CC BY
48
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517
А. В. Пожидаев, Н. М. Пекельник, О. И. Хаустова, И. А. Трефилова
СТЕПЕННЫЕ ОЦЕНКИ СРЕЗОК НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Аннотация.
Актуальность и цели. Распределение Гаусса естественно возникает во многих приложениях и широко используется в различных теоретических построениях. Важную роль играет и нижняя срезка Q( х) несобственного интеграла от
плотности стандартного гауссова распределения. Целью данной работы является получение оценок сверху для произвольной степени функции Q (х) через
несобственный интеграл того же вида с нижней границей ax, где a - некоторый параметр.
Материалы и методы. Для получения необходимых оценок изучалось поведение разности Qm(х) - Q(y[mx) на различных интервалах числовой оси,
при этом широко использовались хорошо известные свойства гауссова распределения. Кроме того, были выведены точные неравенства для показательной функции специального вида и получены оценки сверху и снизу функции
Q (х).
Результаты. В работе показано, что для любого действительного х (при m > 2) выполняется неравенство Qm (х) < Q(ax), где a - произвольное число из интервала |^1; -s/m J . Кроме того, установлено, что данное неравенство является неулучшаемым по параметру a. Так, в статье показано, что правая граница интервала для a не может быть больше Jm , а левая меньше 1.
Выводы. Произвольную степень функции Q(х) можно равномерно оценить сверху через функцию того же вида с аргументом ax. Полученные оценки могут быть использованы в социологических и демографических исследованиях, в эконометрике и статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения.
Ключевые слова: вероятностная плотность, гамма-функция, дополнительная функция ошибок, логарифмически вогнутая функция, неулучшаемые оценки, распределение Гаусса, степенные оценки, функция распределения.
A. V. Pozhidaev, N. M. Pekel'nik, O. I. Khaustova, I. A. Trefilova POWER ESTIMATES OF CUTS OF SOME IMPROPER INTEGRALS
Abstract.
Background. Gaussian distribution arises naturally in many applications and is widely used in a variety of theoretical constructs. The important role is played by a lower cut-off function Q (x) of an improper integral from the density of a standard Gaussian distribution. The purpose of this paper is to obtain upper cuts for the arbitrary power of the function Q( x) through the improper integral of the same type with a lower limit ax , where a - an arbitrary parameter.
Materials and methods. To obtain the necessary estimates the authors studied the behavior of the difference Qm (x) - Qpfmx) in various intervals of the real axis. At the same time, the well-known properties of the Gaussian distribution were widely
68
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
used. In addition, the strict inequalities were brought to a special form of the exponential function, and upper and lower bounds for the function Q( x) were obtained.
Results. The paper shows that for any real x, when m > 2, the inequality Qm(x) < Q(ax), where a - an arbitrary number in the interval |^1; -v/m J . In addition, it was found that this inequality can t be improved on the parameter a . So, the paper shows, that the right border of the interval for a can not be more than -Jm and the left - can not be less than 1.
Conclusions. The arbitrary degree function Q(x) can be uniformly bounded above by a function of the same type with ax argument. These estimates can be used in sociological and demographic studies in econometrics and statistics for point and interval estimates of the unknown parameters of the distribution.
Key words: probability density, gamma function, additional function of errors, logarithmically concave function, unimprovable values, Gaussian distribution, power estimations, distribution function.
Введение
Несобственные интегралы с переменным нижним пределом часто возникают в специальных прикладных дисциплинах и теоретических исследованиях. Важными примерами такого вида интегралов являются нижние срезки
гамма-функции Эйлера Г(£, x) = J tk 1e tdt и плотности стандартного гаус-
сова распределения Q (x) =
-_-[ e
л/2п ■*
t__
2 dt. Часто подобные функции называ-
ются неполными.
В работах [1-3] выведены соотношения, позволяющие оценивать сверху и снизу Г(k, x) через значение подынтегральной функции в некоторой
точке. В работе [4] изучается неполная функция вида F(x) = J f(s )ds , где
x
f (s) - непрерывно дифференцируемая вероятностная плотность с носителем (0; ). Кроме того, дополнительно предполагается, что подынтегральная
функция является логарифмически вогнутой, т.е. для всех положительных х, у и 0 < р < 1 имеет место неравенство
log f ( + (1 — p)y )>р log f(x) + (1 — р) log f(y). (1)
Отметим, что для логарифмически выпуклой функции неравенство (1) меняет знак на противоположный. При этих ограничениях в последней статье для всех х, у из интервала (0; ^) для функции F(x) получено соотношение
F(x + y) < F(x)F(y). (2)
Если плотность f (x) является логарифмически выпуклой, то неравенство (2) принимает вид
Physical and mathematical sciences. Mathematics
69
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
F (x) F (у) < F (x + у)
(3)
Отметим, что соотношению (2) удовлетворяют, например, дополни-
тельная
2 Г —/2
функция ошибок erfc(x) = I e dt и неполная гамма-функция
ып J
G(k, x)
Г(к, x) T(k)
, где
Г(к) = | tk-le-tdt. 0
Неравенство (2) также выполняется для хи-квадрат распределения и распределения Вейбулла. Соотношение (3) выполняется достаточно редко, так как основные распределения являются логарифмически вогнутыми. Поэтому возникает необходимость получения аналога неравенства (3), например, в форме
F2(x) < F(ax)
(4)
при некотором значении а. То есть для квадрата функции F(x) выводится оценка сверху через значение этой же функции в подходящей точке.
Получение неравенства вида (4) вызывает большие трудности. Однако в [5] его удалось вывести для важной во многих приложениях и теоретических исследованиях функции
Q( x) = 4ii fe
x
2 dt.
В этой работе при 1 < a <yj2 для любого х выведено неравенство
Q2(x) < Q(ax).
(5)
Отметим, что вопрос о точности границ для параметра а в [5] не рассматривался.
Цель данного исследования состоит в том, чтобы распространить неравенство (5) на произвольную степень функции Q(x) и показать, что полученные границы для параметра а найдены точно, т.е. не могут быть улучшены.
Основной результат данной работы изложен ниже.
Теорема 1. Для любого x е R и m > 2 выполняется неравенство
Qm (x) < Q(ax), (6)
где а - произвольное число из интервала ^1;>/т J.
Полученные степенные оценки нижней срезки несобственного интеграла от стандартной плотности нормального распределения могут быть использованы в социологических и демографических исследованиях, в эконометрике при анализе остатков трендовых моделей с полиномиальной структурой лага, в статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределений.
70
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
Следующие две теоремы показывают, что оценка (6) в теореме 1 является неулучшаемой по параметру а.
Теорема 2. Для любого е> 0 существует xi е R такое, что
Qm(xi) > Q((( +e)xi). (7)
Теорема 3. Для любого е> 0 существует Х2 е R такое, что
Qm (x2) > Q ((1 -e)x2). (8)
Отметим, что оценки (7), (8) являются новыми и в работе [5] не рассматривались.
Замечание. Неравенство (6) остается справедливым и при 0 < a < 1 для любого положительного х.
Это следует из того, что в этом случае 0 < ax < x . Поэтому, так как функция Q( x) убывает и ограничена сверху единицей, получаем,
Q(ax) > Qm (x).
1. Доказательство основного результата
Предварительно установим справедливость следующего утверждения. Лемма 1. Для любого m > 2 справедливо неравенство
1
m-1 m m-1 е 2 2п
(9)
Доказательство. Очевидно, что
1
mm-1 < 2
при m > 2 . Поэтому утверждение леммы будет вытекать из оценки
m—1
e 2п —
> 0.
(10)
Это неравенство равносильно тому, что
1 _1_
2 > m2(m-1)e2n . (11)
J_
Еще раз используя (10), получаем, что (11) имеет место, если y[l > e2п . Последнее утверждение очевидно. Поэтому неравенство (11), а следовательно, и оценка (9) доказаны.
Доказательство теоремы 1 проводится по схеме, близкой к рассмотренной в работе [5].
Заметим, что при любом действительном х выполняется неравенство Qm (x) < Q(x), так как m > 2 и 0 < Q(x) < 1. Поэтому утверждение теоремы 1
Physical and mathematical sciences. Mathematics
71
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
верно при a = 1. Цель дальнейших выкладок - показать, что неравенство (6) выполняется и при a =-Jm . В этом случае утверждение теоремы 1 будет справедливо для всех a е j^1;Vm J, так как функция Q(x) является убывающей.
Пусть Zm (x) = Qm (x) - Q (mx). Требуется доказать, что для любого х при m > 2 Zm (x) < 0 . Очевидно, что имеют место следующие соотношения:
Zm (0) = Qm (0) - Q (0)=21- - 2 < 0,
2 z-
lim Zm (x) = lim (Qm (x) - Q (mx) = 1 -1 = 0.
* ^— CO Y ^ — CO ' ^ ' '
(12)
(13)
lim Z
,(x) = lim (Qm(x)-Q(mx)) = 0-0 = 0. (14)
x—— ^' ' ' '
Кроме того, используя правило дифференцирования несобственного интеграла по параметру, получаем
Z'm (x) = -mQm 1( xW= e 2 + -т=.
V2n V2n
x r— m 1 2 ^m
2 =
4m 2
-e 2
( m-1) x2
e 2 -y[mQm 1( x)
( m-1) x 2
Обозначим zm (x) = e 2 -yfmQm 1(x), тогда
Очевидно, что
Z'm (x) =2me 2 Zm (x). V2n
z» <°> = 1 - £ > 0.
lim zm (x) = -m < 0 .
(15)
(16)
x—-
Отметим, что zm (x) на интервале (-»;0] возрастает, так как функция
(m-1) x2
e 2 возрастает, а функция Qm-1( x) убывает. Это обстоятельство и не-
равенства (15), (16) показывают, что на отрицательной полуоси функция zm (x) один раз меняет знак минус на плюс. Следовательно, функция Zm (x)
на интервале (-»;0] имеет один минимум и не имеет максимумов.
72
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
Цель дальнейших вычислений - показать, что функция Zm (х) возрастает на интервале (0; ^). Для этого достаточно установить, что zm (х) > 0 при х > 0 . Дальнейшие выкладки проводятся при положительном х.
Оценим сверху функцию Q(х). Получаем
1 1
Q(х) = ,— Г e 2 dt < ,— Г e 2 —dt = ■ .— .
V2n ■> V2n ■> х yJ2n х
х
"T
42к:
отсюда
----( m-1)
Qm-1( х) <■ e
(2Л)
m -1
m-1
(17)
следовательно,
---(m-1) _ -1
Zm(х) = e 2 -4mQm 1(х) >
> e
x2 I—------(m-1) х2
- xr( m-1) \fme 2 - "2( m-1)
- = e 2
(
((2П)
m-1
.m-1
4m
(2nJ
m-1
m-1
отсюда
Zm ( х) > 0
(18)
1
при х > ■
m
2(m-1)
42к
■. Осталось показать, что zm (х) > 0 на
1
0;
m
2(m-1)
’ 42к
(m-1) х 2
Заметим, что на этом интервале функция y = e 2 убывает,
так как m > 2, а функция Q( х) < 2 . Поэтому для zm (х) справедлива оценка снизу:
х2 . ,, (m-1)mm 1 i—
, ч ^(m-1) I— ^.m-^/ ч 2 2"^ 4m
zm (х) = e 2 -4mQ 1(х) > e 2 2n-------1.
2m-1
Отсюда, используя неравенство (9) из леммы 1, получаем zm (х) > 0 при
( 1
х е
0;
m
2m-1
. Вместе с (18) это показывает, что zm (х) > 0 на всей положи-
х
2
2
Physical and mathematical sciences. Mathematics
73
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тельной полуоси. Поэтому функция Zm (x) =
-Jm 2
I ^
V2 n
zm (x) один раз меня-
ет знак минус на плюс на всей числовой прямой. Следовательно, на всем интервале (—«; +^) функция Zm (x) имеет один минимум. Отсюда из соотношений (12)-(14) вытекает, что при любом х Zm (x) < 0 . Теорема 1 доказана.
2. Доказательство неулучшаемости основного результата по параметру а
В данном разделе показывается, что область для параметра а в формулировке теоремы 1 не может быть расширена. Так, правая граница не может
превышать yfm , а левая быть меньше 1.
Доказательство теоремы 2. Оценим снизу функцию Q (x) при положительных х и h. Имеем:
2 dt >
x+h
2 dt >
(x+h )2
2 • h,
отсюда
Qm (x) >
(x+h )2 m
2 • hm
(19)
Пусть £> 0 - произвольное сколь угодно малое число. Оценим сверху
при положительном х:
2 dt <
2
dt =
1
2
t
2
e
х
2
m +£|x
(20)
Для доказательства теоремы 2 в силу оценок (19), (20) достаточно установить, что для данного £> 0 существуют положительные x1 и h такие, что
( +h )2 m
2 hm >
Очевидно, что последнее неравенство выполняется, например, при h = £, x1 = £ 2m , так как
74
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
(С + е)2 е- 4m > т (е_2т +е)2.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Предположим, что x > 1. Тогда, используя
четность функции y = e 2 , получаем
~ _ t 2 _ x t2
1 Г e 2 dt = 1 - 1
Q(_x) = 1— Г e 2 dt = 1 —;^= Г e 2 dt = 1 —Г e 2 dt.
J2n ■* J2n ■* J2n ■*
V — v V —oo ’ v
Последнее соотношение позволяет вывести оценку снизу для Q(_x). Имеем:
Q(_x) = 1—j^= Г e 2 dt > 1—Г e 2 —dt = ^ ’ .Г2П J .Г2П J x
1
y[2n
лДП ■
= 1 +
1 e 2
■yj2n
= 1_
_xl
1 e 2
yfln
x
1 e 2
Очевидно, что 1 —f=-------> 0 при x > 1, поэтому
лДП
Qm (_ x) >
1
x
1 e 2
,2 Y
л/2л:
x
(21)
При 5 > 0 оценим сверху Q ((е_ 1)x). Получае
м
(е_ 1) x t2
Q((е_ 1)x) = ^— J e 2 dt = 1—-j= J e 2 dt = 1
(е_Ф
лДП
,j2n
2 dt <
(1_е)
(1_e)x+s t
((1_е) x+s)
< 1-
^2П
e 2 dt < 1 -
(1_е) x
■J2n
■ s .
(22)
В силу (21), (22) для доказательства теоремы 3 достаточно установить, что существует положительные х и s такие, что
2
2
x
Physical and mathematical sciences. Mathematics
75
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1 e
-*2/2 Г
((1-е) x+s)
> 1-
■sj2n
Так как при наложенных ограничениях
f
x
1 e 2
2
л/2л:
x
> 1-
m e
x
~2
Л/2П
то неравенство (23) будет справедливо, если
1 -
m e
yj2n
X2
2 . 1 ---> 1 —;= e
((1-е) x+s)
x
■J2n
(23)
Очевидно, что последнее неравенство выполняется, например, при
m
5 = е, x = -X2 = —2. Теорема 3 доказана.
е
Заключение
В данной работе для любого m > 2 получена оценка сверху для функ-
t2
со I
1 г —
ции Qm (x), где Q(x) = .— I e 2 dt. Так, в теореме 1 установлено, что для
V2n J
x
любых х и a е |1;Vm J справедливо неравенство Qm (x) < Q (ax). Кроме того,
в теоремах 2, 3 показано, что правая граница для параметра а не может превышать sfm , а левая быть меньше 1.
Список литературы
1. Alzer, H. On some inequalities for the incomplete gamma function / H. Alzer // Mathematics of Computation. - 1997. - Vol. 66, № 218. - P. 771-778.
2. Natalini, P. Inequalities for the incomplete gamma function / B. Palumbo // Mathematical Inequalities and Applications. - 2000. - Vol. 3, № 1, P. 69-77.
3. Qi, F. Monotonicity results and inequalities for the gamma and incomplete gamma functions / // Mathematical Inequalities and Applications. - 2002. - Vol. 5, № 1. -P. 61-77.
4. Baricz, A. A functional inequality for the survival function of the Gamma distribution /
A. Baricz // Journal Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2008. - Vol. 9, № 1. - Article 13.
5. Xiao-Li Hu. Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions / Xiao-Li Hu // Journal of Mathematical Inequalities. - 2010. - Vol. 4, № 4. - P. 609-613.
References
1. Alzer H. Mathematics of Computation. 1997, vol. 66, no. 218, pp. 771-778.
2. Natalini P., Palumbo B. Mathematical Inequalities and Applications. 2000, vol. 3, no. 1, pp. 69-77.
3. Qi F. Mathematical Inequalities and Applications. 2002, vol. 5, no. 1, pp. 61-77.
76
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
4. Baricz A. Journal Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 2008, vol. 9, no. 1, article 13.
5. Xiao-Li Hu Journal of Mathematical Inequalities. 2010, vol. 4, no. 4, pp. 609-613.
Пожидаев Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191)
E-mail: math@stu.ru
Пекельник Наталья Михайловна кандидат педагогических наук, доцент, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191)
E-mail: pekelniknm@mail.ru
Хаустова Олеся Игоревна кандидат педагогических наук, доцент, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191)
E-mail: lex711@yandex.ru
Трефилова Ирина Александровна преподаватель, кафедра высшей математики, Сибирский государственный университет путей сообщения (Россия, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191)
E-mail: koja@mail.ru
Pozhidaev Aleksandr Vasil'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher mathematics, Siberian Transport University (191 D. Kovalchuk street, Novosibirsk, Russia)
Pekel'nik Natal'ya Mikhaylovna Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Siberian Transport University (191 D. Kovalchuk street, Novosibirsk, Russia)
Khaustova Olesya Igorevna
Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Siberian Transport University (191 D. Kovalchuk street, Novosibirsk, Russia)
Trefilova Irina Aleksandrovna
Lecturer, sub-department of higher mathematics, Siberian Transport University (191 D. Kovalchuk street, Novosibirsk, Russia)
УДК 517 Пожидаев, А. В.
Степенные оценки срезок некоторых несобственных интегралов /
А. В. Пожидаев, Н. М. Пекельник, О. И. Хаустова, И. А. Трефилова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). - С. 68-77.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
77
