Об обобщении биноминальной теоремы, возникающем в теории дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.165, 519.216.73

ОБ ОБОБЩЕНИИ БИНОМИНАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕМ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ON A GENERALIZATION OF THE BINOMIAL THEOREM ORIGINATED FROM DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

1Д.С. Дончев, 2С.М. Ситник, 3Э.Л. Шишкина D.S. Donchev, S.M. Sitnik, E.L. Shishkina

'Софийски университет "Св. Климента Охридского", Болгария, 1504, г. София, бул. "Цар Освободител" 15

1Sofia university St. Kliment Ohridski, Bulgaria, 1504, Sofia, 15 Tsar Osvoboditel Blvd

2Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

3Воронежский государственный университет, Россия, Воронеж, Университетская пл., д. 1

3Voronezh State University, Universitetskaya pl., 1, Voronezh, Russia

E-mail: dsdonche@gmail.com, sitnik@bsu.edu.ru, ilina_dico@mail.ru

Аннотация

В статье получена минимальная постоянная правой части неоклассического неравенства, обобщающего формулу бином Ньютона. Результаты этой статьи имеют приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям, а также к оценкам вероятностных распределений.

Abstract

In this article the minimal constant of the right side of neo-classical inequality was obtained. This inequality generalizes Newton binomial formula. The results of this article apply to stochastic differential inequalities and estimates of distributions probabilities.

Ключевые слова: неоклассическое неравенство, стохастические дифференциальные уравнения, функция Райта-Фокса, неравенство Берри-Эссена, операторы Меллера-Кёнига-Зеллера.

Keywords: neo-classical inequality, stochastic differential inequality, Wright-Fox function, Berry-Essen inequality, Meller-Konig-Zeller operators.

В работе [1] предложен новый подход к решению "плохих" дифференциальных уравнений с негладкими данными вида

стохастических

dyt =Х fk (yt) dxt

к

где /к - заданные векторные поля, х( -управляющие члены, у( - результирующая

траектория. Проблема состоит в том, что если в соответствии со стандартным подходом рассматривать время t как параметр и решать данное уравнение как однородное, то, как правило, решение не будет непрерывным, оно может существовать лишь как распределение. В этом случае классическая теория не предлагает методов для определения

решения; более того, даже для гладких, но сильно осциллирующих задач не существуют эффективные алгоритмы для численного отыскания решений. Вместе с тем указанная задача возникает во многих разделах математики: теории управления, радиотехнических задачах с шумом, теории алгебр Ли, теории вероятностей (многомерные Броуновские траектории, полумартингалы, случайные процессы). Более подробное описание приложений см. в [1].

Развивая существующие ранее методы, в [1] предложен удачный выбор функциональных пространств для решений, включающих норму с p- вариацией. В таких пространствах удалось в рамках не стохастического, а детерминистского подхода построить решение и эффективные численные методы для его нахождения. При этом были сразу усилены многие результаты: рассмотрены Броуновские пути с плохими траекториями, несколько обобщено понятие интеграла (вслед за определениями Ито, Стратоновича, Скорохода), расширены область применения формулы многомерной замены переменных и метода последовательных приближений решения итерированными интегралами.

Интересным является тот часто встречающийся факт, что в основе всех выкладок в [1] лежит достаточно простое на вид неравенство, контролирующее важнейшие для этой работы оценки. Это неравенство является обобщением формулы бинома Ньютона (случай p=1):

¿С*'' xk7p < C(n,p) (1 + x)n7p , (1)

k=0

где p > 1, n- натуральное число, 0 < x < 1, биноминальные коэффициенты понимаются

как отношения гамма-функций, постоянная C(n,p)>0.

Таким образом, неравенство (1) является чрезвычайно важным в теории стохастических дифференциальных уравнений, а также в некоторых других задачах теории вероятностей, см. [2]-[8]. Оно исследовалось во многих работах и даже получило в англоязычной литературе собственное название - «neo-classical inequality» [6]-[8].

Это неравенство оказалось также важным в уточнениях другого классического знаменитого неравенства в теории вероятностей - неравенства Берри-Эссена [9]-[10]. Последнее неравенство является существенным уточнением знаменитой теоремы Ляпунова о сходимости последовательности распределений к нормальному. В теореме Ляпунова требуется равномерная ограниченность дисперсий, при этом сходимость может быть как угодно медленной. Неравенство Берри-Эссена при дополнительном требовании ограниченности третьих моментов устанавливает эффективную оценку сходимости последовательности распределений к нормально. В работах [7]-[8] неоклассическое неравенство (1) использовано для уточнения константы в неравенстве Берри-Эссена, а также для оценок технического средства, используемого в доказательстве -аппроксимирующих операторов Меллера-Кёнига-Зеллера. Эти операторы также играют важную роль в теории функций, в задачах приближения различных вероятностных распределений.

Настоящая статья посвящена дальнейшему исследованию неравенства (1), а именно нахождению наилучшей, то есть, наименьшей постоянной в правой части Cmin (n, p). Кроме того, опровергается одна известная гипотеза Е.Р. Лава о величине этой точной константы, приводятся её различные оценки. Как следует из вышеизложенного, эти результаты имеют приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям, а также к оценкам вероятностных распределений.

Отметим, что неравенство (1) представляет определённый интерес и для теории специальных функций, так представляет собой одно из немногих известных на данный момент неравенств для специальной функции Райта-Фокса [11], сводящейся в данном случае к конечному многочлену Райта-Фокса.

Точная постоянная в неравенстве, обобщающем формулу бинома Ньютона Теорема 1. Пусть р > п . Для точной постоянной в неравенстве

I с

к=0

к / р хк/р п / р л

< с(п, р) (1 + х)

п/р

справедливо равенство

1

Г

— +1

стт(п р) = ^пр I

v

р )

к=0

а ^ Г

Г

Г

п - к

Л

< р,

(2)

+1

V р )

+1

V р )

причем знак неравенства в (2) является строгим при всех р >1. Иными словами, найденная в теореме 1 оптимальная постоянная лучше постоянной из гипотезы, кроме тривиального случая р = 1.

Доказательство. Рассмотрим функцию

/(х) = 10" • (1 + х)-п/р. к=0

Ее производная имеет вид

/'(х) = 1сг [к/рхк/р-1 • (1 + х)-п/р - п/рхк'р • (1 + х)-п/р-1 ] =

к=0

= _ (1 + х)-п/р-11сп/рхк/р-1 [к + (к - п) х]

р

к=0

Покажем, что /'(х) > 0 при р > п и х е[0,1]. Это будет означать, что /(х) не убывает на [0,1] и достигает своего наибольшего значения в точке х = 1. Пусть сначала п = 2т +1, тогда число слагаемых четное, сгруппируем их парами, учитывая что

получим

с'/р = с(п-1)/р

п/р п/р '

ЮМк + (к - п) х] =

к=0

п—1 2

^с]/р ип/р

1=0

п-1

хр (1 + (1 -п)х) + х р (п -1 - 1х)

п—1 2

= !р!/р

п/р

1=0

п-21

21 -п

-^+1 —■/_-1

1хр (1 - х р ) + (п -1)хр (1 - х р )

п-21,1

Поскольку х е[0,1], то 1 - х р > 0, так как

р > п - 21 при р > п .

Если п = 2т, р > п , х е [0,1] то

п - 21

21 -п

+1 > 0, а 1 - х р > 0 поскольку

1ск/р^к/р-1

у п/р

х " [к + (к - п)х] =

к=0

=1с1р

п/р

1=0

1-1 Ш1-1

хр (1 + (1 -п)х) + хр (п -1 - 1х)

+ с^х2' (1 -х) =

п

-1

п

£

1=о

С ¡'Р

^п/р

п-21

21 -п

¡хр (1 - х р ) ± (п - ¡)хр (1 - X р )

п--1

± х2р (1 -X) > о.

Таким образом, /'(х) > 0, х е [0,1], следовательно

Г

1 п 1 п

/ = /(1) = _!_ус'р =_!_у_

./наиб. ■/ V / 2"'^ ' п'Р г^п/р г - ^ ^ ^ А

^ ± ^

кР_У

к = 0

2"

к = 0

Г

к

+ 1

Г

к^ У

п - к V

-+1

. Р У

Четырех-параметрическая функция Райта-Фокса ( или обобщённая функция Миттаг-Леффлера) имеет вид (см. [12], стр. 129)

Е

(- ) = £

а1,в1;«2,в2 к=0 Г(а1к + Д)Г(а2 к + в2)' '

рассмотрим многочлен, соответствующий этой усечённой функции

е С

Еп п... „(*) = £

А^гА к=о Г(а1к + Д)Г(а2к + Д)'

е С,

тогда можем записать

./наиб. п Е1 1 п ,(1).

-р -I;-- -+1 2 р р р

Поскольку Ст1п (п, р) = /наиб, то теорема доказана.

п

-1

п~]

п

к

I

к

I

Отметим, что в силу оптимальности найденной постоянной она будет заведомо меньше постоянной р из гипотезы.

Следствие 1. Пусть п=1, р > 1. Тогда справедливо равенство для точной постоянной в неравенстве (1)

Стп(1, р) = 21-1'р < р, (3)

причем знак неравенства в (3) является строгим при всех р>1.

Следствие 2. Пусть п = 2, р > 2 . Тогда неравенство (1) выполнено с оптимальной постоянной

Стш(2,р) = 21-2'р +1 Г(1/р±1/2), (4)

4П Г(1/р± 1)

причем знак неравенства в (4) является строгим при всех р>1. Почленные оценки суммы в неравенстве, обобщающем формулу бинома Ньютона

В этом пункте рассмотрим почленные оценки суммы в неравенстве

£скп/р хк'р < С(п,р) (1 ± х)п'р. (5)

к=0

Возможным альтернативным методом является нахождение интегрального представления для функции в левой части (5), с последующим применением интегральных неравенств. Отметим, что указанная функция является функцией Райта-Фокса [11]. Неравенства для подобных специальных функций, как правило, очень трудно доказываются и только начинают изучаться. Как оценку из этого класса можно рассматривать и (5).

При почленных оценках ключевым является неравенство

Сп/Рр < 0(п,р)Скп , (6)

позволяющее просуммировать слева в (5). Это соотношение имеет очевидный комбинаторный смысл. Из каждой оценки вида (6) следует соответствующее неравенство вида (1) со своей постоянной.

Теорема 2. Если выполнено неравенство (6), то выполнено неравенство (5) с постоянной

С(п, р) = 2п(1-1/р) Б(п, р).

Доказательство. Почленно оценивая слагаемые в (5) с учетом (6), получаем, что левая часть меньше

£ D(n, р)Скпхк'р = Б(п,р)(1 ± х1'р)п < Дп, р)2п(1-1/р)(1 ± х)п'р,

к=0

с учётом уже упоминавшегося неравенства о средних.

Таким образом, при выбранном методе вопрос сводится к получению хороших оценок для отношений гамма или бета-функций вида (6). Известны несколько способов получения таких неравенств [13].

Другая возможность основана на использовании неравенств вида

Сп/Рр < В(п, р), (7)

с некоторой постоянной В.

п ± 2

Теорема 3. Пусть выполнена оценка (7) при дополнительном условии р > —-—.

Тогда выполнено неравенство (5) с постоянной

п

С(п, р) = (п ± 1)2 рВ(п, р). (8)

Доказательство. Пусть выполнено (7), тогда, суммируя геометрическую прогрессию в левой части (5), получаем оценку

п 1 - (х1'р ) п±1

/р х - < В(п,р) 1 ур

1х

£ Ск/'р хк'р < В(п, р) к =0

Теперь применим неравенство Тибора Радо [13] с уточнениями из [14-15] вида

К <мп±2,

3

п ± 2

при п > 1. Тогда при дополнительном условии-< 1, обеспечивающем сравнение

3 р

со средним арифметическим, получим

1 -(»" p Г '

(n +1)(1 - X1' p )

1/n

= Rn (1, x1'p )<

1 + X

n+2 Л

2

3 p 1 n+2 p

<

'1 + ^1 p

2

n+1

1 - X P

< (n +1)• 2 p • S(n,p).

1 - х1/р

Отсюда и получается неравенство (6).

Теорема 4. При выполнении ограничений предыдущей теоремы справедливо неравенство (5) с постоянной

(n + 1)г

С =

V

n1

— + -

2 p 2

/

i

с

<

п Г

n

2p

+1

2 (n + 1)4p

п

Доказательство следует из предыдущей теоремы и оценки вида (7) с учётом логарифмической выпуклости гамма-функции и неравенств для отношения гамма-функций с разностью аргументов, равной / (см. [11]).

Таким образом, при помощи результатов настоящей работы можно уточнить основные оценки и выводы из [1]. Отметим остающуюся нерешенной задачу о нахождении точной постоянной в (1) в общем случае в виде более компактного выражения для нужной конечной суммы, а также интересную задачу о нахождении точной постоянной, если в неравенстве (1) заменить знак на противоположный (оценка снизу).

Список литературы References

1. Lyons T. 1998. Differential equations driven by rough signals. Revista Matematica

Iberoamericana, 14(2): 215-310.

2. Chow Y.S. 1988. Probability Theory. New York, Springer-Verlag, 455.

3. Love E.R., Prasad G., Sahai. 1994. A. An improved estimate of the rate of the integrated Meyer - Konig and Zeller operators for functions of bounded variation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 187(1): 1-16.

4. Love E.R. 1998. On an inequality conjectured by T.J. Lyons. Journal of Inequalities and Applications, 2: 229-233.

5. Love E.R. 2000. An inequality conjectured by T.J. Lyons. Integral Transforms and Special Functions, 10 (3-4): 283-288.

6. Li J.H. 2004. On Lyons' inequality and estimates of convergence rates of approximation via Meyer - Konig and Zeller operators. Master thesis in National Central University.

7. Ситник С.М. 2004. Об обобщении биноминальной теоремы, возникаюшей в теории дифференциальных уравнений. Вестник ВИ МВД, 1: 143-147.

Sitnik S.M. 2004. On generalization of binomial theorem which arising in differential equations theory. Vestnik Voronezhskogo Instituta MVD Rossii, 1: . 143-147.

8. Hara K., Hino M. 2010. Fractional order Taylor's series and the neo-classical inequality. arXiv: 1001.1775v1, , 11.

9. Bhattacharya R.N., Rao R.R. 2010. Normal Approximation and Asymptotic Expansions. Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 316.

3

n

10. Srivastava H.M., Manocha H.L. 1984. A Treatise on Generating Functions. New York, Halsted Press, 569 p.

11. Gorenflo R. et al. 2014. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin, Springer, 443.

12. Donchev D., Rachev S., Steigerwald S.D. 2002. Optimal policies for investment with time-varying return probabilities. Journal of Computational Analysis and Applications, 4: 269-312.

13. Donchev D. 2007. An excursion characterization of the first hitting time of Brownian motion in a smooth boundary. Journal of Random Operators and Stochastic Equations, 15: 35-48.

14. Donchev D. 2011. Random series with time-varying discounting. Communications in Statistics Theory and Methods, , 40(16) 2866-2878.

15. Donchev D. 2017. Exit probability levels of diffusion processes. Proceedings of the American Mathematical Society, 145(5): 2241-2253.

16. Qi F. 2010. Bounds for the ratio of two Gamma functions. Journal of Inequalities and Applications,

84.

17. Sitnik S.M. 2010. Generalized Young and Cauchy - Bunyakowsky Inequalities with Applications: a survey. arXiv:1012.3864, 51.

18. Rado T. 1935. On convex functions. Transactions of American Mathematical Society, 37: 266285.