Построение спектральной последовательности толерантного расслоения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалу ев С.И.,Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З.

4. Небалу ев С.И.,Кляева Н.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского Государственного Университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57).

5. Небалу ев С.Н. Фундаментальная группа, толерантные пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5. Вып. 3.

6. Ху Сы-цзян Теория гомотопий. М.: Мир. 1964.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА, М.Н. СУСИН

Построение спектральной последовательности толерантного

расслоения

В предлагаемой статье строиться спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения. Статья является продолжение работы [4] и наследует все ее результаты и обозначения. Нами также используется теория пунктированных толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий, развитая в работе [3].

Пусть p : ((E,T),x0) ^ ((b,t),b0) _ пунктированное толерантное расслоение с линейно связными базой (b,t) и слоем (F, Т), где F = p-1(b0). Для каждого толерантного сингулярно го (ТС) куба u :

n

х Im(i)/U\ ^ E в [4] был определен вес v (u) куб a u, удовлетворяющий

¿=1

свойствам

0 ^ v(u) ^ n = dim u, (1)

(V j = 1,^}) (V £ = 0,1) v(d^(u)) <v(u), (2)

(V j = v(u) + 1,n) (V £ = 0,1) v(d^(u)) = v(u). (3)

В группе пунктированных TKC цепей C* = C*(E) для каждого целого s G Z определим подгруппу

Cs = ( u | u — невырожденный пунктированный ТС куб, v(u) ^ s) ,

где скобки (...) означают групповое порождение. Из определения и свойств веса следует, что

s < о ^ сs = 0, у Cs = C*, Cs С Cs+1, д(Cs) С Cs,

s

а это означает, что {Cs} является возрастающей фильтрацией цепного C* C*

Cs

Cs = 0(Cs п C*) = 0 Cn.

n>о n>о

Пусть c G C* отличная от нуля однородная цепь, c = aÄ, тогда ее вес определяется формулой

v(c) = min {s G Z| c G Cs} = max {v(ui) | ai = 0} ,

и для него выполняется свойство

0 < v(c) < dim c. (4)

Фильтрацию {Сэ}, удовлетворяющую этому свойству, называют регулярной (см.[5, гл.8, п.11]).

Рассмотрим присоединенную градуированную группу

с (_/Г\ /Чэ /Чэ _/ТЛ /Чэ /Чэ $ /1

У(С ) = С , С — С /С — сп, сп = сп/сп

п> 0

и связанные с ней короткие точные последовательности цепных комплексов

0 ^ Сэ-1 ^ С5 ^ С5 ^ 0,

которые определяют соответствующие точные гомологические последовательности

Н(С5-1)-г-* Н(С5)

. ^ • (5)

к ^ Н(С5)^

Таким образом, если мы определим градуированные группы

V — 0 V, V5 — Н(С5), Е — 0Ея, Еа 1 Н(С5),

э в

то гомоморфизмы в диаграмме (5) определяют однородные гомоморфизмы степеней 1,0,-1 соответственно, которые задают точную пару (см.[5, гл.8, п.4])

Е(С*) — (V, Е; г, у, к) ,

ассоциированную с комплексом С * и регулярной фильтрацией {Сэ}.

Так как дифференциальные группы Сэ и Сэ градуированны по размерности ТС кубов и являются цепными комплексами, то на группах

V и Е в точной паре Е(С*) можно определить двойную градуировку

V — ф Vs,t, Е — ф с однородными прямыми слагаемыми вида:

Т) $ и (С $ и (ЧэЛ

При этом, гомоморфизм

г : Я5_Ш(С5-1) ^ 5) = Я5+^_1)(С5)

имеет степень ¿ед г = (1, _1); гомоморфизм

3 : Н5+(^_1)(С5) ^ + (С5)

имеет степень ¿ед 3 = (0, 0); и наконец, гомоморфизм

к : Я5+^_1)((75) ^ Я5+^_1_1(С5-1) = Я(5_1Ж;_1)(С5-1)

имеет степень ¿ед к = (_ 1,0).

Непосредственным следствием условия (4) являются следующие свойства

(Уз < 0) С5 = 0, (V* < 0) с с С5,

откуда сразу же следует, что = 0, при б < 0. А при * < 0 имеем

б + * = п ^ й — 1 ^^ Сп с Сп с Сп ^^ Сп = Сп/Сп = 0.

Итак, точная пара Е(С*) = (Д, Е; г,3,к), ассоциированная с цепным комплексом С * с регулярной фильтрацией {Судовлетворяет следующим свойствам

¿ед г = (1, _1), ¿ед 3 = (0,0), ¿ед к = (_1,0);

(Уз < 0) = 0; (5)

(V* < 0) = 0.

Согласно принятой терминологии (см.[5, гл.8, п.6]), дважды градуированная точная пара, удовлетворяющая свойствам (6), называется регулярной д-парой.

Для степеней гомоморфизмов в производных точных парах Ет(С*) = = (Дт, Ет; г(т),3(т),к(т)) имеют место следующие формулы:

¿ед г(т) = ¿ед г = (1, _1); ¿ед 3(т) = ¿ед 3 _ (т _ 1) • ¿ед г = (_т + 1,т _ 1); ¿ед к(т) = ¿ед к = (_1,0); ¿ед ¿(т) = ¿ед 3 + ¿ед к _ (т _ 1)^ед г = (_т, т _ 1),

где ¿ед ¿(т) — ](т) о к(т) — граничный гомоморфизм в дифференциальной группе Ет.

Применим общую теорию регулярных д-пар (см.[5, гл.8, п.6]) к точной паре Е — Е(С*). Введем обозначения

Н(Е) $ 0 Нп(Е), Нп(Е) $ Vn+l,-l — Нп(Сп+1);

п

^ = г*+1| ^ : ^ ^ Нв+<(Е), НМ(С) $ — ^+2+1,_1 С Нв+<(Е), г > о.

Имеется изоморфизм

Нвде)/Нв_м+1(е) ^Е-. (7)

Вложения С* С Сэ С С* индуцируют изоморфизмы

Лп+1,-1 : Нп(Е) — Нп(С*) — Нп(Е). В результате с помощью (8) получается

Теорема 1. Группа Нп(Е) имеет, фильтрацию следующего вида Нп(Е)— Нп,о(Е) : Нп_1,1(Е) : ... Э Но,п(Е) : Н_1,п+1(Е)— 0,

а присоединенная градуированная, группа УНп(С*) — УНп(Е) этой фильтрации изоморфна группе ^ Е^, при 'че.м

Н5,4(Е )/Н5_1,4+1 (Е) = Е5.

Таким образом, в нашем распоряжении имеется сходящаяся спектральная последовательность {Ет — фЕЛ! т ^ 1}, определяемая точной парой Е(С*).

Наша цель — изучение строения двух первых членов этой последовательности: 8 — Е1 и £2.

Поскольку Е = фЕв;г, а Ев,^ = Я^ДС8}, то следует начать с рассмотрения С = ^ С®/С^-1. Пусть и — свободный образующий элемент

группы С*? обозначим через [и] смежный класс [и] = и + С-1 е Св- Из свойств веса V (и} следует, что граничный гомоморфизм д в Св определяется следующим образом

п

д„([®]} = £ (-1}^ (

¿ = в+1

В [4] для всякого пунктированного ТС кубам : х /т«(и) ^ Е размерно-

¿=1

сти п = й + ¿такого, что V (и} ^ й, были определены два пунктированных ТС куба:

в в+4

¿=1 ¿=в + 1

которые обладают рядом очевидных свойств:

V(и} < й ^ Вв(и} — вырожден; (9)

и — вырожден, £ = 0 ^ Вв(и} — вырожден; (10)

и — вырож ден, £ > 0 ^ ^в(и} — вырож ден; (11)

(V; > 5}(Уе = ОД} В (^(и}) = В(и}, ^ (^(и}) = ^ (^(и}}. (12)

Согласно предложению 1 из [4], всякий пунктированный ТС куб в ((В,т}, Ь0} может быть поднят в ((Е,т},х0} до накрывающего его пунктированного ТС куба после полного двойного замедления подходящей кратности. Так как такие кратности образуют непустое подмножество целых неотрицательных чисел, то среди них имеется минимальный элемент. В связи с этим дадим определение.

Определение. Для каждого пунктированного ТС куба и в ((В,т},Ь0}

и

¿0(и} — ¿1(и}

е С*. 1.

(8)

/i(u), являющееся минимальной кратностью полного двойного замедления uv1l(u), имеющего в ((E,T),x0) пунктированный накрывающий ТС куб w такой, что p о w = uv1l(u).

Эта граница накрытия обладает очевидными свойствами:

(V/ ^ li(u)) 1i(uv1 ) = 0; (13)

(Vj = 1,dim u) (Ve = 0,1) /i(^(u)) < /i(u); (14)

/i(u) = 0 ^ (Vj = 1, dim u) (Ve = 0,1) /i(d^(u)) = 0. (15) Рассмотрим в Qn(B) подгруппу

) d ( u| u — невырожденный ТС куб из Qn(B) и /i(u) = 0 ) ,

свободно порожденную невырожденными пунктированными ТС кубами, имеющими пунктированные накрытия в ((E,t),ж0), и назовем её группой накрытых пунктированных ТКС цепей размерности n. Пусть далее

D(B) d ( u| u — вырожденный ТС куб из Qn(B) и /i(u) = 0 ) =

= Qn(B) П D(B)

Из свойств границы накрытия следует, что

dn (Qn(B)) С Qn—i(B), dn (D(B)) С D—i(B).

Таким образом, имеем цепной комплекс

Cp(B) = {Cn(B) = Qn(B )/Dn (B ),dn}n>0

накрытых пунктированных HTKC цепей, который с точностью до изоморфизма (Неттер) является подкомплексом в C"(B). Группы Zn = = Kerdn и Bn = Imdn+i назовем соответственно группами накрытых циклов и границ в Cp(B). А группы гомологий Hn(B) = Zn/Bn, n ^ 0 назовем группами накрытых ТКС гомологий пространства ((B,t),b0).

Теорема 2. Группы пунктированных ТКС гомологии Н*(В} = = ф НП(В} и группы накрытых ТКС гомологий Нр(В} = ф Н(В} изоморфны друг другу, т.е. ^п ^ 0}(3рп : Н*(В} = Нр(В}}.

Доказательство

Для произвольного однородного элемента с = ^ «¿й^ в С;(В} определим границу накрытия /1 (с} = тах {/1(и} | а = 0} , /1(0} = 0. Согласно свойствам границы накрытия, имеют место свойства

¿1(дс} ^ 11 (с}, (VI ^ 11 (с}} с^ е С£(£}}.

Определим теперь градуированное отображение нулевой степени:

р = {^п : К(£} - }}п^, ^п(г + в;} = ^^ + вр, (16)

где г е } - произвольный цикл. Для проверки корректности определения (17) возьмем два гомологичных цикла г, г' е }, г — г' = = дп+1с, с е С;+1(В}. Определим I = шаж{/1(г}, 11(г'}, 11(с}} и , воспользовавшись свойствами границы накрытия, получим

г^ — ^ = (дп+1с}^^ = дп+1(с^} е вр,

то есть имеем гомологичность гу1 £ г'^ в Ср(В}. Далее будем использовать утверждение, аналогичное предложению 7 работы [3]:

(V* е (VI е N и {0}} г— г е вр. (17)

Применим (18):

¿V/ = (^(г)^/—/^)) £ ^(г), ¿/V/ = (^(^(/—/^)) £ z'V/l(z').

А так как гомологичность транзитивна, то г^1(г) £ г'^1(г/)5 что и доказывает корректность (17).

Покажем теперь гомоморфность отображения Возьмем два произвольных цикла , г2 Е ^*(в). Обозначим

1(^1, — шах{/1(^1), /1(^2)} ^ ¿1(^1 +

Пусть для определенности /(г1,г2) — /1(г1) ^ /1(^2). Тогда используя (17), (18) и свойства границы накрытия, получаем

<^п(*1 + вп + ¿2 + вп) — <^п(*1 + ^ + вп) —

— + (^Ы^/^Н^)) + —

— + вп) + + вп).

Для проверки инъективности ( возьмем г + вп Е Кег (п. Тогда ^ Е вп — дп+1(Сп+1(в)) С дп+1(Сп+1(в)) — вп.

Так как из предложения 8 в [3] следует, что г _ гу/1(^) е вп, то г + вп —0. Чтобы проверить сюръективность ( возьмем произвольный элемент г + вп Е Нп(в). Так как г Е ^ С и /1(2) — 0, то

(п(г + вп) — ^ + вп — г + вп.

Теорема 2 доказана. □

Теорема 2 позволяет вместо НР(в) использовать обозначение Н(в). Рассмотрим цепной комплекс

К51 Ср(в) 0 С "(^) — 0(Ср(в) 0 Сп_5^)),

с граничным гомоморфизмом д^, который та образуюгцих а 0 Ь в Кэ определен формулой

д^(а 0 Ь) 1 (_1)5а 0 дЬ. (18)

Определим теперь гомоморфизм ( : Сэ ^ Кэ па свободных образующих

1 и 0 V, и — V —

Заметим , что согласно определению и = Вв(и} = р о (и>|к(8+1)=...=к(8+4)=0}, при этом ад|к(8+1)=...=к(^+е)=0 —пунктированный ТС куб в ((Е,т},ж0}. Поэтому

и = ВЙ е СР+ДВ}, 11 (и} = МВвИ} = 0, (19)

так что элемент и 0 V е Ср(В} 0 С} = Кв. Если и = 0, то есть и е В;(Е}, тогда либо Вв(и} = и е } и и = 0, либо ^в(и} = V е

в(Я} и V = 0. Это доказывает корректность определения р. Из (10) следует, что для и е Св—1 имеем р(и} =0 0 V =0. Это значит, что р(Св—1} = 0. Поэтому определен индуцированный гомоморфизм

р : Св — Кв, р([и]}= и 0 V, и = Вв(и}, V = ^в(и}. (20)

Применяя формулы (10), (20), (13), (19), получаем

(р о д}([и]} = (д^ о р}([и]}.

Это означает, что р является цепным отображением. Для каждой пары целых чисел (й, £} цепное отображение р индуцирует гомоморфизм

^ : Нв+^(С7в} — Нв+^(Кв}.

По определению имеем Нв+ДСв} = Ев,^ а так как Ср(В} — свободная группа, то Нв+4(Кв} = Ср(В} 0 НДЯ}. Следовательно, имеется гомоморфизм

^ : Ев>< — СР(В} 0 }. Прежде чем изучать этот гомоморфизм, докажем предложение: Предложение 1. Имеется цепная гомотопия цепных отображений

¿(0,1} - 16., (21) следствием которой является свойство

^г е ^п(Св}} (VI е N и {0}}

_ (22) ^}(г} — г е Вп(Св}.

в ¿=п—в

Доказательство Выполним построения, подобные тем, что были в доказательстве тео-

п

ремы 4 статьи [3]. Пусть и : х — Е — произвольный ТС куб раз-

¿=1

мерности п. Очевидны следующие свойства

и _ вырожденный ^ _ вы,рожденный;

5 п_ 5

и _ пунктированный ^ _ пунктированныщ

5 п_5

Vу^)(и)) — V(и).

5 п_5

Это показывает, что 1) определяет индуцированный однородный

5

гомоморфизм нулевой степени

1) : С5 — С5.

5

С помощью (9) легко проверяется цепное свойство этого гомоморфизма.

Определим толерантное отображение

(п 5т) э п п

О , ' : х /т(г) х х (4) х 1т(я+г) х х * X ,

¿=1 ¿=5+1 ¿=5+Г+1 ¿=1

г — ТД г — п _ 5, М(г) — 2ш(г) + 1, г — 5 + 1,5 + г,

О(п,5;г) ( _

к1 к5 к5+1 к5+г к5+Г кп

э) ' Л//++1) ' ' ' ' ' Л/Т(5+г) ' /т(5+г) ' ' ' ' ' ( п)

\т(1)' " '' т(5)' М(5+^' " '' М(5+г)' т(5+г)'" '' т(п) /

(к1 к5 1 гк5 + Ь 1 ГГк5+^ I/ \ кп \

тог,..., т5), т^+т^^..., к5+г},..., тну.

Далее рассмотрим корректно определенные гомоморфизмы:

рп5) : Сп - Сп+1, п ^ 0,

п— 5

^п5)(и + вп(Е)) — £(_ 1)г_1и о О(п,5;г) + Вп+1(Е).

Г=1

Легко видеть, что V(и о О(п,5;г)) — V(и) для всех г — 1,п _ й. Отсюда получаем

рп5)(Сп) С Сп+1, ^п5)(Сп_1) С Сп+1.

Это позволяет рассмотреть гомоморфизмы £>Пв) : СП —> СП+1, п ^ 0,

индуцированные Р(в). Как и в доказательстве теоремы 4[3] получается формула

дп+1 о Р(в) = 1} — 1сп — ^ о дп,

в

из которой, переходя к индуцированным гомоморфизмам, получим

дп+1 о £(в) = ¿( 0 , 1} — — рЦ о дп,

что доказывает (22). Из (22) следует (23) для I = 1. На случай произвольного I свойство (23) распространяется по индукции.□

Теорема 3. Для каждой пары целых чисел (й, £} гомоморфизм является изоморфизмом

^ : Ев,^ = СР(В} 0 }.

Доказательство Определим вспомогательный гомоморфизм на образующих

Л : Кв — Св, Л(и 0 ^} = Ж (и, V} = [и] , (23)

где и = Ж (и, V} — пунктированный ТС куб в ((Е,т}, ж0}, определенный в теореме 1 статьи [4]. Согласно определению Кв и СР(В} в нашем случае 11(и} = 0. Если ТС куб и = и^1(м) вырожден, то по свойству (\¥.2) теоремы 1[4] V(и} < й, и значит [и] = 0 в Св. Если же ТС куб V вырожден, то по свойству (\¥.5) теоремы 1[4] будет вырожденным ТС куб и, и значпт [и] = [0] = 0. Таким образом, определение (24) корректно.

Применим (24), (9) и свойство (\¥.4) в теореме 1(4] и получим

д о Л(м 0 и) = Е (-1)М (м^)) - ^(Ж (м^)) ¿ = 8+1 ^ 1 J 1

г £

¿=1

= (-1)я£(-1)3 ( К0 Л2(м))(Ж(М»)) + )] -

К(Ъ,/2(и))(Ж (м,^))) + 1(Е)]

= 12(м))(Л((_1)8 (м 0 д^))) =

= ¿2(м))(Л о д^(м 0 V)).

в

Л

д о Л (и 0 V) = /2 (м))(Л о д^ (м 0 V)). (24)

в

Тем не менее свойства (25) оказывается достаточно, чтобы получить гоЛ

произвольный цикл г = £ агмг 0 V Е ^(Кв) , где I - конечное множе-

гЕ/

ство, аг Е Ж, и д^(г) = (_1)в £ агмг 0 = 0. Обозначим

гЕ/

1° = {г Е 11 д^г = 0}; 7 = I\1°;

{%,... ,3} -/ все различные элементы мпожества^ г Е 7} ;

Л = Ц Е 71 м = 3} , к = 1, N.

Тогда

N

д^(г) = (-1)8 £ м-, 0 (£ д^-) = 0. (25)

&=1 3 ЕЛ

Так как все элементы 3, к = 1, N различны, а группа СР(В) свободна, то из (26) следует, что

(Ук = 1ГЖ) д(£ азV,) = £ азд^- = 0. (26)

з'еЛ ЗЕЛ

Применим теперь (25), (26), (27) и (19):

д(Л(г}} = д(^ агЛ(й 0 V»}} = ^ а»д о Л (и 0 V»} = ¿е/ »€/

= ^ () , ¿2(иг}}(Л о д^(и» 0 V»}} =

«е/ в

= Е 0 , ¿2 (и»}}(Л (( 1}в(и» 0 д^}}} =

»е/ в

N _ _

= (—1}^ ОЛК}}(Л(й^к 0 ( £ ад^-}}} = 0.

к=1 в Итак, доказано, что

Л(£(Кв}} с ^(Св}. (27)

Пусть теперь имеется цикл, являющийся границей:

г е ^(Кв}, г = аи 0 V»} = ^агд^(й 0 V»}. (28)

«е/ «е/

Обозначим для краткости

Ь = тах {¿2(и}| г е I} .

Из (28) следует, что Л(г} е Z(Св}. Это позволяет воспользоваться предел _—

ложеннем 1 и получить гомологичпость Л(г} ~ ¿(0,Ь}(Л(г}}. Применим (29) и цепное свойство для ¿(0,1} в Св:

¿(0, Ь}(Л(г}} = £ М(0, Ь — /2(иг}}(^(0, /2(иг}}(Л о д^(и 0 V}}} = »е/

= д(£ М(0,Ь — /2(иг}}(Л(йг 0 V}}}. »е/

С _ __Л

Таким образом, получаем Л(г} ~ ¿(0,Ь}(Л(г}} е В(Св}, то есть Л(г} е В(Св}. Итак,

Л(В(Кв}} с В(Св}. (29)

Из (28) и (30) следует, что гомоморфизм Л индуцирует гомоморфизм гомологий, и в частности, для любой пары целых чисел s, t имеем индуцированный гомоморфизм

Ms>t : CP(B) 0 ) ^Ee>í.

Рассмотрим композицию гомоморфизмов о Она индуцирована композицией ( о Л в размерности s + t, при чем

(,3 о Л (и 0 V) = (( [w (u,v)l) = U 0 Vvt^2(u). (30)

Пусть

z = ^ агиг 0 Vi G Z(Ks). íe/

Обозначим ui1,... ,UÍN — все различные элементы в {ui| i G I}, а также Ik = {i G 11 Ui = uífc} , k = 1, N. Тогда

N N

z = ^uik0 E aivi) = Suik0 fk, fk = X] aivi. (31)

k=l ie/ k=l íelk

Поскольку г - цикл, делаем вывод:

N

д^(г) = (-1)8 ^ ^ 0 дД = 0 ^ (Ук = Т^) дД = 0, ^=1

то есть Д Е ^(С*(В)). Отсюда получаем, используя предложение 8 в [3 (Ук = Т^) (УЛ ^ 0) (Зс*>Л Е С*(В)) /^ = / + д(с*>Л). (32)

Теперь применим (31), (32), (33) и (19):

N t 7 ( )

(^ о Ms>t)(z + Bs+t(Ks)) = £ Uik 0 ffKk) + Bs+t(Ks) =

k=i

NN

= E uifc 0 fk + E uifc 0 дсм+к) + Bs+t(K s) = k=i k=i k N

= z + (-1)sdF(£ Uik 0 )) + Bs+t(Ks) = z + Bs+t(Ks).

k=1

Следовательно,

^ о = 1я8+4(Кя) = ). (33)

Рассмотрим теперь гомоморфизм о ^^ : ^ индуцированный гомоморфизмом

Л о р : С5 ^ С5, (Л о р}([^]} = Л (и 0 ^}= Ж(и,^} , (34)

где и е Вв(и}, V = (и}. Определим отображение

X : и ——► (—1}вДв(и},

сопоставляющее каждому (в + £}-мерному пунктированному ТС кубу и в ((Е,т}, ж0}, удовлетворяющему условию V(и} ^ в, новый пунктированный (в + £ + 1}-мерпый ТС куб в ((Е, т}, ж0}, определенный в теореме 3 статьи [4]. Согласно свойству (Б1) в теореме 3(4], имеем V(х(и}} ^ в. Если ТС куб и вырожден и £ > 0, то по свойству (Б6) вырожденным будет и ТС куб х(и}- Если же и -вырожден и £ = 0, то по свойству (Б2) получаем V(х(и}} < в. Если V(и} < в т0 И V(х(и}} < в. Из всего этого следует, что отображение х определяет однородный гомоморфизм степени 1:

X : С5 ^ С5, х([и]} = (—1}5 [^И] . (35)

Применим (36), (9), свойства (Б4) и (Б5) из теоремы 3[4]:

д5+^+1(х([й]}} = ((—1}5((—1}5+1(4 (К,£ • ¿2(и}}([и]} — [Ж(и^}]} +

+ Е (—1}'(d(ч()^,г2(u}}([Dв(d0-l(w}}]} — ¿(^ВДХр.^М}]}}}

= Л о р([и]} — • /2(и}}([й]} — • /2(и}}(х(д5+^([й]}}}.

в в

Полученную формулу распространим по линейности на произвольные

цепи в С и применим к произвольному циклу г = £ а^и»] е Zs+1((7s}:

»е/

д (х(г}} = Лор(г}—^ ^Д^Т^ай]}—^ М{0,Уи}}(х(д ([й]}}}.

По условию имеем

s+t

д(z) = £«, Е (-1)j([d0(w.)l - [d](w!)]) =

¿6/ j=s+1

s+t l _

= ЕЕ E ai(-1)j+£[d^(Wi)].

¿6/j=s+1e=0

Обозначим

j = {(i,j,e)| i 61, j = s + i,s + = 0Д, jW] 6Cs-1}, _ df

{dj(wik)| k = 1,N} — все различные элементы в {d^(wj)| (i, j, e) 6 J}, Jk = {(i,j,e) 6 J| d^) = djk(Wifc)}.

В этих обозначениях формулу (38) можно переписать в виде

N

д(z) = £( £ «,(—i)j+e)[jKj] = 0,

k=1 (¿,j,£)6Jfc что эквивалентно следующему

(V k = T,N) £ аг(—1)j+e = 0. (38)

(i,j,e)6Jfc

Из (13) следует, что

(V(i,j,e) 6 Jk) l2(ui) = l2(Bs(Wi)) = l2(Bs(dj(wi))) =

= /2(Bs(djfck (Wifc))) = I2(Bs(Wifc))= l2(Uik). Используя (39) и (40), вычислим последнее слагаемое в (37):

E«id(0,/2(ui))(x(d ([w]))) =

¿е/

(39)

= Е М(0,Ы«,Ж — 1)j+е x([dj (wi)]) =

(¿,j,e)6J

N _ ___

= E d(0,l2(uik))(( E ai(—1)j+ )x([j(Wik)])) = 0.

k=1 (i,j,e)6Jk

Эти вычисления вместе с (37) дают гомологичность двух циклов

(Л ◦ 0)(z) £ £ «id(0, t^72(Ui))([Wi]). (40)

i/

Согласно предложению 1 имеем:

й+*+1 (Р(+М0,/)([ш,]))) =

¿(0,/ + 1)([ш,]) - ¿(0,7)([ш,]) - 1 (дв+*ДОД)([Ш,]))) .

Просуммируем это выражение по всем / = 0, £ • /2(и,) — 1:

¿•¿2(Мг)-1 _

Р*+<( £ ¿(0,/х[№,ш | = ¿(0,£• /2мк[йф - [ш,]-

(42)

в-

1=0

. , . ^Ы-1 _ _

-рй- а,+(( ^ ¿(0,1)([®!])) |.

1=0

Последнее выражение умножаем на а, и суммируем по г е I с использованием (40), (39):

, л ¿^Ю-1 _ _ _

1 | ^(Е а, Е ¿(0,7)([ш,])) | = Е а,ё(0,£ • /2(иг))([шг]) - г -

Ш 1=0 / ш

I N ы2(Щк)-1

)(в)

-»1%-1( Е( Е ¿(0,/»( Е «.(- (ш,к)])] = к=1 1=0

= Еа,ё(0,£ • /2(и,))([шг]) - г.

гб/

Г_ ! ч (7я

В результате имеем гомологичность Е а,¿(0, £ • /2(и,))([ш,]) ~ г, что вме-

ге/

сте с (41) дает гомологичность (АорХг) ~ г = 1 ((г), из которой следует оф^ = 1Я 4((78) = 1 Ез(, что завершает доказательство теоремы 3. □

Изучим теперь производную точную пару

Е2(С•) = (Р2, Е2; г(2),з(2),к(2)) .

Для вычисления дважды градуированной группы Е2 = © Е^ необходимо вычислить граничный гомоморфизм ё = 3 о к группы Е. Этот граничный гомоморфизм ё с помощью изоморфизма ф из теоремы 3 переходит в граничный гомоморфизм группы ©(Ср(В) 0 ЯДЕ)). Найдем этот го-моморфпзм.

Согласно утверждению теоремы 2 статьи [4], сопоставление каждому элементу [ы] £ п(В, Ь0) автоморфизма Ф^ из Аи£(Н(В)) определяет действие фундаментальной группы п(В, Ь0) базы (В,т) расслоения р : ((Е, т), х0) ^ ((В, т), Ь0) па группе гомологий Н(В) стоя В = р-1(Ь0). Это позволяет определить па ©(Ср(В) 0 НДВ)) структуру цепного комплекса СР(В) с локальными коэффициентами в группе гомологий Н(В).

Граничный гомоморфизм дв определяется следующим образом: пусть в

и : х /то(г) (и) ^ В - произвольный пунктированный ТС куб в ((В, т), Ь0)

¿=1

с условием /1(и) = 0, и пусть Н £ НДВ) - произвольный элемент группы гомологий, тогда

в

дв(и 0 Н) = £(-1)3 (¿р" 0 Н - ^иу 0 фк.и](Н)) , (43)

3=1

где а3- и : /то-)(ы) ^ В - петля в ((В,т), Ь0), определяемая формулой

к з ч , „ л кз

аз и( 'Л ,) = и(0,..., 0, ,.Л ,, 0,..., 0), кз = 0,т(з).

з-1

Граничное свойство дв о дв = 0 проверяется стандартно. Таким образом, имеем цепной комплекс {(СР; Н(В)),дв}в>0, чьи группы гомологий обозначим {Нв(В; Н(В))}в>0 и назовем группами гомологий базы (В,т) с локальными коэффициентами в группе гомологий Н(В) стоя (В, т).

Предложение 2. Однородный гомоморфизм степени (0,0)

Ф = ©ф,* : Е = = СР(В) 0 Н(В) = ®(СР(В) 0 Н*(В))

является цепным отображением, то есть дв о ф = ф о

Доказательство

Возьмем в СР(В) 0 Н(В) произвольную образующую вида и 0 Н, где

в

и : х /тоо')(и) ^ В -пунктированный ТС куб в (В,т) с условием 3=1

/1(и) = 0, а Н - элемент группы гомологий Н(В). Пусть

г = £ о^ £ ^(в) с а; (в) ш

является представителем гомологического класса Н, т.е. г + ) = Н. Рассмотрим (й + £) -мерную цепь

с = ^ а,Ж(и,^) е С^Е).

,е/

Применим формулы (24) и (34) и получим

А (и 0 г) = [с] е С*, (44)

ф-1(и 0 Н) = д(й 0 Н) = А (и 0 г) + Вя+г(Ся) = [с] + ВЯ+*(СЯ) е Ея>*. (45)

Заметим, что из условия г е ) и формулы (24) следует, что и 0 г е в). Отсюда и из (45), (28) будем иметь

А (и 0 г) = [с] е Яя+*(Св) (46)

Из свойства 1 в теореме 1[4] непосредственно получается, что

(и,^) е (V (47)

,е/

Из (47) п (48), согласно общей теории точной гомологической последовательности (см.[5],гл.8,п.2) следует, что

к ([с] + ВЯ+*(СЯ)) = дс + В*-Ш(С *-1) е Яя-Ж(Ся-1), 3(дс + Вя-Ж(Св-1)) = [дс] + Вя-Ж(Св-1) е Е*-М,

¿([с] + ВЯ+*(СЯ)) = (з о к)([с] + ВЯ+*(СЯ)) = [дс] + В-Ш((7*-1) е Е*-М.

(48)

При этом выполняются свойства: дс е Сй-1, [дс] е в-1), в чем

мы попутно убедимся ниже прямыми вычислениями. Для циклам имеем

д(Е а^) = ЕЕ(-1)^'а,(^) - =

,е/ 4 ^^ (49)

= Е ЕЕ (-1У+£ а,^) е ^(е),

^=1 е=0

то есть в правой части ТС кубы либо сокращаются, либо вырождены. Из (50) с помощью свойств 4, 5 в теореме 1[4] и следует, что

г 1

дс = ЕЕ £(-1)3+ео^(Ж(и,=

¿6/3=1£=0 = Е Е Е(-1)3+£М£(Ж(и,^)) +

¿6/3 = 1 £ = 0

в+г 1

+ Е Е Е(-1)3+£аг^(0,/2(и))(Ж(и,й£->*))) =

¿6/ 3=в+1 £=0 в 1 _

= ЕЕЕ(-1)3+£М£(ж (и,^)).

¿6/3 = 1 £ = 0

Отсюда с использованием свойства 1 в теореме 1[4] и свойства (4) получим дс £ Св-1. А с помощью определения граничного гомоморфизма д в Св и свойств 4, 5 в теореме 1(4] и (50) убеждаемся, что

в 1

д([дс]) = д | ЕЕ Е(-1)3+£а ^(Ж(и,^)) ¿6/3=1£=0 1 в 1 в-1+г 1 г_■

= Е Е(-1)3+£Е Е Е(-1)к+'аг ^ о(и,^)) 3=1 £=0 ¿6/ к=в ¿=0 1

в 1 / в-1+г 1

= ЕЕ(-1)3+Ч£ Е Е Е(-1)к+Йа.^(0,г2(и))([ж(и, ^>.))]) =

3=1 £=0 \ге/ к=в ¿=0 У

= Е Е(-1)3+£й£ —1)в-Т^си))^ (е Е Е(-1)^«,([Ж(и,¿к(«.))])) = 0.

3=1 £=0 7 \ге/к=1 ¿=0 /

Обозначим для краткости / = [дс] + Вв-1+г((7в-1) 6 Ев-1,г, и с учетом (49) и (46) запишем / = (й о ф-1)(и 0 Н). Следовательно, элемент

(ф о й о ф-1)(и 0 Н) = ф(/) = (¿([дс]) + Вв-1+г(Кв-1) (50)

является классом гомологий цикла

д = (¿([дс]) = Е Е(-1)3а (Вв-1(й5(Ж(и,^))) 0^,-1 (¿«(Ж(и,^¿)))-¿6/3=1

-ВЯ-1(Й)(Ж(и,^))) 0^Я-1(Й)(Ж(и,^))))

группы 1(Е) 0 ) относительно граничного гомоморфизма др. Так как ] ^ й, то с учетом /1(м) = 0, получаем

Ба- (и,Уг))) = р О ((¡(Ж(п,Уг)) 1к(э+1)=_=к(з+г)=0) =

= ( (р о (Ж (и,^)|А;(в+1)-.-к(*+0=о)) = Щ(В3(Ж (п,Уг))) = (¡(и),

(и^))) (мк^) = ^

,-1

Если в (52) взять £ = 0, то из определения Т8 и свойства (\¥.3) теоремы 1 из [4] следует, что ^5-1((0(Ж(и,уг))) = ^(Ж(и, у) = у^2^. В результате имеем

(и) 0 (V 3,

д = £(-1)3' (о(и) 0 (£ - (1(и) 0 у, ) (52)

3=1 V ге!

где

у, = V аЛ-1((1(Ж (и,Уг))) (53)

ге!

Поскольку г = ЕагУг- цикл в О*(Е), то по (19) и предложению 8[3

ге!

получаем гомологическую эквивалентность относительно др

(0(и) 0 (£ ^Г^М ~ (0(и) 0 (£ агУ) = (0(и) 0 г. (54)

V ге! ) ге!

Прямым вычислением с использованием свойства (\¥.4) из теоремы 1[4

легко убедиться в том, что у, е Z*(Е), ] = 1, е. Но в этом пет необходимости, так как этот факт будет установлен позднее автоматически.

Вычислим теперь гомологический класс у, + ВДО*(Е)) = у, + В^Е). Для этого рассмотрим толерантную петлю а,и. Так как по условию /1(и) = 0, что означает наличие пунктированн ого ТС куба и в ((Е,т), х0) такого, что р о и = и, то р о (а,и) = а,и, и следовательно а,и имеет накрывающую петлю а,и в ((Е,т),ж0), и поэтому 1(а,и) = 2т(,)(и) <

< 2 Ё т(г) (и) = /2(и). Определим теперь отображенне Ж^.2и(и)), сопостав-

г=1

ляющее каждому пунктированному £ -мерному ТС кубу у в ((Е,т),х0)

пунктированный (£ + 1) -мерный ТС куб в ((Е,т),ж0):

ТТ/ (^и))/ ) / ^ к(8+1) =

УУауи ^то(5)(м), М(1)(«), . . . , М=

(55)

= Т , тЩиу, 0,..., 0, М^,..., М^).

3-1

Проверим, что Т^и(и)) удовлетворяет свойствам 1-4 из предложения 2[4], если заменить = /(а3-и) на (/2(и)). В самом деле, из (55) и 3 в теореме 1(4] следует

й?(Т;.и(и))н) = ^(т (и, V)) = ^(и).

А из (56) и (\¥.1),(\¥.2) в теореме 1(4] следует

(р о Т;.2и(и))) (V) = р (V(и, V) | (3-1 {0} х /т0)(и) х У {0} х Д 1м=

/ 3-1 в-3 г \

= р [ Т(u,v)| ( - {0} х /т(^)(и) х - {0} х х {0}) 1 =

3-1 в -3 3-1 в-3

= (u, V)| ( х {0} х /т(^)(и) х х {0}) = и1 ( х {0} х /т(^)(и) х х {0}) = О?и.

Теперь воспользуемся (56) и свойством (\¥.4) из теоремы 1(4]

¿1+3- (Т^м)=

( 3-1 «-3 г \

= ¿1+3/ Т(и, V) | ( х {0} х /тО)(и) х х {0} х х 1м(¿)(*)) =

¿=1

3-1 . в-3

= ¿(^^(и)) i т(и,й£/(v))|( х {0} х /тО)(и) х х {0} х х(V)))

¿=1,4

в_г-1 \ ¿=/

= d(0,/2Ы)(W(í;2u(u))(d£/(V))).

Наконец, свойство 4 предложения 2(4] для Ж^2и(и)) следует из (56) и свойства 5 теоремы 1(4]. Отсюда следует, что можно использовать (45) [4], в результате чего, для цикла г = ^ «¿^ будем иметь

фм(г + В;(В)) = Ф^г) + В?(В) =

= Е о^Й"® + В?(В) = Е (<2и(и))(г>.)) + В?(В).

¿6/ ^ ¿6/

С другой стороны

Уз = Е аЛ—ШЖ (u,Vi)))

j—1 s—j t

= E a^W(u,Vi)| ( x {0} x {1} x x {0} x x /м(i/w )) = ie/ __i'=i г

= E aid1(wi12u(u))(Vi)). ie/

Отсюда следует, что y- - цикл в CF и, что гомологический класс этого цикла имеет вид:

y + B?(F) = фк. u](z + B (F)) = Фк. u](h). (56)

Собирая воедино формулы (51), (52), (53), (57) и (44), получаем ф о d о ф—0 h) = (u 0 h), что означает ф о d о ф—1 = и следовательно ф о d = о ф.□

Непосредственным следствием предложения 2 является важный результат.

Теорема 4. Длл любой пары целых чисел s, t изоморфизм ф индуцирует, изоморфизм

ф^ : E2, = Hs(B; Ht(F))

однородной подгруппы степени (s,t) второго члена спектральной последовательности толерантного расслоения p : ((Е,т)) ^ ((В,т)) иа s -мерную группу накрытых пунктированных ТКС гомологий базы (В,т) с локальными коэффициентами, в группе Ht(F) t -мерных пунктированных ТКС гомологий слоя (F, т).

Библиографический список

1. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception. The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалу ев С.И.,Кляева H.A. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского Государственного Университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57).

4. Небалуев С.Н., Кляева H.A. Свойства сингулярных кубов в толерантных расслоениях // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып.5.

5. Ху Сы-цзян Теория гомотопий. М.: Мир. 1964.

УДК 513

Д.С. СТЕПАНЕНКО

К вопросу описания обобщенных тета^функций, удовлетворяющих функциональному уравнению

Хорошо известно [1], что при выводе функционального уравнения римановского типа для Ь-функции Дирихле в случае четного характера, существенным моментом является тот факт, что функция вида

^(x,x) = х(п)

где k — модуль характера х, удовлетворяет функциональному уравнению вида

В частности, ^-функция

«(*) = Е

x) = > e

nn x

n=—OO