Свойство линейной связности пространства расслоения и слоя пунктированного толерантного расслоения в смысле Серра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА

Свойство линейной связности пространства расслоения и слоя пунктированного толерантного расслоения в смысле Серра

В статье приведено доказательство свойства линейной связности пространства расслоения (Е, т) и произвольного слоя (Г& = р-1(Ь),т) пунктированного толерантного расслоения.

Определение 1. Толерантное пространство (1т,1т), в котором

назовем толерантным отрезком длины т. Пространство (1т, 1т) =

п п

= ( х 1т., х 1т.) назовем толерантным кубом, а толерантное отображе-

¿=1 ¿=1

ние и : (1т, 1т) ^ (X, т) будем называть толерантным сингулярным (ТС) кубом.

Определение 2. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) удовлетворяет условию накрывающей толерантной гомотопии относительно пространства (У,0)7 если для любых толерантных отображений

для которых Г (у, 0) = (р ◦ f ')(у) при у Е У, существует толерантное отображение Г' : (У х 1п,9 х ьп) —> (Е,т) такое, что Г'(у, 0) = f'(у) и р ◦ Г' = Г.

Определение 3. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) называется толерантным расслоением (в смысле Серра), если оно удовлетворяет свойству накрывающей гомотопии относительно любого толерантного

пп

куба ( х 1т., х ьт.).

т

/ : (У,0) (Е,т)и Г : (У х !п,в х 1п) (В,т),

¿=1

¿=1

Рассмотрим пунктрированное толерантное расслоение в смысле Сер-

ра:

р :((Е,т),хо) ^ ((В,т),Ьо), хо е Е, Ьо е В, хо е р-1(Ьо) = Г, (1)

в котором база (В,т) и стой (Г,т) являются линейно связными толерантными простанствами.

Следующее предложение показывает, что и пространство расслоения (Е,т) и все ело и (Г = р-1(Ь),т) также являются линейно связными.

Предложение 1. Пусть в пунктированном толерантном расслоении

р :((Е,т),хо) ^ ((В, т), Ьо), Ьо е В, хо е р-1(Ьо) = Г с Е

база (В,т) и слой (Г,т) являются линейно связными толерантными пространствами, тогда и пространство расслоения (Е,т) и слой (Г = р-1(Ь),т) в любой точке Ь е В являются линейно связными.

Доказательство

Чтобы доказать линейную связность пространства (Е,т), покажем, х е Е

отмеченной точкой хо. В самом деле, рассмотрим точки Ьо = р(хо), Ь = = р(х) (В, т) (В, т)

Ь Ьо

и : 1м ^ В, и(0) = Ь, и(1) = Ьо. (2)

Рассмотрим толерантный путь и как толерантную гомотопию 0-мерных ТС кубов Ь и Ьо и поднимем ТС куб Ь в (Е,т) до ТС куба х, что можно

р(х) = Ь

для толерантного расслоения р существует толерантный путь в (Е,т),

и

и : IN ^ Е, и(0) = х, р о и = и. (3)

Из (3) и (2) в частности следует, что х' = ш(1) Е р-1(Ь0) = Г. А так как слой (Г,т) является линейно связным, то найдется толерантный путь в (Г,т), соединяющий точки х',х0 Е Г:

Из (3) и (4) следует, что толерантный путь ш * ш в Е (см. определение 1.3.2 в [2]) соединяет точку х с точкой хо, что доказывает линейную связность пространтва (Е,т).

Возьмем теперь произвольную точку Ь Е В и покажем, что слой Гь = = р-1 (Ь) является линейно связным подпространством в (Е,т). Так как (В, т)

ш : ^ В соединяющий точку Ь0 = ш (0) с точкой Ь = ш (1). Точки Ьk = ш , к = 0, N, составляющие траекторию этого пути, таковы, что Ь&тЬ}г+1, к = 0^ — 1. Поэтому, если мы покажем, что из линейной связности слоя Г = Гь0 = р-1(Ь0) следует линейная связность слоя Гь1 = = р-1 (Ь1 )

траектории пути ш и влечет линейную связность слоя Гьи = Гь.

Итак, нам надо показать, что толерантность Ь-[тЬ0 влечет линейную связность пространства (Гь1 = р-1(Ь),т). Возьмем произвольно точки у,у' Е Гь1. Толерантный путь в : 11 ^ В единичной длины, определяемый условиями в(0) = Ь1, в(1) = Ьо, по свойству накрывающей гомотопии имеет два накрывающих пути

в, в ' : 11 ^ Е, в(0)= у, в '(0)= у',р ◦ в = р ◦ в ' = в. (5)

Линейная связность (Г, т) влечет существование толерантного пути

ш : 1м> ^ Г С Е, ш(0) = х', ш(1) = х0.

(4)

Обозначим х = в(1), х' = в '(1). Тогда из (5) следует:

р(х) = р(х') = Ь0, т. е. х,х' Е Г = ГЬо = р-1(Ь0);

хту, х'ту'

7 : 1м ^ Г, 7(0) = х, 7(1) = х',

с траекторией = 7 [~м) |к = 0, М}, в шторой х(к")тх(к+1\ и при этом

мы не будем исключать случай х(к = х(к+1. Поднимая путь в—1 из В Е хк

г(к)

в 1 \ удовлетворяющие следующим свойствам:

(Ук = 0м) у(к) = в-1(к)(1), у(к) е Гъ,, у(к)тх(к).

Отметим, что точки у а у' также можно рассматривать как конечные точки дополнительных поднятий пути в-1 с началам и в х = и в х' = х(м\ Итак, в слое Гь, имеем набор точек

у(—1) = у, у(о),...,у(м), у(м+1) = у'е Гь,,

таких, что

(Ук = -1,М + 1) у(к)тх(к),

где х(—1) = х = х(о), х(м+1) = х' = х(м), (Ук = -1,М + 1) х(к)тх(к+1). Если мы покажем, что для всех к = — 1,М точки у(к и у(к+1 можно соединить толерантным путем в Гь,, то линейная связпость слоя (Гь,,т) будет доказана. Для этого нам достаточно доказать следующие два свойства:

(Ух е ГЬо = Г) т (х) П Гь, - линейно связно; (7)

(Ух, х' е Гьо = Г) хтх' ^ (Зу е т (х) П Гь,) (Зу' е т (х') П Гь,) уту'

(8)

Начнем с проверки (7). Возьмем произвольные точки

у, у' е т (х)П Гь,.

Это значит, что у т х т у' и р(у) = р(у') = Ь1. Рассмотрим толерантный куб (12 х Ь, 12 х 1\)-, изображенный на рисунке,

«5 =(0,1)

а4 = (2,1)

аз = (1,1)

ао = (0, 0) а1 = (2, 0) «2 = (1, 0)

Рис. 1

на котором 12 х ¡л ^ толерантность обозначена линиями. Заметим, что точка а1 толерантна всем точкам из 12 х 11. Определим отображение С : 12 х 11 ^ В, задав его таблицей:

0(а5) = Ь1 С(а4) = Ь1 С(а3) = Ь1

С(а0) = Ь1 С (а1) = Ь0 С(а2) = Ь1

Рис. 2

Так как Ь-^тЬ0, ^о отображение С очевидно является толерантным и его можно рассматривать как толерантную гомотопию двух одномерных ТС кубов

С : С| (¡2 х{0}) ~ С| (¡2 х{1}).

Поднимем первый из этих ТС кубов в (Е,т), обозначив это поднятие через : 12 ^ Е, и определив его таблицей:

й)(а0) = у 7ш(а1) = х 7ш(а2) = у' Рис. 3

Согласно выбору точек у и у' имеем толерантность 7ш и условие

р ◦ Ш = С| (¡2 х{0}) .

р

существование толерантного отображения О' : 12 х 11 ^ Е такого, что

С'1 (¡2 х{0})= Ш, р О О' = О.

(9)

О'

О'(а5) = у5 О'(аА) = уА О'(аз) = уз

О'(ао) = у О'(сц) = х О'«) = у'

Рис. 4

Из Рис. 4, свойства (9) и Рис.2 следует, что точки

y, у^ у' е т (х) П Гь,

образуют траекторию толерантного пути вт (х) ПГь,7 соединяющего точки у и у'. Это доказы вает (7). Для доказательства (8) рассмотрим толерантный Куб (11 X ¡1,11 х 11)

аз = (0,1) «2 = (1,1)

а0 = (0,0) «1 = (1,0) Рис. 5

и толерантное отображение О : 11 х 11 ^ В :

G(a3) = h G(a2 ) = h)

Рис. 6

у которого С1(11 х {0}) поднимается до Ш : ¡1 ^ Е :

Ш(а0) = хтх' = Ш(а1), р ◦ Ш = С1(11 х {0}). По свойству накрывающей гомотопии имеется толерантное отображение С' : ¡1 х ¡1 ^ Е, С'| (¡1 х {0}) = Ш, р ◦ С' = С (10)

С'(а3) = у С (а2) = у')

G'(a0) = x G' (ai) = x' Рис. 7

Из Рис. 7, Рис. 6 и (10) следует, что

y, y' G (т (x) П Fbl ) П (т {x') П Fbl) yry'.

Это значительно более того, что требуется в свойстве (8). Предложение 1 доказано.

Библиографический список

1. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception. The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалу ев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалу ев С.И.,Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З.

4. Небалу ев С.И.,Кляева Н.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского Государственного Университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57).

5. Ху Сы-цзян Теория гомотопий. М.: Мир. 1964.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА Свойства сингулярных кубов в толерантных расслоениях

В статье приведен ряд специальных свойств сингулярных кубов в толерантных расслоениях, описано действие фундаментальной группы базы на группе гомологий слоя толерантного расслоения, доказана теорема, позволяющая по ТС кубам в базе и слое, чьи и Т8 проекции с точностью до подходящего замедления совпадают с исходными кубами, восстановить ТС куб в пространстве расслоения.

В гомотопической теории толерантных пространств роль единичного отрезка параметров гомотопии играет бесконечная серия толерантных отрезков (1т, 1т) длины т(т е Н), где

¡т={¿|к=0т}, (Ук, I=0т) т т т —¡1 ^ 1.

Два толерантных отображения ¡о,/'1 :(У,9) — (Х,т) называют толе-

п

рантно гомотопными и записывают ¡о - /ь если существуе т тех Ни толерантное отображение Г : У х 1т —* X такое, что