Из истории регуляризации некорректных уравнений первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_

Как показывают результаты вычисления, распределение прогиба вдоль меридиана оболочки отличаются качественно и количественно в зависимости от граничных условий и переменности толщины в разных моментах времени.

3. Заключение. В данной статье рассмотрена связанная задача магнитоупругости для гибкой ортотропной конической оболочки с учетом ортотропной электропроводности. Исследуется влияние граничных условий на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки.

На основе полученных результатов установлено, что во всех рассмотренных случаях максимальные значения прогиба возникают при «шарнирно-скользящем» закреплении контуров оболочки при

t = 5 • 10 3 с.

Исходя, из полученных результатов можно судить о влиянии граничных условий на взаимосвязанность механических и электромагнитных полей.

Список использованной литературы:

1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. -Москва: Наука, 1977. - 272 с.

2. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.: Мир, 1967. - 385 с.

3. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1979. - 639с.

4. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупругости (укр): учебник.-К:ИПЦ «Киевский университет», 2010.

5. L.V. MoFchenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotopic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. - New York, 2008. - Vol. 44. - No.8. - P. 882 - 891.

6. R. Sh. Indiaminov On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the axsymmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies. - 2008. -Vol. 13, № 6. -P. 65-77.

© Индиаминов Р.Ш., Наркулов А.С., Саидкулов Э. 2017 г.

УДК 519.6

О.В. Матысик

К. ф.-м. н., доцент, БрГУ имени А.С. Пушкина

г. Брест, Беларусь E-mail: [email protected] А.М. Иванова

Магистр математики, Лёвенский католический университет

г. Лёвен, Бельгия E-mail: [email protected]

ИЗ ИСТОРИИ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

Аннотация

В работе проводится обзор разнообразных явных и неявных итерационных схем решения некорректных задач. Рассматриваются случаи неединственности и неустойчивости решения операторного уравнения, априорный выбор числа итераций.

Ключевые слова

Некорректная задача первого рода, положительный ограниченный и самосопряженный оператор,

спектр, гильбертово пространство

В последние десятилетия математическая наука обогатилась важным разделом — теорией некорректно

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_

поставленных задач и методов их приближенного решения. Развитие этого раздела математики вызвано многочисленными приложениями в технике, физике, экономике и других естественных науках, поскольку, прежде всего, в приложениях возникают и имеют большое значение подобные некорректные задачи.

Потребности практики приводят к необходимости решения подобных задач, которые во многих случаях описываются операторными уравнениями I рода. В настоящее время теория некорректных задач успешно применяется для решения широкого круга обратных задач оптики и спектроскопии, электродинамики, радиоастрономии, диагностики плазмы, геофизики, теории потенциала и гравиметрии. Для их решения широко используются итерационные схемы, позволяющие при обработке экспериментальной информации существенно повысить точность определения характеристик изучаемых физических явлений. Поэтому огромное значение имеют разработка и изучение новых итерационных методов решения некорректных задач, получение условий их сходимости, нахождение оценок погрешности и обоснование применения к методам правил останова в процессе вычислений. Изложим некоторые факты из истории развития теории итерационных методов решения некорректных задач.

Лаврентьев М.М. в работе [1] для операторного уравнения I рода Au = f, где А - линейный вполне

непрерывный оператор, А = A* > 0, HA < 1 и 0 Е Sa при приближенной правой части f 5 : || f — f < 5

рассмотрел применение явной итеративной схемы: un

— un—1 — (Aun—1 — f5 )> u0 = f5 • Здесь

доказана

сходимость предложенного итеративного метода к точному решению уравнения и при специальном выборе п = п(Ъ) (при согласовании с погрешностью 5), т.е. показано, что ип —> и , когда пЪ — 0,

un — u

<т

1

+ n5 . Здесь же автором

5 — 0, п —> го . Получена оценка погрешности метода:

11 п {п + 2,

была обоснована сходимость предложенного метода последовательных приближений для некоторых классов нелинейных операторных уравнений.

При других предположениях метод простой итерации был исследован Антохиным Ю.Т. [2]. Здесь рассматривается уравнение Ax = f в гильбертовом пространстве, А = А* - линейный, неограниченный оператор, со всюду плотной областью определения D(A). Для оператора 0 служит точкой его же спектра, но в тоже время не является собственным значением, т.е. существует последовательность {Хп } такая, что ||хп|| = 1, \\Ахп\\ — 0, п — го и Ахп ф 0 при X ф 0 . В дальнейшем предполагается, что решение уравнения существует. Предложенная здесь схема явного метода последовательных приближений выглядит

так

: x1 - f > xn -

V

Е —1А |х„_1 +1 / , E — тождественный оператор. Для данного метода при условии, п ) п п

что оператор А = А* > 0, доказана сходимость и получена оценка погрешности.

Фридман В.М. в статье [3] для решения в гильбертовом пространстве уравнения I рода Ьх = Лх — у = 0 с линейным ограниченным оператором А предлагает итерационный метод

\\Lx„

ln+1

*Lx . С использованием интегрального представления оператора A A рассмотрен

A Lxn

случай неединственного решения уравнения (рассматриваемая задача некорректна) и доказана сходимость предлагаемого метода.

' <—1

В работе [4] Страхов В.Н. решает операторное уравнение I рода Aф

- f ( A"1

+го I методом

ф0 = /0, Фп = (Е — А)фп—1 + / , потребовав ||Е — А| = 1 . Автором используется начальное приближение: Ф0 = /0 , где /0 — произвольная функция из гильбертова пространства Н = ^(—го,+го)

2

— xn

2

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070

. В работе доказана сходимость метода: ф n — ф =

(E — A)n (фо — Ф

^ 0, n ^ да.

В [5] В1а!у Н. решает уравнение I рода Ах — у , где Н - полное, сепарабельное гильбертово пространство, А. Н —> Н — линейный ограниченный положительный оператор, 0 является его

собственным значением (решение уравнения неединственно). Для решения рассматриваемого уравнения используется следующая итеративная схема явного типа

Хп — Хп—1 + т(у — Ахп—1), Хо Е Н, 0 <Т<-—- . Доказана сходимость метода к решению с

минимальном нормой.

Список использованной литературы:

1. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. -Новосибирск : СО АН СССР, 1962. - 92 с.

2. Антохин, Ю. Т. О некоторых задачах аналитической теории уравнений I-го рода / Ю. Т. Антохин // Дифференц. уравнения. - 1966. - Т. 2, № 2. - С. 26-34.

3. Фридман, В. М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска / В. М. Фридман // Успехи мат. наук. -1962. - Т. 17, вып. 3. - С. 201-204.

4. Страхов, В. Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой итерации / В. Н. Страхов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1973. - Т. 13, № 6. - С. 1602-1606.

5. Bialy, H. Iterative Behandlung Linearer Funktions gleichungen / Н. Bialy // Arch. Ration. Mech. and Anal. - 1959. - Vol. 4, №. 2. - Р. 166-176.

© Матысик О.В., Иванова А.М., 2017

УДК 513.03

Миллер Н. В.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск Попова Н. И.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск Швец Ю. В.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск

НЕУЛУЧШАЕМАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ НИЖНЕЙ СРЕЗКИ ОДНОГО НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Аннотация

В работе рассматривается исследованное ранее авторами интегральное неравенство вида Ь (х) < Ь (кх)

, где Ь(х) — —у—г-1 е dt - срезка несобственного интеграла первого рода, связанного с гамма-функцией

„I 1 I

Г

6

Эйлера Г ( х) . Ранее также было установлено, что данное неравенство справедливо для Ух е R и к . Особенность полученных в представленной работе результатов состоит в том, что в ней доказывается, что