Неулучшаемая оценка для нижней срезки одного несобственного интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

. В работе доказана сходимость метода: ф n — ф =

(E — Af (фо — ф

^ 0, n ^ да.

В [5] В1а!у Н. решает уравнение I рода Ах — у , где Н - полное, сепарабельное гильбертово пространство, А. Н —> Н — линейный ограниченный положительный оператор, 0 является его

собственным значением (решение уравнения неединственно). Для решения рассматриваемого уравнения используется следующая итеративная схема явного типа

Хп — Хп—1 + т(у — Ахп—1), Хо Е Н, 0 <Т<-—- . Доказана сходимость метода к решению с

минимальном нормой.

Список использованной литературы:

1. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. -Новосибирск : СО АН СССР, 1962. - 92 с.

2. Антохин, Ю. Т. О некоторых задачах аналитической теории уравнений I-го рода / Ю. Т. Антохин // Дифференц. уравнения. - 1966. - Т. 2, № 2. - С. 26-34.

3. Фридман, В. М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска / В. М. Фридман // Успехи мат. наук. -1962. - Т. 17, вып. 3. - С. 201-204.

4. Страхов, В. Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой итерации / В. Н. Страхов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1973. - Т. 13, № 6. - С. 1602-1606.

5. Bialy, H. Iterative Behandlung Linearer Funktions gleichungen / Н. Bialy // Arch. Ration. Mech. and Anal. - 1959. - Vol. 4, №. 2. - Р. 166-176.

© Матысик О.В., Иванова А.М., 2017

УДК 513.03

Миллер Н. В.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск Попова Н. И.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск Швец Ю. В.

к. п. н., доцент Сибирского государственного университета путей сообщения,

РФ, г. Новосибирск

НЕУЛУЧШАЕМАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ НИЖНЕЙ СРЕЗКИ ОДНОГО НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Аннотация

В работе рассматривается исследованное ранее авторами интегральное неравенство вида Ь (х) < Ь (кх)

, где Ь(х) — —у—г-1 е dt - срезка несобственного интеграла первого рода, связанного с гамма-функцией

„I 1 I

Г

6

Эйлера Г ( х) . Ранее также было установлено, что данное неравенство справедливо для Ух е R и к . Особенность полученных в представленной работе результатов состоит в том, что в ней доказывается, что

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_

границы интервала J являются неулучшаемыми, то есть левая граница не может быть меньше 1, а

правая превышать .

Abstract

т2.

This article describes the integrated inequality L (x) < L (kx), which was investigated by authors earlier,

3 f -t6

where L(x) = —y—I e dt - cut of improper integral of the first sort connected with Euler's gamma function 1 i

Г

v 6

Г (x). Earlier it was also established that this inequality is fair for Vx e R and k e J . Feature of results received in the presented work consists that in it is proved that borders of an interval J are not improved, that is the left border can't be less than 1, and right to exceed .

Ключевые слова

Несобственный интеграл первого рода, интегральные неравенства, степенные оценки, гамма-функция.

Keywords

The improper integral of the first kind, integral inequalities, power estimations, , the gamma function. 1. Введение

В большом числе исследований в области фундаментальной и прикладной математики были получены

<х>

различные оценки срезок важнейших функций, к числу которых относятся, например, Г (k, x) = J tk -1e_tdt

x

t2

i 7 - V

— срезку гамма-функции Эйлера, и Q(x) = ,— J e 2 dt — нижнюю срезку плотности стандартного

4ln x

гауссова распределения. В математическом анализе исключительная роль гамма-функции определяется тем, что при помощи этой функции выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов; она широко используется в аналитической теории чисел, и, кроме того, гамма-функция находит широкие применения в теории специальных функций, к числу которых относятся, например, гипергеометрическая функция, для которой гамма-функция является предельным случаем, цилиндрические функции и др.

W.Gautschi [1] опубликовал доказательство неравенства, связывающего Г(x) и Г f — J и

выполняющегося для всех х > 0 :

2

> 1.

1/Г ( x) +1/Г (1/ x)

Позднее, в работе [2] аналогичное неравенство было получено для Г2(x) и Г2(1/x). Важную двойную оценку для гамма-функции установили в 1997 году G.D. Anderson и S.-L. Qiu в работе [3]. Они показали, что для x > 1 справедливы неравенства:

x(i-c)x-i < г(x) < x-1,

где C=0,57721...- постоянная Эйлера.

Позднее A. Alsina и M. Tomas в работе [4] доказали, что всех x е (0,1) выполняются неравенства

вида:

x«(x-i)-c < г(x) < x^(^-1)-С,

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_

где а= 1 — С = 0,42278..., ß = 0,53385..., C=0,57721...

да

Другие авторы получили близкие результаты для неполной гамма-функции Г(k, x) = J tk—1e~idt. Так,

x

в работе [5] установлено, что:

a—1 — x ^ I j-г/ \| ^ rt a— 1 — x

x e <\1 (a, x)| < Bx e

B

где a > 1, В > 1, x >-(a — 1).

B — 1

В работе [6] изучалась нижняя срезка плотности стандартного гауссова распределения

1 да t2

Q(x) = ,— J e 2 dt. Автором установлено, что для любого x е R и 1 < a < V2 справедливо неравенство

Q2(x) < Q (ax) (1)

Однако вопрос об улучшаемости границ данного интервала для параметра a в работе [6] не изучался. В работе [7] мы установили, что для Vx е R и k J выполняется интегральное неравенство

L2 (x) < L (kx) . Но не было показано, что границы для параметра к в этом неравенстве являются неулучшаемыми.

Целью настоящей работы являлось получение степенной оценки типа (1) для функции

Зда

Г t6

L(x) = J e^ dt, (2)

Г

V 6.

(которую часто называют дополнительной обобщенной функцией ошибок), и доказательство неулучшаемости интервала ^ по параметру к, а именно доказательство того, что правая граница

данного интервала не может быть увеличена, а левая не может быть меньше 1. Сформулируем основные результаты работы. Теорема 1.1. Для любого £ > 0 3 х Е R такое, что справедливо неравенство

Ь2( х) > Ь ( $2 + £) х), (3)

где функция Ь ( х) определена равенством (2).

Теорема 1.2. Для любого £ > 0 3 х Е R такое, что справедливо неравенство

Ь2(х) > Ь ( (1 -£)х), (4)

2. Доказательство теоремы 1.1.

Оценим снизу Ь ( х) . При х > 0 и Т > 0 имеем:

3 х ,6 3 х +т 6 3 6

Ь (х) ——1 е"t Л >—^т | е"t Л >е~(х + Т) т .

Г

Отсюда

X

Г

V

x

Г

V

32 6

L2(x) e-2(x + г) V . (5)

V 6

_3

Г2

Для функции в правой части (3) проведем оценку сверху. При положительном х имеем:

6

3 ? __t6 ^ 3 Г _t6 t5

$2 + s)x =J в-Ыг J e- 55

; ГI 6J ^ + s)x Г [jj (62 +s)x (^2 +s) x

dt =

3 1

' Г11 j 6' (62 + s)5 x5'

2 Г

^ в 1

-($2+s) x)6

(62+s) x

(6)

( (62 + s) x)

Из оценок (5) и (6) следует, что для доказательства теоремы 1.1 достаточно показать, что существуют X > 0 и Т > 0 такие, что:

- ((с+б) х)6

32

-2( x+т)6 2

Г2

т > -

2 Г [ 1 |( (62 +s) x )5 1

Последнее неравенство выполняется, например, при X = —-, Т = Б .

Б

Теорема 1.1. доказана. 3. Доказательство теоремы 1.2.

При доказательстве теоремы будет использоваться подход, аналогичный рассмотренному в работе [6] для нижней срезки неопределенного интеграла от гауссова распределения.

Покажем, что существует положительное значение X, такое, что выполняется неравенство

L2(-X) > L ( (Б-1) X ).

Имеем:

3 г -16 , L(-x) = j в dt = 1 -

Г

Г

тт j

x -t6 в dt = 1 --

Г

3 г 16 3p- j в"t dt

(7)

Из (7) получаем необходимую оценку снизу для Ь(—X) :

3 3 w б 15 3

L(-x) = 1--^ f e~fdt > 1--^ I" в''" ■ — dt = i +_-

r-I 1 I r-I 1 I x , 1

Г

Отсюда:

Г

6Г\ - |x

= 1--

2 Г1 1J x'

L2(-x) >

1 --

2 Г1 i1 x

При положительных X и Т выведем оценку сверху для L((Б — 1)X). Имеем:

3 г -t6 3 (s-1)x -t6 п г -t6 L((s - 1)x) = j в t dt = 1--j— j в t dt = 1--f-- j в t dt

Г11)sx Г(6) г Г\6)

_ (i-s) x+T 6 -j 6 < 1--^ j в"t dt < 1--^в-((1 -s)x +т) ■т .

Г\ ^ | (1-s) x

Г

Для доказательства оценки (4) осталось установить, что существуют положительные числа X и т, такие что выполняется неравенство

L

СО

1

5

в

1

3

6

- x

2

( у

1 -. е-

. 2П1)'

Последнее неравенство выполняется, если

3 -((1 - Е)X + Т)6

> 1--e

г < 1.

1--> 1--^ Х+Т)6. (8)

Заметим, что (8) следует из оценки

3- x5 • е ((1~е)х+г)б > е хб (9)

1

Очевидно, что соотношение (9) выполняется, например, при Т — е , X — —2 .

е

Теорема 1.2. доказана.

Список использованной литературы:

1. W.Gautschi - Some mean value inequalities for the gamma function // SIAM J. Math. Anal. - 1974. - No. 5. -P. 278 - 281.

2. H. Alzer - Inequalities for the gamma function // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. -Vol. 128, No. 1. - P. 141 - 147.

3. G.D. Anderson, S.-L. Qiu - A monotoneity property of the gamma function// - Math. Comp. 1997. - No. 66. -P. 373 - 389.

4. A. Alsina, M. Tomas - A geometric proof of a new inequality for the gamma function // J.Ineq Pure Appl. Math. Comp. - 2005. -No. 6.

5. P. Natalini, B. Palumbo - Inequalities for the incomplete gamma function // Mathematical Inequalities and Applications. - 2000. - Vol. 3, No. 1, P. 69 - 77.

6. Xiao-Li Hu - Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions // Journal of Mathematical Inequalities. - 2010. - Vol. 4, No. 4. - P. 609 - 613.

7. Миллер Н.В., Пучнин Р.В., Швец Ю.В. - Степенные оценки для срезок несобственных интегралов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. Москва. - 2015. - №11-1, Ч. 1 - С. 41 - 44

©Миллер Н. В., Попова Н. И., Швец Ю. В., 2017

т

УДК 517.946+531

О.В. Шемелова

к.ф.-м.н.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», г. Нижнекамск, Российская Федерация

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

ГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ

Аннотация

Рассматривается метод решения задачи управления динамикой систем, содержащих компоненты различной физической природы. Строится алгоритм определения реакций связей, обеспечивающих выполнение уравнений связей. Также проводится модификация уравнений динамики, которая позволяет решить задачу стабилизации связей и обеспечить точность численного решения системы дифференциально-