Теория толерантных кубических сингулярных гомологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из помеченных мономами нелистовых узлов дерева собираем базис фактор-кольца R/I:

ог2 22232 2 2 -ii

И = {xyz , xyz, y z,xz ,yz ,z ,x , xy, y , xz, yz, z ,x,y, z, 1m}.

Библиографический список

1. Gerdt V. P, Blinkov Yu. A. Involutive Bases of Polynomial Ideals. Leipzig, Germany, 1996. (Preprint-Nr.1/1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, University of Leipzig)

2. Gerdt V. P, Yanovich D. A, Blinkov Yu. A. Construction of janet bases i. monomial bases // Computer Algebra in Scientific Computing / CASC, 2001. Springer-Verlag Berlin, 2001. P. 233-247.

3. Бухбергер Б., Коллинз Дж, Лоос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986. С. 392.

4. Гердт В. П., Блинков Ю. А. Инволютивные деления мономов // Программирование. 1998. № 6. С. 22-24.

5. Жарков А. Ю., Блинков Ю. А. Инволютивные системы алгебраических уравнений // Программирование. 1994. № 1. P. 53-56.

6. Поммаре Ж. Система уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983. С. 1232.

УДК 513.6

С.И. Небалуев, И.А. Кляева

ТЕОРИЯ ТОЛЕРАНТНЫХ КУБИЧЕСКИХ СИНГУЛЯРНЫХ ГОМОЛОГИЙ

Статья содержит доказательство естественной изоморфности групп толерантных кубических сингулярных гомологий толерантного пространства, определенных различными способами. В статье также дока-

зывается, что эти группы кубических гомологий толерантного пространства естественно изоморфны его симплициальным гомологиям [1,2].

Мы будем рассматривать категорию То, объектами которой являются толерантные пространства (X, т), состоящие из базисных множеств X и определенных на них отношений толерантности т С X х X со свойствами рефлексивности и симметричности. Морфизмами в этой категории являются отображения, сохраняющие толерантность. В этой категории имеются декартовы произведения с покомпонентной толерантностью.

Толерантным отрезком длины т (т € М) назовем толерантное пространство (1т,1т), в котором 1т = { т| к = 0,т} — множество точек деления единичного отрезка на т частей, а толерантность 1т определяется условием

__к I

(V к, I = 0,т) —ьт— к - 1\ < 1.

тт

п

Для п Е N и т = (т1,...,тп) € х N толерантное пространство

(п п \

х 1т., х 1т.\ будем называть толерантным кубом размера

¿=1 ¿=1 у

т = (т1,..., тп). Толерантные кубы размерности т = 1 = (1,... , 1) будем называть простыми.

Определение 1. Толерантное отображение и : (1т,1т) ^ (X, т), где

п

т = (т1,... ,тп) € х М, п € М, назовем п-мерным толерантным сингулярным кубом толерантного пространства (X,т). Если т1 = ... = = тп =1, то толерантный сингулярный куб и : (1x,1т) ^ (X, т) назовем простым. 0-мерным толерантным сингулярным кубом пространства (X, т) будем называть любую точку в X. 0-мерные кубы мы также будем причислять к простым кубам.

Для п ^ 0 обозначим через ^^) абелеву группу, свободно порожденную над Ъ всеми п-мерными толерантными сингулярными кубами пространства (X,т), и положим Qn(X) = 0 для п < 0. Элементы этой

группы Qn(X) будем называть п-мерными толерантными сингулярными цепями в (X, т).

Для каждого п € N определим граничный гомоморфизм

дп : Qn(X) ^ Qn-l(X),

задаваемый на свободных образующих

и

к1

кп

т1 тп

: (Im, 1т) ^ X

формулой

дпи = [^(и) - й)(и)] ,

3=1

(1)

где

(Ли) = и

'к*

т1

к3 -1 к3+1 кп

тз-\ ' тз+1' ' тп

£ = 0,1.

Для п ^ 0 полагаем дп = 0.

Обычным способом доказывается, что (V п € Ъ) дп-1 ◦ дп = 0, что позволяет говорить о цепном комплексе ^^^),дп} толерантных кубических сингулярных цепей пространства (X,т). Любое толерантное отображение / : (X, т) ^ (У, $) индуцирует цепное отображение ) : Qn(X) ^ Qn(Y)}, которое на образующих задается формулой

Qn(f )(и) = f ◦ и. (2)

В результате получается функтор, который вместе с гомологическим функтором на категории цепных комплексов позволяет определить гомологический функтор на категории толерантных пространств То. Однако, как и в алгебраической топологии, эти гомологии подлежат нормировке, так как в противном случае одноточечное пространство будет иметь нетривиальные гомологии во всех размерностях.

Определение 2. Толерантный сингулярный п-мерный (п > 0) куб и :

(1т, 1т) ^ X назовем вырожденным по ]-й координате ^ = 1,п), если

(V г = Т~тс) (V кг =

—,..., ,..., — = и —,..., 0,..., — . (3)

т1 тп/ \ш1 тп/

Обозначим через ^П(Х) подгруппу в 0,(Х), свободно порожденную всеми вырожденными кубами. Так как дп(^п(X)) С ДП-1(Х), то имеем цепной фактор-комплекс {СП(Х) = 0,(Х)/Лп(Х),дп} нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей. При этом толерантные отображения / : (X, т) ^ (У, $) индуцируют цепные отображения {Сп(/) : СП(Х) ^ СП(У)}, действующие на свободные образующие и + ^П(Х) группы СП(Х) по формуле

С„(/)(и + ЯП(Х)) = дп(/)(и) + ЯП(Х) = / О и + £П(Х). (4)

В результате получается функтор С = {Сп}, который в композиции с гомологическим функтором позволит определить функтор толерантных кубических сингулярных гомологий толерантного пространства (Х, т):

Я«(Х) = 0 Н?(Х) = 0 Я„(С„(Х)).

Заметим, что толерантные пути ¡х>то : (1т,1т) ^ (Х, т) в пространстве (Х, т) представляют собой 1-мерные толерантные сингулярные кубы, чьи границы д1ыто = ^то(1) — ^то(0). Это означает, что точки, принадлежащие одной компоненте линейной связности, гомологичны друг другу. Более того, достаточно стандартно доказывается следующее предложение.

Предложение 1. Пусть {Са|а € А} — совокупность компонент линейной связности толерантного пространства (Х, т), тогда эти компоненты можно рассматривать как свободный базис 0-мерной группы Н^(Х) толерантных кубических сингулярных гомологий, то есть

Я?(Х) = 0 Ж • С«. (5)

Это предложение наряду со следующим предложением используется при применении методов ациклических моделей и ациклических носителей.

Предложение 2. Если (X,т) — толерантно стягиваемое пространство, то его группы толерантных кубических сингулярных гомологии имеют вид

п, ч I Ъ, п = 0;

нП^ )= ' 0; (6)

0, п > 0.

Доказательство

Пусть толерантное отображение Г : X х 1т ^ X осуществляет толерантную гомотопию Г : 1х ~ сопв1Х0 (ге1{х0}), где х0 € X. Тогда толерантный путь (¿т^ = Г [х, А) соединяет произвольную точку х с х0, что означает наличие одной компоненты линейной связности в пространстве (X,т). Поэтому первая часть формулы (6) следует из (5).

(п п \

х 1т., х 1тЛ ^ (X, т) — произвольный

1=1 1=1 у

толерантный сингулярный п-мерный куб. Определим новый куб Я(и) € € Qn+1(X) формулой

Я(и)( М = г(и(к1 ,...,—^ ,-У (7)

\т1 тп т/ \ \т1 тп/ т)

поскольку кубы и являются свободными образующими группы Qn(X),

мы получаем гомоморфизм Я : Qn (X) ^ Qn+1(X). Из формулы (7) с

помощью (1) и определения толерантной гомотопии [2] получаем

дп+1Я(и) = Я(дпи) + (-1)п+1и - (-1)п+1 • сопзЬх,. (8)

Пусть теперь с = ^ аи — произвольная цепь в Qn(X), которая

¿=1

определяет цикл с + ) в комплексе {Сп(X),дп}. Это значит, что

дпс € Оп^^). Тогда формула (8) дает следующее:

дп+1Я(с) = Я(дпс) + (-1)п+1с + (-1)п (а}\ • сопзгх0. (9)

Так как из (7) следует, что R(Dn(X)) с Dn+1(X), то формулу (9) можно записать в виде

c = (-1)n+1dn+iR(c) + d,

где d = (—1)nR(dnc) + ^^• constX0 G Dn-1(X). Следовательно, каждый цикл c + Dn(X) в Cn(X) является границей, что и доказывает вторую часть формулы (6).

Так как толерантный куб (Im, ¿m) является толерантно стягиваемым [2, предложения 1.2.3, 1.2.4], то как следствие получаем

*?(« = ( Z ^ = 0; (10) q \ 0, q > 0.

Повторим теперь построение толерантных кубических сингулярных гомологий, ограничившись простыми кубами. Обозначим через Qf (X) абелеву группу, свободно порожденную простыми толерантными сингулярными кубами

(n n \ _

х /То1, х ьтЛ ^ (X,т), ki G {0,1}, i = 1,n,

для n > 0 и точками пространства (X, т) для n = 0. Граничные гомоморфизмы dn : Qf (X ) ^ i(X), группы вырожденных простых сингулярных кубов (X) с QS(X), (n > 0) определяются как и раньше и удовлетворяют свойству dn(Df (X)) с 1(X). Это позволяет определить цепной комплекс {Cf"(X) = QS(X)/Df (X),dn} простых нормализованных цепей и группы простых толерантных кубических сингулярных гомологий пространства (X, т):

HS(X) = Hn(CS(X)), n ^ 0.

Теорема 1. Два ковариантных функтора C и CS из категории толерантных пространств T0 в категорию цепных комплексов являются естественно цепно гомотопно эквивалентными.

Доказательство

Выберем среди объектов категории Т0 множество моделей

М

п

п

Мт = М(т1,...,тп)

х ^т^, х Ьт^

¿=1 ¿=1

п € N и{0}, (V г = 1, п) тг € N

Функтор С на категории Т0 с моделями М является по построению не отрицательным, а согласно формуле (10), ацикличным в положительных размерностях. Но функтор С не является свободным на категории Т0 с моделями М (см. [3]), что не позволяет непосредственно использовать метод ациклических моделей. Однако функтор С обладает рядом свойств, позволяющих использовать для доказательства идеологию метода ациклических моделей. В соответствии с этой идеологией рассмотрим тождественные отображения:

Имеем ут € Qn(Mm) и ут € Оп(Мт). Зафиксируем классы

Ут = (Ут + Оп(Мт)) € (Мт).

В группе цепей Сп^) произвольного пространства (X,т) имеется свободный базис {и = и + Огп^)}, где и пробегает все невырожденные толерантные сингулярные кубы и : (1т,1т) ^ (X,т). Каждый элемент свободного базиса можно представить в следующем виде:

и = и + Бп^) = и о 1М_ + Оп^) = Сп(и) (1ыш + Оп^)) = Сп(и) (Ут).

^ п ^ 0) ут = У(тх...,тп) = 1 п : (Im, 1т) ^ (Im, 1т).

{<Сп(и)(ут) т € х N,и € НотТо(Mm,X),u/Dn(X)} (12)

является свободным базисом в С). При этом имеем

(V и € Бп^)) Сп(и)(Ут) = 0.

(13)

Это дополнительное условие (13) отличает функтор С от свободного функтора.

Отображения вложения {г„ : О"(X) С )} индуцируют отобра-

жения

р = {р„ : С£(X) ^ СП(Х)}п>с, р„(и + (X)) = и + ЩХ), (14)

которые также являются вложениями. Легко проверить, что отображение р является цепным и естественным по (X, т).

Построим еще одно естественное цепное отображение ^ = :

) ^ С^(X)}п^о, которое будет определяться формулой

(V п ^ 0) ^„(и + )) = ¿„(и) + (X) (15)

и которое будет индуцироваться определяемыми ниже гомоморфизмами ¿„ : (X) ^ О"(X), удовлетворяющими условию jn(Dn(X)) С (X). Поскольку гомоморфизмы ¿„ надо определить на свободных образующих группы ), то рассмотрим произвольный сингулярный куб и :

х /ш., х ¿ш. ^ (X, т), для п > 0. Для произвольных г = 1,п, к =

1ШО х ^ш,-.¿=1 - ¿=1 *,

= 0,Шг — 1 определим простые сингулярные кубы и(к1,...,кп) € О (X) следующим образом:

^г = М) (V ^ = 0ТГ) и(кх,...,к„)(£ъ..., £„) = и ( ,..., к„т+ ^ ) .

\ т1 т„ у

(16)

И в этих обозначениях гомоморфизмы ¿„ для п > 0 определим формулой

Ш1—1 шп —1

¿„(и) = ^ ... X] и(к1,..А). (17)

к1 =0 кп=0

А если п = 0, то положим ¿о(и) = и, для любого 0-мерного сингулярного куба и.

Отметим, что условие ¿n(Dn(X)) С (X), необходимое для индуцирования гомоморфизмов очевидным образом выполняется. Следовательно, гомоморфизмы корректно определяются формулой (15), при

этом из определения jn следует, что

(V n > 0) фп\Сьп (X) = lcs(x). (18)

Цепное свойство для отображения ф = {^n}n^0 следует из цепного свойства для отображения j = {jn}n^0. Это значит, что нам надо проверить равенство

dn(jn(u))= jn-i(dn(u)), (19)

для любого n > 0 и любого толерантного сингулярного куба

I к\ kn \

u

ml mn

(mi-l,...,mn-l) n

dn(jn(u)) = S(-1)i [u(ki,...,k„) \ej=0 - u(kb...,k„)k=l]

(kb...,k„)=(0,...,0) i=i

= T,(-1Y £

i=i (kb...,ki,...,k„)=(0,...,0)

Из формулы (16) легко получить соотношения

'mi — l mi — l

(m1-1,...,mi-1,...,m„-1)

У^ u(ki,...,k„)\ei=0 - ^2 u(ki,...,kn)\ei=l k,=0 k,=0

^ кг = 0,тг — 1) и(к1,...М,...,кп)к=1 = u(kl,...,ki+1,...,kn)|ei=0,

из которых следует, что

т г — 1 т г — 1

У^ и(к1,...,кп)|£г=0 — и(к1,...,кп)|£г = 1 = и(к1,...,кг-1,0,кг+1,...,кп)|£г=0 —

кг=0 кг=0

— и(к1,...,кг_1,тг_1,кг+1,...,кп)|£г=1 = (и|кг=0 ) (^ ,...,кп ) — Нкг=тг ) (к1 ,...,кг ,...,кп )

Это позволяет записать, что

п

дп(]п(и)) = £( —ВДп—1 Ыкг=0 — ик=тг) =

¿=1

= Зп—1( 22 ( — 1)г [ик=0 — и|кг=тг А = ]п—1(дп(и)).

Покажем теперь, что цепное отображение ф = {ф„}„^0 естественно зависит от пространства (X, т). Это означает, что для любого толерантного отображения / : (X, т) ^ (У, $) имеют место равенства

(V п ^ 0) С£(/) о ф„ = ф„ о Сп(/). (20)

Рассмотрим действия гомоморфизмов в (20) на свободные образующие.

(Ш1 —1,...,ш„ — 1)

(С£(/) о ф„)(и + Д^)) = £ / о и(к1,...,кп) + ^(У),

(кь...,к„)=(0,...,0)

(Ш1 — 1,...,ш„ — 1)

(ф„ о Сп(/))(и + Д^)) = £ (/ о и)(к1,...,к„) + (У).

(кь...,к„)=(0,...,0)

Таким образом, формула (20) следует из формулы / о и(к1 ,...,кп) = = (/о ои)(к1,...,кп), которая легко получается из (16).

Осталось доказать, что два естественных цепных отображения р и ф взаимно обратны с точностью до естественной цепной гомотопии.

Так как отображение р является вложением С^(X) С С(X), то из формулы (18) следует, что ф о р = 1сб(Х). Значит, нам осталось построить естественную цепную гомотопию р о ф ~ 1с(х). Другими словами, для каждого толерантного пространства (X, т) надо построить семейство гомоморфизмов = {^Х : ) ^ С^^)}„^0, удовлетворяющих условию

(V п ^ 1) д„+1 о РХ = хХ — 1сп(х) — рХ—1 о д„, (21)

где для краткости обозначено хХ = (р о ф)„ = р„ о ф„. При этом для любого толерантного отображения / : (X, т) ^ (У, $) должно быть выполнено свойство естественности

(V п ^ 0) Сп+1(/) оРХ = о С„(/). (22)

Гомоморфизм можно определить, задав его подходящим для нас образом на элементах свободного базиса (12) группы С„ (X). Условие

(22) применительно к толерантному отображению и : Мш ^ X требует выполнения следующего условия:

п

(V п ^ 0) (V т € х М) (V и € Яошт0(Мш^))

С„+1(и) орМт = РХ о С„(и). (23)

Условие (23) для и € НотТо(Мш,X) \ ), примененное к элементу € Сп(МШ), позволяет определить значения гомоморфизма ^Х на элементах свободного базиса (12) группы ) следующим образом:

п

(V п ^ 0) (V т € х М) (V и € Яошт0(Мш.X) \ ))

РХ (С„(и)(^ш)) = С„+1(и) (рМ"(^ш)) . (24)

Формулы (23) и (13) показывают, что должно выполняться еще одно условие

(V п ^ 0) (V т € х М) (V и € )) С„+1(и) (рМ"(«ш)) = 0. (25) Нетрудная проверка показывает, что имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Если гомоморфизмы р^" : Сп(МШ) ^ Сп+1(МШ) определены так, чтобы выполнялось свойство (25), а гомоморфизмы РХ определяются формулой (24), тогда выполняется свойство естественности (22).

Определим теперь условия для выполнения свойства (21). Если в этом условии взять X = Мш и применить гомоморфизмы этого условия к элементу € Сп(МШ), то получим следующее:

(V п > 0) (V т € х М) дп+1 (РМ"(«»)) = хМ"(Яш) — «ш — 1(дп^ш).

(26)

С помощью формул (12), (24), (22), леммы 1 и естественности отоб-Х

ражения хХ доказывается следующее утверждение.

Лемма 2. Если гомоморфизмы Р^" удовлетворяют свойствам (26) и (25), то гомоморфизмы РХ, определяемые формулой (24), удовлетворяют условию (21).

Из этих двух лемм следует, что для завершения доказательства нам надо построить цепи D^^(vm) € Cn+i(Mm) так, чтобы выполнилось условие (25), затем для произвольного пространства (X, т) определить гомоморфизмы D^ по формулам (24) и проверить, что выполняется условие (26).

Приступим к построению цепей D^^ (vm). Пусть и ^ ^,..., mr) : Im ^ X — произвольный толерантный сингулярный куб, пусть s = 1,n

и (V i = l, s) k = 0,m¿ — l, определим тогда новый куб

u(kb...,ks) : X h X /ms+1 X . . . X /mn ^ X

следующим образом:

(V eb... ,es € {0, l}) (V j = s + 1,n) (V kj = 0, mj)

(ks+i kn \

ei,...,es,-—,...,m =

ms+i mn/

(ki + ei ks + es ks+i kn N

= u

(27)

Ш1 шпу

Рассмотрим цепь

Ш1-1,...,Шя-1

(и) = X и(кь...л) е ^п(Х).

(А1,...,Ав)=(0,...,0)

Очевидно, что если куб и является вырожденным, то ^(^(и) е е Д,(Х). Также выкладки, которые доказывают формулу (19), позволяют получить

I Ш1-1,...,Ш8-1 \ Ш1-1,...,Ш8-1

I ^ и(к1,...,к8) I = ^ (ад^ь...^), (28)

\(Л1,...,ЛЯ)=(0,...,0) / (кь...Л)=(0,...,0)

где

п

(дпи)(кь...А) = [(и|к^ =0)(к1,...,к8) - Н^-=т,-)(Л1,...,ЛЯ^ , (29)

при этом

/|Ч I =0)(к1 к- к)' 1 ^ 3 ^ 5 /О^

(Щк3 =0)(kl,...,ks), 5 + 1 < з < п,

и аналогичная формула для и|^-=т.

Определим теперь толерантные сингулярные кубы 1

и

( ' ) : ( — ^т^) х 1тч х 1тч х ( х ^т;) ^ х 1гтг — Мт

V г=1 / 8 8 \г=8+1 г=1

следующим образом:

(V г = Т/п) (V кг = 0т) (V К = 0т)

и(п,8) (К1_ К1_ К±. кй+1 к'п\ =

\т1та, та, та+1,""> тп) = у_(кк±. кз—1 тах{к3, к'а} к5+1 кп\ = ^

т\ тх "')та—1) та , т5+1, "',тп] = / кк1_ к3—1 тах{кз,к'8} к5+1 кп\

V т1 ,...,т8—1, тз , тз+1''"'тп) ' Свойства функции тах обеспечивают толерантность отображения и(п,8). Определим теперь цепь (7ит) € Сп+1(Мт) формулой

Рп ( Ь' ) (у(т1,...,тп) + Оп(М(т1,...,тп))) = п ! (т1 —1,...,т8 —1) \

= Е( —1)8—1 I Е (Ч^А) + Оп+1(М(ть...,тп))) ) . (32) 8 = 1 \(к1,...,кв) = (0,...,0) )

Используя очевидную формулу

/ € НотТо , У)) / о и(к1,...,кв) = о u)(kl..,ks), (33)

получаем выражение

Сп+1(и) (РППт(Ут)) =

п ! (т1 — 1,...,т8 — 1) \

= Е<—1)8—1 I Е ((и о №(п,8))(кь...,к,) + Dn+l(X)) ) . (34) 8 = \(к1,...,к8) = (0,...,0) )

А так как

(и о ^(п,5))

кп

= и

т, т, ш5+1 тп/ к-1 шах{к5,к,} к5+1 к

\т1 т8_1 т, т5+1 тпУ то из формулы (34) следует, что для и е Лп(Х) имеем свойство (25).

Осталось проверить свойство (26). Используя формулы (32), (28), (29)

и (30), получаем

дп+1 (^ (V-)) = п (Ш1_1,...,т8_1) ( в-1

= Е(_1)'

в=1

"-1 Е Ш^»3 (®<п'"1

(кь...л)=(0,...,0) 1^=1 1

3 =0 )

- ^'-"к,=т,)

+ (-1)

- ^^=тя

(к1,...,/г8)

+ (-1)

5+1

^(п,5)|к8=0) ^(п,5) =0)

(к1,...,кя)

+ Е (-1)3+1 (У^к-

3 = 5 + 1

(^ъ.-Л)

^(п,5)|к.=0 ' 7(к1,...,к8)

- (

+ Лп(МжП .

(35)

Слагаемое (^(п,5)|к3=0)(кь...Д) = (У{тх,...,тп))(кХ)..,ка-{) имеет знак в (35) равный (-1)2в-1 = -1. Слагаемое (^(п,в)|ка=т^ вырождено по переменной . Следовательно,

(V г = М) (V к = 0,тг - 1) (м(п,в)|*-т.) г е ЩМ-).

V / (к...../г.)

Слагаемое (^(п,5)|// =0)(кь...Л) = ,...,/.) имеет знак (-1)25 = 1. Все

слагаемые вида (^(п,5)|// =-.)(/ь...Л) е ЩМ-), так как (^(п,5)|// =-.) имеет вырождение по переменной . Эти выкладки показывают, что в сумме (35) при последовательных значениях параметра в произойдут множественные сокращения, после которых останутся слагаемые вида

- ^(п,1)|/1=Л г + Д(М-) = -V- + ^п(Мт) = -у— \ /

(т-1 — 1,...,тп — 1)

Е (<«(п'8,к=0)

(к1,...,кп)=(0,...,0)

к! + Оп(Мт) =

(к1,...,кп)

(т1—1,...,тп—1)

= Е (Ут)(к1,...,кп) + Оп(Мт) = Х^ (ут).

(к1,...,кп )=(0,...,0)

Принимая это во внимание, а также формулу (30), перепишем (35) в следующем виде:

(Ут)) = —1Сп(Иш)(Ут) + Х^ (Ут) +

(т-1 -1,...,т8-1)

+ Е (—1)8+3-1 { Е

(к1,...,к8) = (0,...,0)

и(п,8) |к,=0)

(к1,...,к8)

— (»("'8)|к, =т-

(к1,...,к8)

+

(т1 —1,...,т8 —1)

+ Е (—1)8+' < Е

К8<Кп I (к1,...,к8)=(0,...,0)

и(п,8)|к^.=0)

(к1,...,к8)

(к1,...,к8)

+ Оп(Мт).

(36)

Найдем теперь выражение для цепи р^^у^), используя правило

(24).

Р—КдпУт) = Е( — 1)' (1мт к- =0 + Оп—1(Мт)) '=1

Е( —1)'(1Мт|к,=т, + Оп—1(Мт)) . '=1

(37)

Так как 1М_|к^ =0 + Оп—1(Мт) = Сп—1 (1мжк =0) (у(ть...,т-,...,тп^, то формулы (24) и (32) дают следующее:

(1мт 1% =0 + Оп—1(Мт))

3-1 (т1-1,...,т.-1)

5-1 V1 „..(п-М)

Сп (1М-|к, =0) (-1)5-1 Е

(/1,...,/« )=(0,...,0)

Мп ' / \ +

п1

в=1

(т1-1,...,т,-1,...,т.+ 1-1)

+ Е(-1)

е-1

Е

5=3

(к1,...,/г, ,...,к«+1)=(0,...,0)

(п-1,в)

+ Лп (М(ть...,т},...,т„^ ^ .

(38)

А с помощью формул (4), (33), (31) для в < ] получаем

Сп (1М-=0) (М(п1,.1.1) + Лп (М(-1,...,т,-,...,-„)))

= Кп,5)|к, =0) + Лп(Мт).

Аналогично для в ^ ] имеем

Сп (1Мт|/, =0) (Цп:1!..,^, + (М(-

(39)

)))

= и(п,5+1)|/,=0

1 ^^..^/с,- ^..^я^!)

(40)

'п \М(ть...,т,,...,т„), + Лп(Мт),

причем в соответствии с (30) отсутствие индекса к3- можно не указывать.

Далее следует подставить выражения (39) и (40) в формулу (38), при этом во второй сумме следует произвести замену в + 1 на в. Затем аналогичные выкладки надо провести для случая к3- = т3-. Наконец, получившиеся выражения следует подставить в (37). В результате получим

= Е (-1)

3 + 5-1

(т1-1,...,т.-1)

Е

(Л1,...,Л,)=(0,..,0)

М(п,5)|ь=0

(^Ь-.Л)

- =т,)

+

(т1-1,...,т.-1)

+ Е (-З \ Е

(k1,...,ks)

М(п,5)|/.=0

+ Лп(Мт).

(41)

Объединяя формулы (36) и (41), получаем

дп+^р^ (Ут)) = Х^ (Ут) — 1сп(Мт)(Ут) — Р^Л (дпУт).

Доказательство теоремы 1 завершено.

В качестве прямого следствия теоремы 1 получаем следующий важный результат.

Теорема 2. Определенные выше гомологические функторы Н^ и Н? на категории толерантных пространств Т0 естественно изоморфны, то есть для каждого толерантного пространства (X, т) имеются изоморфизмы групп

(V п > 0) Нп^Н?(X), естественны по (X,т).

Следующим шагом будет сравнение толерантных кубических гомоло-гий с гомологиями, определяемыми через симплициальные комплексы и через сингулярные симплексы [2]. Имея в виду теорему 2 и теорему 2.6.1 из работы [2] достаточно сравнить гомологии Н? (X) и толерантные сингулярные гомологии НЛ(^).

Теорема 3. Для каждого толерантного пространства (X,т) имеются изоморфизмы групп гомологии

(V п > 0) Н?(X)- НЛ^),

естественны по (X,т).

Доказательство

(п п \

х 11, х ьЛ,

п ___

все точки которого х 11 = {(г1,..., £п)|(^ г = 1,п) £г = 0,1} толерантны друг другу. И рассмотрим толерантный п-мерный симплекс (Лп,тп) все точки которого Лп = {Р0,Р1,... ,Рп} также толерантны между собой.

Нам будет удобно представлять точки симплекса Лп как некоторые точки

п+1 ___

(п + 1)-мерного куба х 11 = {(60, ..., 6п)|^ г = 0,п) 6 = 0,1}, а именно

Р0 = (1,0,..., 0), Р = (0,1,..., 0), ..., Рп = (0,0,..., 1).

п

п

Построим сюръективное толерантное отображение рп : ^х 11, х ¿1 ^ (Лп, тп) такое, что рп(г1,..., £п) = Р(60, ..., 6п), где координаты точки Р определяются по формулам Серре

¿0 = £п • £п-1 •... • £ъ

¿1 = £п • £п-1 •... • £2 •(1 -

... (42)

= £п • £п-1 •... • £/+1 •(1 - );

6 = 1 — £

ип ° п-

В работе [2] символом Лп (X) обозначается группа толерантных сингулярных цепей пространства (X, т), свободно порожденная толерантными сингулярными симплексами, то есть толерантными отображениями а : (Лп,тп) ^ (X, т). Определим гомоморфизмы рп : Лп(Х) ^ С?(X) формулой

(V п ^ 1) рп(а) = (-1)па орп + Д?(X), (43)

Р0(а) = а.

Покажем, что гомоморфизмы р = {рп}п^0 являются цепным отображением, то есть нам надо показать, что для произвольного свободного образующего а е Лn(X), при п ^ 0, имеем

дп(рп(а)) = Рп-1(3п (а)),

где

дп(а) = Е(-1)гд^(а), д^(а) = а|{Р0,..., Рг,... , Рп}.

¿=0

Согласно (43) и (1)

п

дп(Мя)) = (—1)п Е(—1) [(а о Рп)к=0 — (а о Рп)|е^=1] + ).

'=1

Из (42) следует

(Vз > 1) (аорп)|е,-=0 = а(Р(0,0,£п ... £з(1 — £2),..., 1 — £п)) € l(X).

Таким образом, дп(^п (а)) = (—1)п

— (а орп)|£1=0 + ^2(—1У+\а орп)|е3-=1 + О8—^) '=1

Формула (42), сюръективность рп и представление Р0 = (1, 0,..., 0) дают следующее:

— (а о рп)|£1=0 = — (а |Р0,Р1,... ,Рп}) о Рп—1 = —дп(0) о рп—1. Аналогично,

(—1)'+1(а о рп)|е7=1 = (—1)'+1 др) о Рп—1.

Следовательно,

п

дпЫа)) = (—1)п Е(—1)+1дп(') о Рп—1

' =0

п

= (—1)п—^ (—V д»4*)) ° Рп—1 = ^-1(дп (а)).

Далее легко проверяется, что цепное отображение = {^п}п^0 обладает свойством естественности, то есть для произвольного / € НотТо(X,У) имеем

С?(/) о ^п = ^п о Лп(/).

Следующей нашей целью является построение цепного отображения, действующего в обратную сторону ф = {фп : С? (X) ^ Лn(X)}п>0.

Построение гомоморфизмов сводится к заданию их на свободных образующих группы CS (X), коими являются классы u + Dn(X), где

(n n \

х Ii, х ¿И ^ (X, т) — невырожденные толерантные сингулярные

n

кубы. Примем сокращенное обозначение /П = х /1 и будем рассматривать конечные линейные комбинации ^ ajAj, где aj G Z, Aj с /п. Распространим отображение u на эти линейные комбинации по формуле

u (Е aj = Е «iu|Aj. (44)

В частности, если определим дп/П как формальную линейную комбинацию

п

dn/n = E(-1)j [/j-1 X {0} х /n-j - /j-1 х {1} х /n-j j=1

то согласно (41) можно записать

dn(u) = u (dn/П). (45)

Эти же идеи применим при работе с толерантными симплексами. Толерантный сингулярный симплекс а : Лп ^ X однозначно определяется упорядоченным набором (а(Р0),..., а(Pn)) попарно толерантных точек из (X, т). Здесь и далее упорядоченность набора обозначается скобками (...). Исходя из этого, симплекс а мы будем рассматривать как толерантное отображение, сохраняющее упорядочение, а : (а(P0),... , а(Рп)) ^X. В дальнейших построениях толерантные симплексы (Лп,тп) мы будем рассматривать как упорядоченные наборы точек толерантного куба (/п, ¿П)

Лп = (Po,Pi,...,Pn|(V k = 0^) Pk = (е 1k),...,^nk)) G /п) .

В таком случае толерантный сингулярный куб u : (/П, ¿n) ^ (X, т) определяет толерантный сингулярный симплекс а = ^Лп = u| (P0,..., Pn) : Лп ^ X.

Определим

п

дп Лп = дп «Р0, Р1,..., Рп)) = Е(—1)' дп(')((Р0, Р1,..., Рп)),

'=1

где

дn(з)((Pо,Pl,...,Pn)) = (Р0,...,Р/,...,Рп) .

Тогда перенос соглашения (44) на симплексы дает аналог формулы (45)

дп (а) = дп (и|Лп) = и|д'Лп = а(д'Лп). (46)

Построим теперь вспомогательное отображение Рп, сопоставляющее толерантному симплексу Лп = (Р0,..., Рп) С формальную линейную комбинацию (п + 1)-мерных симплексов, которая геометрически иллюстрируется разбиением многомерной призмы на тетраэдры

п

Рп(Лп) = (—1)п+1 Е(—1)' ^(Л»), (47)

'=0

где

)(Лп) = Р^т, ...,Рп)) = ((Р0,1),..., (Р3, 1), (Р3, 0),..., (Рп, 0)).

На линейные комбинации п-мерных толерантных симплексов отображение Рп распространяется по линейности.

Договоримся для любого толерантного симплекса Лп = (Р0,... , Рп) С С и для любого £ = 0,1 записывать

((Р0, £),..., (Рп, £)) =Лп х {£} С /Г х /1 = /1п+1,

и распространим это соглашение по линейности на линейные комбинации.

Лемма 1. Пусть Лп = (Р0,...,Рп) С — произвольный п-мерный симплекс, тогда

(дп+1 о Р) (Лп) = (Рп—1 о дп) (Лг) + (—1)г+1 [Лг х {0} — Лг х {1}].

(48)

И более общо, для любой линейной комбинации L = ^ аДП имеем (дП+1 ◦ Dn) (L) = (Dn- 1 ◦ дП) (L) + (-1)п+1 [L х {0} - L х {1}]. (49)

Техника доказательства этого утверждения достаточно стандартная (см., напр., доказательство теоремы 2.2.1 в [2]).

Определим теперь еще одно вспомогательное отображение Rn индукцией по n. Геометрический смысл этого отображения Rn состоит в том, что куб /1n сначала разлагается на призмы, с учетом разложения куба /П-1, а затем разложить призмы на тетраэдры с помощью Dn. Итак, для n = 0 и для 0-мерного куба /0, представляющего собой точку, полагаем

Ro(/0) = /0. (50)

Для n =1 формально представляем // = /° х /1 = {(/°, 0), (/0,1)} = = {0,1} и полагаем

R 1 (/1) = R 1 (/0 х /1) = D0(R0(/0)) = D0(/0) = -(1,0). (51)

Наконец, для любого n > 1, поступаем аналогично, полагая

Rn(/П) = Rn(/1n- 1 х /1) = Dn- 1 (Rn- 1 (/П- 1)). (52)

По построению Rn(/f) представляет собой формальную целочисленную линейную комбинацию n-мерных симплексов, вложенных в /f.

Лемма 2. Для всех n ^ 1 имеет место формула

dn (Rn(/n)) = Rn-1(dn(/D). (53)

Проведем индукцию по n. При n = 1 из (51) следует

d1 (R1(/1)) = d; (-(1,0)) = -((0) - (1)) = (1) - (0). А из (1) и (50) получим

R0(^(/í)) = R0((-1)1[{0} - {1}]) = -((0) - (1)) = (1) - (0).

Таким образом, при n = 1 формула (53) справедлива. Сделаем предположение индукции о справедливости формулы

dn-i(Rn-i (If-1)) = Rn-2(dn-i(/r-1)). (54)

Применяя формулы (52), (49), (54), а также определение dn(If), получаем

df (Rn(If)) = df (Dn- i (Rn- i (If- 1))) = Dn-2(df_ i (Rn- i (If- 1))) +

+ (-1)n [Rn- i(If- 1) x {0} - Rn- i(If- 1) x {1}] = Dn-2(Rn-2(dn- i(If- 1))) + + (-1)n [Rn- i(If- 1) x {0} - Rn- i(If- 1) x {1}] = Rn- i {dn- i(If- 1) x Ii +

+ (-1)n [If-1 x {0} - If-1 x {1}]} = Rn-i (dn(If)). Лемма 2 доказана.

Теперь мы можем определить гомоморфизмы Фп : CS (X) ^ An(X), n ^ 0, задавая их на свободных образующих группы CS(X) формулой

(V n > 0) фп (u + Df(X)) = u|Rn(If). (55)

Докажем, что ф = {Фп}п^0 — цепное отображение, то есть

(V n ^ 1) (dn о Фп)(u) = (Фп-1 ◦ dn)(u), (56)

где U = u + DS (X) — произвольный элемент свободного базиса в Of (X), однозначно определяемый невырожденным сингулярным кубом u : (If, if) ^ (X,t). Воспользуемся формулами (55), (46), (53), (45) и получим

(df о ^n)(u) = d'n(u(Rn(If))) = u(dn(Rn(If)))) = u(Rn- i(dnIf)) =

= Фп- 1 (u|dnIf + DS- 1 (X)) = Фп- 1 (dnu + DS- 1 (X)) = (Фп- 1 о dn)(u).

Далее с сожалением приходится констатировать, что отображение ф не является естественным по (X, т) в категории T0. Это связано с тем,

что композиция / о и невырожденного сингулярного куба и с произвольным толерантным отображением / может оказаться вырожденным кубом. В связи с этим мы зафиксируем пространство (X, т) и рассмотрим категорию А(Х), объектами которого будут подкомплексы цепного комплекса Л(Х), упорядоченные по включению, а морфизмами — сами эти включения. Применим в этой ситуации метод ациклических носителей

[4].

Каждое толерантное вложение А С X индуцирует вложение симпли-

о о

циальных комплексов S (А) С5 (X), вершинами которых являются точки из А и из X, а симплексами являются конечные наборы попарно толерантных вершин.

Напомним [2], что свободными образующими групп цепей Лп^) являются толерантные отображения а"п : (Лп,тп) ^ (X,т), которые однозначно определяются упорядоченным симплексом (ж0,..., жп), в котором X = а"(Д), г = 1,п. Договоримся обозначать (а) = (ж0,...,жп). Множество ап(Лп) = {ж0,...,жп}, если удалить точки встречающиеся по-

о

вторно, является симплексом в симплициальном комплексе S (X). Обозначим этот симплекс {ап}. Воспользуемся стандартным обозначением:

о о о

=5 (ап(Лп)) С5 (X) — подкомплекс в 5 (X), состоящий из всех граней (то есть подмножеств) симплекса {ап}. Поскольку каждый сингулярный симплекс можно отождествить с упорядоченным симплексом (ап) и это отождествление согласовано с граничными операторами, то

цепной комплекс Л^) можно отождествить с комплексом упорядочено

ных цепей симплициального комплекса 5 (X), который в связи с этим

о

мы будем обозначать Л(5 (X)). Таким образом, для толерантного вложе-

оо

ния А С X, индуцирующего вложение 5 (А) С5 (X), имеется вложение цепных комплексов

Л(А) = Л(5 (А)) С Л(5 (X)) = Л^). (57)

Обозначим через Л(ап) = Л(ап(Лп)), тогда толерантное вложение

ап(Лп) С X согласно формуле (57) дает вложение цепных комплексов Л(ап) С Л^). Если ап-1 € Лn-l(X) — толерантный сингулярный симплекс, являющийся гранью симплекса ап € Лп^), то есть д'^^п) = (ж0,..., ¿с^,..., жп) = ±ап-1, для некоторого ] = 0,п, то в знак этого будем писать ап-1 < ап. Из (57) следует

ап_1 < ^ Л(ап_1) С Л(ап). (58)

В терминологии работы [4] формула (58) означает, что соответствие ап ^ Л(ап) определяет функцию-носителя из цепного комплекса Л^) в Л^). А так как все точки толерантного подпространства ап(Лп) С X попарно толерантны, то подпространство (ап(Лп),т) толе-рантно стягиваемое [2, предложение 1.2.3]. Следовательно, цепной комплекс Л(ап) ацикличен в положительных размерностях (а пополнен-ный(приведенный) комплекс ацикличен во всех размерностях). Тем самым имеем все условия для применения метода ациклических носителей.

Рассмотрим теперь два отображения х = ^ ◦ р, 1Л(Х) : Л(X) ^ Л(X). Возьмем произвольный элемент свободного базиса в Лп^), то есть произвольный сингулярный симплекс ап : (Лп,тп) ^ (X, т). По построению (см. формулы (55), (43), (52), (47)) имеем

Хп(ап) = о рп)(ап) = (_1)па о рп|Яп(/1П) € Лп(ап). (59)

Формула (59) означает (см. [4]), что отображение х переносится построенной выше функцией-носителем. Очевидно, что отображение 1л(х) также обладает этим свойством.

Наконец, опять же по определению отображений р и имеем х0 = = о р0 = 1л0(х), что означает (см. [4]), что отображение х является собственным.

Осталось констатировать, что налицо все условия теоремы 3.4.13 [4], из которой следует существование цепной гомотопии

х = ^ о р ~ 1л(х). (60)

Рассмотрим еще одну пару цепных отображений Х = Ф о Ф, 1ся(х), к которым также применим метод ациклических носителей. Для каждого толерантного сингулярного куба ип : (/»,1») ^ (X, т) подпространство ип(/Г) С (X, т) является толерантно стягиваемым. Следовательно, цепной подкомплекс С8(ип) = С8(ип(/Щ)) С С8(X) является ацикличным в положительных размерностях, а соответствующий приведенный (пополненный) цепной комплекс является ацикличным. Если куб ип_ : /Г—1 ^ X является одной из граней куба ип, то есть (3 з =

= 1,п) (3 а € {0,1}) ип—= ип|^.=а, что будем обозначать ип—< ип, тогда очевидно ип—1(/Г— 1) С ип(/Г). Следовательно С8(ип—1) С С8(ип). Поскольку произвольный элемент ип = ип + О8 (X) свободного базиса группы С8 (X) однозначно определяется невырожденным сингулярным кубом ип, то естественно обозначить С8(ип) = С8(ип) = С8(ип(/Щ)). В этих обозначениях имеем

йп—1 <йп ^ С8(йп—1) С С8(йп).

Это значит (см. [4]), что соответствие ип ^ С8(ип) определяет ациклическую функцию-носитель из С8 (X) в С8 (X).

С помощью определений функций ф и ф получаем

ХП(ип) = (фп о Фп)(ип) = ип|(Яп(/1Г) о Рп) € СБп (и»),

что означает, что отображение Х переносится функцией-носителем. Отображение 1с«(х) с очевидностью обладает этим же свойством.

Так как отображения Х и 1с5(х) в нулевой размерности совпадают, то их пополнения совпадают в размерности — 1. Отсюда следует [4, следствие 3.4.5] существование цепной гомотопии

х' = Ф о Ф - 1с«(х). (61)

Из цепных гомотопий (60) и (61) следуют равенства для индуцированных гомоморфизмов групп гомологий

ф* о ф* = 1ЯЛ(Х), Ф* о Ф* = 1н5(X). (62)

Следовательно, имеется изоморфизм р* : НЛ(Х) = (X). А так как цепное отображение р : Л(Х) ^ (X) является естественным по (X, т), то и изоморфизм р* является естественным по (X, т). Доказательство теоремы 3 завершено.

Библиографический список

1. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Monifolds. New-York: M.K. Ford(ed), 1962.

2. Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

4. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. М.: Мир, 1966.

УДК 517.927

В.Н. Поляков

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Замкнутые линейные операторы с плотной в гильбертовом пространстве В областью определения будем называть Х-операторами [1]. Х-оператор А назовем ^/-формально нормальным, если Р^А^ С С Р(А*) и ||7А7/1| = ||А*/1| для всех / € = 7£(А).

Здесь Р(А) — область определения оператора А, Ш(А) — его аннулирующее подпространство, а J — некоторый оператор сопряжения: (<7/, ^д) = (д,/) и </2/ = / для любых /, д € В. ^-формально нормальный оператор А, для которого D(JAJ) = Р(А*), будем называть J-нормальным. J-формально нормальными операторами будут, например, Асимметрические Х-операторы, для которых просто JAJ С А*.