CC BY
14
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 3. С. 257-265. УДК 517.518.28, 519.216.73
ОБ УТОЧНЕНИЯХ НЕОКЛАССИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯХ В ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Д. Дончев1", С. М. Ситник26, Э. Л. Шишкина3с
1 Софийский университет имени святого Климента Охридского, София, Болгария 2Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Белгород, Россия
3 Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия "[email protected], ь[email protected], с[email protected]
Уточнены некоторые оценки минимальной постоянной в известном так называемом неоклассическом неравенстве, обобщающем формулу бинома Ньютона в терминах функции Райта — Фокса. Результаты статьи имеют приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям, теории броуновского движения, а также к оценкам вероятностных распределений.
Ключевые слова: неоклассическое неравенство, стохастические дифференциальные уравнения, функция Райта — Фокса, неравенство Берри — Эссена, операторы Меллера — Кё-нига — Зеллера.
Введение
Одна из известных проблем в теории стохастических дифференциальных уравнений состоит в том, что если в соответствии со стандартным подходом рассматривать время £ как параметр и решать данное уравнение как однородное, то, как правило, решение не будет непрерывным, оно может существовать лишь как распределение. В этом случае классическая теория не предлагает методов для определения решения; более того, даже для гладких, но сильно осциллирующих задач не существуют эффективные алгоритмы для численного отыскания решений. Вместе с тем указанная задача возникает во многих разделах математики: теории управления, радиотехнических задачах с шумом, теории алгебр Ли, теории вероятностей (многомерные Броуновские траектории, полумартингалы, случайные процессы). Более подробное описание приложений см. в [1].
Интересным является тот часто встречающийся факт, что в основе всех выкладок в классической работе [1] лежит достаточно простое на вид неравенство, контролирующее важнейшие для этой работы оценки. Это неравенство является обобщением формулы бинома Ньютона (случай р =1):
п
ЕсП/рхк/р < с(п,р)(1 + х)п/р, к=0
где p > 1, n — натуральное число, 0 < x < 1, биноминальные коэффициенты понимаются как отношения гамма-функций, постоянная C(n,p) > 0. Таким образом, неравенство (1) является чрезвычайно важным в теории стохастических дифференциальных уравнений, а также в некоторых других задачах теории вероятностей, см. [1-9]. Оно исследовалось во многих работах и даже получило в англоязычной литературе собственное название — neo-classical inequality [2-9]. Это неравенство оказалось также важным в уточнениях другого знаменитого классического неравенства в теории вероятностей — неравенства Берри — Эссена [2; 9], которое является существенным уточнением теоремы Ляпунова о сходимости последовательности распределений к нормальному. В теореме Ляпунова требуется равномерная ограниченность дисперсий, при этом сходимость может быть как угодно медленной. Неравенство Берри — Эссена при дополнительном требовании ограниченности третьих моментов устанавливает эффективную оценку сходимости последовательности распределений к нормальному. В работах [3; 6; 8] неоклассическое неравенство (1) использовано для уточнения константы в неравенстве Берри — Эссена, а также для оценок технического средства, используемого в доказательстве — аппроксимирующих операторов Меллера — Кёнига — Зеллера. Эти операторы также играют важную роль в теории функций, в задачах приближения различных вероятностных распределений.
В работе [1] предложен новый подход к решению «плохих» стохастических дифференциальных уравнений с негладкими данными вида
где fk — заданные векторные поля, х — управляющие члены, у1 — результирующая траектория. При развитии существующих ранее методов в [1] предложен удачный выбор функциональных пространств для решений, включающих норму с р-вариацией. В таких пространствах удалось в рамках не стохастического, а детерминистского подхода построить решение и эффективные численные методы для его нахождения. При этом были сразу усилены многие результаты: рассмотрены броуновские пути с плохими траекториями, несколько обобщено понятие интеграла (вслед за определениями Ито, Стратоновича, Скорохода), расширены область применения формулы многомерной замены переменных и метода последовательных приближений решения итерированными интегралами.
Настоящая статья посвящена дальнейшему исследованию неравенства (1), а именно нахождению наилучшей, то есть наименьшей постоянной в правой части Ст-т(и,р). Кроме того, опровергается одна известная гипотеза Е. Р. Лава о величине этой точной константы, приводятся её различные оценки. Как следует из вышеизложенного, эти результаты имеют приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям, а также к оценкам вероятностных распределений.
Отметим, что неравенство (1) представляет определённый интерес и для теории специальных функций, поскольку является одним из немногих известных на данный момент неравенств для специальной функции Райта — Фокса (см. [10, с. 129], а также [11]), сводящейся в данном случае к конечному многочлену Райта — Фокса. Применение данного неравенства может быть также предложено для некоторых задач, связанных с броуновским движением с выходом случайного процесса на границу области, и других вероятностных задач (см. [12-17]).
к
Оценки точной постоянной в неоклассическом неравенстве Теорема 1. Пусть р > п. Для точной постоянной в неравенстве
Ё < C(n,p)(1 + x)n/p
k=0
справедливы соотношения
1 п Г п + 1
Сш1п(п,р) = ТП/Р / ; Л \ 1 V < р,
2п/§ к=0 г ( § +1) г ( ^ +
причём знак неравенства в (2) является строгим при всех р > 1.
Замечание 1. Иными словами, найденная в теореме 1 оптимальная постоянная лучше постоянной из гипотезы Е. Р. Лава, кроме тривиального случая р =1.
Доказательство. Рассмотрим функцию
f (x) = E Ckpxk/p ■ (1+ x)-n/p.
yn/pJ
k=0
Ее производная имеет вид
f '(x) = Е C$ [k/pxk/p-1 ■ (1 + x)-n/p - n/pxk/p ■ (1 + x)-n/p-1] k=0
1 n
= -(i + x)-n/p-1 j] Cn/pxk/p-1 [k + (k - n)x].
P k=0
Покажем, что f'(x) > 0 при p > n и x G [0,1]. Это будет означать, что f (x) не убывает на [0,1] и достигает своего наибольшего значения в точке x =1. Пусть сначала n = 2m + 1, тогда число слагаемых чётное, сгруппируем их парами. Учитывая, что
С/Р = C (n-j)/P n/p n/p '
получим
Ё Cnk/ppxk/p-1 [k + (k - n)x] = k=0
n — 1
2 . . . Ё Cn/p x P -1(j + (j - n)x) + x n — - j - jx)
j=0
n — 1 2
j_ i , n —2j Ii.. „ n—j i , 2j—n _
X-j/Р ^ _1 П — 2^ +1 П — ^ _ 1 2J—n +1
Cn/p jx — (1 — x p + ) + (n — j)x — (1 — x — + )
j=0
n — 2j +1 2- 2 j —n +1
Поскольку x G [0,1], то 1 — x — + > 0, так как + 1 > 0, а 1 — x — + > 0, поскольку p > n — 2j при p > n. Если n = 2m, p > n, x G [0,1], то
Ё C„txk/p-1 [k + (k — n)x]
n/p
k=0
X] сП/р х 3 1(3 + (з- п)х) + х р3 1(п - з— зх) + псП/р2»х 2р 1(1 - х) =
.7=0
— 1 2 1
3 — 1/ п—2з + 1 п—з 1 2?—п 11ч1 П „^/2» 1/ ч
Зхр (1 — х р + ) + (п — з)х р (1 — х р + ) +—6га/„ х2р (1-х) > 0.
.7=0
Таким образом, f'(х) > 0, х € [0,1], следовательно,
2 п/»
1 п Л/р 1 П Н Р + 1 /наиб>. = f (1) = 21» X Ск/Р = 21» X
2п/р ^ п/р 2п/р '—тм м1П«-*±1 к=0 к=0 М Р + 1 ) М — + 1
Четырёхпараметрическая функция Райта — Фокса (или обобщённая функция Миттаг-Лёффлера) имеет вид (см. [13], с. 129, а также [11])
г к
Еаьв1;а2'в2 (г) = £ Г(а 1к + в1)Г(а2к + в2), ^ € С.
Рассмотрим многочлен, соответствующий этой усечённой функции:
Кь/^2 (г) к= Г(а1 к + в1)Г(«2к + в2), ^ € C,
тогда можем записать
Унаиб. п Еп 1 п |1(1).
2 р р '1; р' р +1
Поскольку Стщ(п,р) = Унаиб., то теорема доказана. □
Следствие 1. Пусть п =1, р > 1. Тогда справедливо равенство для точной постоянной в неравенстве (1)
Ст1п(1,р) = 21-1/» < р, (3)
причём знак неравенства в (3) является строгим при всех р >1.
Следствие 2. Пусть п = 2, р > 2. Тогда неравенство (1) выполнено с оптимальной постоянной
ст,в(2,р) = 21-2/р + > Ш/^, (4)
г(1/р + 1)
причём знак неравенства в (1) является строгим при всех р > 1. Теперь рассмотрим почленные оценки суммы в неравенстве
ЕсП/»хк/» < с(п,р)(1 + х)п/».
уп/р к=0
Возможным альтернативным методом является нахождение интегрального представления для функции в левой части (5) с последующим применением интегральных неравенств. Как уже было отмечено, указанная функция является функцией Райта — Фокса. Неравенства для подобных специальных функций, как правило, очень трудно доказываются и только начинают изучаться. Как оценку из этого класса можно рассматривать и (5).
При почленных оценках ключевым является неравенство
ск/§ < дп,р)сп, (6)
позволяющее просуммировать слева в (5). Это соотношение имеет очевидный комбинаторный смысл. Из каждой оценки вида (6) следует соответствующее неравенство вида (5) со своей постоянной.
Теорема 2. Если выполнено неравенство (6), то выполнено и (5) с постоянной
С (п,р) = 2п(1"1/р)£(п,р).
Доказательство. Почленно оценивая слагаемые в (5) с учётом (6), получаем, что левая часть меньше, чем
п
Е Дп,р)спхк/§ = Я(п,р)(1 + х1/р)п < Д(п,р)2п(1"1/Р)(1 + х)п/§, к=0
принимая во внимание уже упоминавшееся неравенство о средних (см. [2; 9]). Таким образом, при выбранном методе вопрос сводится к получению хороших оценок для отношений гамма- или бета-функций вида (6). Известны несколько способов получения таких неравенств (см. [17-19]). □
Другая возможность основана на использовании неравенств вида
к/§
с некоторой постоянной В(п,р).
Сп/§ < В(п,р)
Теорема 3. Пусть выполнена оценка (7) при дополнительном условии р > п++2. Тогда выполнено неравенство (5) с постоянной
п
С (п,р) = (п +1)2" п В(п,р).
Доказательство. Пусть выполнено (7), тогда, суммируя геометрическую прогрессию в левой части (5), получаем оценку
Е С-хк/Р < .
к=0
Теперь применим неравенство Тибора Радо [20] с уточнениями из [7; 18; 19] вида Дп < Мп+2 при п > 1. Тогда при дополнительном условии пр2 < 1, обеспечивающем сравнение со средним арифметическим, получим
1 - (х1/р)
п+1
(п + 1) (1 - Х1/Р)
. . 3р 1
1/п / ( , ) п+2 \ п+2 • р
. , , ) п+2 \ п+2 р , ,
1+ (х1/§) " \ р /1+ х У/р
Дп (1,Х1/р) < [ ^ ^ | <
п + 1
1 — X р . . п
< (п + 1) ■ 2"п ■ В(п,р).
1 - х1/§
Отсюда и получается неравенство (6). □
2
Теорема 4. При выполнении ограничений предыдущей теоремы справедливо неравенство (5) с постоянной
Доказательство следует из предыдущей теоремы и оценки вида (7) с учётом логарифмической выпуклости гамма-функции и неравенств для отношения гамма-функций с разностью аргументов, равной S (см. [17]).
Таким образом, при помощи результатов настоящей работы можно уточнить основные оценки и выводы из [1]. Отметим остающуюся нерешённой задачу о нахождении точной постоянной в (5) в общем случае в виде более компактного выражения для полученной конечной суммы, а также интересную задачу о нахождении точной постоянной, если в неравенстве (5) заменить знак на противоположный (оценка снизу).
Список литературы
1. Lyons, T. Differential equations driven by rough signals / T. Lyons // Revista Matematica Iberoamericana. — 1998. — Vol. 14, no. 2. — P. 215-310.
2. Chow, Y. S. Probability Theory / Y. S. Chow, H. Teicher. — New York : SpringerVerlag, 1988. — 455 p.
3. Love, E. R. An improved estimate of the rate of the integrated Meyer — Konig and Zeller operators for functions of bounded variation / E. R. Love, G. Prasad, A. Sahai // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1994. — Vol. 187, no. 1. — P. 1-16.
4. Love, E. R. On an inequality conjectured by T. J. Lyons / E. R. Love // Journal of Inequalities and Applications. — 1998. — Vol. 2. — P. 229-233.
5. Love, E. R. An inequality conjectured by T. J. Lyons / E. R. Love // Integral Transforms and Special Functions. — 2000. — Vol. 10, iss. 3-4. — P. 283-288.
6. Li, J.-H. On Lyons' inequality and estimates of convergence rates of approximation via Meyer — Konig and Zeller operators / J.-H. Li. — Master thesis in National Central University, 2004.
7. Ситник, С. М. Об обобщении биноминальной теоремы, возникающем в теории дифференциальных уравнений / С. М. Ситник // Вестн. Воронеж. ин-та МВД России. — 2004. — № 1. — С. 143-147.
8. Hara, K. Fractional order Taylor's series and the neo-classical inequality / K. Hara, M. Hino // arXiv:1001.1775v1. — 2010. — 11 p.
9. Bhattacharya, R. N. Normal approximation and asymptotic expansions / R. N. Bhattacharya, R. R. Rao. — Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010. — 316 p.
10. Srivastava, H. M. A treatise on generating functions / H. M. Srivastava, H. L. Manocha. — New York : Halsted Press, 1984. — 569 p.
11. Gorenflo, R. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications / R. Gorenflo [et al.]. — Berlin : Springer, 2014. — 443 p.
12. Donchev, D. Optimal policies for investment with time-varying return probabilities / D. Donchev, S. Rachev, D. Steigerwald // Journal of Computational Analysis and Applications. — 2002. — Vol. 4. — P. 269-312.
13. Donchev, D. An excursion characterization of the first hitting time of Brownian motion in a smooth boundary / D. Donchev // Journal of Random Operators and Stochastic Equations. — 2007. — Vol. 15. — P. 35-48.
14. Donchev, D. Random series with time-varying discounting / D. Donchev // Communications in Statistics — Theory and Methods. — 2011. — Vol. 40, no. 16. — P. 2866-2878.
15. Donchev, D. Exit probability levels of diffusion processes / D. Donchev // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2017. — Vol. 145, no. 5. — P. 2241-2253.
16. Дончев, Д. Об обобщении биноминальной теоремы, возникающем в теории стохастических дифференциальных уравнений / Д. Дончев, С. М. Ситник, Э. Л. Шишкина // Вестн. факультета прикладной математики, информатики и механики Воронеж. гос. ун-та. — 2017. — Вып. 15. — С. 33-42.
17. Qi, F. Bounds for the ratio of two Gamma functions / F. Qi // Journal of Inequalities and Applications. — 2010. — 493058. — 84 p.
18. Ситник, С. М. Уточнения и обобщения классических неравенств / С. М. Ситник // Математический форум (Итоги науки. Юг России). — 2009. — Т. 3. — С. 221-266.
19. Sitnik, S. M. Generalized Young and Cauchy — Bunyakowsky inequalities with applications: a survey / S. M. Sitnik // arXiv:1012.3864. — 2010. — 51 p.
20. Rado, T. On convex functions / T. Rado // Transactions of American Mathematical Society. — 1935. — Vol. 37. — P. 266-285.
Поступила в 'редакцию 09.10.2017 После переработки 20.10.2017
Сведения об авторах
Дончев Донче, профессор Софийского университета имени святого Климента Охрид-ского, София, Болгария; e-mail: [email protected].
Ситник Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор Белгородского государственного национального исследовательского университета, Белгород, Россия; e-mail: [email protected].
Шишкина Элина Леонидовна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики, Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 3. P. 257-265.
ON REFINEMENTS OF NEO-CLASSICAL INEQUALITY AND
ITS APPLICATIONS TO STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
AND BROWNIAN MOTION
D. Donchev1", S.M. Sitnik2b, E.L. Shishkina3c
1 Sofia University "St. KUment Okhridski", Sofia, Bulgaria 2Belgorod State National Research University, Belgorod, Russia 3 Voronezh State University, Voronezh, Russia "[email protected], [email protected], [email protected]
In this article some estimates are refined for the best constant in the well-known so called neo-classical inequality, which is the generalization of the Newton binomial formula in terms of Wright — Fox functions. The results of this article are applied to stochastic differential equations, Brownian motion and estimates of probability distributions.
Keywords: neo-classical inequality, stochastic differential inequality, Wright — Fox function, Berry — Essen inequality, Meller — König — Zeller operators.
References
1. Lyons T. Differential equations driven by rough signals. Revista Matematica Iberoamericana, 1998, vol. 14, no. 2, pp. 215-310.
2. Chow Y.S. Probability Theory. New York, Springer-Verlag, 1988. 455 p.
3. Love E.R., Prasad G., Sahai A. An improved estimate of the rate of the integrated Meyer — König and Zeller operators for functions of bounded variation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1994, vol. 187, no. 1, pp. 1-16.
4. Love E.R. On an inequality conjectured by T.J. Lyons. Journal of Inequalities and Applications, 1998, vol. 2, pp. 229-233.
5. Love E.R. An inequality conjectured by T.J. Lyons. Integral Transforms and Special Functions, 2000, vol. 10, iss. 3-4, pp. 283-288.
6. Li J.H. On Lyons' inequality and estimates of convergence rates of approximation via Meyer — König and Zeller operators. Master thesis in National Central University, 2004.
7. Sitnik S.M. Ob obobshchenii binomial'noy teoremy, voznikayushchem v teorii differentsial'nykh uravneniy [On generalization of binomial theorem which arising in differential equations theory]. Vestnik Voronezhskogo Instituta MVD Rossii [Bulletin of Voronezh Institute of MVD], 2004, no. 1, pp. 143-147. (In Russ.).
8. Hara K., Hino M. Fractional order Taylor's series and the neo-classical inequality. arXiv:1001.1775v1, 2010, 11 p.
9. Bhattacharya R.N., Rao R.R. Normal Approximation and Asymptotic Expansions. Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010. 316 p.
10. Srivastava H.M., Manocha H.L. A Treatise on Generating Functions. New York, Halsted Press, 1984. 569 p.
11. Gorenflo R. et al. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin, Springer, 2014. 443 p.
12. Donchev D., Rachev S., Steigerwald S.D. Optimal policies for investment with time-varying return probabilities. Journal of Computational Analysis and Applications, 2002, vol. 4, pp. 269-312.
13. Donchev D. An excursion characterization of the first hitting time of Brownian motion in a smooth boundary. Journal of Random Operators and Stochastic Equations, 2007, vol. 15, pp. 35-48.
14. Donchev D. Random series with time-varying discounting. Communications in Statistics — Theory and Methods, 2011, vol. 40, no. 16, pp. 2866-2878.
15. Donchev D. Exit probability levels of diffusion processes. Proceedings of the American Mathematical Society, 2017, vol. 145, no. 5, pp. 2241-2253.
16. Donchev D., Sitnik S.M., Shishkina E.L. Ob obobshchenii binomial'noy teoremy, voznikayushchem v teorii stokhasticheskikh differentsial'nykh uravneniy [On generalization of binomial theorem arising in stochastic differential equations theory]. Vestnik fakul'teta prikladnoy matematiki, informatiki i mekhaniki Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics Faculty of Voronezh State University], 2017, vol. 15, pp. 33-42. (In Russ.).
17. Qi F. Bounds for the ratio of two Gamma functions. Journal of Inequalities and Applications, 2010, 493058. 84 p.
18. Sitnik S.M. Utochneniya i obobshcheniya klassicheskikh neravenstv [Refinements and generalizations of classical inequalities]. Matematicheskiy forum. Itogi nauki. Yug Rossii [Mathematical forum. Results of science. South of Russia], 2009, vol. 3, pp. 221-266. (In Russ.).
19. Sitnik S.M. Generalized Young and Cauchy — Bunyakowsky Inequalities with Applications: a survey. arXiv:1012.3864, 2010, 51 p.
20. Rado T. On convex functions. Transactions of American Mathematical Society, 1935, vol. 37, pp. 266-285.
Accepted article received 09.10.2017 Corrections received 20.10.2017
