Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, Е.В. КОРОБЧЕНКО, М.Н. СУСИН

Пунктированные толерантные кубические сингулярные

гомологии

В статье излагается обобщение результатов работы [1]. Пусть (X, т)

— линейно связное толерантное пространство, (А, т) — линейно связное подпространство в (X, т).

Определение 1. Толерантный сингулярный (ТС) куб и :

(и и \

х 1т., х ьтЛ ^ (X, т) будем называть А-пупктрироваппым, ес-

г=1 г=1 у

ли все его вершины лежат в подпространстве (А,т), то есть

(V = 0, п, г = 1, п) и(^,..., еп) е А.

Заметим, что Х-пунктированные ТС кубы — это произвольные ТС кубы, а пунктированные ТС кубы в пунктированном пространстве ((X,т),х0)

— это {ж0}-пунктированпые ТС кубы.

Обозначим через О1^) = {О^(X),дп}п>0 — цепной комплекс А-пунктрнрованных нормированных толерантных кубических сингулярных (ТКС) цепей, который строится способом, описанным в [1] для случая А = {ж0}. Его гомологии обозначим ) = ф Н,1^). В работе

п>0

[1] гомологии Нх (X) обозначаются Н$ (X), а гомологии Н^^^) обозначены Н"(X). В этой же работе доказана естественная изоморфность функторов и Н" категории линейно связных толерантных подпространств. Наша цель — показать, что Н $ и ) естественно изоморфны на категории линейно связных пар (X, т), (А,т). Из теоремы 1 в статье [4] легко получить следствие:

(Ух е (X)) (V е М) г0{,) ~ 2;

(1)

(V/ : (X, т) (У,0)) /(А) С /(В) (Сп(/)(*)) £ Сп(/)(*), (2)

где ~ означает гомологнчность в комплексе, а 0(1) обозначается процедура окаймления, которая на свободных образующих определяется с помощью формулы

п°(1) : ( X 1т.+21, х 1т.+2Л ^ (X, т)

\ i=1 г=1 I

(^ = 1,и,кг = 0,тг + 21) п°(1) ( (т+О^) = п ((тг (mi, к))

0, к - 1 < 0; г(т^ I, ki) = ^ к - I, 0 < к - I < mi; mi, ki - I ^ т^

(3)

п п

Рассмотрим теперь произвольный ТС куб п : х 1т., х 1т.

V i=l i=l

—>

^ (X, т). Вершины ТС куба п имеют вид п(е) £ X гДе £ = (£1,..., £п) £

п п

£ х{0,1}, т.е. £ — некоторая вершина Т куба х 1т.. Для каждой вер-

i=l

шины п(ё), в виду линейной связности пространства (X, т), имеется Т путь

: (1тЫ,1тЫ) (X,т), ^'и)(0) = п(£), ^'и)(1) £ А, (4)

соединяющий вершину п(£) с подмножеством А С X. Среди всех Т путей, удовлетворяющих свойствам (4), выберем и зафиксируем один из них для каждой вершины п(£). Рассмотрим максимальную длину таких путей:

М(п) = тах {т(£, п)}.

п

ё€х{0,1}

Имеют место очевидные свойства:

(М = 1"П) = 0,1) М(^(п)) < М(п); (5)

если и — А-пупктировапный М(и) = 0.

81 (6)

Теорема 1. Пусть (А,т) С (X, т) — пара линейно связных про-

(и П \

х 1т., х ьтА ^ (X, т)

¿=1 ¿=1 у

м каждого числа т £ N и {0} такого, что т ^ М(и)7 существует ТС

рв

(и и \

/то х х /то.х х ¿ТОА ^ (X,т),

¿=1 ¿=1 у

удовлетворяющий следующим свойствам: (А.1) (и,т))= и°(т);

(и,т)) — А-пунктированный ТС куб; (А.З) если и — А-пунктированный ТС куб, то V(и,т) вы,рожден по первому аргументу и V(и,т) = и°(т);

(Уг = 2, п + 1)(У£ = 0,1) ^(V(и,т)) = V ^т^-^А^ если и — вырожденный ТС куб, moV(и,т) — вырожденный ТС куб.

Доказательство

Каждый Т путь ы(е'м) заменим его продлением до длины т ^ М(и), добавив постоянный участок пути подходящей длины. Договоримся сохранить (для краткости обозначений) для этих продленных путей те же обозначения ы (е'м).

__и

Каждая грань Г размерноетн п — й (й = 0, п) Т куба 1т = х 1т.

¿=1

(т = (т1,..., тп)) задается следующим образом:

Г = {(Ж1, . . . ,Хп) £ 1ш|(У; = 1, й) = ,

и однозначно определяется фиксированным набором различных индексов г1,... £ {1,...,п} и фиксированным набором ,...,£ {0,1}. При этом индексы г1,... , ¿з и чпела ,... , , однозначно определяющие

грань Г та зависят от размера т = (т1,..., тп) Т куба /т. Так же не зап

висят от размера т = (т1,..., тп) и вершины (е1,..., £п) £ Г П х{0,1}

этой грани Г. Поэтому грани Г в Im при различных m, определяемые одними и теми же наборами ii,..., is; £i1,..., будем обозначать одинаково. Обозначим через Г(и) множество граней Г в которые обладают свойствами:

1) u|r = const = и(ё), где ё — любая вершина грани Г; Г

Положим теперь u(0) = u и определим ТС куб

u(i) : х 1Шг+2, х 1

^ (Х,т), | VP

\i=i i=i /

.¿У ^e Д Im*+21 •

u(i)(p} = i (u(0))0(1)(P), (W e Г((и(0))0(1))) P / Г; u ( £), (ЗГ e Г((и(0))°(1)}) P e Г, ё e Г nX{0,1}.

(7

Формула (7), определяющая п(1) проиллюстрирована на рисунке для случая п = 2, Г(п) состоит из двух 0-мерных граней (вершин) (0,1) и (1,1) и одной 1-мерной грани с параметрами г1, = £2 = 0.

UJ

((0,1),«)/

It-*— \ll II

н—>-•-

II I

71

LO

((1,1),«)/

UJ

((0,0),«)/

Ш=1= :::

Далее проведем индукционное построение по 1 = 0, т - 1 с общим шагом следующего вида:

п(т) : ( х /тг+2(г+1), х ¿тг+2(Ш) ) ^ (X, т),

\г=1 г=1 }

ур =( тг|гпу) ^е Д 1»-+2(1+1)

и(Ш)(Р) = / («И)°(1)(Р), е Г((«(Т(1))) Р е Г;

( ' ш(г-">(ш), (ЗГ е Г((и(,)]°(1>)) р е Г, г е Г пХ{0,1}.

' (8)

Затем строим новые ТС кубы ^ : I х /т4+2т, х ¿т,+2т I ^ (X, т) :

\г=1 г=1 у

„«) = Л/Л0(га—4, г = <тт.

Наконец, искомый ТС куб V(и,т) определяем формулой:

(« =(УР = (тт+Ы ,=т, е X V(и, т) (т Р) = V(1)(р)

О)

Из толерантности ы(е'м) и построений приведенных выше, следует толерантность отображения V(и,т), определенного формулой (9). Свойство (А.1) очевидно. Свойство (А.2) следует из (8) и (4). Свойство (А.З) следует из (8) и того, факта, что для А-пупктироваппого ТС куба и все Т пути ы(е'м) = сопй£м(£) постоянны. Свойство (А.4) следует из построения с учетом того, что всякая грань из Г(^(и)) включается в некоторую грань из Г(и). Наконец, свойство (А.5) также следует из способа построения ТС куба V(и,т).

Замечание 1. Для А-пупктироваппых ТС кубов и теорема 1 формално выполняется и для т = М(и) = 0 (см.(6)), и в этом случае V(и, 0) = и. Замечание 2. Из способа построения V(и,т) в доказательстве теоремы 1 следует, что V(и, т) получается V(и, М(и)) окаймлением кратности т — М(и) в направлении всех граней кроме нижней, то есть

V(и,т) I —, к

т \чт + 27г=т-

| V(и,М(и))(Мщ,(Щ.+2М(и)г(т + 2М(и),т - М(и), к*)).=_) , к = 0, М(и); | V(и,М(и))(\(т^+21М(и)г(тг + 2М(и),т - М(и), , к = М(и), т.

г=1,П (Ю)

Из (10) в частности следует, что

¿¡(V (и,т)) = (¿¡(V (и,М (и))))0(т-М (и)). (И)

Теорема 2. Длл всякой пары (А, т) С (X, т) линейно связных толерантных пространств группы Н(X) = ф Нп(Х) ТКС гомологий и

группы НА(Х) = ф НА(Х) изоморфны:

(Уп ^ 0) НА(Х) = НП(Х),

м этот изоморфизм естественен на категории пар линейно связных толерантных пространств.

Доказательство

Рассмотрим гомоморфизм вложения нормализованных ТКС цепей

р = {рп : СА(Х) ^ СП(Х)}, рп(и + я£(Х) = и + £П(Х).

Очевидно, что гомоморфизм р является цепным и естественным, и следовательно индуцирует естественный гомоморфизм р* : НА(Х) —> —> Н(X). Покажем, что р* является изоморфизмом. Для этого построим гомоморфизм, обратный к р*. Сначала определим отображение

ф = {фп : С(Х) СА(Х)}. Пусть с = Е а,и, + Рп(Х) — произвольная нормализованная ТКС цепь.

г

Пользуясь обозначениями теоремы 2, определим (см. также (11))

М (с) = {М (и,)|а, = 0}; (12)

фп(с) = фп (Е а,и, + ЩХ)) = Е (V (и,,М (с))) + РА(Х) =

гг

= £ а,¿¡(У (и,, М(и,)))°(м<с»-м<»'» + ДА(Х).

Свойства (А.2) и (А.5) из теоремы 1 показывают, что отображение ф определено корректно и его значения лежат в ). Из (13), (12) и

замечания 1 после теоремы 1 следует, что

ф|сА(х) = 1 ). (14)

Рассмотрим теперь границу

п

д„(с) = ^ ади + Яп-х(Х) = ^ а ^(-1)' - + ^(Х) =

г г '=1

п 1

= ЕЕЕ «■(-1)7^

г '=1 е=0

В последней сумме некоторые из слагаемых могут взаимно сокращаться или могут оказаться вырожденными. Пусть индексы всех таких слагаемых образуют множество 52 С {¿|аг = 0} х {1,... ,п} х {0,1}. Оставшиеся индексы обозначим через 51 = {¿|аг = 0} х {1,..., п} х {0,1}\52. Тогда имеем

^ (-1)^0^ + Яп-1(Х) = 0. (15)

Из (15) и свойства (А.5) следует, что

^ (-1)'+£М1(У(^иг, М(с))) + £>А_1(Х) = 0. (16)

Применяя теперь (5), (15), (13), (11), (16), (А.4), получаем

(фп-1(дпС))°(М (С)-М (5«С)) = (фп-1 (£ + ^))°(М (С)-М (5«С)) =

= (Фп-1(£))°(м (с)-м =

^ аг(-1)'+£(^1(У(^и, М(дпс))))0(м(с)-м(д«с)) + )

^ аг(-1)'+£(^1(У (^ и,М (с))))+

V

+ £ а,(-1)2+£ (¿¡(V Ц£и,,М (с)))) + ^^-¡(Х)

п 1

= ЕЕЕ (и,,М (с)))) + ) =

, 2=1 е=0 п 1

= ЕЕЕ а,(-1)2(и,,М (с)))) + ^ (X) = дп(фп(с)),

, 2=1 е=0

где для краткости записано дпс = Е + Е. Итак, имеем квазицепное

«1 «2

свойство:

(фп-1(дпС))°(М (С)-М (дпС)) = дп(фп(с)). (17)

Если в (17)) взять цикл с = г е 2п(X), то получим свойство:

(Уп ^ 0) фп(2п^)) С ). (18)

Из (18) в частности получаем фп-1(дпс) е ¡(X), что позволяет воспользоваться гомологичностью (2). Из (2) и (17) следует, что

фп-1(дпс) 4 фп-1(дпс)0(м(с)-м(д«с)) = дп(фп(с)) е ).

Таким образом, получено свойство

(Уп ^ 0) фп(Вп^)) С ). (19)

Из (18) и (19) следует, что имеется корректно определенное отображение ф* = {ф*п : Нп^) —> Н,^)}, определяемое формулой

ф*п(г + Вп^)) = фп(г) + ), (20)

или более подробно, если г = Е а,и, + ), то

ф*^ (^Е а,и, + Рп(X^ + Вп^) ^ = = Ге (и,,тах{М(и,)|а, = 0})) + + В^).

Докажем, что — гомоморизм. Пусть ¿1 = ^ + ^„(Х) Е ^„(Х)

3, «3

(2)

И ¿2 = в,и, + ^„(Х) Е ^„(Х), и пусть

3

# Г-1 (1)

I = {¿|и( ) присутсвует в + ¿2 с ненулевым коэффициентом}, J = {^ | и,2) присутсвует в + ¿2 с ненулевым коэффиц иентом}, К = {¿|а4 = 0}\1, К = {;|вз = 0}\7,

У1 = £ аги(1) + £„(Х), у2 = £ в,3 + £„(Х),

¿Е/ 3 Е^

X = ^ аги(1) + £„(Х) = - ^ вз3 + £„(Х).

¿ЕК з еК

Тогда ¿1 = У1 + X, ¿2 = У2 - X, ¿1 + ¿2 = У1 + У2 Е ^„(Х),

М = тах{М(¿1), М(¿2)} ^ М(¿1 + ¿2) = М(у + у2), £(и(1),М)) = - £ вз^(и,2),М)).

¿Е/ 3ЕК2

Отсюда, используя гомологичность (2), получаем (см. также (11), (20). (21))

^„,(^1 + в„(х) + ¿2 + в„(х)) = + У2 + в„(х)) =

= </л,(?/1 + Ы + ) = (<М?/1 + У2))0(М-М(У1+У2» + вА(Х) = = £ м[|у (и(1), м)) + £ в,¿¡(V(«<2), м)) + ) =

¿Е/ 3'е7

= £ «4(V(и(1), М)) + £ вз^(и(2), М)) + ВА(Х) =

¿Е/иК1 з Е7иК2

= (^„Ы)0(М-М ^ + (^„Ы)0(М-М Ы) + ВА(Х) = = ^„(¿1) + + ) = ^„,(¿1 + В„(Х)) + ^„,(¿2 + В„(х)).

Теперь осталось показать, что гомоморфизмы и взаимно обратны. Из определения ^ и формулы (14) легко получается, что

О = 1нА(Х).

Чтобы доказать равенство р* о ф* = ) достаточно проверить, что

(У* е ^^)) фп(г) - г е Вп^), ^У* = Еа,и, + Рп(X) е )^ Еа,^(и,,М(*)) - Еа,и, + Бп^) е Вп(X). (22)

г г

Используя следствие работы [4], условие (22) можно переписать в эквивалентном виде:

Е а,^(и,,М(*)) - Е а,иО(М(г)) + Рп^) е Вп^). (23)

г г

Для проверки (23) воспользуемся свойствами (А.1), (А.4) и вычислим границу

дп+1 ^ Е «¿V (и,,М (*)) + Б п+1 (X)

п+1 (X)

ч г ,

^ аг(-1)г[d¡,(V(и,, М(*))) - ^(и,, М(*)))]■

г

п

£ а, ^(-1)2[¿0+1 (V(и,, М(*))) - (и,, М(*)))] + Бп^)

, 2=1

= Еа,^(и,,М(*))) - Еа,и,

0(М (г))

п 1

- ЕЕЕ(-1)2(^и,, М(*)) + Бп^). (24)

, 2=1 е=0

Так как * = Е«,и, + Бп^) е ), то

п1

д* = ^ Е Е(-1)2+£а,^5и, + Бп-^) = 0.

, 2=1 е=0

Это значит, что в этой суме слагаемые либо сокращаются, либо является вырожденными. Следовательно, в силу свойства (А.5), то эе самое имеет место в последней сумме в (24), что делает ее равной нулю. Таким образом, (24) приобретает вид:

что доказывает (23) и завершает доказательство теоремы 2.

Отметим, что теорема 2 является обобщением основных результатов работы [1], которые получаются из теоремы 2 при А = {х0}. При этом доказательство теоремы 2 оказалось значительно прозрачнее и проще. Причина такого упрощения заключается в использовании процедуры окаймления ТС кубов вместо процедуры полного двойного замедления ТС кубов. В контексте теоремы 2 процедура окаймления позволила более выгодно использовать специфику толерантных пространств, особенно в формулировке и доказательстве теоремы 1.

1. Небалу ев С. И., Кляева И. А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Изд-во„Самарский университет", 2007. Вып.

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.:Мир, 1971.

4. Коробченко Е.В. Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научи, тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6. (В печати)

(и,, М(*))) - ^ а,иО(М(г)) + Бп^),

Библиографический список

7(57).