Неравенства Янга для нескольких чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 73

MSC 26D07

НЕРАВЕНСТВА ЯНГА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ

А.А. Ковальчук, С.М. Ситник

Воронежский институт МВД России, пр. Патриотов, 53, Воронеж, 394065, Россия, e-mail: [email protected]

Ключевые слова: неравенство Янга, неравенство Гелвдера

Оценка произведений нескольких величин в терминах суммы некоторых других величин является известной математической задачей. Подобные неравенства играют существенную роль в самой математике и многих её приложениях: математической экономике, вариационном исчислении, теории оптимального управления, дифференциальных уравнениях, теории сигналов, оценивании сложности прикладных алгоритмов и т.д. Примером таких оценок является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Другим классическим примером является доказанное в 1912 г. английским математиком Вильямом Янгом знаменитое неравенство, названное впоследствии его именем. Для двух чисел в простейшем случае неравенство Янга за-

ПИСЫВсШТСЯ В ВИД6

xy <

xp yq

-----1---

p q

(i)

при условиях p + 1 = 1,p,q > 1,x,y > 0.

С.М. Ситником было замечено, что на самом деле неравенство Янга в традиционной формулировке — это не одно, а пара неравенств. Так как левая часть неравенства (1) симметрична, то на самом деле справедливо аналогичное второе неравенство

xy <

xq yp

-----1 >

q p

(2)

и поэтому возникает естественная задача о сравнении неравенств (1) и (2). Далее без ограничения общности будем полагать, что выполнены условия

y > x,p > 2 > q > 1.

(3)

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), тогда

1. Если y > x > 1, то оценка (1) лучше, чем (2).

2. Если 1 > y > x > 0, то оценка (2) лучше, чем (1).

3. Если y > 1 > x > 0, то возможны два варианта. При соотношении

.>, у р)

74 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

точнее неравенство (1). При соотношении

1 < У <Уо

й)

1

p-q

при данном у существует критическое значение x = x, 0 < x < 1, которое является единственным решением трансцендентного уравнения

xp xq = yp _ yq

p q p q

(4)

В этом случае при x Е (0, х) оценка (2) лучше, чем (1), а при x Е (x, 1) оценка (1) лучше, чем (2).

На все рассмотренные случаи можно привести численные примеры [2-4].

Аналогичные результаты получены и для n чисел, но только в том случае, когда все числа лежат с одной стороны от единицы. Когда числа могут быть расположены с разных сторон от единицы, то результаты неизвестны даже для трёх чисел. Получены только некоторые результаты на основе компьютерных вычислений. Всего в этом случае получаем n! вариантов обобщений неравенства Янга.

Теорема 2. При условии, что выполнены неравенства 0 < x < y < z < ... , наилучшим (в смысле с наименьшей правой частвю) из неравенств Янга будет то, в котором параметры p,q, r упорядочены по возрастанию p < q < r..., а наихудшим (в смысле с наибольшей правой частвю) — по убыванию.

Теорема 3. При условии, что выполнены неравенства 1 < x < y < z < ..., наилучшим (в смысле с наименьшей правой частвю) из неравенств Янга будет то, в котором параметры p,q,r упорядочены по убыванию p > q > r..., а наихудшим (в смысле с наибольшей правой частвю) - по возрастанию.

Рассмотрен также случай неравенств Янга (теперь мы знаем, что их два!) с парой произвольных взаимно дополнительных функций Янга. По обычной схеме [1] можно из полученного уточнённого неравенства Янга вывести уточнённое неравенство Гёльдера (или исторически более точно: Роджерса-Гёльдера-Рисса). Результаты получаются как для дискретного, так и для интегрального случаев.

Литература

1. Mitrinovic D.S., Pecaric J.E., Fink A.M. Classical and new inequalities in Analysis / Kluwer, 1993.

2. Sitnik S.M. Generalized Young and Cauchy-Bunyakowsky Inequalities with Applications: a survey// http:arxiv.org/abs/1012.3864, 2012. - 51 p.

3. Ситник C.M. Уточнения и обобщения классических неравенств // В кн.: Итоги науки. Южный федеральный округ. Серия «Математический форум». Том 3 / Исследования по математическому анализу. Ред. Ю.Ф. Коробейник, А.Г. Кусраев / Южный математический институт ВИЦ РАН и РСО Алания: Владикавказ, 2009. - С.221-266.

4. Ситник С.М. Сколько неравенств заключено в неравенстве Юнга // Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математи-

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 75

ке», посвящённой 155-летию со дня рождения Андрея Петровича Киселёва / Орёл: Орловский государственнвш университет, 2007. - С.464-469.

WILLIAMS-YANG’S INEQUALITIES FOR SEVERAL VARIABLES

A.A. Kovalchuk, S.M. Sitnik

Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs,

Patriotov Av. 53, Voronezh, 394065, Russia, e-mail: [email protected]

Key words: Yang’s inequality, Golder’s inequality.