Точная гомотопическая последовательность толерантного квазирасслоения пространства толерантных путей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, М.Н. СУСИН

Точная гомотопическая последовательность толерантного квазирасслоения пространства толерантных путей

Определение 1. Толерантным пространством называется пара (X, т), состоящая го базисного множества X и рефлексивного и симметричного бинарного отношения т £ X х X, которое называется отношением толерантности.

Определение 2. Толерантным отрезком длины п £ N называется толерантное пространство (1п, 1п), где

(- _^ _ - 1

1п = 1 - | к = 0,пк (Vк,1 = 0, п) -1п- & |к - 11 < 1.

[п ) п п

Определение 3. Отображение / : (X, т) —> (У, в) называется сильным толерантным отображением толерантных пространств, если выполняются следующие условия:

^х^х2 £ X) х1тх2 ^ /(х1)в/(х2), £ X) х\£тХ2 ^ /(х\)ев/(х2).

Если отображение / удовлетворяет только первому условию, то отображение / называется толерантным отображением.

Определение 4. Толерантные отображения /0,/1 : ) —> (У, в) называются толерантно гомотопными относительно подмножества А С С X и обозначаются /0 ~ /1 (тв1 А), если существуют натуральное число п £ N и толерантное отображение ^ : (X х 1п,т х ьп) —> (У, в) такое,

1. (Vx £ X) ^(х, 0) = /о(х),

2. (Vx e X) F(x, 1) = fi(x),

3. (Vx e A) (Vk = M) F(x, П) = fo(x).

Если в этом определении п = 1, то такую толерантную гомотопность называют простой или одношаговой и записывают /0 ~ / (ге1 А). А если А = 0, то условие 3 выполняется автоматически, и в этом случае используются обозначения /0 ~ /1 и /0 ~ /\. Отметим, что простая толерантная гомотопность /0 ~ /1? означает, что

(УЖ1, Х2 е X) Ж1ГЖ2 /о(х1)0/1(х2). п

толерантного пространства (X, т) в точке х0 е X называется толерантное отображение ат : , ) ^ (X, т) такое, что ат(д1^) = х0, те N.

Если am : (Im, im) ^ (X,t) - Т сферойд и M e N, M ^ n, тогда

( n) ,(

определим Т сфероид aM,m : (iMf), ¿MO ^ (X, т) следующим образом

ki ч ч | am((£^Tn^ (Vi = 1,n) ki ^ m;

(Vki = 0,M, г = 1,n) aM,m ((V7 )г=^) = —

M 1 x0, (di = 1,n) kj ^ m.

Сфероид aM,m называется продлением сфероида am.

Определение 6. Два n-мерных сфероида ami , am пространства (X, т) в точке x0 называются толерантно гомотопными и обозначаются ami ~ am2, если существуют натуральное M ^ max{mi,m2} и толерантная гомотопия aM,mi ~ ®'м m2 (ге^ dlMn)).

Отношение ~ является отношением эквивалентности, символом [am] обозначается класс этого отношения с представителем am.

В теории толерантных гомотопических групп очень полезной является конструкция двойного замедления Т сфероида.

Пусть am : ¿m^) — (X, т) - произвольный T сфероид, его двой-

ным замедлением называется новый Т сфероид

sm :(4m),4mi) - (х,т)

ki

(Vi = 1,n, ki = 0, 2m) am((2-L)i=im) = am((^

1

ki

)i=1,n) ,

где скобки [... ] обозначают целую часть числа. Двойное замедление имеет ряд важных свойств:

ат : (1"2т, ^2«! ° 4!) —* (X, т) — толерантное отображение, т.е. а«

(п) (п)

сохраняет двойную толерантность ¿21 ° 12т;

\¥2. свойство гомоморфности относительно операции *, т.е.

ami * вт2 ami * ^m-2 ;

W3. am - am.

С помощью этих свойств доказывается корректность операции на классах толерантно гомотопных сфероидов, которая определяется формулой

[am!] * [^m2] = [ami * fe] , или с помощью формулы

[am] * [^m] =

/2m

где

Y2m)((2m )i=1,n) = <

am((mm^inX Vki = 1,m;

em(kimm, (mm)i=2m), ki = m, 2m, (Vi = 2,n) h = 0,m;

mm

x0, в остальных случаях.

Для определения относительных толерантных гомотопических групп в Т кубе (/то!, ¿то!), п ^ 2, выделим начальную (п — 1) - мерную грань

Т(n-т) = г (h) _ GT(n) |k _0\

7m = j (m )i=T,n c 7m 1 km = 0 i .

Все оставшиеся грани обозначим J(п-1). Зафиксируем в толерантном пунктированном пространстве ((X,т),ж0) подпространство ((А,тд),Жо), где А с X, ж0 е А, тА = т П (А х А).

Определение 7. Относительным п - мерным (п ^ 2) толерантным

сфероидом пространства (X, т) относительно подпространства (А, та)

называется толерантное отображение ат : (/т^^) ^ (X,т), т е

М, п ^ 2, такое, что ато(/т-1)) с А, —= Жо.

Очевидно, что относительный Т сфероид становится Т сфероидом (в

смысле определения 5), если А = {ж0} .

Для относительных Т сфероидов определяется отношение толерант-а

ной гомотопности повторяющее определение 6 с топ лишь разницеи, что толерантное отображение

^ :(/М;) х х ) ^ (X, т),

осуществляющее толерантную гомотопию ^ : ам,т1 ~ ®'мт2, Должно быть таково, что при любом фиксированном значении параметра — е отображение ^|(/Мп) х {) является относительным Т сфероидом.

На множестве Т путей Р(X, ж0) в пространстве (X, т) определим структуру толерантного пространства.

Определение 8. Пусть ит1, е Р^.ж^ - произвольные Т пути пространства (X, т) с началом в точке ж0 е X и пусть для определенности т2 ^ т1. Тогда Т пути ит1 и назовем кх - толерантными, если выполняются следующие свойства:

1) < = ет2-т1 * , где ет2-т1 - постоянный путь длины т2 — т1 :

к

(Ук = 0, т2 — т1) £т2—т1 (-) = Жо,

2 т2 — т1

а е Р(X, ж0) представляет собой отрезок пути ит2 :

( п-А ' (к\ ' (к + т2 —

(ук = 0,т1) 7т 1 ( — ) = ит2 (---);

т1 т2

2) ШШ1 - тШ!.

Замечание 1. При Ш1 = т2 = т, еШ2-Ш1 = £0 _ постоянный путь длины 0 является формальным объектом, его траектория состоит из одной единственной точки х0, и относительно операции * он ведет себя как нейтральный элемент, т.е. £0 * 7Ш = тШ = . Это означает, что согласно определению 8 имеет место правило:

ЫшК^Ш ^ Шш - ^Ш,

т.е. шШкшШ ^

__к , I

(УМ = 0, т) |к - /| < 1 ^ (—)

т т

Замечание 2. Из определения 8 следует, что все постоянные пути с началом в точке х0 являются к - толерантными друг другу:

е СР(X, хо))

Договоримся в дальнейшем, если будет требоваться подчеркнуть, что рассматриваются Т пути в пространстве (X, т), то для обозначення к -толерантности таких путей будем использовать символ кх.

Итак, определено толерантное пространство (Р(X, х0), к) Т путей пространства (X, т) с началом в точке х0. В следующей теореме доказывается наиболее существенное свойство этого пространства.

Определение 9. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) называется толерантным расслоением (в смысле Гуревича), если для любого толерантного пространства (У, 0) и любых толерантных отображений

Р :(У х /„, 0 х 1П) ^ (В,т), 7 :(У,0) ^ (Е,т)

таких, что Р|(У х {0}) = р о 7, существует толерантное отображение Р : (У х 4,0 х ¿п) ^ (Е,т) такое, что Р|(У, {0}) = 7, р о Р = Р.

Однако, не все важные и интересные случаи удовлетворяют свойству толерантного расслоения в полном объеме, так, например, имеет место следующее расслоение.

Теорема 1. Толерантное отображение р : (Р(X, ж0), кх) — (X, т), задаваемое формулой р(ит) = ит(1), является толерантным квазирасслоением,, в том смысле, что для любого пространства (У, 0) и для любых отображений

Ё : (У х /м,0 х 1м) — (X, т), 7 : (У,0) — (Р(^Жо), кх)

таких, что (Уу е У) Ё(у, 0) = ро/(у), существует толерантное отображение

Ё : (У х /м,0 х 1м) — (Р(X, Жо), кх)

такое, что

р О Ё = Ё, (Уу е У) Ё(у, 0) = 7(у) * (£ро/ы)м = 7(у) * (ер(у,о))м,

где (ер(у,0))м _ толерантный путь длины М в пространстве (X,т), принимающий тождественное значение (ер(у,0))м(м) = Ё(у, 0) е X. При, этом квазирасслоение р имеет слой р-1(ж0) = (П^, ж0), кх).

Для любого толерантного расслоения имеет место теорема о точной толерантной гомотопической последовательности (см. [3'], теорема 9). Следующая теорема является ее аналогом для толерантного квазирасслоения р : (Р(X, ж0), кх) — (X, т) из теоремы 1.

Теорема 2. Пусть р : (Р(X, ж0), кх) — (X, т) - толерантное квазирасслоение Т пут,ей, пространства (X, т), тогда имеет место следующая, точная толерантная гомотопическая последовательность

• • • — П^П^, Жо), £1) — ПП(Р(X, Жо), £1) —

— П«^, Жо) — Пп-^П^Жо),^) — • • • ,

г<?е р* = рП о д* = д о р-1; - гомоморфизмы точной то-

лерантной гомотопической последовательности пары (П^, ж0), кх) с С (Р(X, ж0), кх) (^сж. [3], теорема 4);

рп„ : пп(Р(X, Жо), П^жо),^) = п^, {жо} ,Жо) = Пп^Жо) (1)

— изоморфизмы, индуцированные толерантным отображением троек р : ((Р(X, Х0), к), (ОД Х0), к), £1) - ((X, т), ({а*} , т), а*). (2)

Доказательство

Докажем сначала, что гомоморфизм рПп относительных гомотопических групп (1), индуцированный отображением (2) троек, является изоморфизмом для всех п ^ 2. Покажем сначала сюрьективность. Возьмем произвольный элемент

[аш] е пn(X,xо), аш : (1Ш),д/Ш)) - (X,*)),

где аШ - абсолютный Т сфероид пространства ((X,т),х0) размерности п.

((—)г=т_п) = = ^ е X.

аш((т )г=1,п) = Х 1 'П = Х

т

Так как аШ - Т сфероид, то

(Зг = 1~п) —» е {0, т} ^ ) = *, (3)

если же Р = (Ш^тп^Ф = (Ш)г=тП, то есть (Уг = 1,п) | — - — [| < 1, тогда

;кп)тж(к1 ;•• ;к™) (4)

Определим отображение ат : /Щ") — Р(X, х0) такое, что

— , ч —•

(У(т),=т5 е /М) аш((-т),=т5) : (/ш,^) - ),

тт _ м / ( а^1'";к«-1;Ш-1), I = 0,т - —п;

аш((тЬ=тп)(-(,... к , ) ----(5)

т т I х(к1; ;к"-1;кп), / = т_—п,т.

Из (4) и (3) следует, что в самом деле

—— (У(т):=тп е /£>) аш((т)^=ттп) е Р(X,*,).

тт

Покажем, что отображение ат : (/„^то^ — (Р(X, ж0), кх) является толерантным, то есть

(Уг = 1,п) (Ук?, к? = 0,т) |к? - к?| < 1 ^

к■ к-

^ ат(( тт )г=^) ~ ат(( т )г=^). (б)

тт

Это означает, что с дополнительными условиями должно выполняться

к? ч ч / / ч / / к^ \ /1

(У1,1 = 0,т) |/ - 11 < 1 ^ а,,,((^)г=1,п)(т)тат((^},=ттп)(т). (7)

Рассмотрим все возможные случаи. Начнем с кп = кП. Тогда из условия в (7) следует возможность лишь двух вариантов:

0 < /,/' < т - кп, (8)

т - кп ^ /, / ^ т., (9)

Для (8), согласно (5), имеем

ат ((| )?=1п)( £ ) = Ж(А1'-'кп-1'т-1), ат (()?=^)( £ ) = Ж(к1 '••• 'Ап-1'т-1').

Для (9) с помощью (5) получаем

(10)

ат(( тт ).=T7s}( т ) = ж<к-'^—Ч

— V —)( 1- )= Ж(к1 ,кп-1,кп )

ат(( „т )г=1,п)( т ) =

(11)

В обоих случаях из (4) следует, что (7) имеет место.

Пусть теперь к' = к + 1. Тогда возможны лишь следующие случаи:

1)0 < /, /' < т - к' < т - к;

2) т - к' < т - к ^ /, /' ^ т;

3) /' = т - к', / = т - к;

4) / = т - к' = т - к - 1, /' = т - к = т - к' + 1.

1) 3) 2)

к / '

ат((—).—)(—) = ^п-ът-о = Ж(къ- А-ъ^),

что вместе с (4) показывает выполнение (7).

Рассмотрим теперь значение полученного нами толерантного отображения аш : (/Ш),£то)) — (Р(X, х0), кх) па нижней грани /Ш т) =

= {(I).=т-п е |—п = 0}

а.(/¡,"-1') = аш к=о : {/,("-1), (£-1)) — (Р(X, хо), кх).

Из (5) и (3) следует ,что для любых (^):=1;П-1 е /ш Т)

—

аш ((^ ):=^, 0)(0) = х(к1 ;••• 'кп-ьш) = *о,

т —

аш ((т ^ет 0)(т)= ;к-1;0» = *о.

Это показывает, что

аш(/(П-1)) С ОД*)). (12)

Чтобы толерантное отображение аШ являлось бы относительным Т -сфероидом в пространстве (Р(X, х0), кх) относительно подпространства (П^, х0), кх), определяющим элемент в пп(Р(X, х0), П^, х0),£1), не

— ( 7(п-1) ) _

а ш ш )

ет из (5) и (3), имеет место свойство

хватает только свойства а ш (^ )) = £1. Вместо него, как это следу-

аш (4П-1)) = (13)

Преобразуем толерантное отображение аш, сохраняя свойство (12), в относительный Т сфероид

Д,,+2 : (/(П+2,/(+21), ^^Й') — (Р(X, Хо), П(X,Xо),£l),

который определим следующим образом

вш+2((т + 2)г=1'п) = <

£ () _ (И 7(п-1).

£1, (т+2 )г=1,п е °ш+2 .

((~_T)¿=тn), (Ш+2е д/то+2.

, ((^ 0), (ш+2 е )\д/(г+-2 ).

Графически определение вт+2 проиллюстрировано на следующем рисунке (для п = 2)

£1

в,

£1

т+2

ат

£т £1

ат(/т )

Рис. 1

Из определения вт+2, свойства (9) и замечания 2 следует, что вт+2 _ толерантный Т сфероид, определяющий элемент

[вт+2] е Пп(Р(X, Жо), П(X,Жо),£l). Проекцией па (X, т) Т сфероида вт+2 будет Т сфероид

вт+2 = р О вт+2, (14)

который графически представлен на следующем рисунке

Отсюда следует, что

»

вт+2 = £Г' * °т * £1

(п)

(15)

£

т

£

т

где £1п) п-мерные Т сфероиды размера 1 = (1, • • • , 1), тождественно равные ж0. Используя (14), (15) и свойства классов толерантной гомотопности Т сфероидов, получим

рп„ ([вт+2]) = [р О вт+2] = [вт+2] = [£1П)] * [ат] * [£1П)] = [ат],

что и доказывает сюрьективность гомоморфизма рПп.

Перейдем к доказательству инъективности гомоморфизма рПп. Предположим, что для относительного Т сфероида

ат : (/тп),/тп-1),^тп-1)) — (Р(X,Жо), П(X,Жо),£l)

имеем рПп ([ат]) = [р о ат] = [£„п)]. Поскольку ат - произвольный представитель класса [ат], то, без ущерба для общности, согласно определению 6, можно считать, что имеется толерантная гомотопия абсолютных Т сфероидов в пространстве (X, т) :

Ё : (4п) х /р ,4п) х 1р) — (X, т), Ё : ^ = р о ага - ^ (ге/ д/^),

Ё | (4п) х {0}) = ат, Ё | (/^ х {1}) = 4п), Ё | (д/£п) х /р) = жо. (16)

Толерантное отображение Ё : (/^ х /р, 1т) х 1р) — (Р(X, ж0), кх), на-Ё,

ё ((т )=ат(( ^ )<=17п) * (17)

где ы^1' 'кп;1) = : (/р, 1р) — (X, т) - Т путь в (X, т) такой, что

. (Л1,• • •,*„;/) (ГЁ((тР), г = 0,/; (18)

р (р) 1 ё((т^ р), г=¡-р. ( )

Для Ё выполняется накрывающее свойство р о Ё = Ё, но его начальный относительный Т сфероид вт та совпадает с ат :

вт((т)?=^)=ё((т0)=ат((т^ * (£«та%(19)

Из (17), (18) и (16) следует, что для всех Ц = (к ):=1;п е /т) имеем

¥ (Ц, 1)(1) = ш(к,р)(1) = ¥ (Ц, 1) = *о,

т.е.Ё | (/(П) х{1}) С ОДхо). (20)

Свойство относительного Т сфероида аш(/т-1)) С П^, х0), согласно формулам (17), (18), (16), имеет место и для ¥ :

¥ | (4п-1) х /р) С П^а*). (21)

А вот свойство аш(J(n 1)) = £1 и те же формулы дадут:

¥ | (Шг-1) х /р) = £р+1. (22)

Т.о., чтобы ¥ стало бы толерантной гомотоиией относительный Т сфероидов, в правой части формулы (22) должно стоять £1. Этого можно добиться применив конструкцию, изображенную на рис. 1, т.е. определив

¥ : (/то+2 х /Р,1ш+2 х ¿р) — (Р^^ кх),

" ) — а г(п-1).

гг+2 ):=1,п е ° ш+2 .

'к»-1\ _ /\ / к \ _ , оГ(г) .

¥1 ((тт2 ,Р )£<

¥((к-) _ А) ( к ) _с дГг •

¥ (( Ш )г=1,п, р) ( ш+2 ):=1,п е д/Ш+2.

, ¥ ((^^ ):=1;п, 0), ( Ш+2 ):=1;п е /пг--2 \д/пг-Ъ2. _1

Тогда, по построению, ¥ осуществляет толерантную гомотопию относительных Т сфероидов:

_1 _1 "(хХп)_1 /

вш+2 = ¥ | (/т+2 х {0}) (~ ) ¥ | (/т+2 х {1}) = 7ш+2. (23)

_1

Так как при построении ¥ для пего сохраняется свойство (20), то, используя теорему 5 работы [З5], получаем, что [7ТО+2] - элемент тривиальной группы п^П^, х0), П(X, х0), £1), т.е.

7ш+2 е1п). (24)

Обозначим через аШ+2 относительный Т сфероид, который получает_1 _

ся из аш так же, как и вш+2 из в ш, т-е- с использованием конструкции,

изображенной на рис. 1. Пусть Т пути«т+2((т+2)г=ш) имеют траектории

ат+2((т + 2 = Ж0 )Ж1 ) • • • Ж1(к)), к = (к1, • • • , кп),

где й(к) = , кп) - длина этого пути. Пусть S = таж{$(к)} -

максимальная длина всех таких путей. Из (19) и построения «т+2, вт+2 следует, что

(У( т+2 )г=1,п е 4+^+2 ^ вт+2((т+2 )г=1,п) =

= а ) _) * (£ - ) = Ж(к)Ж(к) . . . Ж(к) Ж(к) . . . Ж(к)

кт+2(( т+2)г=1,п) * (£х(к) )Р = Ж0 Ж1 Ж5(к) Ж5(1) Ж5(!)

м(5(к))(ат+2(( т+ )г=1;п)) * (£х (к) )р-1.

(25)

Определим теперь относительные Т сфероиды вт+2, / = 0,

(УЯ = кгп е /тп+2)

-о(Р) (ГЛ\ # ;

в т+2(Я) = <

вт+2(Я) = £1, Я е ^1+2^

(м(5(к) - /)(ат+2(я))) * (£х (к) ^ъ я е ^тт^ 1=0,§(к);

(п-1)

х со

(к)

(м(0)(ат+2(я))) * (£х(к) )р-1, я е ^т+-21), / = «(к),

в(к)

В качестве примера покажем, что вт+2 = вт+2 ~ вт+2, Т0 есть

(26)

у( к? ) _ ,(п) (_ к'

У , о)?=1,п 1т+2 (,

+ ^?=1,п ^+2 vm + 2

^ вт+2(Я)кхвт+2(Я ). (27)

д

д'

Для определенности положим й(к') ^ й(к) и для краткости обозначим

— / —' й(к) = й, (Уг = 0, й) ж(к) = ж?; й(к ) = й , (Уг = 0, й') ж(к ) = ж?.

Тогда (27) следует из рис. 3, где представлены соответствующие траектории.

_а.0

х0 ^¿-зХ- 3+1 - -2 -1

X

X

X

X

X '_' 8

з' -«=(«' +р) - (з+р)

X0 X1 Xs-2 Xs-l X

вт+2(Ц )

в т+2(ц)

3.0 3.0

^^п X / ~ X/., _л —Л Л -з+1 Л -2 Л -1

3 вт+2(Ц )

Ы в'(1)

xs— 2 xs— 1 xs

Рис. 3

x з

в т+2(Ц).

Р

На рис. 3 вид первых двух траекторий и толерантности их точек, изображенные равенствами и сплошными линиями, является следствием того, что при ^ Ш^Ц1 имеем толерантность вш+2(Ц1 )кхвш+2(Ц), которая описывается в определении 8. Вид этих первых двух траекторий определяет вид остальных. Вторая и третья траектория на рис. 3 и определение 8 доказывают (27) для точек Ц, Ц1 е /т+2\^(+21). Для всех остальных случаев справедливость (27) легко проверяется с помощью замечания 2. Те же самые рассуждения переносятся на общий случай и доказывают,

ито

■з(0 _ ^(1+1)

-1 "(х,хп) )

(V/ = 1) вш+2 — вш+2 , Т-а вш+2 — вш+2.

Те же построения теперь можно применить к в^+2 и Т-Д-? в результате чего, через конечное число шагов, получим

-1 "(х,хп) -11

в ш+2 — в ш+2,

где

—:

(УЦ = (^);=1П е ^

3

8

3

3

3

3

Т,'(П\ # / вт+2(Я) = ат+2(Я) = £1, Я е ^т+Т21); в т+2(Я) = ^ _' (п-1) (29)

£т * ат+2(Я), Яе ^го+2 .

Используя (29) покажем, что

_'' _'

в т+2 — ат+2. (30)

Для этого надо проверить следующее:

к к'

(УЯ = ( т + 2 )г=1«, Я = ( т + 2 )г=1« е /тп+2\^го+2 )

/ \ { _'' { г

Я1т+2Я ^ вт+2(Я)кхат+2(Я). (31)

Это следует из сравнения соответствующих траекторий. Пусть _' _' ' ' ' '

ат+2(Я) = Ж0Ж1 • • • Жs, ат+2(Я ) = Ж0Ж1 • • • Ж5', « ^

Тогда толерантность ат+2, определение 8 и формула (29) показывают, что имеет место ситуация, изображенная на следующем рисунке.

р

Жо

Жо Жо

Жо

5 —5

5 —5

Жо

Жо Ж1

ЖЖ

5 — 5 5 —5+1

Жо Ж1

Ж а

Ж

«т+2 (я) «т+2 (я' )

Жп Ж / Ж / Ж / —"

_0 _а —а а — 5+1 5

Жа

вт+2(Я )

вт+2 (я) .

Рис. 4

Из рис. 4 и определения 8 следует, что для й' ^ й свойство (31) имеет место. Из рис. 4 и определения 8 также получается толерантность ат+2(Я)кхвт+2(Я'), которая доказывает (31) для в ^ й (в виду равноправия Я и я').

а

Нам осталось доказать, что

а.

т+2

ВДхо) _ ~ ат

(32)

В самом деле, из свойств двойного замедления (\У 1. \У2. \УЗ) следует, что без ущерба для общности можно считать ат двойным замедлением некоторого Т сфероида. Тогда свойство \¥1 двойного замедления позволяет выполнить следующие простые толерантные гомотопии, которые для наглядности представлены графически (дляп = 2),

£1

£1

а

т+2

ат

£1

П(Х,ж0)

£1 П(Х,ж0) £1

ат ат

ат+2

ат|к„ = 0

Рис. 5

_ П(Х>о) _

Так как по определению ат+2,т ~ ат, то (32) имеет место. Теперь собираем вместе толерантные гомотопии (23), (24), (28), (30), (32) в

_ П(х,хо) (п)

результате чего получим ат ~ £1 , что и доказывает ипъективпость гомоморфизма рПп (см. (1)), а, тем самым, завершается доказательство изоморфности рПп.

Теперь выпишем точную толерантную гомотопическую последовательность (см. [З5], теорема 7) для пары толерантных пространств (П(Х,жо), кх) С (Р(Х,жо), кх) :

ПП(^(Х, жо), £1) — Пп(Р(Х, жо), £1) — Пп(Р(X, жо), П(Х, жо), £1)

Пп-1(^(Х,Жо), £1)

П2(Р(Х,жо), П(Х,жо),£1)

П1(П(Х,жо),£1) - П1(Р(Х,жо),£1).

В этой последовательности с помощью изоморфизма (1) заменим относительные гомотопические группы на изоморфные им, и получим точную гомотопическую последовательность толерантного квазирасслоения

р : (Р(X, Жо), кх) — (X, т):

— Пп(П^, Жо), £1) — Пп(Р(X, Жо), £1) — Пп^, Жо) —

— Пп-^П^Жо),^) — • • • — П2(X,Жо) — ^(П^Жо),^) — (33)

— пт(Р(X, Жо), £1), р* = рп о ;*, д* = д о р-1. □

Доказанная теорема имеет важное следствие, представляющее толерантный аналог классического алгебро-топологического результата.

Следствие. Пусть (X, т) - произвольное толерантное пространство с отмеченной точкой ж0 е X, пусть (П^, ж0), кх) - пространство толерантных петель пространства (X, т) с отмеченной петлей £т е П^, ж0). Тогда для каждого натурального п ^ 2 имеется гомоморфизм

д* : Пn(X,Жо) = Пп-^П^жо),^). (34)

Доказательство

(34) следует из точности последовательности (33) и теоремы 1 работы

□

Библиографический список

1. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

2. Небалу ев С. И., Су сип М.Н. Толерантное расслоение путей и теорема Гуревича для толерантных пространств// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4. Ч. 1.

3. Небалу ев С.Н. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств// Чебышевский сб. Тула, 2004. Т.У. Вып. 3(11).