Системы Мура Постникова для толерантных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Carlson F. Uber Potenzreichen mit ganzzahligen Koeffizienten // Mathemat. Zeitshrift. 1921. Vol. 9. P. 1-13.

2. Кузнецов В. Н., Сецинская Е. В., Кривобок В. В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 47-58.

3. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М. : Изд-во иностр. лит., 1953.

4. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М. : Наука, 1975.

5. Титчмарш Е. К. Теория функций. М. : Наука, 1980.

Системы Мура—Постникова для толерантных пространств

В статье получен толерантный аналог последовательностей толерантных отображений, которые принято называть последовательностями Мура—Постникова (см. [1]).

Толерантное пространство (Т пространство) — это пара (X, т), где X — множество, а т С X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Отображение / : (X, т) —> (У, в) Т пространств называется толерантным (Т отображением), если из х1тх2 следует /(х\)в/(х2).

В гомотопической толерантной теории гомотопические параметры берутся из толерантных отрезков (1т, 1т) длин т (т € М), в которых

УДК 513.6

Е. В. КОРОБЧЕНКО, С. И. НЕБАЛУЕВ

Т отображения /о,/1 : (X, т) —> (Х,в) называются толерант-

но гомотопными относительно подмножества А С X, что записывается /о ~ /1(ге1А), если существуют п € N и Т отображение ^ : (X х 1п,т х 1п) —> (У, в) такие, что

Если п = 1, то Т отображение /0,/1 называются просто толерантно гомотопными и записываются /0 ~ /\(те1А), или /0 ~ /1 при А = 0.

К настоящему времени имеется достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория Т пространств (см. [2]).

Гомотопические группы определяются через толерантные сфероиды. Подробности можно найти в работах [3] и [4].

Определение 1. Толерантное пространство (Х,т) называется толерантно стягиваемым, если тождественное отображение 1х толерантно гомотопно некоторому постоянному отображению X в себя.

Определение 2. Толерантное пространство (X,т) будем называть то-лерантно условно стягиваемым, если существует возрастающая последовательность подпространств

(Ук = 1, ж) (^к,т) — толерантно стягиваемое.

Предложение 1. Если пространство (X,т) толерантно условно стягиваемо, то все его абсолютные толерантные гомотопические группы тривиальны.

1) (Ух € X) ^(х, 0) = /о(х), ^(х, 1) = ¡1(х),

^1,т) С ^т) С ... С X,т) С ... С (X,т)

таких, что

00

{Jxk = X,

Определение 3. Всякое толерантное отображение шт : (1т, 1т) —> ->• (X, т), т € М, называется толерантным путем (Т путем) в про-

странстве (X, т) длины т, соединяющим начало пути х0 = шт(0) € X с концом пути хт = шт(1) € X. Точки хк = шт(т), к = 0,т, называется траекторией толерантного пути шт. Если ^т(0) = ^т(1) = х0, то шт называется толерантной петлей в точке х0.

Обозначим через Р(X, х0) множество Т путей в (X, т) с началом в точке х0 € X, а через О^, х0) — множество Т петель в точке х0 € X.

На множестве Т путей Р(X, х0) в пространстве (X, т) структуру толерантного пространства определим следующим образом.

Определение 4. Пусть шт1 ,^т2 € Р(X, х0) — произвольные Т пути пространства (X, т) с началом в точке х0 € X, и пусть для определенности т2 ^ т1. Тогда Т пути ¡х>т1 и ш'т2 назовем к-толерантными, если выполняются следующие свойства:

1) ^2 = £т2-т1 * 7т 1, где £т2-т1 — постоянный путь длины т2 - ть

(Ук = 0,т2 - т1) £т2-т1 (т—г, ) = x0, а 7т € Р(X, х0) представляет собой отрезок пути ш'т2:

(Ук = 0^1) 7т 1 (т-) = < ();

2) - 7т 1.

Предложение 2. Пространство всех Т путей (Р(X, х0), к) является условно толерантно стягиваемым.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Толерантное отображение

р : (Р(X, хо), к) (X, т),

задаваемое формулой р(^т) = ^т(1), является толерантным квазирасслоением, в том смысле, что для любого пространства (У, в) и любых

толерантных отображений

Г : (У х 1м,в х 1м) ), / : (У, в) (Р^,хо), к)

таких, что (Уу € У) Г (у, 0) = р о / (у), существует толерантное отображение

Ё : (У х 1м,в х 1м) (Р(X, хо), к)

такое, что

р о Ё = Ё, (Уу € У) Ё (у, 0) = / (у) * (еро1{у))м = / (у) * (ег (у,о) )м,

где (ег(у,0))м — постоянный Т путь длины М в пространстве (X,т), принимающий тождественно значение (ег (у,0))м (м) = Г (у, 0) € X. При этом квазирасслоение р имеет слой р-1(хо) = (Q(X,x0), к).

Доказательство Доказательство основано на построении квазинакрывающей функции (см. [5]).

Определение 5. Толерантное пространство (X,т) назовем п-связным, если оно линейно связное и для всех % = 1,п гомотопические группы ) = 0.

Определение 6. Толерантное расслоение (или квазирасслоение) р : (Е,т) —> (В,т) назовем п-связным, если (В,т) линейно связное, (Е,т) п-связное и для всех % > п имеет место изоморфизм

Рп : п(Е,хо) = п(В, Ьо), хо € р-1(Ьо).

Для построения п-связного толерантного расслоения над произвольным линейно связным пространством (В, т) необходим будет следующий результат.

Предложение 3. Пусть ((В,т),Ь0) — произвольное пунктированное линейно связное толерантное пространство, и п — произвольное натуральное число. Тогда существует толерантное пространство (X,тх) такое, что

1) (В,т) — подпространство пространства (X, тх);

2) пп(Х,Ь0) = 0;

3) (Уд < п) г^ : П(В А) = П(Х,6о), где г : (В,т) ^ (Х,тх) —

отображение вложения.

Доказательство Зафиксируем какую-либо систему А образующих в группе пп(В,Ь0). Для каждого элемента [а] € А выберем ровно по одному представителю а € [а]. Обозначим множество этих представителей той же буквой А. Для упрощения обозначений (и без ущерба для общности) можем считать, что все Т сфероиды а € А имеют один и тот же размер т = (т,..., т). Для каждого элемента а € А возьмем по одному экземпляру Т куба (/«'(а), ¿то''(а)) = (/т', ¿т ). В каждом из этих Т кубов все точки границы д/т'(а) склеим в одну точку Оа, сохранив толерантность этой точки со всеми точками

1 £>(а) <д/^(а) > \д/^(а),

то есть со всеми точками, которые были толерантны точкам границы. Получившееся пространство обозначим через ($т'(а), 1 то'). Для каждого а € А возьмем еще по одному элементу ха € В и и $т'(а). Определим

а€А

толерантное пространство (X, тх) с базисным множеством

X = В и и (а) и и {Ха}

аА

аА

и отношением толерантности тх таким, что

(У&1,&2 € В) &1тх&2 ^^ &1т&2;

уд =

'кг (а)'

т

€ 5^(а) тх <д>

г=1,п

=а

к' (а)

г=1,п

к' (а)

г=1,п

(а) — кг(а)| ^ 1, г = 1,п > и {ха}.

т

т

При этом в (1) и далее действует соглашение

((Зг = кг(а) G{0,m}) (^)i=Tn = O«.

Заметим, что из (1) следует

TX < Ха >= sm (а) и {x«}. (2)

Таким образом, (В,т) и {(Sm\a), ¿m"))}aGA — подпространства в (Х,тх).

Рассмотрим произвольный элемент [в] G nq(X, В, x0) и его произвольный представитель — относительный Т сфероид

вр : (iPq), iPq-1), 4q-1)) (X, В, bo), 1 ^ q ^ n.

Наша ближайшая цель — показать, что в классе [в] найдется представитель, т.е. относительный Т сфероид, толерантно гомотопный Т сфероиду в, все значения которого лежат в В. Но сначала покажем, что в классе [в] найдутся представители вР такие, что для всех а G A ха G im вР. Предположим, что (За G A) ха G im вр. Т куб Ipq состоит из простых Т кубов, представляющих набор соседних, толерантных между собой вершин. Для этих простых Т кубов договоримся в кратком обозначении:

4q)(k){(^)i=Trqh = 0,1,г = 1,q} с ipq\

к = (к1,... ,кд),к = 0,р,% = 1,д.

Заметим, что шр\к) — классы толерантности пространства (^,1^). Будем обозначать через шр\к') грани размерностей £ ^ д кубов шр\к). Определим вспомогательные подмножества простых Т кубов и их точек:

Up0 = Hq)(k)\ki = 0,p,i =1,q,xa G вр(^Р1](к))}, Up = U uPq)(k),

т0

/ р {^р (k) \ki г 1, Ха G вр(^р „ , , , r

4q) (k)GU0

V0 = Hq)(k)\ki = 0,p,i = 1,q,Xa /вр u?(k))}, Vp = U J?(k).

4q) ( k)GV0

В наших предположениях ир и у — это непустые подмножества в /р9'. Так же очевидно, что непустым будет и их пересечение Wp = ир П Ур. Из определения отношения тх следует, что

(3)

и при этом Wp состоит из точек простых Т кубов размерности (д — 1), являющихся (д — 1)-мерными гранями кубов из ир° и Ур0. Обозначим это множество (д — 1)-мерных кубов через Wp). Из определения отношения тх (см. (2)) следует, что замена всех значений вДЦД^^ на ха дает новый относительный Т сфероид просто гомотопный исходному в. Это позволяет без ущерба для общности считать, что

вp|(Up\Wp) = Ж£

(4)

Обозначим через и' топологическое подпространство д-мерного куба Iя = [0,1]я, состоящее из топологических кубов ¡¡'(я'(к), натянутых (в смысле выпуклой линейной оболочки) на точки Т кубов ¡¡^'(к) € Up). Тогда и' — д-мерный полиэдр. (д — 1)-мерные топологические кубы, натянутые на Т кубы из Wp), образуют (д — 1)-мерный полиэдр W' с и'. Таким образом, имеем полиэдральную пару (и', W'). Действуя аналогично предыдущему, по толерантному пространству ($ш'(а), 1 т') построим топологическое пространство 5'( п'(а), склеенное из евклидовых кубов, натянутых на простые Т кубы пространства (5т'(а),1 т') (часть этих кубов вырождается в «пирамиды», если они содержат точку Оа). На рисунке пространство 5'( п'(а) изображено схематически для п = 2.

Пространство 5'^'(а) гомеоморфно топологической сфере 5П.

Для каждого (д — 1)-мерного простого Т куба ¡ря—^(к) € Wp) точки образа вр(ыря 1'(к)), ввиду (3) и толерантности вр, являются подмножествами простых Т кубов в 5ш'(а) (или Т кубов, вырожденных в «пирамиды», если Оа € вр(ыря 1'(к))). По линейности эти отображения продолжаются до непрерывных отображений, натянутых на них топологических кубов в' : ¡'я—1(к) —> 5'( п)(а). Эти непрерывные отображения

согласованы на границах кубов, и поэтому склеиваются в непрерывное отображение в' : W' —^ 5'( п)(а). Поскольку топологическое пространство W' С Iя представляет собой (д — 1)-мерный полиэдр с д ^ п, то его п-мерные когомологии тривиальны Hn(W') = 0, что позволяет воспользоваться теоремой Хопфа о распространении (см. [6], гл. II, п. 8, теорема Рп), из которой следует существование непрерывного отображения в'' : и' —> 5' (п)(а), продолжающего в', т.е. в''^' = в'^'. Отсюда, в частности, следует, что

в''^ = в'^ = вp| Wp. (5)

Возьмем теперь произвольное натуральное число ё, и рассмотрим ¿-кратное двойное замедление

вр : (IPя),IPя-1), JPя-1)) —^ (X, В, Ьо), Р = 2^ • р,

Т сфероида вр. Т куб IpЯ) получается из IPя) разбиением всех его простых Т кубов, имеющих длину ребра р, на простые Т кубы с длиной ребра

^т". Назовем эту процедуру 2^-измельчением. Обозначим через иР и ^р 2

результат 2^-измельчения, примененного к ир и ^р соответственно.

Пространство (5т) (а), 1^) по определению получается из (!т),1то)) склейкой всех точек из д!т) в одну точку Оа. Отображение склейки

• (^rn^,1 rn,)) ^ (^тоН^,1 rn,)) является Т сфероидом в пространстве

,1 mn

) с отмеченной точкой

Оа. Возьмем его d-кратное двойное замедление

^м • (Ii?), 1МП)) (Sln)H, iLn)), M = 2d • m.

Толерантное отображение ^M определяет отображение

• (¿M(a),iMn)) (S£°(a),i Ln)),

делающее коммутативной следующую диаграмму:

г ( n) о (

JM " °ш (а)

SU'i«)

Топологическое пространство S( n)(a) с помощью вложенного в него толерантного пространства (S(^)(a),i Щ^) разбивается на евклидовы кубы (и «пирамиды») с вершинами из

Sin)(a) = (iinV/ln)) U (О«}. Пусть Imax и /min — максимальная и минимальная длины ребер этих кубов (и «пирамид») при представлении пространства S/(n)(a), изображенном на рисунке. Выполняя процеуру 2^-измельчения всех кубов в /т), получим измельченное разбиение топологического пространства S/(n)(a) на кубы (и «пирамиды») с максимальной длиной ребер /max/2d, которая может быть сделана сколь угодно малой при возрастании d. В результате получаем вложение точек толерантного пространства ¿^(а) в топологическое пространство S/(n)(a), удовлетворяющее следующим свойствам:

(г) все точки ^м)(а), попадающие в кубическую область, с длиной ребер, не превосходящей 1тп, при отображении ам,т отображаются в толерантные между собой точки пространства ^¡п\а), );

(гг) &м,ш о в'Шр)= вр\(Жг) (6)

Свойство (г) легко следует из свойств двойного замедления. Проверим свойство (гг). Так как Wp является результатом применения процедуры 2^-измельчения к Wp, то по определению W' имеем WP С W'. Способ построения в' на W' показывает, что в' (Шр) получается 2^-измельчением из в'(Щ'р) = в(Щ'р). Поэтому применение к в'(^Р) отображения ам$ дает отображение ам,т о в' на WP, удовлетворяющее (6).

Формула (5) и приведенные в предыдущем абзаце рассуждения показывают, что имеет место свойство

ß''(Wp) = ß'(Wp) с S^ia] с S'(n)(a), (7)

с S (U

An)i

которое может нарушаться на всем UP, т.е. ß"(UP]CSM'(a). В этом случае отображение ß" следует переопределить там, где включение нарушается. Сделать это можно небольшим движением в пределах куба, натянутого на простые кубы из S^ia). Искомое отображение обозначим следующим образом: ß'P : UP —> S^ia). Если точка Q = (pi) Е Up такова, что ß"(Q) Е S^ia), то полагаем ß'P(Q) = ß"(Q). Если же ß'P(Q) Е S^ia), тогда в разбиении пространства S'(n)(a) на кубы с вершинами в S^ia) возьмем куб ш' минимальной размерности, чьи внутренние точки содержат ß''(Q), т.е. ß''(Q) Е Int ш' (такой куб ш' существует, однозначно определен, и его размерность больше нуля). Зафиксируем в этом кубе ш' любую его вершину R Е S^ia), и положим ß'P (Q) = R. Определенное таким образом отображение ß'P : UP —> S^ (a) по построению обладает свойством (см. (7)):

ß''l(Wp ) = ß''l(Wp ) = ß'l(Wp). (8)

Поскольку непрерывное отображение в'' на компактном множестве и 'с Iя С Кя является равномерно непрерывным, то можно выбрать достаточно большое ё так, чтобы точки любого простого куба а С Цр имели бы значения вр(¡), лежащие в прямоугольной области с размером ребер, не превосходящим /шш. Тогда по свойству (г) отображение ам,т ◦ вр, определенное на толерантном подпространстве (ир,4^) С (Iря), 1р^)) со значениями в (¿^(а), 1^), является толерантным. Из свойств (8) и (6) следует, что

◦ вР1№) = вР1№). (9)

Согласно свойствам двойного замедления имеем толерантную гомотопность Т сфероидов (см. [3])

вр ^ вр. (10) в

Как уже отмечалось выше (см. (4)), замена всех значений вр(ир\^р) одним значнием ха дает новый относительный Т сфероид вр, просто гомотопный исходному:

вр« вР. (11)

Определим новое отображение 7Р : !р) —> X формулой

7Р(С) = ( вР? € иР; (12)

◦ вР (С), С € ир.

Тот факт, что в — относительный Т сфероид, толерантность отображения ам,т ◦ вр на ир и свойство (9) показывают, что 7р — относительный Т сфероид. С помощью (2) легко проверяется простая Т гомотопность.

7р « вР. (13)

Из (10), (11), (12) следует, что [вр] = [7р], а из (12) получается, что значения Т сфероида 7р не содержат элемента ха. Отсюда, ввиду произвольности а € А, следует, что в классе [вр] € пя(X, В,Ь0) имеется представитель 7р € [вр] такой, что

7р : (!(я)Д^, 4я—1)) —^ (В и и 5тп)(а),В,Ьо).

аел

Определим отображение r • B U U ¿Шп)(а) - ^ B формулой

«gA

r(Q) =

Q, Q e B;

.J , Q = (^Ш1)e Smn)(a).

/ г=l,n / V / i=l,n

С помощью (1) легко проверяется, что г — толерантное отображение и что

г « Хви и (а).

аеА

Отсюда следует, что

г ◦ 7р « 1ви и 5&>(а) ◦ 7р = 7р.

аеА

Это значит, что в классе [вр] = [7р] имеется относительный Т сфероид г о ^р такой, что г о ^р : — (В,В,60). Отсюда, применяя теорему 5 из работы [7], получаем [вр] = [г о 7р] = [е6о] — нейтральный элемент группы пя(X, В, 60). Таким образом, мы доказали, что

(Уд = 1, п) Пя(X, В, 60) = 0. (14)

Для пары толерантных пространств (В,т) С (X, тх) имеются фрагменты точной гомотопической последовательности (см. [7], теорема 7) следующего вида:

В, 60) — пДВ, 60) — П^, 60) —

- п^ВА) — ПЯ—1(В,60). (15)

Точность последовательности (15) и (14) доказывают свойство 3):

(Vq = 1, n - 1) inq • щ(B, bo) = П(X, bo),

и одновременно показывают сюрьективность гомоморфизма in„ • nn(B, bo) —» nn(X, bo). Рассмотрим ifn([а]в) = [i о а] = [а]х, где в правой части а рассматривается как Т сфероид в (X, тх). Чтобы

упростить дальнейшие выкладки, воспользуемся тем, что Т сфероид можно представить в виде многомерной кубической таблицы своих значений. Изобразим условно (в предположении п = 2) таблицу значений Т сфероида а в виде квадрата

, уЬо а ' '

на границе которого все значения тождественно равны Ьо. Этот сфероид по определению гомотопности Т сфероидов будет гомотопен Т сфероиду а'т+2 размера т + 2 следующего вида:

Ьо а'т+2 — а.

а

т+2

С помощью (1) легко проверяется, что Т сфероид а'т+2 будет просто гомотопен Т сфероиду а'^+2 вида

■ Оа а'т+2 ~ а'т+2(ге1 д11г++2). Ьо

а

т+2

Опять же, с помощью (1), убеждаемся, что Т сфероид а"т+2 просто гомотопен Т сфероиду а',^+2 вида

Оа а'т+2 ~ а"т+2(ге1 д1\пП^2),

Ьо

а

т+2

где все значения внутри внутреннего квадрата тождественно равны ха. Т сфероид а'т1+2 просто гомотопен Т сфероиду а^+2

а

т

т+2,

а

IV

т+2

IV

который, в свою очередь, просто гомотопен постоянному: атг+2 ~ (£ь0)т+2- Тем самым доказано, что гПп([а]) = [еЬо] — нейтральный элемент в группе пп(Х,Ь0). Это значит, что гПп — тривиальный (нулевой) гомоморфизм, так как элементы [а] Е А порождают всю группу пп(В,Ь0). Отсюда, ввиду сюрьективности гПп, получаем, что пп(Х,Ьо) = 0.

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для произвольного пунктированного линейно связного толерантного пространства ((В,т), Ьо) и произвольного п Е N существует пространство (Х,тх) такое, что

1) (В,т) — подпространство пространства (Х,тх);

2) (Уд > п) пч(X, Ьо) = 0;

3) (Уд = 1, п) : пч(В,Ьо) = пч(Х,Ьо), где г : (В,т) ^ (Х,тх))

вложение.

Доказательство

В предложении 3 в качестве фиксированного натурального числа возьмем п +1. Тогда существует пространство (Х\,тх1), имеющее (В,т) в качестве подпространства, такое что пп+1(Х, Ьо) = 0 и

(Уд = 1, п) (гЛ)пч : (ХиЬо) = П(В,Ьо), где ц : (В,т) ^ (Хх,тх,).

Теперь в предложении 3 в качестве (В, т) возьмем (Х\, тх1), а вместо п — число п + 2. Тогда существует пространство (Х2,тх2), имеющее (Х\,тх1) в качестве подпространства, и такое, что пп+2(Х2, Ьо) = 0 и

(Уд = 1,п + 1) (г2к : пч(ХиЬо) = П(Х2М), где г2 : (Х!,тх,) ^ (Х2,тх2).

Продолжая эти построения, получим последовательность толерантных пространств {(Хг, тХг )}г=о^ таких, что (г) (Хо,тхо) = (В,т);

(гг) (Уг ^ 1) (Хг-1,тхг-1) — подпространство в (Хг,тхг); (ггг) (Уг ^ 1) пп+г(Хг, Ь0) = 0;

(гг) Уд = 1,п + г - 1 (ггк : П(Хг_ь6о) = П(Хг, Ьо),

V : (Хг_1,тхг_1) ^ (X ,тхг). Рассмотрим X = и Хг и определим толерантность тх С X х X:

г^О

Х1тхX (Зг ^ 0) Ж1,Ж2 е Хг, Х1тхгХ2.

Это определение показывает, что все (Хг , тХг) — подпространства в (X, тх). Вложения : (Хг , тХг) ^ (X, тх) индуцируют гомоморфизм

О'г )п„

Покажем, что для д < п + г эти гомоморфизмы являются изоморфизмами. Пусть [ат]х е пг(X, Ь0) и ат : (Т^, ) —^ (X, Ь0) — Т сфероид в пространстве (X,тх). Так как ат(/тг)) — конечное множество, то найдется й ^ 0 такое, что ат(/т')) С Xг+s, т.е. ат можно рассматривать как Т сфероид в пространстве ^^^х^,), определяющий элемент [«т]хг+8 е Пг(Xг+s,bо) такой, что (>+5к ([«т]хг+^ = [ат]х.

Функториальные свойства гомотопических групп и свойство (гг) показывают, что вложение ¿Г,Г+5 = ¿г+5 о ... о ¿г+1 : (Xг, тХг) ^ ^^^ тХг+8) при д < п + г индуцирует изоморфизмы

(¿г,г+5к = (¿г+8)п, о ... о (¿г+1)п, : П(Xг, Ьо) = П^г+з, Ьо). (16) Следовательно, существует [в]хг е пг(Xг,Ь0), для которого

(Чг+*к ([в]Хг) = [ат]Хг+8 .

Отсюда следует, что

(>к([в]Хг ) = (>+5 о ¿г.г+зк ([в]Хг) = О'г+зк((к+вк([в]Хг )) =

= (3г+8)пч ([ат]хг+3 ) = [ат]х. Тем самым доказана сюрьективность гомоморфизмов (Зт)Пс[, д < п + г.

Пусть теперь [ат]хг Е Пд(Хг,Ьо) и З)пч([ат]) = [(^Ьо)т] =0 в группе пд(Х,Ь0). Отсюда заключаем, что без ущерба для общности можно считать, что у Т сфероидов ат и еЬо одинаковый размер т = (т,... ,т) и существует толерантное отображение Е : (1т х IN, х ) —^ (Х,тх) такое, что

(У1 = ^М) Е| ( 1$ х |— Т сфероид в ((Х,тх),Ьо);

Е 1(1^ х {0}) = ат, Е 1(1(д) х {1}) = (еьо)^. Так как Е(I(д) х ^) — конечное множество, то существует й ^ 0 такое, что Е(I(т х ^) С Хт+а. Отсюда следует, что для вложения ггг+8 : Хг ^ Хт+а имеем (гт,т+в)пч([а т]хг) = [(£Ьо)т]хг+ь — нулевой элемент в группе пд(Хт+а, Ьо). Но так как (гТ,Т+а)П(1 — изоморфизм (см. (16)), то [ат] — нулевой элемент в группе пд(Хг, Ьо), д < п + г, что доказывает инъективность Зт)П при д < п + г, а значит, и изоморфность:

(Зт )п„ : Пд (Хг, Ьо) = Пд (Х, Ьо), д<п + г. (17)

Пусть д > п, возьмем г = (д — п) + 1, т.е. д = п + г — 1 < п + г. Отсюда, применяя (17), (гУ) и (ш), получаем свойство 2):

Пд (Х, Ьо) = Пд (Хт, Ьо) = Пд (Хт—1,Ьо) = п п+(т—1)(Хт—\,Ьо) = 0.

Если же д ^ п, то, взяв г = 1 и воспользовавшись (17), (гУ) и (г), получим свойство 3):

Пд (Х, Ьо) = Пд (ХЪЬо) = Пд (Хо, Ь^) = Пд (В, Ьо) . Предложение 4 доказано.

Пусть теперь (Х, т) — произвольное толерантное пространство с отмеченной точкой Ьо Е Х, (Р(Х,Ь0), кх) — пространство Т путей пространства (Х,т) с началом в точке Ьо.

Согласно теореме 1, толерантное отображение

Р : (Р(X, Ьо), кх) —> (X, т), р(ш т / Шт (1)

является толерантным квазирасслоением, чьим слоем над точкой Ь0 является пространство Т петель

р-1(Ьо) = (ОДЬо), кх)

с отмеченной точкой £1 е П^, Ь0) С Р(X, Ьо), где £1 — тривиальная петля в точке Ь0 единичной длины.

Пусть (В,т) — подпространство в (X, т), содержащее отмеченную точку Ь0 е В. Обозначим через (Р(X, В,Ьо), кх) — подпространство в (Р(X, Ь0), кх) — такое, что

Р(X, В, Ьо) = {Шт е Р(^боМ^т) = ^т(1) е В}.

Легко видеть, что отображение

рв = р|Р(X, В, Ьо) : (Р(X, В, Ьо), кх) (В,т)

является толерантным. Далее заметим, что в доказательстве теоремы 1 главным пунктом является построение квазинакрывающей функции, которое допускает замену е РМ (X) на е РМ (В). Это значит, что отображение рв является толерантным квазирасслоением со слоем

р-1(Ьо) = (^А), кх), с отмеченной точкой £1 е П^, Ьо) С Р(X, В, Ьо).

Теорема 2. Для любого линейно связного пространства (В,т) и любого натурального числа п е N существует п-связное толерантное квазирасслоение р : (Е,т) —^ (В,т).

Доказательство

Выберем точку Ьо е В и рассмотрим пространство (X, тх), удовлетворяющее свойствам 1)—3) предложения 4. Как было отмечено выше,

имеются два толерантных квазирасслоения

р : (Р(X, Ьо), кх) (X, тх) и рв : (Р^ВА), кх) (В,т)

с одним и тем же слоем р-1(6о) = р-1(6о) = («(X, 6о), кх) и одной отмеченной точкой £1 е «^А). Точные гомотопические последовательности этих толерантных квазирасслоений (см. [4], теорема 2) дают следующую коммутативную диаграмму:

(кВ )п„ п9(Р(х,В,6о),£1) ^ (в,Ы

^.п, (П(х,Ьо),£1)-

п,

гп п,_1(п(х,Ьо),£1

'9

п,(Р(х,Ьо),£1) -^^ п,(х,Ьо) ^д,

(18)

где г, ^, к, кв — вложения, д, и д, связующие гомоморфизмы гомотопических последовательностей. Согласно предложению 2 пространство (Р(X, Ьо), кх) является условно толерантно стягиваемым. Отсюда по предложению 1 получаем, что

(Уд > 0) п,(Р(X, 6о), £1) = 0. (19)

Из (19) и (18) следует, что

(Уд > 0) д, : п,^А) = п,-^«^, 6о), £1). (20)

Для д > п, с помощью (20) и свойства 2) предложения 4, получаем

п,(«(X,Ьо),£1) = пч+1 (X,6,,) = 0, П,-!^^,6о),£1) = п,(X,Ьо) = 0.

(21)

Из (21) и (18) следует, что

(Уд > п) (рв)п, : п,(Р^ВА),^) = п,(В А). (22)

Если д ^ п, то, согласно свойству 3) предложения 4, гп, — изоморфизм. Отсюда, учитывая (20), получаем

(Уд ^ п) д, = д, о ¿п, : п,(В, 6о) = п^ОД 6о), £1). (23)

Из (23) и точности верхней строки в (18) следует:

(Уд ^ п) 1ш (рв)п, = кег д, = 0, т.е. (Уд ^ п) (рв)п, = 0; (24)

(Уд ^ п) 1ш д, = п,-^^, 6о), £1) = кег(кв)*,_!. (25)

(25) означает, что (Уд ^ п) (кв)Пд-1 = 0, т.е.

(Уд < п) 0 = 1ш (кв)п,_1 = кег(рв)п,_1. (26)

Из (24) и (26) следует, что (Уд < п) (рв)п, = 0 и (рв)п, — инъективен. Это значит, что

(Уд < п) п,(Р(X, В, 6о), £1) = 0. Для д = п из (21) и свойства 2) предложения 4 следует, что

п^П^А ),£1) = п^^Л)^,

и это по-прежнему означает, что (кв)п„ = 0, и тем самым, что (рв)п„ — инъективен, а с учетом, (24), что пп(Р(X, В, 6о), £1) = 0. Таким образом, имеем

(Уд ^ п) п,(Р(X, В, 6о), £ 1) = 0. (27)

Так как в определение п-связного квазирасслоения входит условие линейной связности пространства расслоения, то для получения этого свойства возьмем компоненту линейной связности Е пространства (Р(X, В,6о), кх), содержащую точку £1 е Е. Получившееся подпространство в (Р(X, В,6о), кх) обозначим (Е,т) и рассмотрим отображение р|Е : (Е,т) —^ (В,т), которое является квазирасслоением, как это следует из способа построения квазинакрывающей функции в теореме 1. Тогда из (27) следует, что пространство (Е,т) является п-связным, а из (22) следует, что (Уд > п) (р|Е)п, : п,(Е,£1) = п,(В,6о), т.е. р|Е : (Е,т) —^ (В,т) — п-связное толерантное квазирасслоение.

С помощью точной гомотопической последовательности для п-связного толерантного расслоения р : (Е,т) —^ (В,т) легко получается следующее утверждение:

Предложение 5. Пусть р : (Е,т) —> (В,т) — п-связное толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство (В,т) является (п — 1)-связным. Пусть (Е = р—1(Ь0),т) — слой над произвольной точкой Ьо Е В и Ъо Е Е — его произвольная точка. Тогда

Пп(В, Ьо), д = п — 1

Пд (Е,Ьо) = 10 = 1

0, д = п — 1 .

Пусть (п,п) — пара, где п Е N а п — произвольная группа для п = 1 и П — произвольная абелева группа для п > 1.

Определение 7. Линейно связное толерантное пространство (Х, т) назовем толерантным пространством типа (П, п), если

П, д = п

Пд ) = п = '

0, д = п.

Таким образом, в предложении 5 утверждается, что слой (Е,т) является пространством типа (пп(В),п — 1).

В следующей теореме строится толерантный аналог последовательности Мура—Постникова (см. [1], гл. 8, §3).

Теорема 3. Пусть (Х, т) — произвольное линейно связное и одно-связное толерантное пространство с отмеченной точкой х0, тогда существует последовательность толерантных отображений

... 4 (Еп—1,тп—1) ^ (Еп—2,тп—2) ^ ... 4 (Е1,т1) = (Х,т) (28)

таких, что (УЗ ^ 2) р^ : (Е)) —> (Е)—1,т^—\) — з-связное толерантное квазирасслоение. Каждый слой (Е^) толерантного квазирасслоения pj : (Е)) —> (Е^—\,т^—1), з ^ 2 в данной последовательности является толерантным пространством типа (пj(Х),З — 1), а отобра-

жение рпо.. .ор2 : (Еп,тп) —> (Х,т), з = 2,п индуцирует изоморфизмы гомотопических групп П{(Еп) = П{(Х), г > п.

Доказательство

Из определения 6 для двух последовательных индексов j и j _ 1 следует, что

(Vi = 1, j) ) = 0, (Vi = 1, j — 1) 1) = 0; (29)

(Vi>j) (pj)ni : )- ni(Ej—1). (30)

Если i < j — 1, то из точной гомотопической последовательности квазирасслоения pj (см. [4])

ni+i(Ej—1) —> ^»(Fj) —^ n(Ej ) —^ п (Ej_i) —^ ...

и формул (29) следует, что

(Уг = 1,; - 2) ) = 0. (31)

Если г = ; - 1, то из точной гомотопической последовательности для р^ и формул (29) получаем фрагмент точной последовательности

0 = П(Е) -А п (Е,--1) -А п^-) -А П-1(Е-) = 0, откуда следует, что

П-^- ) = П (Е^). (32)

Если г = ;, то формулы (30) и (29) дают фрагмент точной гомотопической последовательности

п?+1(Е) А п^+1(Е^--1) П)) П(Е) = 0, из которой следует, что

П (^) = 0. (33)

Если г > ;, то с помощью (30) получаем точную последовательность

Пг+1(Е_7) А Пг+1(Е^--1) -> П^) -> Пг(Е? ) А Пг(Е^-1),

откуда следует, что

(Уг>з) П{(^) = 0. (34)

Наконец, заметим, что из (30) получается цепочка изоморфизмов

П Е—1) = Пj (Щ—2) = ... = П (Е2) = ^ (Е1) = ^ (Х). (35)

Формулы (31)—(35) доказывают, что пространство (Еj ) имеет тип (пj(Х),] — 1), и доказывают изоморфизмы, указанные в теореме.

Как и в алгебраической топологии, толерантные последовательности Мура—Постникова предоставляют аппроксимации толерантных пространств, которые являются удобным инструментом для доказательства самых разнообразных утверждений. В частности, с помощью таких последовательностей доказывается обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств.

Библиографический список

1. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М. : Мир, 1971.

2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 15—30.

4. Небалуев С. И., Сусин М. Н. Точная гомотопическая последовательность толерантного квазирасслоения пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6. С. 62—79.

5. Небалуев С. И., Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 93—106.

6. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М. : Мир, 1964.

7. Небалуев С. И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевский сборник : тр. VI междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5, вып. 3. С. 82—97.