 1,п, является К-изоморфиз-мом. Свойство естественности гомоморфизма Гуревича дает коммутативную диаграмму

nn(En-i) фп ► Hn(En-l)

fnn f*

nn(X) Hn(X) (20)

Поскольку пространство (En-i,Tn-\) является (n — 1)-связным, то в диаграмме (20) верхний гомоморфизм фп является изоморфизмом, согласно теореме 7 (Гуревича). А т.к. f* — К-изоморфизм и fnn — изоморфизм, то фп = f* о фп о f— : nn(X) —у Hn(X) является К-изоморфизмом, что вместе с (14) завершает доказательство. □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Zeeman Е. С. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds. N.Y., 1962.

[2] Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

[3] Небалуев С. П., Сусин М. Н. Толерантное расслоение путей и теорема Гуревича для толерантных пространств // Изд. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика, 2009. Т. 9. Вып. 4. Ч. 1.

[4] Небалуев С. И., Коробченко Е. В., Сусин М. Н. Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6.

[5] Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.

[6] Коробчеико Е. В. Гомотопические группы пространств толерантных петель // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.З.

[7] Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научи, тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2.

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.

Поступило 17.10.2011