Решение задачи управления динамикой физических систем с голономными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

( у

1 -. е-

. 2П1)'

Последнее неравенство выполняется, если

3 -((1 - Е)X + Т)6

> 1--e

Г < 1.

1--> 1--^ Х+Т)6 . (8)

Заметим, что (8) следует из оценки

3- x5 • е ((1~е)х+г)б > е хб (9)

1

Очевидно, что соотношение (9) выполняется, например, при Т — е , X — —2 .

е

Теорема 1.2. доказана.

Список использованной литературы:

1. W.Gautschi - Some mean value inequalities for the gamma function // SIAM J. Math. Anal. - 1974. - No. 5. -P. 278 - 281.

2. H. Alzer - Inequalities for the gamma function // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. -Vol. 128, No. 1. - P. 141 - 147.

3. G.D. Anderson, S.-L. Qiu - A monotoneity property of the gamma function// - Math. Comp. 1997. - No. 66. -P. 373 - 389.

4. A. Alsina, M. Tomas - A geometric proof of a new inequality for the gamma function // J.Ineq Pure Appl. Math. Comp. - 2005. -No. 6.

5. P. Natalini, B. Palumbo - Inequalities for the incomplete gamma function // Mathematical Inequalities and Applications. - 2000. - Vol. 3, No. 1, P. 69 - 77.

6. Xiao-Li Hu - Two new inequalities for Gaussian and gamma distributions // Journal of Mathematical Inequalities. - 2010. - Vol. 4, No. 4. - P. 609 - 613.

7. Миллер Н.В., Пучнин Р.В., Швец Ю.В. - Степенные оценки для срезок несобственных интегралов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. Москва. - 2015. - №11-1, Ч. 1 - С. 41 - 44

©Миллер Н. В., Попова Н. И., Швец Ю. В., 2017

т

УДК 517.946+531

О.В. Шемелова

к.ф.-м.н.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», г. Нижнекамск, Российская Федерация

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

ГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ

Аннотация

Рассматривается метод решения задачи управления динамикой систем, содержащих компоненты различной физической природы. Строится алгоритм определения реакций связей, обеспечивающих выполнение уравнений связей. Также проводится модификация уравнений динамики, которая позволяет решить задачу стабилизации связей и обеспечить точность численного решения системы дифференциально-

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_

алгебраических уравнений в форме уравнений Лагранжа.

Ключевые слова

Уравнения динамики системы, управление динамикой систем, уравнения возмущений связей,

системы различной физической природы.

Уравнения динамики широкого класса систем, содержащих элементы различной физической природы, могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа или уравнений Гамильтона с неопределенными множителями Kj,..., к. и р.^..., ^ . Известные способы определений множителей Лагранжа не

позволяют обеспечить стабилизацию связей. Метод определения множителей Лагранжа можно модифицировать в соответствии с требованиями стабилизации связей.

Для решения задачей уравнения динамики в форме Лагранжа и Гамильтона преобразовываются к виду, разрешенному относительно старших производных. Представление системы уравнений связей и уравнений динамики в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы решения уравнений динамики.

Для стабилизации связей вводятся уравнения программных связей и уравнения возмущений связей. Это приводит к модификации множителей Лагранжа за счет дополнительных управляющих сил.

Рассмотрим физическую систему, на которую наложены только голономные связи, выраженные в обобщенной форме:

Ф^, t) = 0, (1)

Ф = (Ф1,...,Фт )- вектор голономных связей размерности m1. Для описания динамики управляемой системы воспользуемся уравнением Лагранжа в форме:

Mf + Ф,к = 5, (2)

, а T * . _ д2т * . д T * er * ev dD

где M (q q, t) = --, S (q q, t) = Q-—— q - + —- —- —, qx, — , qn - координаты dq dqdq dqdt dq dq dq

перемещений, q^...,qn - координаты расходов, T* - кинетическая коэнергия системы любой физической

природы, Q - обобщенные силы, V - потенциальная энергия, D - диссипативная функция, к1,., Km -

неопределенные множители Лагранжа [1-4].

Уравнение Лагранжа (2) можно разрешить относительно f при условии, что обратная матрица M 1 существует.

f = M-\S -Ф, к). (3)

Умножая уравнение (3) на Ф , получим выражение:

ф/ = фqm ~'(S -ф^ к). (4)

Как показано в [3, 5] для стабилизации связей голономные связи (1) следует заменить уравнениями программных связей:

Ф(,, t) = У , (5)

правые части которых определяются как решения уравнений возмущений связей

dy

— = У,

dt (6)

f = Py ♦ P y

dt

или в матричной форме уравнение (6) можно записать:

О =

do ~

— = P о . dt °

у

_у _

Левая часть уравнений связей (5) дифференцируется дважды относительно времени для того, чтобы получить соответствующее выражение для Ф:

Ф = Ф/ + 2Фд(/ + Ф„ . (7)

С другой стороны, учитывая (6):

Ф-У = PlУ + PгУ. (8)

Таким образом, приравнивая правые части выражений (7) и (8), а затем, решая их относительно Ф получим:

Фя/ + 2Ф„/ + Фв = P у + P2 у, Ф/ = —[2Ф?/ + Ф„]+ Ру + Р2у. (9)

Пусть Z1 = —2Ф У + Фй, тогда учитывая (6), уравнение (9) можно записать в виде:

Ф / = —^ + у . (10)

Полученное выражение подставляем в (4) для того, чтобы решить его относительно к :

— Zx + у = Ф дЫ— Фтд к),

к = Л—(Ф + Zl — у), (11)

где матрица Л1 определена далее в (13), а Л—1 существует. Исключаем множитель к, подставляя результирующее выражение (11) в уравнение (3). Получим явное выражение для У , которое вместе с д = У составляют множество 2п явных ОДУ первого порядка:

д = У,

г=ы-^—ф^фм^+Zl—у)], (12)

где

A(f,q,t) = ФM Ф,

M (f, q, t) = v fT *,

f

(13)

S(f,q,t) = б - (VfT*)qf - (vfT*) + VqT* - VqF - VfD, Zi(f, q, t) = 2Ф J + Ф tt.

Представление системы уравнений связей и уравнений Лагранжа второго рода в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (12, 13) первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы для решения уравнений динамики. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-08-00558 Список использованной литературы:

1. Layton, Richard A. Principles of analytical system dynamics. - Springer-Verlag New-York, Inc. - 1998. - 156 p.

2. Шемелова О.В. Построение дифференциально-алгебраических уравнений динамики систем с учетом уравнений связей // Вестник Казанского технологического университета, Т. 19, № 18, 2016 С. 167-169.

3. Шемелова О.В. Описание математического аппарата решения задачи управления динамикой физических систем // Инновационная наука, № 6/2016 в 3 частях, часть 3. С. 32-35.

4. Шемелова О.В. Классификация основных характеристик систем различной физической природы // Вестник Казанского технологического университета, № 6, 2015 С. 192-195.

5. Мухарлямов Р.Г. Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация систем с программными связями // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2015. № 1. С. 13-26.

© Шемелова О.В., 2016

ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 544,4

В.В.Биктагиров

к. х. н., доцент НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ» г. Нижнекамск, Российская Федерация

Д.И.Сафина НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ» г. Нижнекамск, Российская Федерация

УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ ТИТАНА В КАТАЛИЗАТОРЕ ЦИГЛЕРА- НАТТА

Аннотация

В статье рассмотрена модель орбитального упорядочения ионов титана в каталитической системе ТЮЦ+ ТИБА (ТИБА- триизобутилалюминий) по данным ЭПР. Квантово- химическим моделированием предложена структура димерного комплекса ^26+.

Ключевые слова Трехвалентный титан, орбитальное упорядочение, ЭПР.

Исследования процесса формирования титансодержащих каталитических систем Циглера- Натта в инертных растворителях ведутся давно. Нами, при исследовании методом ЭПР процесса формирования каталитической системы ТЮЦ+ ТИБА (ТИБА- триизобутилалюминий) в инертном растворителе, обнаружено [1] образование ассоциированных структур в виде [1Ъ6+]п. Было предположено, что в димерных комплексах ^26+ присутствуют связи Т>С. Однако, оставался открытым вопрос о структуре димеров и основных электронных состояний ионов Т^Ш) в данных димерах.

Упорядочение парамагнитных ионов Си(11) рассмотрено в работе [2]. Орбитальное упорядочение ионов Си(11) происходит за счет ОН- групп в водноаммиачных растворах для нитрата меди со специфическим усреднением параметров ЭПР упорядоченных структур с обменным взаимодействием между ионами Си(11). Такое упорядочение сопровождается существованием ионов Си(11) с различными основными состояниями dx2- у2 и dz2.

В данной работе рассмотрены спектры ЭПР ассоциированных структур ионов Т^Ш) и проведено квантово- химическое моделирование димеров ^26+.

Экспериментальная часть

Приготовление каталитической системы ^СЦ + ТИБА (ТИБА- триизобутилалюминий) в растворе изопентана проводилось постепенным добавлением ТИБА в раствор ^СЦ в атмосфере очищенного азота при температуре 203К. Мольная концентрация ^СЦ в растворе выдерживалась равной 0.58М, ТИБА - 0.53М. Предварительная подготовка и анализ компонентов каталитической системы проводились по методике, описанной в работе [3]. Спектры ЭПР регистрировались на спектрометре "Вгикег ER 220D" с рабочей длиной волны 3 см. Значения g-факторов определялись сравнением со стандартом ДФПГ с gст =2.0036.

Результаты и их обсуждение

Для каталитической системы ТЮЦ + ТИБА в растворе изопентана при соотношении Т^А1=1/15 и температуре Т=77К наблюдается сигнал ЭПР с ромбической анизотропией g- фактора и параметрами gl= 1,997; g2= 1,952; gз= 1,908 (рис.1-а). При размораживании в спектре ЭПР при Т=243 К наблюдается усредненный сигнал с go= 1,951 (рис. 1-б), хорошо согласующийся с усреднением go =(£1+ g2+ gз)/3. Ромбичность сигнала и отсутствие линий СТС для образцов ТЮЦ, обогащенных изотопом 47Т на 61% [4] позволили отнести данный сигнал к алкилированным димерным комплексам ^26+, ассоциированным в виде [^26+]п. В таких ассоциатах между ионами Т^Ш) реализуется обменное взаимодействие. Анализ обнаруженных ромбических спектров ЭПР ассоциатов Т^Ш) проведем с учетом возможности орбитального