Свойства сингулярных кубов в толерантных расслоениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Небалу ев С.И.,Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З.

4. Небалу ев С.И.,Кляева Н.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского Государственного Университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57).

5. Ху Сы-цзян Теория гомотопий. М.: Мир. 1964.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА Свойства сингулярных кубов в толерантных расслоениях

В статье приведен ряд специальных свойств сингулярных кубов в толерантных расслоениях, описано действие фундаментальной группы базы на группе гомологий слоя толерантного расслоения, доказана теорема, позволяющая по ТС кубам в базе и слое, чьи В и Т8 проекции с точностью до подходящего замедления совпадают с исходными кубами, восстановить ТС куб в пространстве расслоения.

В гомотопической теории толерантных пространств роль единичного отрезка параметров гомотопии играет бесконечная серия толерантных отрезков (1т, 1т) длины т (т £ Н), где

1т = {т|к = 0т}, (V к, I = о~Ш) т ^т т -1| ^ 1

Два толерантных отображения /0/ '-(У, в) — (X, т) называют толе-

п

рантно гомотопными и записывают /о - /1, если существуе т тех Ни толерантное отображение ^ : У х 1т —^ X такое, что

Г|(У х 0) = /о, Г|(У х 1) = /ь

Отображение Г называется толерантной гомотопией. Если т = 1, то Г называется простой толерантной гомотопией и записывается /0 ~ /\.

Определение 1. Толерантным кубом размера т = (ш\,... ,тп) Е N

(п п \

х 1т., х ьт. I , а лю-

¿=1 ¿=1 у

бое толерантное отображение и : (1т, 1т) — (X, т) называетсяп-мерным толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) пространства (X, т). ТС

п

куб называется пунктированным, если и|(х {0,1}) = жо, где х0 — отмеченная точка в X. ТС куб и называется вырожденным, если и вырожден по последнему аргументу, т.е. не зависит от этого аргумента.

Определение 2. Полным двойным замедлением ТС куба и : 1т —* X

назовем ТС куб и : х 1М. — X такой, что Мг = 2(тг + 1) — 1, г = 1, п, и

¿=1

(V * = °,М„4 = !,„) = и (¿-

кг ~2

¿=1,п

^-кратное полное двойное замедление будем обозначать Можно выполнять полное двойное замедление разной кратности по разным аргументам

_^ V Л /Ш __.

((^,.. .,Нп)(и) : х 1М. — X, Мг = 2^(тг + 1) — 1, г = 1,п,

¿=1

^...а,)^ =и (т

кг

г=1,п

Определение 3. Толерантное отображение р : (Е,т) — (В,т) называется толерантным расслоением, если для всякой толерантной гомотопии Г : У х 1т — В имеется накрывающая гомотопия Г : У х 1т — Е, такая, что р о Г = Г, ПРИ условии, что тачальное отображение /0 = Г|(У х 0) имеет накрывающее отображение /0 = Г|(У х 0) такое, что р о /0 = /0.

Пространства (E,t) и (В,т) называются соответственно пространством и базой толерантного расслоения.

Предложение 1. Для любого пунктированного ТС куба, u : I(m(i),..,m(s)) ^ В существует, число l(u) £ N U {0} и пунктированный ТС куб w(l(u)) : I(M(i)...,M(s)) ^ E, M(i) = 2(l(u))(m(i) + 1), i = l^s такие, что p o w(l(u)) = uvl(u).

Доказательство

Рассмотрим множество вершин ja| a £x {0,С I(m(i);...;mW) толерантного куба Im = I(m(i),.,m(s)) и отметим вер шину ao = (0,..., 0).

s

s

имеет вид x {0,1}. Согласно предложениям 1.2.3. и 1.2.4. из [2] имеется толерантная гомотопия

G : Im x IN ^ Im G : constao ~ 11ш (rel{ao}).

Она индуцирует другую гомотопию

u o G : u o constao ~ u o 1Im, u o G : constbo ~ u.

Так как p o constXo = consta, то по свойству накрывающей гомотопии

p

G' : Im x IN ^ E, G'l (Im x 0) = constXo, p o G' = u o G. (1)

Из (1) в частности следует, что ТС куб w' = G'|(Im x 1) : Im ^ E удовлетворяет свойству

p o w' = u

А так как ТС куб является пунктированным, то из (2) следует, что

(Va £ x {0,1}^ p o w'(a) = p(w'(a))= u(a) = b0 (3)

Это значит, что все вершины xa = w'(a) лежат в линейно связном слое (F,t). Воспользуемся этим, чтобы преобразовать w' в пунктированный

ТС куб с сохранением (2) с точностью до кратного полного двойного замедления.

Ввиду линейной связности (Г, т), для каждой вер шины жа существует толерантный путь такой, что

^а(0) = Жа, Ы«(1) = Ж0 (4)

Можно считать, что длины т1(а) этих путей одинаковы. В противном случае следует взять продлен ия где т1 = = тах |т1(а)|а Ех {0,1}|? ЧТ0 не нарушит свойства (4). Получим теперь искомый ТС куб и (/(и)) с помощью индуктивного построения. Начнем с и(0) = и' и построим ТС куб:

и(к+1): /(ма>...,мц1)— Е,

г(г) _ + 1) — 1 = 2М^г)

М^ = 2(М^г) + 1) — 1 = 2М(г) + 1 = 2к+1 (т(г) + 1) — 1, г = 1,5,

Vk(г) = 0,Мк(++1, г = м)

'М!) ^ •( М!) г=,Е х {01}; -Лк+1) = а ех {0,1}.

т1 Г V м- .

к+1/ г=1,в

Легко доказывается, что отображение и(к+1) является толерантным и для него имеют место свойства:

и< = (^) ; (5)

Р о и(к+1) = иУк+1.

Следовательно, при к + 1 = т1 имеем ТС куб

и(т1) : 1(м(1),...,мс») — Е, М(г) = 2т1 (т(г) + — 1, г = М;

и(т1)(а)= ы«(1) = Ж0;

р о и(т1) = иУт1.

Это значит, что можно взять /(и) = т1, и (/(и)) = и(т1). Предложение 1 доказано. □

Определение 4. Будем говорить, что ТС кубм : I(m(i) m(n)) ^ X имеет вырожденность равную t, если

= 0,mj), j = 0,n^ u = u|k(n-t+i)_._k(n)=0,

ТС куб v : I(m(i);...,m(n-t)) ^ X, v = u|k(n-t+i)_._k(n)=0 является невырожденным.

Будем говорить, что ТС куб u : I(m(i);...,m(n)) ^ В имеет вес v(u) = s, если ТС куб p о u : I(m(i)r..,m(«)) ^ B имеет вырожденность t = n — s.

Вес ТС куба u в пространстве (В, т) имеет очевидные свойства:

0 ^ v(u) ^ n = dim u, (6)

(V j = lTV(u^) (V £ = 0Д) v(dj) <v(u), (7)

(V j = v(u) + 1,n) (V £ = 0,1) vЦе) = v(u), (8)

Рассмотрим произвольный пунктированный ТС Ky6u : I(m(i)r..,m(«)) ^ В. Зафиксируем число s такое, что v(u) ^ s ^ n, и обозначим t = n — s. Определим два новых ТС куба:

Bsu : I(m(i),...,m(s)) ^ B Fsu : I(m(s+i),...,m(s+t)) ^ В Bsu = p о u|k(s+i)_._k(s+t)=o,

Fsu = u|k(i) = ...=k(»)=0. Отметим, что ввиду неравенства v(u) ^ s и пунктрнрованностп u, имеем

Р о u|k(i)=...=k(s)=o = Р о u(0,..., 0) = p(xo) = bo,

откуда следует, что Fsu - ТС куб в В. Определенные выше ТС кубы Bsu и Fsu обладают рядом очевидных свойств:

v(u) < s ^ Bsu — вырожден; (9)

и — вырожден, £ = 0 ^ В8и — вырожден; (10)

и — вырожден, £ > 0 ^ Т8и — вырожден; (11)

(V] > з)(Уе = 0,1) Ва§и = В3и, Т^3и = и. (12)

Теорема 1. Пусть имеются два произвольных пунктированных ТС куба

и : 1(т(1)(и),...,т(а)(и)) ^ В, У : 1(ш(1)(у),...,ш(*)(у)) ^ Е,

где линейно связные толерантные пространства (В,т) и (Е,т) являются базой и отмеченным слоем пунктированного толерантного расслоения

р :((Е,т),хо) ^ ((В,т),Ьо), Ьо е В, хо е Р—1(Ьо) = ^ с Е

и пусть 1\(и) и 12(и) — два неотрицательных целых числа, определяемые следующими формулами

1\(и) = 1(и) = Ш\, (13)

12(и) = ^ 2 Ы^Хш^Хи) + 1) — 1] +1. (14)

Тогда существует пунктированный ТС куб

™ = №(и,у) : !(И(1)(и),...,М(')(и),М(1)(у),...,М(*)(у)) ^ (E,т), в котором

М(г)(и) = 2(11(и))(ш(г)(и) + 1) — 1, I = 1,з; (15)

(и))1

М^(у) = 2(Ы2(и)Хш(])(у) + 1) — 1, ] = 1,г, (16)

и который удовлетворяет следующим свойствам:

1. V(,ш) ^ з,

2. В3('ш) = иу11(и),

3. Т8('ш) = V

I (Vj = M) (V£ = 0,1) ds+j (w) = d(0,..., 0,/2(u),...,l2(u))

s t—1

(W(u,dj(v))) ,

5. v — вырожденный ^ w — вырожденный.

Доказательство

Воспользуемся индукцией по t = dim v. t=0

ложения 1, которое уже доказано.

v

dim v < t

dim v = t

что ТС куб v - вырожден, т. е. v = d°(v) = d^(v). Тогда определим ТС куб w = W(u,v) как вырожденный ТС куб, задаваемый формулой

W(u,v) = d(0,...,0, ¿2(u),..., ¿2(u)) (W(u,d0(v))) (17)

s t

Условие 5) имеет место по построению. Условие 1) следует из (17) и предположения индукции, т. к. dim d°(v) = t — 1. При проверке условия 2) также воспользуемся предположением индукции:

Bs(w) = p о w|k(s+i)_._fc(s+t)=o =

= p о W(u, d°(v))|k(s+i)=...=k(s+i-i)=o = uv1i(u). И еще раз применим предположение индукции для проверки условия 3):

Fs(w) = w|k(i)=...=k(s)=o = , ¿2(u),. ••, ¿2(u)) (W (u,d°o(v))) |k(i)=...=k(s)=o =

s t

= (Fs(W (u,d? (v))))Vl2(u) = (((d°o(v ))v(t—1)12(u))Vl2(u) = vvt'12(u). Проверим теперь условие 4). Если j = t, то (17) дает нам

dS+t(w) = w|k(S+i)=e = d(0,. „ , 0, ¿2(u),. .., ¿2(u)) (W(u,dj(v))).

s t- 1

Если ] < то (Ц (у) - вырожденный ТС куб. Тогда по предположению индукции №(и,(Ц(у)) — тоже вырожденный ТС куб. Поэтому имеем:

,Ци),. ..Ми)) (№ (и,(%у))) =

в г—1

(1(0,_.._,0,12(и),... Ми)) (№(и,Щ(V))))

г-1

,12(и),..^.,12(и)) I ((0У,_.._10,12(и),..^.,12(и)) (№(и,(1—1 ◦ (з(V

г-1 \ в г-2

,12(и),... Ми)) I ,12(и),...Ми)) (и,(3 ◦ (Ц(V)))

в г—1 \ в г—2

= ((0),0, ¿2 (и),... ,12 (и)) ((+ (№ (и, (-(V)

г-1

= I ((0,..., 0Ми),---Ми))(№ (и,(%&))) I =

г

= (№ (и^))

в+з

Рассмотрим теперь случай, когда V — невырожденный ТС куб размерности Согласно предположению индукции имеем следующий набор ТС кубов пространства ((Е,т),х0)

{№(и,(3(V)) | ] = 1,1, е = 0ТГ} , (18)

каждый из которых является пунктированным и удовлетворяет свойствам 1)-5). Каждый ТС куб №(и,^^)) семейства (18) является толерантным отображением, определенном на толерантном кубе вида

в з—1 г

¿/м(<)(и) х ¿/м^(З,^)) х {е} X .з+^мы^у))^

где М^((з(V)) = 2((~г—1")1'2(и)(ш(г(V) + 1) — 1, г = 1,Ь. Каждый из Т кубов

вида (19) является толерантным подпространством Т куба ' в г в г \

¿11М(0(и) х гХ11М(<)(ду) гХ11М(0(и) х Х\М(*)(ду) I (20)

где М(г)(д-) = 2((г—^^(ш^^-и) +1) — 1, г = 1,£. Легко показать,что ТС кубы набора (18) согласованы на ребрах Т куба (20), т. е. на пересечениях Т кубов (19) ТС кубы набора (18), одновременно определенные на этих пересечениях, принимают одинаковые значения, т.е.

Ж (-))(Р) = Ж (и, 42 (-))(Р). (21)

Однако, этой согласованности, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы с помощью набора ТС кубов (18) определить толерантное отображение на толерантном пространстве

в / г

¿'м(О(и)х д | Л'мо»(д«)

" Г

Ввиду этого, вместо набора (18) рассмотрим набор ТС кубов вида:

¿(0,..., 0,1,..., 1) (Ж(и, ^(-))) Ц = М, £ = 0,1, (22)

в 1 J

который определяет толерантное отображение на

......." (й".....*") ■

Это отображение, совпадающее с ТС кубами набора (22) на множествах

их определения, обозначим Ж (и, д-).

Следующей целью является построение толерантного продолжения этого отображения на весь Т куб (20). Это можно сделать после подходящего замедления по £ последним аргументам.

Искомое отображение сначала построим в точках, чьи первые й координат имеют вид

к(1)/М (1)(и), 0,..., 0] , к(1) = 0, М (1)(и). Начнем с к(1) =0

ние Ж (и, д-) равно одному из ТС кубов ¿(0,..., 1,1,..., 1) (Ж (и, ¿^(-и))

г-1

на области определения последнего. Следовательно имеет место предположение индукции, позволяющее применить свойство 3), в результате чего получаем:

г г

IV(«,д«) | {0} х д(Д'зм«(Э»+1) = И<г—:1>'2(»)+1) | д(^х1'2ми(Л,)+1)

(24)

Формула (24) подсказывает очевидный способ определения продол-г

женного на х '2м(¿)(^)+1 толерантного отображения: .7=1

г

^о : {0,..., 0} х .х1'2мй)(^)+1—► ^о С ^

г 7= г (25)

^о | {0}х Д'2Мй)(а*)+1= Vу((г—1)/2(м)+1) | Д'2мо)(а*)+1

Перейдем теперь к случаю к(1) = 1. В силу толерантности отображения

Ж (и, д-) для любых толерантных точек ^^'в пространстве

гг

д( х '2М(^')(5«)+1) С х '2М . =1 . =1

имеем

Ж (и, д-)(0,..., 0, д) т Ж (и, д- )(1/М (1)(и)0,..., 0, д'). (26)

Имея ввиду свойства 1) и 2), которые следуют из предположения индукции, введем обозначение следующей точки из (В,т)

Ь1 = р о Ж (Ц,ду)|({(1/М (1)(и), 0,..., 0)} х д ( X '2м(^)(д^)+1) = (27)

4-V-' 7=1

в

= му/1(и)(1/М(1) (и), 0 ..., 0).

Так как Ь0 = иу11(м)(0,..., 0) то очевидно, что Ь1 тЬ0. Как обычно обозна-

1г чим слойр-1(Ь1) = Рассмотрим Т куб х '2Мо)(,%)+1 х '1 и определим

7=1

ТС куб в пространстве (В,т):

г

/ =1'2М(^)(д«)+1 х '1—► (В,т) гг / КД'2М0')(^)+1 х {0}) = Ьо, /|(.=1'2М(^)(д«)+1 х {1}) = Ь1.

Согласно формуле (25) отображение 7| ( х /2мся^ш х {0}) поднимается

з=1

в (Е, т) до отображения и0. Свойство накрывающей толерантной гомо-

топии для толерантного расслоения р : (Е,т) —> (В,т) обеспечивает

существование толерантного отображения _ г __ г

/ :з=112МЙ)(^)+1 X /1-► ^^ Р ◦ / = /, / |( .=112МЙ)(^)+1 х {0}) = и

з=1

Ввиду свойства р о 7 = 7 и определения / имеем толерантное отображение

г х

з=1

г г

Ч = 7 к.=Лм(;)(^)+1 X {1}) : {(1/М(1)(и),0,...,0)} х .х/2М(;)(^)+1-^ .

г х

з=1

Отображение в отличие от и0, на граничном толерантном пространстве

{(1/М (1)(и), 0,..., 0)} х д (.=1/2м ^)(а^)+1)с {(1/М (1)(и), 0,..., 0)} х .=Лмш^т

может не совпадать с предписанным отображением W(и, д-). Чтобы получить такое совпадение, мы должны подправить на этой границе. Но сделать это мы должны так, чтобы сохранить толерантность под-

7

нуждены взять 2-кратное полное двойное замедление ТС кубов ио и

7

г

х I

по аргументам из з=1 2м0)(д^)+1 .

На следующем рисунке схематично изображен интересующий нас Т

куб

ъ М

ъ ъ // 1

ъ ъ ъ Ъ ъ

Ь

. . . хх 1/8М(з)(9У)+7. . .

Ь

Г0 = д =1/8м(з) (ди)+7)

Г Г2

Гз

ъ ъъ

ъ ъ У/,

ъ Ъ//

-

ъ ъ Уу

ъ У/.

ъъ ъ

На рисунке через Г0, Г1, Г2, Г3 обозначены границы четырех концен-

г

трических Т кубов. Г0 представляет собой границу д( х 18М(Л(дУ)+7) со-

з=1

стоящую из граней,

(3 I г Х118М(*)(дУ)+7 I = \ ( к^ \ к^3

8М (г)(ди)+7; г=т~г

8М ^^ + 7

=е

Соответствующие грани, из которых состоят Гг,г = 0,3, задаются в кубе

х 18м(.з)(дУ)+7 следующими уравнениями 3=1

к(в+з)

8М (з )^) + 7

г

е —

8М ^^) + 7

В виду 2-кратного полного двойного замедления отображения иО2 и и'^2 на подпространстве

г

Го и Г1 и Г2 и Гз С^/вм (*)(ду)+7

будут принимать значения, которые принимали отображения ио и на г

границе х 12М(¿^ш- В частности, в заштрихованной области отобра-

г=1

жение иО2 тождественно равно х0. Заметим, что в нашем распоряжении

Го

отображение

(((0,_.^0, З,.^!) (№ (и^)))| {{(1/М (1)(и), 0,..., 0) х Го) .

в г—1

Рассмотрим X = Г0 и Г и Г^, в котором толерантность наеледуется изТ г

куба х 18М(¿)(дУ)+7, определим толерантное отображение д : X х 11 —> В

г=1

следующими равенствами:

д1(Го х 11) = Ь1, д1(Г1 х {0}) = Ьо, д|(Г х {1}) = ^, д|(Г х ) = ^ (28)

д ЬотЬ1

ние д|(Х х {0}) до отображения д|(Х х {0}) : X х {0} ^ (Е,т) которое

определим формулами

д|(Го х {0}) = (¿(0,..., 0,3,..., 3) ^(и, д-)))| ({(1/М(1)(и), 0,..., 0) х Го)

р|(Гх х{0}) = <2| ({(0,..., 0)хГ1),

р|(Г2 х {0}) = <2| ({(1/М(1)(и), 0,..., 0) х Г2) .

(29)

Толерантность отображения д|(Х х {0}) следует из (25), (26) и из толерантности отображения 7 Накрывающее свойство р о д|(Х х {0}) = = д|(Х х {0}) следует из (28), (29), а также из свойства 2) для W(и, д-),

77

Т.о., мы можем применить свойство накрывающей гомотопии для толерантного расслоения р : (Е,т) —> (В,т), из которого следует, что отображение д поднимается до толерантного отображения д : X х /1 —> —> (Е,т), продолжаюгцегод|(Х х {0}) и накрывающего д, т. е. род = д. Определим теперь отображение

г

и : {(1/М(1)(и),0,...,0)} хгх1/8м( ^ ^ С Е,

которое нужным нам образом „подправляет" отображение (или точнее и^2) и определяется формулами

г

и1|({(1/М(1)(и),0,...,0)} х (з=1/8М(^)(д^)+7\Х))=

г

= <2|({(1/М(1)(и),0,...,0)} х (Д/мичаоМХ)),

и1|({(1/М(1)(и), 0,..., 0)} х Г2 = д|(Г2 х {0}) =

= <2| ({(1/М(1)(и),0,...,0)хГ2) ,

и1|({(1/М(1)(и),0,...,0)} х Г1 = д|(Г1 х {1}),

и1|({(1/М(1)(и), 0,..., 0)} х Го = д|(Го х {0}) =

= (¿(0,..., 0,3,..., 3) ^(и, д-)))| ({(1/М(1)(и), 0,..., 0)} х Го) .

(30)

Толерантность отображения и1 следует из (27) и толерантности отображения д. Более того, из толерантности отображений д и / и из

2-кратности полного двойного замедления и^2 следует толерантность отображения

: {(к(1)/М(1\и), 0,..., 0)|k(1 = 0Д}х^м^д^ — Е,

которое определяется следующим образом

гг иод|({(0,..., 0)} х¿118ма)(ду)+7)= ^оУ2|({(0,..., 0)}х ^(¿¿)до)+7\Х)

г

ЩцК{(1/М (1)(и), 0,..., 0)} х х118м Щду)+7) =

г

= и,Ш1/М(1)(и), 0,..., 0)} х ¿1Ш Щд,.)+7).

(31)

Отображение и>о"у по построению удовлетворяет следующим свойствам:

VКд) ^ 1, (32)

В^щ) = иУк(и) {(к(1) /М(1) (и), 0,..., 0)|k(1) = 0Д} , (33) Ы<ит) = V ^(г—1)Ми)+3, (34)

(V] = 1,£) (\+з (ищ) =

(((0,...^0, З^.^З) (№ (и,^^)))) \{(к(1)/М(1)(и), 0,..., 0)|k(1) = 0,1} х

г

х 3 х1 18М (¿)(ду)+7).

(35)

Описанную выше процедуру, примененную в случае

к(1)

=1

выполнить еще М (1)(и) — 1 раз для к(1) = 2, М(1)(и). После этого мы будем иметь толерантное отображение

иоМЩ ':{ (мЩЦ) Д...>о) ¡к(1)=°^[^} х г * 121+2М(1ЩмЩду)+1) — 1 —^ Е, которое удовлетворяет свойствам:

V(иоМЩй)) < 1, (36)

^К^гщ) = |{(к(1) /М(1) (и), 0,..., 0)|к(1) = 0,М (1)(и)} , (37)

(У; = М) (^о,м(1)(иу)

= И^Ж-Ж+ш(1)(и), (38)

(¿(0,..., 0,1 + 2М(1) (и),..., 1 + 2М(1) (и)) (Ж (и,^))^ |

¿-1

t

|{(к(1)/М<1)(и),0,...,0)|к(1) = 0,М^»(«»х ^(.х /,1+2„(1,(„(мю^)-^

(39)

Кроме того, важно отметить, что отображение и>0 м(1)^ является пунктированным ТС кубом. В самом деле, вершины этого ТС куба имеют вид

в

t

где а-вершипы Т куба х 121+2М(1)(")(М^)(д«)+1)-1 и П0ЭТ0МУ5 согласно построению ТС куба и>0 м(1)(ц)? эт0 будут некоторые из вершин ТС кубов вида

¿(0,..., 0,1 + 2М(1) (и),..., 1 + 2М(1) (и)) (Ж (и,^))) , в ¿-1 которые являются пунктированными, согласно предположению индукции.

Введем теперь в рассмотрение еще одну переменную к(2) = 0,М (2)(м), и снова проведем построения во многом аналогичные предыдущим. Отправным пунктом этих новых построений будет отображение и>0 ма)(ц)? которое из соображений краткости и удобства обозначимэд(1)0. Рассмотрим Т куб

£

К = ^М(1)(м) х 11 х ,Х1 ^21+2м(1)(«)(м(0(3«)+1)-1

и (1)( и) 'м (2)( и)

0,...,^ |к(1)=0,м(1)(и),к(2)=0,^ х х 121+2м(1)(И)(М(0(а^)+1)-1

Это толерантное пространство для краткости обозначим (К, 1) и определим толерантное отображение Г : (К, и) —> (В,т) Если через Ц обозначим произвольный набор значений £ последних аргументов, то положим по определению

Г \Мт(и), МЮ(и)'0,...,0,ч) и \М(1)(и)' ММ(иУ0"., )

(40)

Отображение Г|к(2)=о поднимается в (Е,т) до отображения и(1)о, которое согласно свойству (37) накрывает Г^^^ = р о и(1)о. Так как р — толерантное расслоение, то существует толерантное отображение Г:

(ЗГ :(К,1) —^ (Е,т)) Г|к(2)=о = и(1)о, р о Г = Г. (41)

Рассмотрим отображение и'(1)1 = Г^(2)^. Толерантное отображение и'(1) 1 согласно (41) и (40) имеет проекцию, не зависящую от£ последних аргументов. Отображение и'(1)1 так же как и и[ требует исправления на множестве

г

!м(1)(и) х д(х1 121+2М(1)(и)(мМа)(ду)+1) —1)

чтобы принимать на этом множестве значения, предписанные предположением индукции. Как и раньше выполняем 2-кратное полное двойное замедление по £ последним аргументам. Затем в Т кубе

г

гх1 121+2м(1)(и)(М(г)(ду) + 1) — 1

берем ту же самую систему концентрических границ, что и на рис. 8,

Го, Г1, Г2, Г3

рантное пространство

2

У = и 1М(1)(и) х Гг,

г=о

которое является подпространством в соответствующем Т кубе со стандартной толерантностью, и определим толерантное отображение

2

С : У х /1 = У 1м(1)(и) х 11 хГг —► В

г=0

следующими формулами:

С| (/м(1)(и) х /1 х Г0) = и^11(м) | (/м(1)(м) х {(1/М(2)(и), 0,_.^0)}),

в-2

С| (/м(1)(и) х {0} х Г1) = и^1(м)|(/м(1)(и) х {(0,__0)}),

в-1

С| (/м (1)(и) х {1} хГ1) = му/1(и)|(/м (1) (и) х {(1/М (2)(и), 0,..., 0)}),

С| (/м(1)(и) х /1 х Г2) = и^1(и)|(/м(1)(и) х {(1/М(2)(и), 0,..., 0)}),

что является аналогом (25). Поднимем отображение С|(У х {0}) до С|(У х {0}) —> Е, определяемого следующим образом:

С| (/м(1)(и) х {0} х Г0) =

= ,1 + 2М (1)(и),..., 1 + 2М (1)(и)) (Ж (и,^)) |(/м (ад х

в ¿-1

х {(1/М(2)(и),0,...,0)} хГ0),С| (/м(1)(и) х {0} х Г1) =

= (¿(0, 2,._.^0)(^(1)0))|(/м(1)(и) х {(0,..., 0)} х Г1),

г

С| (/м(1)(и) х {0} х Г2) =

= (¿(0,2^^0)(^/(1)1))|(/м(1)(и) х {(1/М(2)(и),0,...,0)} х Г2) г

что аналогично (28). Толерантность отображения С|(У х {0}) обеспечивается конструкцией отображения и>(1)0, его 2-кратной замедленностью, толерантностью отображения Жа также толерантностью Е. Накрывающее свойство р о С|(У х {0}) = С|(У х {0}) следует из свойства 2) для Ж (и, ди) и из накрывающего свойства (41) для Е

и Г. Отсюда по свойству накрывающей гомотопни для толерантного расслоения р : (Е,т) —> (В,т) существует толерантное отображение С : У х 11 —> (Е,т) продолжающее ОКУ х {0}) и накрывающее С, т. е. р о С = С. Далее строим толерантное отображение

и(1)1 : {(к(1 /М(1 (и), 1/М(2^(и), 0,..., 0)|k(1) = 0,М(1)(и)} х г

х 121+2М(1)(и)+2(м(¿)(ду)+1) — 1 * Е,

которое исправляет отображение и(1)1 нужным образом, о чем говорилось выше. Отображение и(1)1 определим по аналогии с (30):

и(1)]\{(к(1)/М(1)(и),1/М(2)(и),о,...,о)\к(1)=о,М(1)(и)} х г2

х (х 121+2М(1)(и)+2(м(¿)(ду)+1) — 1\ г=о Гг)) =

= (d(0, 2,..., 2)(w'(1)l))\({(k(1)/M (1)(u),l/M(2) (u),0,...,0)\k(1)=0,M «(u)} X t 2

X (iXl 121+2M(1)(«)+2(M(i)(öv)+l)-l\ r=0 Гг))

w(l)l \({(k(1)/M (1)(u),l/M (2)(u),0,...,0)\k(1)=0,M (1)(u)} X Г2) =

= G\ (Im(1)(u) X {0} X Г2) = = (d(0, 2,..., 2)(w'(1)l))\({(k(1)/M (1)(u),l/M (2)(u),0,...,0)\k(1)=0MW)} X Г2),

w(l)i_ \({(k(1)/M (1)(u),l/M (2)(u),0,...,0)\k(1)=0,M (1)(u)} X rl) = = G\ (lM(1)(u) X {1} X rl) ,

w(l)]_ \({(k(1)/M (1)(u),l/M (2)(u),0,...,0)\k(1)=0,M (1)(u)} X Го) = = G\ (IM(1)(u) X {0} X Го) =

= (d(0,..., 0,1 + 2M (l)(u) + 2,..., 1 + 2M (l)(u) + 2) (W (u, dv)) \ \(Im (1)(u) x {(1/M (2)(u), 0,..., 0)} x Го). w(1)l

ния G. Толерантность отображений и 2-кратность полного двойного замедления в (d(0, 2,..., 2)(w(1)0)) позволяет определить толерантное

отображение

эд(1)0П : {(к(1)/М(1)(и), к(2)/М (2)( и), 0,..., 0)|к(1) = 0, М(1)(и), к(2) = 0,1} х

г

г х1 /21+2М(1)(«)+2(м(0(^)+1)-1 * Е

такое, что ^(1)0;т|к(2)=0 = (¿(0, 2,..., 2)(Ц1)0)), Ц1)0д|к(2)=1 = Ц1)ь

Далее мы проводим такие же построения еще М(2)(и) - 1 раз для к(2) = 2,М(2)(м), в результате чего получим толерантное отображение

)0,м (2)(и)

™(1)оЖТ : {(к(1)/М(1)(и), к(2)/М(2)(и), 0,..., 0)|к(г) = 0, М«(и), г = 1, 2} х

^ =1 /21+2(м(1)(«)+м(2)(«))(м(4)(д«)+1)-1 * Е

удовлетворяющее следующим свойствам:

^И1)0,м(ад) ^2,

В2(^(1)0>м(2)(и)) = иУ/1(м) |{(к(1)/м(1)(и),1/м(2)(и),0,...,0)|к(1)=0,м«(^,¿=12} , ^2(^(1)0,М(2)(и)) = 1)^12(и)+1+2(м(1)(и)+м(2)(и))),

(¿(0,..., 0,1 + 2(М(1)(и) + М(2)(и)),..., 1 + 2(М(1)(и) + М(2)(и))

в г-1

¿51

(Ж(и,^5(^)))) | |{(к(1)/м(1)(и),1/м(2)(и),0,...,0)|к(1)=0,м«(и),г=1,2} х

г

х (^х1 /21+2(м(1)(«)+м(2)(«))(м(¿)(д«)+1)-1)), ^(1)0 м(2)(и) _ пунктированный ТС куб.

Затем мы вновь переобозначаем ^(1)0 м(2)(и) = и>(2)0 и переходим к следующей переменной к(3) = 0,М(3)(и). Наши построения завершатся, когда будет получено толерантное отображение

1)0,м(я)(и) х1 /м^(и)- х1 /21+2(м(1)(и)+...+м(я)(«))(м(¿)(д«)+1)-1

г

Кроме того 12(и) = 1 + Е М(г)(и) и 2/2(м)(М+ 1) - 1 = М(V),

_ ¿=1

; = 1, Поэтому можно сказать, что в результате всех построений имеем

толерантное отображение

- 1}0,м(»)(«) : 7(м(1)(м),...,М(в)(и),М(1)(«),...,М«(«)) удовлетворяющее следующим свойствам:

В (Ц* - Ц^) = и^Ч ^ (Ц* - 1)о^) =

Е,

(V; = М)(Уе = 0,1)

- 1)0,М(«)(и)) = ^Оц^}, ¿2(и) , . •• ,12(и)) (>

в 1

— 1)0 м(а)(м) " пУнктиРованный ТС куб.

Т.о., в случае невырожденного ТС куба V в качестве искомого ТС куба и = W(и, V) можно взять построенный ТС куб — 1)омМ(й) = = W (и, V) = и.

Теорема 1 доказана. □

Отметим, что 1-мерными пунктированными ТС кубами являются замкнутые толерантные пути, другими словами - петли с вершинами в отмеченной точке. Пусть ы : (/то(^), 1ТО(^)) —> (В,т) — толерантная петля с вершиной в точке ы(0) = ы(1) = Ь0. Ее можно рассматривать как толерантную гомотопию точечных отображений, и поэтому, согласно определению толерантного расслоения, имеется ы : /то(^) —> Е - толерантный путь, накрывающий ы, то есть р о ы = и, и такой, что ы(0) = ж0.

>

Так как и - петля, то и(1) £ р—1(и(1)) = р—1(Ьо) = Г. В линейно связном пространстве (Г, т) возьмем толерантный путь и : 1т(^) —> Г из и(0) = и(1) в и(1) = хо. Тогда толерантный путь = и * и является петлей в (Е, т) с вершиной в хо. При этом петля накрывает продленную петлю и1 т(ш)+т(Щ- Значит для каждой петли и : 1т(ш) —> В с вершиной в Ьо имеется натуральное число М ^ т(и) и толерантная петля : 1м —> Е с вершиной в точке хо такая, что р о = и1м-

М

М(и) = шт{М £ Н| (З петля и^ : 1М —> Е) р о и^ = и1мМ} (42) Очевидны свойства

т(и) < N < М(и) М(и1д) = М(и); (43)

N ^ М(и) М (и1д) = N. (44)

Воспользуемся введенными понятиями и обозначениями в следующем предложении.

Предложение 2. Пусть и : 1т(ш) —> (В,т) — произвольная толе-

Ьо = и(0) = и(1)

V : 1(т(1)(у),...,т(п)(у)) -> Г

— произвольный и-мсрный пунктированный ТС куб. Тогда, существует пунктированный ТС куб

^^ : !(М(ш),м(1)(у),...,М(п)(у)) -► E,

в котором М(и) определено в (42), (V ] = 1,п) М^^ = (m(3")(v) + +1) — 1, 1(и) = 2М(и) и который удовлетворяет следующим свойствам:

1. (V)) = V,

2. p o Ww (v) = (w),

5. (Vj = M)(Ve = 0,1) (Ww(v)) = d(0,/(u),...,l(u)) (Wwj

___ j'

n— 1

v — вырожденный ТС куб^ Ww(v) — вырожденный TС куб.

Доказательство

Утверждение предложения 2 является частным случаем теоремы 1, которая применяется к случаю, когда u = ы1;м(w), l1(u) = 0 □

Замечание 1) к предложению 2. Из предложения 2 и свойства (43) следует:

т(ы) ^ N ^ M(ы) ^ Ww = Ww1in = (и). (45)

Замечание 2) к предложению 2. Прямое доказательство предложения 2 должно повторять пошаговые построения wn в доказательстве теоремы 1. При этих построениях, в случаях когда

Ы1М (w) ( Йл) =bk+1 == Ы1'м м ( МЫ)) ,

можно не использовать свойство накрывающей толерантной гомотопии для расслоения р. В этих случаях для построения k + 1 -го шага можно взять построения предыдущего шага с учетом 2-кратного замедления. В результате будем иметь дополнительное свойство:

ы1,м(w) ^M+W}) = ы1,м(w) (mr) ^ Ww{ {M+W)} х j=П1 Jm(j)(v)

(46)

n

= Ww í {mr} х jX 1 JM(j)(v)

Отсюда в частности следует, что

(Vk = т(ы),М(ы)) Ww ( {Mwy} х .X i Imü)(„) ) =

ímíwll

l M(w) /

n

= Ww и x x i

) J X jX 1 M(j)(v)

а при условии (44) , еще, что:

N ^ М(и) ^

^ WUltN(V) = ¿(0, — М(и))) (№^^). (48)

4 '

п

Замечание 3) к предложению 2. При прямых построениях отображения можно потребовать выполнения дополнительного свойства:

(VI ^ 0) (VУ1 ) = ¿(0,(V)) (49)

п

Свойство (49) обеспечивается , если при построении Wш, после задания Wш (V), удовлетворяющего свойствам 1)-4) предложения 2, ТС куб WUJ ) определяется формулой (49).

Определение 5. ТС куб (V), существование которого было доказано в предложении 2 называется деформацией ТС куба V, накрывающей

и

Отображение Wш можно распространить по линейности до гомоморфизма степени 1 групп пунктированных ТКС цепей

{Ж, : ЯП(Г) —^ ЯП+1(Е)|п > 0} .

Наличие свойства 4) в предложении 2 показывает, что можно корректно определить гомоморфизм степени 1 групп пунктированных НТКС цепей

Wш : С '(Г) —^ С '(Е),

задав его на свободных образующих следующей формулой

Wш (V + (Г )) = Wш М + БП'+1(Е)).

Этот гомоморфизм будем называть деформацией групп С '(Г) в С '(Е)

и

тот факт, что

и (0) = и (1) = Ьо

показывают наличие эндоморфизма степени О

Ф, : С'(Е) С'(Е),

который на свободных образующих задается формулой

Ф. (V + ^ (Е)) = (V)) + ^ (Е). (50)

Гомоморфизм Ф, обладает следующим квази-цепным свойством :

(д о Ф,XV + )) = ((Ф. о д)(v + )))У/(,). (51)

Для групп циклов 2'(Е) имеем

Ф.(2'(Е)) с ). (52)

Аналогичное свойство для границ:

Ф.(В'(Е)) с В'(Е). (53)

Из (52) и (53) получаем, что гомоморфизм Ф, индуцирует гомоморфизм групп гомологий (Ф,X : Н'(Е) —> Н'(Е).

Предложение 3. В принятых выше обозначениях и при наличии свойства (48) имеет место равенство

(^ ^ т(и)) (Ф.1^)* = (Ф.)*. (54)

Предложение 4. Пусть две толерантные петли и и 7 в пространстве (В,т) с вершиной в точке Ь0 = и(г) = 7(г) имеют одинаковую длину т = т(и) = т(7) и являются толерантно гомотопными:

и - 7 (ге/{0,1}). (55)

И пусть толерантную гомотопию (55) осуществляет толерантное отображение

и : 1ш(1)(м) Х 1т(2)(м) -> B,

т. е.

m(1\u) = m, d2(u) = u\ (Im x {0}) = u, d\(u) = u\ (Im x {1}) = y,

d°2(u) = u\ ({0,1} x Im(2){u)) = bo. Тогда для произвольного n-мерного пунктированного ТС куба

v : I(m(1)(v),...,m(n)(v)) -> F

существует (n + 2)-мерный пунктированный ТС куб U (v):

I(M(1) (u),M(2) (u),M(1) (v),...,M(n) (v)) * E,

в котором

M(1)(u) = m + max {m(U),m(Y)} = M, M(2)(u) = 2(n+1)L(m(2)(u) + 1) - 1

M(j)(v) = 2n^L(m(j)(v) + 1) - 1, j = 1/n, L = 2M, и который удовлетворяет следующим свойствам:

(U1) v(U(v)) ^ 2;

(U2) B2(U(v)) = d(0, (n + 1)L)(ui,m);

(TTo\ d0(U(v)) ( k(2) k(3) k(n+2) \ = VnL ( k(3) k(n+2) \ .

VU 3 d1(U (v)) ^ M (2) (u) , M (1)(v),. . . , M (n)(v)) = V \M (1)(v),. . . , M(n)(v)J ;

(U4 d°2(U(v)) = WuhM(v), d\(U(v)) = WlhM(v);

(U5) (Vj =ТП (Ve = 0j) dej+2(U(v)) = d(0,L,^LJ(U(d%v)));

n-1

(U6) v - вырожденный TС куб ^ U(v) - вырожденный ТС куб.

Доказательство Аналогичное доказательству теоремы 1. □

Нетрудно показать, что эндоморфизм (Ф^)* зависит только от класса [и] толерантно гомотопных петель.

Теорема 2. Пусть и : 1т(.) —> В и 7 : /т(7) —> В - две толерантные петли с вершиной в точке Ь0 = и(г) = 7(г), г = 0,1. Если две эти петли являются толерантно гомотопными путями, т.е. и ~ 7? тогда соответствующие им гомоморфизмы групп гомологий слоя (Е,т) совпадают:

(Ф.)* = (Ф7)* : Н'(Е) Н'(Е). □

Итак, каждому элементу [и] фундаментальной группы п(В,Ь0) базы (В,т) толерантного расслоения р : (Е,т) —> (В,т) ставится в соответствие эндоморфизм

Ф[.] = (Ф.)* : Н'(Е) Н'(Е) (56)

группы гомологий слоя Е = р-1(Ь0).

Замечание 1) к теореме 2. Как уже отмечалось, гомоморфизм (Ф. X можно определить имея отображения W, со свойствами 1)-4) из предложения 2 без дополнительных свойств, причем способ построения W, является несущественным. В дальнейшем мы будем иметь дело с петлями и в (В,т), уже имеющими накрывающие их петли в (Е,т). Как

и

пня и1;я, N ^ М(и) Для этих петель т(и) = 0,М(и) = т(и),1(и) = 2т(и). Если имеются две такие петли и и 7 в (В,т), имеющие одинаковую длину т(и) = т(7) = М, и являющиеся толерантно гомотопными отображениями: и — 7 (ге/{0,1}) то для пет ель и и 7 остается верным и неизменным доказательство предложения 4 (оно даже упрощается ввиду того, что и1;м = и, 71;м = т)- При этом доказательство не использует дополнительных свойств, кроме свойств 1)-4) из предложения 2. Следовательно, при тех же условиях имеет место и теорема 2:

и — 7М{0,1}) ^ (Ф.), = (Ф7),. (57)

В частности (57) имеет место, когда и = 7 и при этом W, строится, как в доказательстве предложения 2, и обладает дополнительными свойства-

ми (46)-(49), в то время как WY строится произвольно и обладает лишь свойствами 1)-4) из предложения 2.

Замечание 2) к теореме 2 и предложению 4 Пусть и - толерантная петля в ((B, т), b0), имеющая накрывающую ее петлю в ((E, т), ж0). И пусть имеется отображение wi1(i)), удовлетворяющее свойствам 1)-4) из предложения 2, в которых /(и) заменено па фиксированное /'(и) ^ /(и). Тогда отображение Ф^ (i)), задаваемое формулой

Ф№» (v) = dj(wf (i))(v)), (58)

индуцирует гомоморфизм

Отметим, что предложение 4 остается справедливым, а его доказательство неизменным, если заменить /(и) на /'(и), a на wi/(i)), и соответственно /(y) на /'(y) = /'(и), a WY на W-f (y)). Поэтому и в доказательстве теоремы 2 можно сделать такие же замены, в результате чего будем иметь

и - y(re/{0,1}), /'(и) = /'(y) ^ (ф?И))^ = (ф?™) . (59)

Из (59) в частности следует, что если взять и — y = и, то получаем независимость гомоморфизма ^Ф^ от способа построения отобра-

жения wi1 (i)), удовлетворяющего свойствам 1)-4) из предложения 2 при /(и) /'(и)

Wf(i))(v) = d(0,n ■ (/'(и) - /(й)))(Ж,(v)), n = dim v. (60) 4 '

n

Следовательно, применяя (60) в определении (58), получаем для любого цикла z Е Zn (F):

Ф^»^) = (Ф„ (z))v(r (i)-1(i)).

Но согласно предложению 7 работы [3], которое можно использовать в виду (52), имеем гомологичность

(Фш(г))^'(ш)-1(ш)) Фш(г).

г)

Таким образом, переходя к индуцированным гомоморфизмам на группах гомологий, получаем

)* = Ф )*• (61)

При этом, как следует из замечания 1) к теореме 2, правая часть в (61) может определяться через удовлетворяющее как свойствам 1)-4) из предложения 2, так и дополнительным свойствам (46)-(49).

Итак, подводя итог двум сделанным замечаниям 1) и 2) к теореме 2 в определении (56) эндоморфизма Ф^ = (Фш)* в правой части можно брать петли ш, имеющие накрывающие их петли и использовать для определения гомоморфизма (Фш ^произвольные отображения wШl (ш)) с ¡'(ш) ^ 2ш(ш)7 удовлетворяющие свойствам 1)-4) из предложения 2 с заменой ¡(ш) = 2т(ш) на ¡'(ш).

Покажем теперь, что соответствие

[ш] е п(В, Ьо) Ф[ш] = (Фи)* : Я'(Г) Я'(Г) (62)

определяет действие группы п(В, Ь0) па группе Я*(Г). Заметим, что из свойства (46), свойства 1) из предложения 2 для постоянного путиш = £ь0 и V = V + Б(Г) следует

Ф£Ьо (V) = с1\№Ьо (V)) = (V)) = Vv ).

Это позволяет, используя предложение 7 работы [3], получить

Фк] = ^о )* = ). (63)

Рассматривая далее две произвольные толерантные петли ш, 7 в (В,т) с вершиной в Ь0 е В и, продляя их до петель (ш) и 1\миимеющих

накрывающие их петли в (Е,т) с вершиной в х0 Е Е, согласно определению и свойствам отношения — (см.[2], гл.1, п.З), будем иметь

и * 7 — и1,м(.) * 71,м(7), откуда по теореме 2 получаем

(Ф.*7) * (Ф.1,М( ы)*71,М(7) )*.

По определению (50)

Ф

ш) *"71,м (7)

(V) =

,м (ш)*71,м (7) (V))

А по построению в доказательстве предложения 2:

' к

тс:

.1,м (ш)*71,м (7)

М {

М (и) + М (7 У ¿=1

} Х . Х 1М(4)(«;.,7)

¿(0,п-2МЫ)^^)(V)) {МЪ} Х . Х /м(0(«;.,

¿=1

,7)

к = 0,М (и);

=

^71,м(7) (V))) ( {^мМг} Х , Х /М(0(„;„>7)

¿=1

к = М(и), М(и) + М(7);

где

М«(V; и, 7) = 2п(2М(.)+2М(^(т^) + 1) - 1, г = М;

ТС:

.1,м (ш)

Возьмем формулу (66) за определение отображения Wc

(64)

(65)

(66)

.1,м (ш)*71,м (7)

. Со-

гласно (57), это можно сделать, так как определенное в (66) отображение удовлетворяет свойствам 1)-4) из предложения 2 при наличии для ^^ м(7) дополнительного свойства (49). Использовав (66) в (65), получим:

Ф

.1,м (ш)*71,м (7)

(V) = ¿1 (Ж

.1,м (ш) *71,м (7)

(V)) =

¿¡(№'7 (¡(И'„ (г^^Ф-, (Ф. (V))

Формулы (64), (65), (67) и (62) в итоге дают

Ф[шЫч] = ] = Фь] ° Ф[ш]. (68)

Объединяя формулы (63), (64), (68) получаем утверждение:

Теорема 3. Пусть р : (Е,т) ^ (В,т) — толерантное расслоение с линейно связными базой (В,т) и слоем (Г = р-1(Ь0),т). Сопоставление каждому классу толерантно гомотопных петель [ш] е п(В,Ь0) автоморфизма Ф[ш] е АиЬ(Н'(Е)) определяет представление (гомоморфизм) фундаментальной группы п(В, Ь0) базы (В,т) в группу автоморфизмов группы гомологий Н' (Г) слоя (Г,т). Или другими словами, фундаментальная группа п(В,Ь0) базы (В,т) действует на группе гомологий Н'(Г) слоя (Г,т).

Докажем теперь еще одно утверждение, которое показывает связь ТС куба и с ТС куба ми Вв(и) и Та(и).

¡+г

Теорема 4. Пусть и : х 1т(г)(,ш) —► Е — произвольный пункт,ирован-

г=1

ный куб, удовлетворяющий условию V(и) ^ й. Возьмем соответствующие ТС кубы в базе и слое

и = Вв(и) : х 1т(г)(и) —> В, т(г\и) = т(г\и), г = 1,б;

г=1

V = Та(и) : X 1т{з)) Г, т(з\у) = т(в+з)(и), ] = 1,1. з=1

Определим натуральные числа ¡2 = ¡2(и) = 2^2 т(г)(и),

г=1

М(з)^) = 2^2(т(з)(V) + 1) - 1,] = 1^, М = 2Ы2+1 - 1.

Тогда, существует пунктированный ТС куб

в+г г

Б ¡¡(и) : х 1т(г)/и) х 1м х х 1м(з)(у) —► Е, г=1 3=1

который удовлетворяет следующим свойствам

(Dl) v(Ds(w)) ^ s;

(D2) Bs(Ds(w)) = (Be(w)) = u;

(D3) Fe(De(w)) = (Fs(w))vt-/2 = vvt^2;

(D4) d0+1(Ds(w)) = d(^, Fj£)(w), d1+1(Ds(w)) = W (u,v);

s t

(D5) (Vj ^ s) (Ve = 0,1) d^+i(De(w)) = d^,^s^(De(d^(w)));

s t-i

(D6) t > 0 w - вырожден ^ Ds(w) - вырожден.

Доказательство Проведем индукцию по ¿.При t = 0 нам надо доказать существование

s

пунктированного ТС куба Ds(w) : х Im«(M) х I1 —> (Е,т) такого, что

¿=1

1) v(Ds(w)) ^ s;

2)p о Ds(w) = (p о w) = u;

3)Ds(w)(^_0^, ^) = w(0,..., 0) = x0, V ks+1 = 0,M;

s

4)d0+1(Ds(w)) = w, d!+1(Ds(w)) = W(u,0) = w.

Этим свойствам очевидно удовлетворяет ТС куб Ds(w) = w, так как при построении W(u, v) в теореме 1 в базе индукции с помощью ¿1 (u) -кратного полного двойного замедления требуется построить пунктированный ТС куб w(/1(u)) накрываюгций u, в нашем же случае имеем ¿1(u) = 0, w(/1(u)) = w, p о w = u.

Далее делаем предположение индукции о том, что утверждение теоремы 4 верно для всех ТС кубов w таких, что dim(Fs(w)) = dim v < t. Рассмотрим ТС куб w размерности s + t, у которого v(w) ^ s и dim (Fs(w)) = t. Если ТС куб w является вырожденным, то есть

и = ^+г(и), то, пользуясь предположением индукции, полагаем по определению

Д-(и) ^ (Д-(и)) = ¿(^Л,^)(Д-(^+гИ)). (69)

Проверим свойства (Д1) — (Д6). Свойства (Д1) и (Д6) очевидны. Для доказательства свойства (Д2) заметим, что из (12) следует

В-(^+гИ) = Д-И = и. (70)

Используя (69), (70) и предположение индукции, будем иметь следующее:

В-(Д-И) = В- (и)))) =

= р О /2, 12)(Д8(^+г(и)))|кв+1=А;(«+1)=...=кС-+е+1)=0 =

= р ◦ Д-(^-+г(и))|к8+1=к(«+1)=...=к(«+^)=0 = (Д-(^+г(и))) = и Для проверки свойства (Д3) заметим, что из определения ^ следует, что ^(и) = V является вырожденным ТС кубом. Поэтому из (12) следует

Ъ №+») = ^Н) = ^) = V. (71)

Заметим также, что из (70) следует, что /2 (ДД^+Ди))) = /2(и) = /2. Учитывая эти замечания и применяя предположение индукции, получаем

^(Д-И) = (¿(0,/2,5)(Яв №+* (и))))|А(1)=...=А(.)=0 =

= ¿(/2,/2)(Д5 (¿:+^(и))|к(1)=..^)=о) = (^(ДД^И)))^ =

= (г—^ )у/2 = (Vу (г—^^ )у/2 = VV .

Перейдем к проверке свойства (Д4):

¿0+1 (д-Н) = ¿0+1 (¿(о,/2,/2)(д5(^:+^(и)))) =

= ¿(0,(¿0+1(Д-(^+гИ))) =

г-1

= d(0, J2j(d(h, (t -l)kWs+t(w))) = d(40> JhJM. t-i ( t— ' s t

А теперь в дополнение к предположению индукции применим (70), (71)

и (17):

dl+i(Ds(w)) = dl+i (d(0,l2,H)(Ds(dS+t(w)

d(0,k) (d\+i(Ds(dS+t(w

= d(0,l2)(W (u, Fs (ds+t (w)))) =

= d(0,12) (W (u, d£t(v)))) = W (u, v).

Для проверки свойства (D5) рассмотрим два случая. Сначала предположим, что j = s + t. Тогда в виду вырожденности Ds(w) и формулы (69) имеем

dS+t+i (Ds(w)) = Ds(w) = d(fl,l2,k)(Ds(dSS+t(w))).

Если j < s+1, тогда ТС куб d£(w) - вырожден и мы можем использовать предположение индукции и формулу (69), заменив t иа t - 1:

dt+i(w)(Ds(w)) = d(0,l2, J^) (dfJ+i(Ds(dS+t(w)))) =

t-i

= d(0,l2, j22j(d(0,l2, J^) (Ds(dtt(dSS+t(w)))) =

t-i t-2

= d(0,l2, T^) (Ds(dj (w))) . t-i

w

что v(w) ^ s, dim (Fs(w)) = dim v = t. Возьмем семейство ТС ку-

бов {(£+(и)\] = 1,Ь, £ = 0,1}. Очевидно, что V((£+£ и) ^ й для всего семейства. При этом формула (12) дает

(V £=ц) (V £=од) Ба((1£а+](и)) = Ба(и) = и,

Та((£+] (и)) = (£ (Та(и)) = (£ (V). (72)

По предположению индукции имеем семейство пунктированных ТС кубов

И)|; = 1,*, £ = 0,1}, (73)

удовлетворяющих свойствам (В1) — (В6). Как и при доказательстве теоремы 1, отсюда делаем вывод, что семейство

(w)))|j = 1,t, £ = 0,1} определяет толерант-

s+1 t-1

ное отображение

Ds(w,dv) : х /TO(i)(M) х /2(t_i).í2+i-i x d ( x /2М(j)(dv)+J —► (e,t) «=i \j=i /

где M (j)(dv) = 2(t-1)^2 (m(s+j )(w) +1) — 1. Выполненное 1-кратное полное двойное замедление можно не считать отдельно, а учитывать его в последующих замедлениях. Отображение Ds(w,dv) надо распространить на весь Т куб с помощью необходимых замедлений так, чтобы удовлетворить условиям (Dl) — (D6). Это можно сделать, комбинируя методы доказательства теоремы 1 и предложения 4. Продемонстрируем применение этих методов, выполнив первый (и одновременно общий) шаг построения искомого отображения. Будем последовательно строить толерантные отображения

D(r,k)(w) : Г—1 /TO(i)(u) х {(, ЛиИ^ х /м(r,k) х . х /м(j)(r,k) —► E

s-r

(t—1)^l2+2(^-1 M (i)(u)+k)+1

r = 1,s, k = 0,m(r)(u), M(r,k) = 2 <=i - 1

r-1

2(V M(i)(u)+k)

M(j)(r, k) = 2 (M(j)(dv) + 1) - 1.

Эти отображения должны быть построены так, чтобы отображение D(r'k)(w) продолжало foi отображение и

r t+i

D(r'm( )(u))(w) = D(r+i,0)(w), a отображение D(s'm( )(u))(w) = Ds(w) удовлетворяло бы всем свойствам (D1) — (D6).

Для построения п£1,0\и) заметим, что предположение индукции для семейства (73) в части свойства (Б3), с учетом (72) и без учета замедления ¿(0,1) дает нам следующее:

D£(иJ,дv)\k{í)=..=k{s)=о = .

Поэтому естественно определить

D(■1>0)(и)= vy{■t-l)h,

что в последствии обеспечит свойство (^3) для D£(и).

Далее, используя метод построения отображения иоу в доказательстве теоремы 1, мы строим отображение

t х

3=1

(w) : МЙЪ' ^.0J|k(1)=O'l} Х 1м(1,0) Х .Х I22(M(j)(dv)+1)-1 -> (E,T

s-1

которое продолжает ^_2^y)(Ds(dv)) л ^2^)(dS,0\wj)) и удо-

s+1 t—1 s+1 t

влетворяет по построению аналогам условий (D1), (D2), (D3) и (D5), но не (D4). В правых частях аналога условия (D4) должны стоять отображение d(0, (t — 1)l2 + 2)(w) и отображение Wqj, которое является результатом первого шага в построении отображения W(u,v) в доказательстве теоремы 1. Чтобы удовлетворить этим граничным условиям надо подправить отображение

2,^p(DÍí,íy(w)) st

тем же способом, какой был использован при построении отображения Uk+í(v) в доказательстве предложения 4. В результате мы получим искомое отображение D^11 (w) . Доказательство теоремы 4 зав ершено. □

Библиографический список

1. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception. The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалу ев С.И.,Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З.

4. Небалу ев С.И.,Кляева Н.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского Государственного Университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57).

5. Небалу ев С.Н. Фундаментальная группа, толерантные пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5. Вып. 3.

6. Ху Сы-цзян Теория гомотопий. М.: Мир. 1964.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА, М.Н. СУСИН

Построение спектральной последовательности толерантного

расслоения

В предлагаемой статье строиться спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения. Статья является продолжение работы [4] и наследует все ее результаты и обозначения. Нами также используется теория пунктированных толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий, развитая в работе [3].