Итерационная регуляризация некорректных уравнений первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6 + 517.983.54

О.В. Матысик

ИТЕРАЦИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПЕРВОГО РОДА

Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина

Рассматривается задача приближенного решения в гильбертовом пространстве некорректного операторного уравнения первого рода. Задача решается итерационным методом неявного типа. Доказана сходимость метода с априорным и апостериорным выбором числа итераций, получены оценка погрешности метода, априорный момент останова и оценка для апостериорного момента останова.

Ключевые слова: регуляризация, неявный итерационный метод, некорректная задача, гильбертово пространство, операторное уравнение первого рода, самосопряженный и несамосопряженный оператор, правило останова по поправкам.

Введение

Встречается большой класс задач, где решения неустойчивы к малым изменениям исходных данных, т. е. сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к классу некорректных задач.

Значительная часть задач, встречающихся в прикладной математике, физике, технике и управлении, может быть представлена в виде операторного уравнения первого рода

Ах = у, х е X, у е У (1)

с заданным оператором А : X ^ У и элементом у , X и У - метрические пространства, а в особо оговариваемых случаях - банаховы или даже гильбертовы. Ж. Адамаром (I. Иаёашагё) [1] было введено следующее понятие корректности:

Определение 1. Задачу отыскания решения х е X уравнения (1) называют корректной (или корректно поставленной, или корректной по Адамару), если при любой фиксированной правой части у = у0 е У уравнения (1) его решение:

а) существует в пространстве X ;

б) определено в пространстве X однозначно;

в) устойчиво в пространстве X, т. е. непрерывно зависит от правой части у еУ. В случае нарушения любого из этих условий задачу называют некорректной (некорректно поставленной); более конкретно при нарушении условия в) ее принято называть неустойчивой.

Из определения видно, что корректность по Адамару эквивалентна однозначной

определенности и непрерывности обратного оператора А-1 на всем пространстве У .

На протяжении многих лет в математике считалось, что только корректные задачи имеют право на существование, что только они правильно отражают реальный мир. О некорректных задачах сложилось мнение, что они не имеют физической реальности, поэтому их решение бессмысленно. В результате долгое время некорректные задачи не изучались.

Однако на практике все чаще и настойчивее стала возникать необходимость решать некорректные задачи. К таким задачам относятся задача Коши для уравнения Лапласа, задача решения интегрального уравнения 1-го рода, задача дифференцирования функции, заданной приближенно, численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты известны приближенно в метрике ¡2 , обратная задача гравиметрии, обратная задача теории потенциала, задача спектроскопии, задача аналитического продолжения функции, известной на части области, на всю область. Некорректны также и задача проектирования оптимальных систем,

© Матысик О.В., 2015.

конструкций, задача создания систем автоматической обработки результатов физического эксперимента, задача Коши для уравнения теплопроводности с обращенным временем и т.д.

Однако обычные методы, применяемые для решения корректных задач, невозможно было применить к некорректным задачам, поэтому необходимо было пересмотреть определение корректности по Адамару. Это было сделано в 1943 году А. Н. Тихоновым [2].

Определение 2. Задача отыскания решения уравнения (1) называется корректной, по Тихонову, на множестве M а X, а множество M - ее классом корректности, если:

а) точное решение задачи существует в классе M ;

б) в классе M решение задачи единственно при любой правой части y е F = AM а Y ;

в) принадлежащее множеству M решение задачи устойчиво относительно правых частей y е F.

Если M = X и F = Y, то корректность по Тихонову совпадает с корректностью по Адамару.

После работ А. Н. Тихонова систематическое изучение некорректных задач и способов их решения началось в 50-х годах, но особенно широкий размах оно приняло в последние 50 лет. Основные результаты отражены в монографиях М. М. Лаврентьева [3], А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина [4], В. К. Иванова, В. В. Васина и В. П. Тананы [5], О. А. Лисковца [6], Г. М. Вайникко и А. Ю. Веретенникова [7].

Наиболее общим из известных в настоящее время подходов к решению некорректных задач является подход, основанный на введенном А. Н. Тихоновым понятии регуляризатора.

Пусть имеется некорректная в классическом смысле задача математической физики.

Определение 3. Параметрическое семейство операторов {Ra}, действующих из

пространства правых частей Y в пространство решений X, называется регуляризующим (регуляризующим алгоритмом, или регуляризатором), если:

1) при любом a> 0 оператор Ra определен на всем пространстве Y;

2) если существует точное решение исходной задачи x е X, то для любого 5 > 0 существует a(5) такое, что для всех y5eY, ||y - y^|<5 имеет место соотношение

Ra(5)y5 — *х ^0, 5^0. Параметр a называется параметром регуляризации,

xa 5 = Ra(5)y5 - регуляризованными решениями.

Использование регуляризатора задачи дает возможность сколь угодно точного ее решения при достаточно точных исходных данных. В работе [8] А. Н. Тихонов предлагает способ построения регуляризующих операторов для уравнения (1). Это метод регуляризации решения некорректных задач. Он основан на вариационном принципе. В методе рационально выбирается параметр регуляризации, используется априорный способ выбора и предложены принципы невязки и сглаживающего функционала.

Для решения некорректных задач В. К. Иванов в работе [9] излагает метод квазирешений. Большое применение для регуляризации некорректных задач имеет также и метод невязки, предложенный Д. Л. Филлипсом (D. L. Phillips) [10] и В. К. Ивановым [11].

Особое место среди методов решения некорректных задач занимают итерационные методы, поскольку они легко реализуются на ПЭВМ. Различные итерационные схемы решения некорректно поставленных задач были предложены в работах [12-23].

В настоящей статье предлагается неявный итерационный метод решения некорректных задач, представляющий собой семейство итерационных схем, зависящих от параметра к. Для рассматриваемого метода исследована сходимость в исходной норме гильбертова пространства, получены априорные оценки погрешности и априорный момент останова; обоснована возможность применения к методу правила останова по поправкам.

Выбор параметра к и, следовательно, соответствующей схемы для решения некорректных задач, зависит от степени s истокопредставимости точного решения ( x = Asz, s > 0).

В работе показано, что для 5 < 5 целесообразно использовать предложенный метод при к = 1, для 6 < 5 < 27 при к = 2 и т.д.

Сравнение предлагаемого метода с хорошо известным явным методом итераций [3, 7, 12-14, 16] хп§ = хп § + а(у§ - Ахп,§) хо,§ = 0 показывает, что порядки их оптимальных

оценок одинаковы. Достоинство явных методов в том, что явные методы не требуют обращения оператора, а требуют только вычисления значений оператора на последовательных приближениях. В этом смысле явный метод [3, 7, 12-14, 16] предпочтительнее рассматриваемого неявного метода. Однако предлагаемый неявный метод обладает следующим важным достоинствам. В явном методе [3, 7, 12-14, 16] на параметр а накладывается ограничение

сверху - неравенство 0 < а < ^^^, что может привести на практике к необходимости большого числа итераций. В предлагаемом неявном методе ограничений сверху на а > 0 нет. Это позволяет считать а> 0 произвольно большим (независимо от А ). В связи с чем, опти-

мальную оценку для неявного метода можно получить уже на первых шагах итераций.

Рассмотренный в статье итерационный метод найдет практическое применение в прикладной математике: он может быть использован для решения задач, встречающихся в теории оптимального управления, математической экономике, геофизике, теории потенциала, синтезе антенн, акустике, диагностике плазмы, в наземной или воздушной геологоразведке, при решении обратной кинематической задачи сейсмики, космических исследованиях (спектроскопии) и медицине (томографии) [13, 18-19, 21-23].

Работа выполнена в рамках темы «Итерационные процедуры решения операторных уравнений первого рода» (зарегистрирована в Белорусском институте системного анализа от 20.09.2011 № 20113449) и соответствует приоритетному направлению научных исследований Республики Беларусь на 2011-2015 годы: Методы математического и компьютерного моделирования, компьютерные технологии и интеллектуальные системы поддержки принятия решений.

1. Постановка задачи. В действительном гильбертовом пространстве Н исследуется уравнение первого рода

Ах = у, (2)

где А - положительно определенный ограниченный и самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением, однако принадлежит спектру оператора А, и, следовательно, задача некорректна. Пусть у е ^(А), т.е. при точной правой части у уравнение (2) имеет единственное решение х. Для отыскания этого решения предлагается неявная итерационная процедура

(е + а2А2к)хп+1 = (е-аАк^хп + 2аАк-1у, х0 = 0, к е N. (3)

В случае приближенной правой части у§ (||у - у§||<§) соответствующие методу (3) итерации примут вид

(е + а2 А2к )хп+1,§=(е-аАк ^хп,§ + 2аАк-1у§, х0,§ = 0, к е N. (4)

Далее, как обычно, под сходимостью метода (4) понимается утверждение о том, что приближения (4) сколь угодно близко подходят к точному решению уравнения при подходящем выборе п и достаточно малых § . Иными словами, метод (4) является сходящимся, ес-

ли Нш I шА х - хп,§||| = 0,

§^0V п

2. Сходимость метода в случае априорного выбора числа итераций. Сходимость при точной правой части. Воспользовавшись интегральным представлением положительно определенного самосопряженного оператора А и формулой (3), по ин-

м

Г II — аАт Г

дукции получим х - хп = |а-14-Ц— dE■l у, гдеМ = А, Еа - спектральная функция

О 1 + «2У2к )п

оператора А. Отсюда легко выводится сходимость итерационного процесса (3) при п ^да для а > 0.

Сходимость при приближенной правой части. Итерационный процесс (4) является сходящимся, если нужным образом выбирать число итераций п в зависимости от уровня погрешности 5 . Справедлива

Теорема 1. Итерационный процесс (4) сходится при а> 0, если выбирать число

итераций п в зависимости от 5 так, чтобы п1 к 5 ^ 0 при п ^ да, 5 ^ 0.

Доказательство теоремы аналогично доказательству подобной теоремы из [19, 21-22].

При этом, легко показывается оценка хп -хп 5 < 2к(па)1 т 5, п > 1.

Оценка погрешности. Скорость сходимости метода (4) будем оценивать при дополнительном предположении о возможности истокообразного представления точного решения

х уравнения (2), т.е. х = Ах, 5 > 0. Тогда у = А5и, следовательно, получим

м

(1 -аАк Г о (1 + а 2 А2к )

(1

х - хп = I А5 у- ' ч dEу 2. Для оценки х - хи|| найдем максимум модуля подынтеграль-

.2

/ к \2п

ной функции /(А) = А5 у-. Нетрудно показать, что при условии а > 0 справедливо

(1 + а 2А2к ) неравенство ||х - хи|| < ^/к (2кпае)-5/к||г||.

Таким образом, общая оценка погрешности метода (4) запишется в виде

||х - хп,5| < ||х - хЩ хп - хп,51 < ^ (2кпав)~^к \\4 + 2к(па)1 к 5, п > 1.

Для минимизации оценки погрешности вычислим ее правую часть в точке, в которой производная от нее равна нулю; в результате получим априорный момент останова

5 + к - ^ - А —

XI //Ч 7 \ 5+1 -1 5+1 ~ ,5+1 II || 5+1

попт = 55+1 (2к) а е 5 2 и оптимальную оценку погрешности

х - х,

п,5

5(1-к) , 5 1

к(5+1) - к(,+1) с. ^Ц!|5+1

< (1 + (,+1) 5 2 . (5)

.к.

V к .

Замечание 1. Оценка погрешности (5) имеет порядок 0(5 5 /(5+1) и, как следует из [7], он является оптимальным в классе задач с истокообразно представимыми решениями х = А5г, 5 > 0.

Замечание 2. Оптимальная оценка (5) не зависит от а, но от параметра а зависит попт, поэтому для уменьшения объема вычислительной работы следует брать а, удовлетворяющим условию а > 0 и так, чтобы попт = 1. Для этого достаточно выбрать

5+к __ А —

, 1 , \ 5+1 , 1 о 5+1 II II 5+1 а опт = (2к) е 5+15 2 .

Приведем погрешность метода (4) при счете с округлениями. Пусть хп § - точное значение, полученное по формуле (4), а 2п - значение, полученное по той же формуле с учетом погрешностей вычисления у п, т.е.

гп+1 = (е + а2 л2к ) 1 (е -алк ) гп + 2олк -1 у5

+ аУп, г0 = 0.

Оценка погрешности метода (4) в этом случае имеет вид

||х - гп|| <|X -хп51| +1|хп5 - гп|| < 55'к(2кпае)—7к||г|| + 2к(па)17к5 + пау, п > 1,

где у = у ;| .

I

Оценку ||х - хп § || можно оптимизировать по к. Для этого производную

5(1-к) -5 д(1-к)

по к от ф(к) = (5/к)к(5+1)ек(5+1) приравняем к нулю. Получим (¿/к)к(5+1)ек(з+1) •-—5--

к2 (5 +1)

I к - 1п — 1 = 0 . Отсюда видно, что оптимальное к должно удовлетворять равенству к = 1п —.

^ к) к

Но к должно быть целым числом, поэтому, как показывают расчеты, для 5 < 5 копт = 1, для 6 < 5 < 27 копт = 2.

3. Апостериорный выбор числа итераций.

Априорный выбор числа итераций п получен в предположении, что точное решение х уравнения (2) истокообразно представимо. Однако обычно сведения об истокообразности искомого решения неизвестны и тем самым, приведенные в разделе 2 оценки погрешности оказываются неприменимыми. Тем не менее, метод (4) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по поправкам. Зададим уровень останова е > 0 и момент т останова метода итераций (4) определим условием [16, 19, 21-22]

\\2п- 2п+1\\ >е (п < т),1

11-11 I (6)

\\2т - 2т+1\ < е ]

Решается уравнение (1) с несамосопряженным положительным ограниченным оператором. Предположим, что у е Я(А), т. е. при точной правой части у уравнение (1) имеет единственное решение х. Будем искать его, используя неявный итерационный метод

Хп +1 =1 Е + а

^Е + а2 (Л* Л)2к \ ^ Е-а^Л^ хп + 2а(/ Л) 1 Л*у

, х0 е Н, а > 0, к е N. (7)

В случае, когда правая часть уравнения задана приближенно ||у - у§ || < 5, метод итераций (7) примет вид

*п+1 = |е + а2 (Л"Л)2к) |е-а(л*Л) ^ гп + 2а(Л*Л*у§

Е-а(Л*Л) ^ ^Е + а2(л*Л)2^

где ип - ошибки в вычислении итераций, причем ||ип || < р. Обозначим С = ГЕ + а2(ЛлМ |Е-а(л*л)М , В = |Е + а2(ЛлМ 2а(л*Л) -Л*. Тогда итераци-

+

(8)

+ | Е -а(Л Л) | I Е + а2ЛЛ[ \ ип, г0 е Н, а> 0, к е N,

онный метод (8) примет вид гп+1 = Сгп + Бу§ + Сип. Покажем, что метод (8) с правилом останова (6) сходится. Справедливы

Лемма 1. Пусть приближение ш п определяется условиями

ш0 = г0, шп+1 = Сшп + БУ + Сип, п > (9)

п 2 2 п-1 2

Тогда справедливо неравенство 2 ||шк -шк+1 + Си А <|Шо - х|| + 2 \СиА .

к=0 к=0

Лемма 2. При Ушо е Н и произвольной последовательности ошибок {ип}, удовлетворяющих условию ||ии|| <Р, выполнено неравенство Нш ||ши -ш^+Ц < 2||С| Р

п^да

Леммы 1-2 доказываются аналогично подобным из [21-22].

Обе леммы будут использованы при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть уровень останова 8 = 8(5, Р) выбирается как функция от уровней

5 и Р норм погрешностей у - У5 и ип. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если 8(5, Р) > 2||С||Р, то момент останова т определен при любом начальном приближении г о е Н и любых У5 и ип, удовлетворяющих условиям ||у - у§|| <5, ||ип|| < Р;

б) если 8(5, Р) > \\Б\|5 + 2||С||Р, то справедлива оценка

II ||2 ^ го - х

т < -

(8-| Б|| 5)(8-| Б|| 5- 2 с| Р)'

в) если, кроме того, 8(5,Р) ^ 0, 5,Р^ 0 и 8(5,Р) > d(|Б||5 + |С|Рр) где й > 1

р е (0,1), то Нш ||гт - х|| = 0.

5,Р^0 11

Доказательство. Используя индукцию, можно показать, что

п-1

гп = С% + С^Ск (С"1Бу5 + ии-к-1). (10)

Отсюда

к=0

п-1

шп = Сп ш0 + С 2 Ск (С -1Бу + ип-к-1) = Сп ш0 + (Е + С + С2 +... + Сп-1)Бу +

п -1

+ С 2 Скип-к-1 = Сп ш0 + (Е - Сп )(Е - С) -1( А* А) -1(Е - С) А у +

к=0

п-1

к п п -1

-к-1 = С ш0

к=0

п-1 п-1

+ С 2 Скип-к-1 = Сп ш 0 + А-1 (Е - Сп) у + С 2 Скип-к-1. к=0 к=0 Учитывая, что г0 =Ш0, получим

п-1 п

гп - 2п+1 = С% + А"1(Е - Сп )У5 + с2Скип-к-1 - Сп+120 - А"1(Е - Сп+1)у5 - с2Скип-к

к=0 к=0

= Спш0 + А-1(Е - Сп )у - А-1(Е - Сп )у + А-1(Е - Сп )у5 +

n—1

+ С ^ CkUn—k—1 — Cn+4 — A~\E — Cn+1 ) y + A~\E — Cn+1 )y — A ~l(E — Cn+1 ) ys — k=0

n—1

— C^Ckun—k = юп — Юп+1 +A_1cn (E — C)(yS — У) = юп — Юп+1 + C"B(y — yS).

k=0

Следовательно,

\zn — zn+11| - IIюn — юп+11| + Обозначим g = B( y — ys ), тогда

CnB( y — ys )

(11)

CnB( y — ys )

Cn g

1 — aXk f

fi

U

(1 + a 2 À2k )Г

dE xg

<

80 (1 — a^k f

(1 1(1

(1 + a 2 A,2k J"

dE xg

+

+

(1

J(1

80

(1 — aA,k f (1 + a 2 A,2k J"

dE xg

<

E80 G

+ qn g ^ 0, n ^ œ, 80 ^ 0,

(1 — aÀk J2 ^ 1

-~ ' < q < 1.

имеем - ' < q < 1. Поэтому (см. лемму 2)

1 + a 2 À,2k

так как при а > 0, X е (ü, 1|С||] Üm |\zn — zn+1\\ = Hm ||и n - ш И+Ц < 2||С||ß.

n^ro n^ro

Следовательно, условием s(5, ß) > 2|С|| ß момент останова m определен при любом начальном приближении z0 е H и любых yg, ||y — yg || < 5 и un, ||wn || < ß.

un, W4 -

а. Рассмотрим последовательность (9) и определим момент останова m' условием

IK -®n+i|| >£-|МS (n <m'X

hm' -®m'+l|| -£-

(12)

Из (11) следует, что т < т'. Из леммы 1 при п = т' получим неравенство

' 2 ' 1

т т -1

-®к+1 + Сик\2 <||®0 -X +^^|Сик||2, поэтому справедливо записать

k=0

k=0

m' —1

m'—1

^ IK - ®k+1 + Cuk 112 < ||®0 - X + ^ I lCuk 112.

k=0 k=0 Отсюда получим

m -1 m -1

-®k+11- \\C\\p)2 <lb- 42 \Cuk\2 k=0 k=0

Так как по (12) при и <m ' имеем ||ши -w„+i||>s-1|Щто

m ' (s—| Щ |ô — 1С p)2 <||®0 - 4 2 + m'H 2 P 2. Учитывая, что ш0 = z0 и m < m ' , из последнего неравенства получим оценку для момента останова

2

• П - Л!

(13)

т < т' < ........ ,, ,,

(е-| |Я|| 8- С|| Р)(е-| |В|| 8)

б. Докажем, что

п-1

х = Спх + 2 ВСку. к=0

Предположим, что (13) верно, тогда х - Спх = в(е + С + С2 +... + Сп-1 )у,

(Е - Сп)х = В(Е - Сп )(Е - С)-1 у, (Е - Сп)х = Л"1 (Е - С)(Е - Сп)(Е - С)-1 Ах,

(Е - Сп )х = (Е - Сп )х. Следовательно, предположение верно и справедливость формулы (13) доказана. Из (10) вычтем (13), получим

п—1

•п - х = Сп (¿0 - х) + С^ Ск С-1В(у8 - у)

- у) + и

п-к-1

(14)

к=0

п-1 .

Отсюда Ап = Сп А0 + С2 Ск [с_1В(у8 - у) + ип-к-1 , где Ап = - х и А0 = г0 - х.

к=0

Следовательно,

1А »1 <

Сп Ас

+ и В 8 +

С р)»-

(15)

В частности, (15) справедливо и при п = т. Если т ^да при е, 8, Р ^ 0, тогда, как

показано ранее,

Ст А 0

^ 0, т ^ да. Поэтому для доказательства \гт - х ^ 0, 8 ^ 0, Р ^ 0

достаточно показать, что т(|В|8 + С|р) ^ 0, т ^ да, 8 ^ 0, Р ^ 0. Из(14) получим

п-1

•п - ¿п+1 = Сп (Е - С)(• 0 - х) - Сип - СПВ(У8 - у) + С2 Ск (Е - С)и»-к-1. (16)

к=0

(л л)2 ^ ^Е -а(л Л)^ принадлежит [0,1], то Сп (Е - с) < —-—. Поэтому из (16) получим при п = т - 1

Так как спектр оператора С = ^ Е + а2

1

можно доказать, что

•т-1 ¿тЦ <

П + 1

т-1 т-1

С С - С )(г0 - х)

+

Ст-1В(у8 - у) +|\Сит4 +

+

т-2

С

2 Ск (Е - С)ит-к-2

к=0

т-1 т-1

< С - С) С 2 (^0 - х) +1С Р+1 В 1|8 +

т-2

+

1С Р2 Г+Г < I

к=0

т-1

С 2 (^0 - х)

+ В 8 +

С Р(2 + 1п т),

т-1

так как 2- < 1 + 1пт [21-22]. ^к

к=1

Так как по условию теоремы е(8, Р) > ё(|В|8 + ||С||Рр ), ё > 1, р е (0,1), то при всех до

2

статочно малых ô, ß выполняется неравенство s(ô, ß) > 1|В||ô + 2||С||ß, поэтому из б) получим

II II2 llzn - —II

m <

(s - Я ô-2Сß)(s- Вô)

Поскольку zm-1 - гЛ >s, то s <

2

m

m-1 C 2 (z0 -

+

+

ICI|(2 + ln m)ß. Отсюда по-

лучим, что m <

m-1

2 С 2 (z0 -

s -

ICI|ß(2 + ln m)

. Умножим обе части последнего равенства на

\\в\\ô +1CIß, получим m(Nô + HClß) < ■

2 m-1 С 2 (z0 - —) I в|| ô + | dl ß)

s - В ô - С ß " II II2 \\Zri - — ^ 1 In II 0 II

(s - В ô - 2 С ß)(s - В ô)

При m ^ да множитель 2

m-1

С 2 (z0 - —)

^ 0, a

2(1 B|| ô + lid |ß)

s -1ВЦô-|Cilß

2 + ln-

zn - -

(s - в ô- 2 c ß)(s- в ô)

ограничена при 5, Р ^ 0. Поэтому т|Щ|5 + |С|р) ^ 0, при т ^ да, 5, Р ^ 0. Отсюда и из неравенства (15) при т ^ да

liml|Д JI = lim I\zm - х|| < lim I m ô^o" m 11 ô^0v

Cm Д

+ mlВ ô+ С ß)l = 0.

ß))=

ß^0

ß^0

ß^0

Таким образом, доказано, что lim \zm - x при m ^ да, т. е. метод итераций (8) с пра-

5^0

вилом останова по поправкам (6) сходится в исходной норме гильбертова пространства.

Теорема 2 доказана.

Библиографический список

1. Hadamard, J. Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques / J. Hadamard. - Paris: Hermann et cie, 1932. - 542 p.

2. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. - 1943. - Т. 39. - № 5. С.195-198.

3. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92 с.

4. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

5. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

6. Лисковец, О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач / О. А. Лисковец. - Минск: Наука и техника, 1981. - 342 с.

7. Вайникко, Г. М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г. М. Вайникко, А. Ю. Веретенников. - М.: Наука. - 1986. - 178 с.

8. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 151. - № 3. - С. 501-504.

2

9. Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Мат. сб. - 1963. - Т. 61 (103). - № 2. - С. 211-223.

10. Phillips, D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. Accoc. Comput. Mach. 1962. - V. 9. - № 1. - P. 84-97.

11. Иванов, В.К. Теория приближённых методов и её применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В.К. Иванов. - Киев: Навук. думка, 1968. - 287 с.

12. Константинова, Я. В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений I рода / Я. В. Константинова, О. А. Лисковец // Вестник Белорус. ун-та. Серия 1. - 1973. - № 1. - С. 9-15.

13. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики /

A. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М.: УРСС, 2004. - 480 с.

14. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. - М.: МГУ, 1994. - 207 с.

15. Vogel, C. R. Computational methods for inverse problems / C. R. Vogel. - Philadelphia: SIAM, 2002. - 183 p.

16. Емелин, И. В. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач / И. В. Емелин, М. А. Красносельский // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 12. - С. 59-63.

17. Gilyazov, S. F. Regularization of ill-posed problems by iteration methods / S. F. Gilyazov, N. L. Gol'dman. - Dordrecht ets.: Kluwer Acad. Publ., 2000. - 340 p.

18. Kabanikhin, S. I. Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications / S. I. Kabanikhin. - Deutschland: De Gruyter, 2011. - 459 p.

19. Савчук, В. Ф. Регуляризация операторных уравнений в гильбертовом пространстве /

B. Ф. Савчук, О. В. Матысик. - Брест: БрГУ им. А.С. Пушкина, 2008. - 196 с.

20. Matysik, O. V. M. A. Krasnosel'skii theorem and iterative methods for solving ill-posed linear problems with a self-adjoint operator / O. V. Matysik, P. P. Zabreiko // Comput. Methods Appl. Math. (De Gruyter). - 2015. - V. 15. - N. 3. - P. 373-389.

21. Матысик, О. В. Явные и неявные итерационные процедуры решения некорректно поставленных задач / О. В. Матысик. - Брест: БрГУ им. А.С. Пушкина, 2014. - 213 с.

22. Матысик, О. В. Итерационная регуляризация некорректных задач / О. В. Матысик. -Deutschland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 188 с.

23. Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. - Киев: Навук. думка, 1986. - 543 с.

Дата поступления в редакцию 14.10.2015

О-V. Маtysik

OF THE ITERATION REGULARIZATION OF ILL-POSED EQUATIONS

THE FIRST KIND

Brest State University n. a. A. S. Pushkin, Belarus

Purpose: Suggest a regularizing algorithm for ill-posed problems and to compare it with the previously known methods.

Design/methodology/approach: To construct the iteration method used is the most common of the currently known approaches to solving ill-posed problems - an approach based on the entered academician A.N. Tikhonov regularizer concept, as well as the general theory of ill-posed problems, the theory of functional analysis and computational mathematics.

Findings: Designed and studied effective implicit iteration method for ill-posed problems described by operator equations of the first kind.

Research limitation/implication: There are some unresolved questions - the study of convergence of the method in the case is not exactly given operator.

Originality/value: The research results can be applied for solving applied incorrect problems encountered in spectros-copy and tomography, geophysical, engineering and management.

Key words: Regularization, implicit iteration method, ill-posed problem, Hilbert-space, operator equation of the first kind, self-adjoint and non self-adjoint operator, stopping rule for amendments.