Теория периодических структур в некоректных задачах синтеза инвариантных и автономных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б, Моделирование систем. Динамические и гибридные системы, — СПб.: БХВ-Петербург, 2006, — 224с.

2. Harel D. Statecharts: A Visual Formalism for Complex Systems, Science of Computer Programming, North-Hoi land. Vol.8, No.3, 1987, pp. 231-274

3- Booch G., Jacobson I., Rumbaugh J. The Unified Modeling Language for Object-Oriented Development", Documentation Set Version l.l, September 1997

4. Рогачев Г. И. Имитационное моделирование реактивных систем. - Вестник СамГ'ГУ сер."Физмат науки", № 27,

2004. с. 70-73 •

5. Гудвин Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин. С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 911 с,

6. Рогачев Г.Н. Моделирование в Simulink-Siateflow цифровых систем управления. - Труды второй Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB".— М.: ИПУ РАЛ, 2004, с. 1603-1607

7. Silva В.!,. Krogh В.Н. Formal verification of hybrid systems using CheckMale; a case study. In Proc. of the American Control Conference, 2000, pp. 1679- 1683

8. Рогачев Г.Н. Генетическое программирование в задачах поиска системотехнических решений. - Вестник Сам-ГТУ сер. "Технические науки", № 40, 2006, с. 37-42

Статья поступила в редакцию Зоктябрн 2006 г.

УДК 681.5:681.3 В.К. Тян

ТЕОРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В НЕКОРЕКТНЫХ ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА ИНВАРИАНТНЫХ И АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Известны сложности анализа и синтеза инвариантных и автономных систем управления, связанные с их физической реализацией. Предлагается структурный подход, свободный от указанного недостатка, базирующийся на использовании прямых операторов. Сформулированы условия достижимости заданной инвариантности в многомерных линейных системах.

Теория управления, как и любая другая теория, развивалась от простого к сложному, от одномерных, систем управления к многомерным. Идея, высказанная И.Н. Вознесенским, о возможности проектирования многомерных систем как совокупности одномерных, была настолько привлекательной и понятной, что достаточно длительное время в теории многомерных систем этот вопрос ставился в различных аспектах. Большой интерес вызвала также теория синтеза инвариантных систем, что обусловлено «простотой» необходимых и достаточных условий инвариантности, заключающийся в равенстве нулю передаточной матрицы от точки приложения воздействия до точки съема (измерения) сигнала. Заметим, что автономность многомерных систем является частным случаем инвариантности и условия их реализации по существу одинаковы.

Принцип двухканальности, сформулированный академиком Б.Н. Петровым, является необходимым условием реализации инвариантных систем и его реализация не вызывает принципиальных сложностей при синтезе структуры системы управления. Принципиальным моментом является физическая реализация компенсирующих связей. Это обусловлено тем, что синтез инвариантных и автономных систем управления фактически сводится к решению следующего операторного уравнения

Аг = и;

(О

иеС/, ге/?,

где и,Р ~ метрические пространства с соответствующими метриками рц(и1,«2) и Р/Кг^), А - некоторый непрерывный оператор.

В [1, 2, 3] приведены понятия «решения» и «устойчивости»: понятие «решение» означает, что каждому элементу и е и соответствует г е Р , а понятие «устойчивость» решения г е на паре пространств (/",[/) требует выполнения критерия Коши [4], т.е. для всякого числа е > О найдется 5(8) > 0, такое, что из неравенства

следует

Р^(2],г2)<Е, (3)

где

г, =Д(и,), 22=К(и2) (4)

определяются решением (алгоритмом) величины 1 по исходным данным и . При этом предполагается непрерывность оператора А.

В случае многомерных объектов управления роль оператора Л выполняет многомерная передаточная матрица или соответствующая система дифференциальных уравнений. Не теряя общности будем рассматривать класс линейных многомерных объектов с квадратной матрицей, элементами которой являются передаточные функции минимально фазовых звеньев. Предлагаемая работа является обобщением решения интегрального уравнения типа свертки [6].

Таким образом, в нашем случае оператор Л является вполне непрерывным, следовательно, задача синтеза инвариантных и автономных систем управления является некорректной задачей [1, 2, 3], что связано с физической нереализуемостью решений операторного уравнения (]). А

это означает невозможность синтеза инвариантных и автономных систем управления в классе

линейных многомерных объектов с минимально фазовыми элементами передаточной матрицы. Более точно, в общем случае, недостижима полная инвариантность и автономность систем управления. Однако частичная инвариантность и автономность может быть физически реализована за счет неизбежных «некоторых потерь», о которых будет сказано ниже. Известно несколько подходов к решению операторного уравнения (1). Академик М.М. Лаврентьев предложил заменить уравнение (1) приближенным уравнением вида

(А + а1)г = и, (5)

где а - числовой параметр, I - единичиый оператор.

Соответствующее решение имеет вид

га =(А+а1У1и, (6)

где га - приближенное решение.

М.М. Лаврентьев получил оценку точности полученного решения (см., например, [1])

|7а-7Г||<ш(5,1>*) + - (7)

а

где 6 - точность задания правой части операторного уравнения (1);

<й(5,£)д) - модуль непрерывности обратного оператора;

- класс корректности.

При известном модуле непрерывности или его мажоранте можно найти зависимость, минимизирующую правую часть оценки (7) . При этом возникают следующие естественные в контексте вышеизложенного вопросы:

1. Каким образом можно увеличить точность приближенного решения (6) (если это принципиально возможно), т.е. уменьшить ошибку приближения (7)?

2. Возможна ли физическая реализация полученного приближенного решения с целью его использования в задачах синтеза инвариантных и автономных многомерных линейных систем?

Предложенный в данной статье регуляризующий алгоритм (РА) позволяет дать положительные ответы на поставленные вопросы.

Рассмотрим структуру, представленную на рис. 1.

Передаточная матрица многомерного объекта и числовая матрица того же размера включена в обратную связь. Использование прямых операторов (передаточных матриц) гарантирует физическую реализуемость данной структуры.

Очевидно, что передаточная матрица данной системы имеет вид

Щ{р) = {1-С + Фм{р)Т\

(8)

Следовательно,

1Гк{р) = \а1 + 1Уя{р)\\ (9)

где а = 1 - с.

Таким образом, структурная схема, представленная на рисунке 1, реализует уравнение (5). Вернемся к вопросу о возможности уменьшения ошибки (6), С этой целью рассмотрим периодическую структуру, представленную на рис. 2,

Анализ'данной структуры показывает, что при наличии только одной периодической ячейки данная структура вырождается фактически в структуру, представленную на рисунке 1. Покажем, что при увеличении количества ячеек периодической структуры (см. рис.2) ошибка (6) стремится к нулю.

Определение

Назовем передаточную матрицу % (р) стабилизирующей матрицей, функционал ||/ — (р) Жд (р)|1 стабилизирующим функционалом, а представленную на рис. 2 передаточ-

ную матричную структуру фундаментальной, если последовательность периодических структур передаточных матриц при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры, описывается фундаментальной последовательностью передаточных матриц.

Лемма

Для того чтобы представленная на рис. 2 периодическая передаточная матричная структура была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы стабилизирующий функционал удовлетворял условию

\!~Ят{р)Цг0{р)\<\. (10)

Доказательство

Рассмотрим необходимость. Пусть передаточная матричная структура фундаментальна. Следовательно, разность передаточных матриц

д Щ{р) = Кш{р)-Фк{р) <П)

в заданной метрике стремится к нулю при неограниченном увеличении количества ячеек, т.е.

1іш|Д^(р)| = 0.

Передаточная матричная структура И'„(р) описывается следующей системой векторных уравнений

ь^и-ФпФтШи;

А иі=[І-1Гя{р)ИГ0{р)]иі

= ~^т(р)^й

&и2=Щр)Ь2-,

Ак =1Ьк-\~№т(Р)&к-\\

Аик^0(р)Ак. '

Из системы (12) следует операторное выражение для структуры длиной к

Ч=ШР)

І=1

и.

(13)

Передаточная матрица, описывающая представленную на рис.2 периодическую структуру длиной к имеет вид

< = (

Аналогично, структура с (£ +1) -ячейкой описывается следующей матрицей

ЩМ = Шр) Найдем разность матриц

*+!

і+'Еіі-и'тіртрії (=і

(14)

(15)

А Щ(Р) = ^(Р)~^к(Р)- (16)

С учетом (14), (15) после некоторых преобразований имеем

№№) = [!-Гя{р)Щр)]к- (1?)

Из (17) следует, что необходимым условием фундаментальности периодической структуры, представленной на рис. 2, является условие, накладываемое на стабилизирующий функционал

||/'^(/>та/>)||<1- (18)

Докажем достаточность, т.е. пусть выполняется условие (10). А это означает выполнение условия фундаментальности из приведенного выше доказательства.

Таким образом, лемма доказана.

Теорема

При выполнения условия фундаментальности периодической структуры при неограниченном увеличении числа периодических ячеек фундаментальная структура является ограниченной, непрерывной и сходится к обратной передаточной матрице модели объекта управления.

Доказательство

Умножив слева обе части матричного уравнения (14) на передаточную матрицу №т(р), получим

" к

*т(Р)1Гк(Р) = 1Гя(р)Щр)

/ + £[/-*в(р)»Ь(/0]'

(=1

ИЛИ

Кт(р)Щ(р) = 1¥т(р) Щір^І* ~Кт(р) ^о(Р)]' • После несложных преобразований имеем

к

I

і=0

(19)

(21)

(=0

После суммирования окончательно получаем

1Гт(,рЖк(р) = 1-[1-КАРтр)?+] • (22)

При соблюдении условия фундаментальности (10) выполняются следующие неравенства

1=0 1=0 Из полноты рассматриваемых пространств и из сходимости ряда

00

/=0

(23)

(24)

из (22) следует, что произведение матриц М'т(р)Щ(р)является ограниченным. Т.к. матрица №т(р) является ограниченной, то, следовательно, матрица Щ(р) является так же ограниченной при любом значении к . В силу нормированное™ рассматриваемых пространств выполняется первая аксиома счетности. Поэтому передаточная матрица Т¥к является непрерывной.

Таким образом, первая часть теоремы об ограниченности и непрерывности фундаментальной структуры доказана. Перейдем к доказательству второй части теоремы.

Предельное значение выражения (22) с учетом (18) примет вид

(25)

\шШк(р)1Ут(р) = 1

к-*-со

Следовательно,

КАр)^-\р).

(26)

Теорема полностью доказана.

Таким образом, при известном стабилизирующим функционале, т.е. при выполнении определенных условий в каждом конкретном случае, периодическая структура позволяет определить квазирешение операторного уравнения (1).

Применительно к многомерным линейным объектам интерпретация условия сходимости стабилизирующего функционала в частотной области означает достижимость выполнения условий инвариантности и автономности в этом же частотном диапазоне.

Полученные результаты были апробированы на модели линейного многомерного объекта с минимально фазовыми передаточными функциями с тремя входами и тремя выходами в среде МагЫаЬ и МаЛСАО. Результаты моделирования приведены ниже.

Объект управления задан передаточной матрицей следующего вида

1Га(р) =

2 0,5 0,4

/7 + 1 /7 + 1 /7 + 1

0,8 3 0,9

/7 + 1 /7 + 1 /7 + 1

0,7 0,1 6

р +1 р +1 р +1

Были исследованы обобщенные частотные характеристики компенсационного звена (периодической структуры) с объектом. Эффективность фундаментальной структуры может быть оценена по степени диагонализации последовательного соединения указанных звеньев в частотной области.

Д®) = 201оё|жт (10)^00) 1);

ф(м) = аЫт\

16* ї** ММОЛ гідос Іоей М> і

і 0 ф В а .■.■■.'■■ ... ■■ * - Г»іг»і 3 ид Йі : $ '-

$ем» _________________ ______________________:агч " д)н5 '

Р и с. 3. Фундаментальная передаточная матричная структура с ОУ в среде МаЛІаЬ Обобщенные ЛАЧХ при различном числе ячеек структуры показаны на рис. 4,

Р и с. 4, Верификация РА. Амплитудные характеристики:

А(ш)- при п = 6; А1(ш)- при п = 10; А2(м) - при п = 13

Обобщенные ЛФЧХ при различном числе ячеек структуры показаны на рис. 5.

Р и с. 5. Верификация РА. Фазовые характеристики: Ф((а) - при п = 6; ф!(ш) - при п = 10; <р2(ш) - при п = 13

Анализ полученных результатов показывает эффективность синтеза инвариантных и автономных систем с использованием фундаментальной структуры в диапазоне частот, в котором «работает» сглаживающий функционал. Вне данного диапазона компенсирующие связи не работают. Это и есть естественные потери, которые невозможно избежать при работе систем в реальном масштабе времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А.И., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979.

2. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В. В. Математическое моделирование технологических процессов и метод

обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990.

3. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В., Степанов В.В., Ягода А,Г, Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

4. Колмогоров А Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. 1981.

5. Рапопорт Э.Я., Тян В.К. Достижение заданной инвариантности в стохастических системах комбинированного управления. /Рапопорт Э.Я., Тян В.К., Куйбышевский политехнический институт,- Деп. В ВИНИТИ 20,06.89, № 4089-В89.

6. Тян В.К Решение интефального уравнения первого рода типа свертки в некорректных задачах теории управле-

ния // 8ест.Самар.гос.техн.ун-та. Сер. Технические науки. 2006-Вып, 40. С.50-56.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2006 г.

УДК 519.687.4 А.А. Юдашкин

ПРИНЦИПЫ МОДАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ С ПАМЯТЬЮ*

На основе моделей конечномерных и непрерывных самоорганизующихся систем с памятью рассматривается единый подход к синтезу информационных систем, состоящих из отдельных вычислительных узлов и предназначенных для распределенной обработки данных, приводящий к рассмотрению макроскопических характеристик сети, влияющих на автоматический выбор ее конфигурации. Показывается, что с помощью модальных методов представления структур, основанного на интегро-дифференциалъных уравнениях в частных производных, возможен синтез распределенных информационных систем, способных запоминать и воспроизводить любое счетное число своих форм из произвольного начального состояния.

Введение

Существует естественный класс информационных систем, где вопросы интеллектуальной самоорганизованной адаптации к условиям функционирования встают постоянно - это системы распределенной обработки данных и сети, построенные на базе концепции peer-to-peer. Для сетей типичны ситуации, когда вследствие высокой загрузки или отказа части узлов или носителей в сети необходимо быстро изменить структуру связей для достижения наилучшего функционирования, т.е. изменить структуру сети. Это может осуществляться путем либо внешнего управления, либо с помощью внутренних механизмов, запускаемых интеллектуальными маршрутизаторами и концентраторами. Нужно отметить прикладные работы в области информационных технологий, направленные на решение таких технологических задач, как синтез самоорганизующихся информационных сетей передачи информации [1-3], создание самостоятельно конфигурирующегося процессора [4], что безусловно является ключевой проблемой вычислительной техники особенно в применении к системам искусственного интеллекта, а также моделирование интеллектуальной файловой системы [5], способной классифицировать файлы и осуществлять их адаптивное размещение в зависимости от типа и содержания. Для робототехники, рассмативающей информационные системы как основу для построения автономных устройств, способность самостоятельной перестройки конфигурации также достаточно

* Работа выполнена в рамках гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-9422.2006.9.