Метод решения обратной задачи синтеза динамического компенсатора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Adolfson M., Lassen S., Linde J., Villani M. RAMSES - a new general equilibrium model for monetary policy analysis // Sveriges Riksbank economic review. 2007. № 2. P. 5-40.

2. Avouyi-Dovi S., Matheron J., Fève P. Les modèles DSGE: Leur intérêt pour les banques centrales // Bull. de la Banque de France. 2007. № 161. Р. 41-54. URL: http://www.banque-france.fr//

3. Harrison R., Nikolov K., Quinn M., Ramsay G., Scott A., Thomas R. The bank of England quarterly model // Bank of England Publications. 2005. 244 p.

4. Winston W. Dou, Andrew W. Lo, Ameya Muley, Harald Uhlig. Macroeconomic Models for Monetary Policy: A Critical Review from a Finance Perspective. 2017 URL: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2899842.

5. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Новое издание, исправл. М.: МЦНМО, 2012. 344 с.

УДК 622.692.23-034.14

МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ДИНАМИЧЕСКОГО КОМПЕНСАТОРА

METHOD FOR SOLVING THE UNIVERSE PROBLEM OF DYNAMIC COMPENSATOR SYNTHESIS

В. К. Тян, В. В. Тян

Самарский государственный технический университет, г. Самара, Россия

V. K. Tyan, V. V. Tyan

Samara State Technical University, Samara, Russia

Аннотация. одной из важнейших центральных проблем теории управления остается проблема инвариантности управляемого вектора к вектору возмещающих воздействий. Сложность решения указанной проблемы обусловлена физическими процессами компенсации собственной динамики объекта управления. Математическая постановка задачи синтеза инвариантных систем не удовлетворяет критериям корректной постановки задачи, которые ввел Адамар Ж. Возникла необходимость условно корректной постановки задачи синтеза инвариантных систем по Тихонову А.Н. Синтез инвариантных систем управления при этом сводится к задаче нахождения решения операторного уравнения первого рода, то есть к решению обратной задачи. В работе предложен метод решения операторного уравнения в условно корректной постановке в контексте проблемы синтеза физически реализуемого динамического компенсатора, получено условие сходимости квазирешения к точному, дана оценка точности решения.

Верификация полученных теоретических результатов показала работоспособность предложенного метода решения обратной задачи в форме периодических структур.

Ключевые слова: корректная постановка задач по Адамару Ж., условно корректная постановка задач по Тихонову А.Н., обратная задача, обратный оператор, физическая реализуемость, динамический компенсатор.

DOI: 10.25206/2310-9793-7-4-150-156

I. ВВЕДЕНИЕ

Впервые проблема достижения полной инвариантности была официально поставлена в 1939 году советским ученым Щипановым Г.Р. [1]. В силу своей нетривиальности уже на протяжении 80 лет данная проблема привлекает внимание мировой научной общественности. Не случайно рассматриваемая проблема относится к так называемым «трудным проблемам». Эти проблемы линейной теории управления характеризуются простотой формулировки, с одной стороны, и отсутствием эффективных методов решения, с другой стороны [2].

Простота формулировки проблемы инвариантности состоит в понятной идее компенсации собственной динамики объекта управления и придания ей желаемых динамических свойств. Попытки решить указанную проблему, т.е. синтезировать динамический компенсатор, столкнулись с другими известными неразрешимыми проблемами.

Необходимо отметить, что задача динамической компенсации относится к классу некорректных задач, а более точно, к обратным задачам. Как отмечается в [3], характерным признаком обратных задач является их физическая нереализуемость. Отсюда следует невозможность нахождения решения обратных задач в реальном темпе времени, а именно, систем интегральных уравнений вольтеррова типа, которыми описываются каузальные системы.

С общефункциональной точки зрения обращение причинно-следственных отношений связано с проблемой обращения операторов, что в свою очередь является сложной математической задачей, относящейся к разработке методов решения операторных уравнений.

Решение указанной проблемы позволили бы на качественно новом уровне реализовать динамическую компенсацию и решить ряд других важных задач управления [4].

II. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

Системный подход к решению некорректных задач, без сомнения, принадлежит академику Тихонову А.Н. и его школе [5]. Данное фундаментальное направление возникло в связи с противоречием, возникшим с потребностью решения ряда задач практики и корректной постановкой задач математической физике, введенной Адамаром Ж. [3], описываемых операторным уравнением первого рода

А' = и

ТТ 77 , (!)

и е и, ^ е р

где и, р - метрические пространства с соответствующими метриками р (и1, и2 ) и рр (^, ^ ) ;

А - непрерывный оператор.

Однако подавляющее большинство практических задач не удовлетворяют условиям корректной постановки по Адамару Ж. в силу приближенного значения правой части операторного уравнения (1) и запись этого уравнения имеет условный характер

Аг=й, (2)

где приближенное значение и в общем случае не принадлежит множеству АЕ, но которому обязано принадлежать точное значение правой части. Однако, исходя из общих и интуитивных соображений, а также из физической детерминированности практических реальных задач, можно с уверенностью сказать, что приближенное решение существует и при определенных условиях оно вырождается в точное решение. Академик Лаврентьев М.М. на основе метода подбора решения некорректно поставленных задач, разработанного Тихоновым А.Н., сформулировал корректную (условно корректную) постановку по Тихонову, позволившую решать условное операторное уравнение (2).

Определение 1 .

Задача определения решения операторного уравнения (1) называется корректной по Тихонову (условно корректной), если известно, что для точного значения и = ит существует единственное решение 'т рассматриваемого уравнения, принадлежащее заданному компакту М . В этом случае обратный оператор А 1 непрерывен на множестве N = АМ . При этом, если правая часть уравнения (1) и 8 известна приближенно и выполняется соотношение р (и , и3 ) < 8 и и^ е N, то в качестве приближенного решения можно принять

= А~1иа. (3)

При 8 — 0 приближенное решение стремится к точному

'8 ^ 'т . (4)

Введенное определение основывается на общефункциональных требованиях, предъявляемых к классу возможных решений М . В настоящее время широко применяются следующие методы решения операторного уравнения в корректной постановке по Тихонову А.Н.: метод подбора, метод квазирешения, метод замены исходного уравнения близким ему и метод квазиобращения, метод регуляризации, основанный на базе регуляри-зующего оператора [5]. В известных методах решения [6], кроме приведенных выше подходах, широко применяются интегральные преобразования типа Фурье, Лапласа, Меллина.

Одной из важнейших задач теории управления является задача определения управляющего сигнала с целью получения требуемого выходного сигнала. По своей формулировке данная задача является обратной и сводится к нахождению обратного оператора А-1.

Рассмотренные методы решения операторного уравнения в условно корректной постановке по Тихонову А.Н. успешно решают поставленную задачу. Однако решения найдены либо вариационным способом, либо путем решения задачи на условный экстремум. Как следствие, физическая реализация найденных решений невозможна.

III. Теоретические основы синтеза динамических операторов

3.1. Решение интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа. Проблема компактных операторов в системах реального времени

Отсутствие решения (помимо условий Адамара в корректной постановке) предопределено также типом интегрального уравнения и собственными свойствами компактных операторов, которыми описываются системы реального времени. В уравнении Вольтерра первого рода, имеющего вид

IК (5, г )ф(г )йг = / (5), (5)

a

ядро должно удовлетворять следующему условию

К (5, г) = 0

. (6)

г > 5

Основополагающим условием функционирования систем автоматического управления в реальном масштабе времени является их физическая реализуемость. Именно по этой причине данные системы описываются уравнениями Вольтерра (5) с ограничением на ядро (6). Как известно, интегральные уравнения вольтеррова типа не имеют точных решений [7]. Однако ниже будет показано, что рассматриваемые обратные задачи в теории управления принципиально разрешимы и физически реализуемы, но с определенной точностью.

В общем случае при любом компактном операторе оно не может быть разрешено при произвольной правой части операторного уравнения. Следовательно, при решении операторного уравнения необходим анализ правой части уравнения. Понятие «решения» означает, что каждому элементу и е и соответствует г е ¥ . По существу решение предполагает нахождение обратного оператора. Однако, как известно, оператор, обратный компактному оператору, не ограничен. С математической точки зрения, указанное свойство компактного оператора порождает непреодолимые препятствия для решения интегральных уравнений указанного типа.

Таким образом, с учетом вышесказанного необходимо определить:

1) условие существования устойчивого решения операторного уравнения;

2) условие физической реализуемости обратного устойчивого оператора.

3.2. Структурное представление обратного оператора в задаче синтеза динамического компенсатора

Обоснование существования непрерывного обратного оператора следует из определения корректной постановки по Тихонову и следующей известной топологической леммы.

Лемма 1.

Пусть компактное (в себе) множество F метрического пространства F0 отображается на множество U метрического пространства Щ. Если это отображение F^U непрерывно и взаимно однозначно, то обратное отображение U^F также непрерывно.

Тогда решение операторного уравнения может быть найдено непосредственно с использованием обратного оператора [5] по формуле (3).

Очевидно, что в этой ситуации нахождение обратного оператора должно сопровождаться некоторыми ограничениями, позволяющими одновременно удовлетворить противоречивые требования.

Предлагается алгоритм решения обратных задач [8], базирующийся на представлении обратных операторов А 1 в виде периодической структуры в смысле наличия в ней бесконечно повторяющейся ячейки (рис. 1).

Рис. 1. Структурное представление обратного оператора А 1

Здесь I - тождественный оператор, А -оператор уравнения (1), отображающий множество Е в V .

Введены нижеследующие понятия.

Определение 2.

Оператор А0 называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора А выполняется условие

II - АА0|| < 1. (7)

Определение 3.

Структура, представленная на рис.1, называется фундаментальной, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве. Доказаны следующие лемма и теорема [9].

Лемма 2.

Для того чтобы представленная на рис. 1 периодическая структура была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы оператор А являлся стабилизирующим оператором.

Теорема.

При выполнении условия фундаментальности периодической структуры фундаментальная структура является ограниченной, а оператор периодической структуры сходится к обратному оператору А 1.

Таким образом, из структурного представления обратного оператора на базе прямых физически реализуемых операторов следует однозначность решения обратной задачи.

3.3. Решение интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа

Поскольку операторное уравнение вольтеррова типа, как известно, не имеет точного решения в классическом смысле, возникает необходимость введения понятия решения этого уравнения [10].

Определение 4. Приближенным решением операторного уравнения первого рода называется решение, вычисленное по формуле (3) с применением структурного представления обратного оператора в виде фундаментальной последовательности.

Возникает вопрос оценки точности полученного приближенного решения в условиях принципиального отсутствия информации о точном решении операторного уравнения.

IV. Верификация результатов теории синтеза

динамического компенсатора с оценкой точности решений

Оценка точности полученного приближенного решения произведена на основании определения тождественного оператора I для периодической структуры

ПтААк =1 , (8) к

следующим образом. По предложенному алгоритму вычисляется приближенное решение Zs операторного уравнения с известной правой частью us Используя полученное решение Zs, решается прямая задача и находится образ полученного приближенного решения uZ

Ai* = u .

ö z

(9)

Оценка величины невязки uZ - us.в равномерной и квадратичной метриках (|| Д ||iM, || Д ||L2) принимается за косвенную оценку точности решения операторного уравнения первого рода.

Моделирование процесса нахождения решения операторного уравнения проведен с применением математического пакета MathLab, позволяющий реализовывать структурное моделирование.

На рис. 2 представлена функциональная схема приближенного решения системы интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа с косвенной оценкой точности полученного решения, состоящая из функциональных и отображающих результаты расчетов блоков.

Правую часть операторного уравнения us формирует «Блок формирования заданной функции», которую отображает блок «Заданная функция». «Блок обратного оператора» по изложенному алгоритму находит решение операторного уравнения Zs, которое отображается блоком «Решение». По найденному результату «Блок прямого оператора» находит правую часть uZ операторного уравнения (1), которая отображается блоком «Образ решения». На основании заданной функции и полученного образа решения формируется невязка uZ - us, на основании которой вычисляется оценка точности полученного результата обратной задачи в равномерной и квадратичной метриках (|| Д ||iM, || Д ||L2) с отображением их в соответствующих блоках «Оценка».

Рис. 2. Функциональная схема решения интегрального уравнения первого рода вольтеррова типа

с оценкой точности полученного решения

4.1. Решение систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа

Рассмотрим систему интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа

t

J L(t, T)B(r)Z(r)dT = X(t ),

to

(10)

описывающих многомерный объект управления при нулевых начальных условиях. Решение данной системы, являющееся некорректной задачей, проведем с применением фундаментальной последовательности для структурного представления обратного оператора.

Моделируемый объект управления зададим числовыми матрицами

Г 2 4 ^ 6 8 4 16

A1 =

f-8.066 3.395 -2.71 8.408^ -0.542 0.388 -0.949 0.591 -0.518 4.226 -3.17 0.388 V-5.221 3.293 -2.306 5.057,

B1 =

V 2 12,

C1 =

-0.672 0.671 -0.224 0.895Ï V-0.326 0.149 -0.119 0.385,

системы нормальных уравнении в пространстве состоянии

dx

— = A(t)x + B(t)z,

U(t) = C(t)X(t).

Правую часть интегрального уравнения, представляющую векторную функцию, зададим в виде

(11) (12)

ы{1) = со/[(1 - е т ).......0],

где Т = 1,2 с.

На рис. 5 приведены последовательность решения и оценка точности полученных результатов.

д е

Рис. 5. Решение системы интегральных уравнении вольтеррова типа:

а

а - векторная функция правой части системы уравнении; б - вектор решения системы интегральных уравнении; в - образ вектора решения; г - невязка вектора решения; д - оценка точности в равномернои метрике;

е - оценка точности в квадратичнои метрике

Таким образом, как показывает анализ приведенных графиков, результаты моделирования процессов функционирования динамического компенсатора с заданным вектором правои части системы интегральных уравнении первого рода вольтеррова типа подтверждают высокую точность полученного решения.

Список литературы

1.Труды научного семинара «70 лет теории инвариантности» / под ред. С. Н. Васильева. М.: ЛКИ, 2 июня 2008. 256 с.

2. Поляк В. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линеинои теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.

3. Тихонов А. Н., Калънер В. Д., Гласко В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 264 с.

4. Буков В. Н., Максименко И. М., Рябченко В. Н. Регулирование многосвязных систем. // Автоматика и телемеханика. 1998. № 6. С. 97-110.

5. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979. 232 с.

6. Некорректные задачи естествознания / под ред. А. П. Тихонова, A. B. Гончарского. М.: Издательство Московского университета, 1987. 303 с.

7. Колмогоров А. Н., Фомин C. B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 572 с.

8. Тян В. К. Структурное представление обратного оператора в банаховом пространстве // Вест. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2007. Вып. № 1 (14). С. 197-199.

9. Тян B. K. Теория периодических структур в некорректных задачах синтеза инвариантных и автономных систем управления // Вест. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. 2006. Вып. 41. С. 47-54.

10. Тян В. К. Решение интегрального уравнения первого рода типа свертки в некорректных задачах теории управления // Вест. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. 2006. Вып. 40. С. 50-56.