Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов Текст научной статьи по специальности «Математика»

где Д/ и а/ - алгебраические. Тогда, интеграл (2) будет равен

' £ д1 ^ -

/=1 а

Отсюда получаем при \г | < 1, г = 0и г алгебраических, в силу условий на значения функции /1 (г) в алгебраических точках, утверждение теоремы.

Библиографический список

1. Шидловский А.Б. Дпофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во МГУ, 1982.

2. Тичмарш Е.К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

УДК 513.6

Е.В. КОРОБЧЕНКО

Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов

В статье описана конструкция окаймления толерантных сингулярных (ТС) кубов и доаказана ее гомологическая инвариантность.

В гомологической и гомотопической теории толерантных пространств важную роль играет конструкция полного двойного замедления ТС кубов (см. [3]). Однако несмотря на плодотворность этой конструкции, ее приложения в некоторых случаях сложны и явлеются чрезмерно громоздкими. В этих случаях более уместным является применим конструкции окаймления ТС кубов.

Определение 1. Толерантное отображение и : — (X, т),

п

где т = (ш1,...,шп) Е х Н, п Е N назове м п-мерным толерантным сингулярным кубом пространства (X, т).

Для п ^ 0 обозначим через ^п(Х) абелеву группу, свободно порожденную над Ъ всем и п-мерными ТС кубами прос транства (X, т), и положим ^п(Х) = 0 для п < 0. Элементы этой группы Qn(X) будем п

(ТКС цепями) в (X, т).

Для каждого п Е N определим граничный гомоморфизм дп : Qn(X) — Qn-1(X), задаваемый на свободных образующих и (££) :(1т,1т) - X формулой

дпи = ^(-1)3' И?(и) - 4(и)

3=1

где

^(и) = и (— 3 V т1

кз_

3-1

к з

3+1

т3-1 +1

тп

£ = 0, 1.

Для п ^ 0 полагавм дп = 0.

Обычным способом доказывается, что (V п Е Ъ) дп-1 о дп = 0, что позволяет говорить о цепном комплексе ),дп} ТКС цепей про-

странства (X, т). Любое толерантное отображение / : (X, т) — (У, $) индуцирует цепное отображение {Qn(/) : Qn(X) — Qn(Y)}, которое на образующих задается формулой

)(и) = / о и.

В результате получается функтор, который вместе с гомологическим функтором на категории цепных комплексов позволяет определить гомологический функтор на категории толерантных пространств То. Однако, как и в алгебраической топологии, эти гомологии подлежат нормировке, так как в противном случае одноточечное пространство будет иметь нетривиальные гомологии во всех размерностях.

Определение 2. ТС куб и размерности п > 0 назовем вырожденным по ^'-му аргументу = 1, п), если

(V i = 1,п) (V к = 0,шг)

и

Ш1

ш,-

I к1 гл

= и ( —,..., 0,..., —

ш1

Обозначим через ^п(Х) подгрупп у в ^п(Х), свободно порожденную всеми вырожденными кубами. Так какдп(^п(X)) С Дп-1(Х), то имеем цепной фактор-комплекс {Сп(Х) = ^п(Х)/Лп(Х),дп} нормализованных ТКС цепей. При этом толерантные отображения / : (Х, т) ^ (У, $) индуцируют цепные отображения {Сп(/) : Сп(Х) ^ Сп(У)}, действующие па свободные образующие и + ^п(Х), и </ ^п(Х) по формуле

с„(/)(и + ЩХ)) = дп(/)(и) + щх) = / о и + ЛП(Х).

В результате получается функтор С = {Сп}, который в композиции с гомологическим функтором позволяет определить функтор толерантных кубических сингулярных гомологий (ТКС гомологий), сопоставляющий каждому пространству (Х, т) группу

Я^(Х) = 0 я£(Х) = 0 ЯП(СП(Х)).

п>0 п>0

/ п п \

Определение 3. Пусть и : I х /то., х ¿то. I ^ (Х, т) - произвольный

\г=1 ¿=1 у

ТС куб, I Е N. Тогда I - кратно окаймленным ТС кубом для и назовем

ТС куб, определяемый следующим образом:

и

0(1) : ( X /т.+2/, X ¿т.+2Н — (X, т)

¿=1

(V« = 1, п, к = 0,шг + 2/)

и

0(1)

¿=1 кг

тг+21

)• т-) = и( (ттггК^). ^

/ г=1,п / \ V г / г=1,п

г(т,, /, к,) =

о, к, - / ^ 0;

к, - /, 0 ^ к, - / ^ т,;

т,, к, - / ^ т,.

а)

Определим гомомрфизм ^ = {^п : Qn(X) —> Qn(X)}п^0 на ТКС цепях, задав его на вободных образующих формулами:

^п > 0) ^п(и) = и0(1), (и) = и.

Из (3) и определепия д следует цепное свойство для

дп(^п(и)) = дп (и°(1^ = ^(-1)

3=1

и°% =0 - и°% =т^ +21

= ^п-1(дпи)

= £(-1)3' [(и|к3.=о)0(1) - (и|к,=т^

3=1

(3)

(Vn > 0) (X)) с ^^).

Следовательно получаем цепное отображение на приведенных ТКС цепях:

^ = К : Сп^) -— С^)}п^о , ^ (и + ^)) = и0(1) + Д^), которое очевидно является естественным по (X, т).

Теорема 1. Имеется естественная по (X, т) цепная го,м,от,опия,

X -1 Ч> - (X).

Доказательство Примем краткое обозначение для Т кубов:

пп

1ш 1(ш1,...,т„) х , 1(ш1,...,т„) х , шг Е N, i 1,n, п Е N.

¿=1 ¿=1

Тождественное отображение 1/т является невырожденным ТС кубом в (1т, ¿ш), и поэтому

1/т Е ^^т^ 1/т Е ^п(1т) , 1/т = 1/т + ^п(1т) Е Сп(1т).

Свободный базис группы Сп(Х) состоит из классов и = и + ^п(Х), где и ( Х, т)

и = и о + ^п(Х) = Сп(и) (1/ж + ^п(1т))

для и : (1т, 1т) —> (Х, т), то следовательно в Сп(Х) имеем свободный базис вида

{Сп(и) (Т/^)|ш е X X, и е Ношто(1т,Х), и Е^п(Х)} . (2) С

(Vu е Ношто(1т,Х), и е Лп(Х)) , Сп(и) (1 /т) = 0. (3)

Для доказательства теоремы мы должны для каждо-

( Х, т)

= {Р^ : Сп(Х) —> Сп+1(Х)}п^0, удовлетворяющих свойству гомотопии:

(Vn ^ 1) дп+1 о РХ = - 1сп(х) - Рп-1 о дп, (4)

а также свойству естественности

(V/ е Ношто(Х, У), п ^ 0) Сп+1(/) о РХ = РГ о Сп(/). (5)

Гомоморфизмы £>х надо задавать на элементах свободного базиса (2) так, чтобы выполнялось свойство (5):

(Уп ^ 0) (Уш Е х N (Уи Е Qn(X^^)),

РХ (и) = £>Х (ОД^/т)) = Сп+1(и) (Р_ а/т)) ,

(3)

(Уи Е Д,^)), с„+1(и) (Т/т)) = 0.

(6)

(7)

Покажем, что свойства (6) и (7) обеспечивают свойство естественно-(5)

(Сп+1(/) о РХ) (Сп(и) (Т/т)) = Сп+1(/) (Сп+1(и) (1/т))) =

РГ (Сп(/ о и)(1/т)) , / о и Е^п(У);

Сп+1(/ о и) (Рта/т)) = 1

^ 0, / о и Е Лп(У); (РГ о Сп(/)) (Сп(и) (Т/т)) = РГ (Сп(/ о и)(Т/т)) РГ (Сп(/ о и)(Т/т)) , / о и Е^п(У);

=

^ РГ(0) = 0, / о и Е Лп(У). Чтобы удовлетворить условие (4), мы должны иметь в частности для X = /т; применительно к элементу 1/_ Е Сп(/т), следующее

Уш Е X Н,п > 0) дп+1 (РП_ а /т)) = а /т )-1 /т-Р- (дД/т) . (8) Покажем, что из свойств (6) (7) и (8) следует (4):

(дп+1 о РХ) (Сп(и)(Т/т)) = дп+1 (РХ (Сп(и)(1/т))) =

= дп+1 (Сп+1(и)Рпт ((1/т))) = Сп(и) (дп+1^пт (а/т))) = = Сп(и) (^П_а/т) ^/т - 1(дД/т)) =

= (Сп(и)(Т/т)) - 1С„(Х) (Сп(и)Д/т)) - (Сп-1 (и)(дД/ет)) = = ((^ - 1СП(Х) - Рп-1 о дп) (Сп(и)Д/т)) .

Таким образом, для доказательства теоремы нам надо построить цепи (1 /т) е Сп+1(и)(/т), удовлетворяющие условиям (7) и (8), а затем определить по формуле (6). Определим для этого невырожденные ТС кубы

,_ - о п п _

0(ш;,) : х /ш<+2/ X х !т. —► х !т. = 1т, 5 = 1,п,

¿=1 ¿=в ¿=1

I т-1+21' ' ' ' ' ш8+2/' ш8 ' ' ' ' ' шп у

Ш1гг(ш1, г, ^ ..., г(т!-1,/) ^,-1), ^тах {»•(т^ г, й,), А:,} ,..., _П) .

0)

Теперь определим цепь (1 /т) е Сп+1(и)(/т):

п

а/т) = /т + Ал/т)) = £(-1),-10(т;,) + Лп+1(/т). (10)

= У^ (- 1)«-1п(т;«) в=1

Из (10) и (6) следует, что для и : (1т, ¿ш) —> (Х, т) получаем формулы

РХ (и + ЩХ)) = ^(-1),-1и о О(ш;о) + Лп+1 (Х), (И)

в=1

и о 0(ш;,) (,..., , т., . . . , _пЛ

V Ш1+2/ ' ' ш8+2/' ш8 ' 1 шп I

и (Щг(™1, г, ¿1),..., ^г(т,-1, г, к,-1), ^тах^т,, г, А,), к;,} ,..., _П)

' ' (12) Из формул (11) и (12) следует, что для вырожденного ТС куба и е Дп(Х) все слагаемые в цепи (11) будут вырожденными ТС кубами, и

следовательно, (и) в случае и = 0. Это значит (см. (6)), что выпол-(7)

(8)

тельные невырожденные ТС кубы

,_ N А' п

0(т;А) : X 1тг+21 X X 1т. -► „

,=1

г='+1

^тг ^т, ^ 0, n,

г=1

0(т;А)

•А) I к 1 ка ка+1

т 1+21' ' ' ' ' т8+21' тя+ 1 ' ' ' ' ' т.

(13)

ка+1 тя+1

(8)

'- 1

дп+1 (В*а/т)) = ЕМГЧ £(-1)3 0<т;-"|к, =0 - 0(т;"|

' = 1

3=1

| к„- =т,- +21

+

+ (-1)' О(т;А)|к;=0 -0(т;А) |к;=т;+21 +(-1)'+1 0(т;А)|к' =0 -0(т;А)|к' =т

+

+ Е (-1)3+1 [о(т;А)|к^.=0 -0(т;А)|к,

3='+1

Формулы (9) и (13) показывают, что

+ £п ( ^т ) .

(14)

0(т;')|, „ (

к.ч_ 1 к'

кя 0 I т1+21, . . . , т8_ 1+21, тя , . . . , тп

т r(ml,/,kl),..

1

т8_ 1

г(Ш'_ 1,/,к^ 1), т,..., -М

V ' ±1 ? ' ± / 7 т^ ' тп у

0<"';'>|к, =0 = о(т;'-1).

к

т

п

т

к

Из (3) и (9) следует вырожденность по аргументу —:

С(_;,)|к = ,2Л к1 1 к^ кЛ =

1кя=шя+2/ I ш1+2/' ' ' ' ' шs-1+2P ' шя ' ' шп I

= (_г(ть I Ы ..., т^Кго.-ь ^ к..^ l, _,..., _П) е Д^т).

:

Аналогично получаем

0(ш;,)|к/ =0 = О(ш;о). (17)

0(ш;,)|^=_8 е Яп(/_). (18)

Выпишем слагаемые вида (15) и (17) в сумме (14) для двух последовательных значений + 1 с учетом их знаков:

(- 1)в-1(- 1)5о(_;,-1) + (-1),-1(-1),+1о(_;,) + +(- 1)в(- 1)5+1о(_;в) + (-1)в(-1)5+2о(_;5+2).

(14)

все промежуточные слагаемые вида (15) и (17) и останутся лишь крайние: вида(15) для й = 1 и вида (17) для й = п, то есть (см.(13) и (3))

(-1)0(-1)10(_;0) + (-1)п-1(-1)п+10(_;п) = Д/т) -1/т. В результате формулу (14) можно переписать в следующем виде

дп+1 а/т)) = (Та/т) - 1/т+

+ | Е (-1),+^-1 [0<_;в)|к, =0 - 0(_;,)|% =ш,+2/] +

+ Е (-1),+' [о(_;,)к=0 -0<_;в)|к,=_,] + Щ/_)

Теперь вычислим цепь Рт 1(дп1/т), используя (11) и (12).

п

Р^дпТ/т) = ^(-1)3^/тк =0 + Д,-1(/т)) -

3=1

п

- ^(-1)3^/т|к,=т, + ^п-1(/т)) ;

3=1

3-1

Р-1 ^/т|к, =0 + Д,-1 (1т)) = Е(-1)'_1 ^/т|кд =0) о 0(т1'."т'"^'Ц

'=1

п

+ Е (-1)'-2 ^/т|кд =0) о 0(т1'".'т'...'т";'-1) + Лп(/т) =

'=3+1

3-1 ( ) п ( )

= Е(-1)'-1 (о(т;')|кд =0) + Е (-1)' (о(т;А)|кд=0) + ^п(/т); '=1 '=3+1

и аналогично

3-1

Р-1 ^/т |кд=тд + ^п-1(/т)) = ЕС-!)''1 (0(т;А)|кд =т,) +

'=1

п ( )

+ Е (-1)' (0(т;А)|кд=тд+21) + £>п(/т).

'=3+1

В результате имеем

Рп-1(дД/т) = Е (-1)'+3_1 [0(т;А)|кд =0 - 0(т;А)|кд=тд

1<'<3<п

+

(20)

+ Е (-1)'+3 [0(т;А)|кд =0 -0(т;А)|к; =тд +2^ + £>п(/т).

1<3<'<п

(19) (20)

дп+1 (Рпта/т)) = ^пта/т) - 1/т - (дД/т),

что завершает доказательство теоремы.

Следствие. Индуцированное отображение : Н(Х) —> Н(Х)

( Х, т)

Это можно сформулировать в следующем виде:

Пусть г = «¿и + е (Х) С Сп(Х) цикл в цепном комплексе (С (Х ),д) для любо го г е N цик л г0(/) = ^ «¿и°(/) + гомологичен в С(Х)

г - г0(/) еВ п(Х ) = 1т дп+1.

Библиографический список

1. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.:Мир, 1971.

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалу ев С.Н., Кляева Н.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий// Вестник Самарского гос. ун-та. Самара: Изд-во „Самарский университет", 2007.