Описание математического аппарата решения задачи управления динамикой физических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»



du

F(u) - \ (u - k) Более того, рассуждения в [3] убеждает, что du

T0 > f

max( M ,m )

F (u )

Таким образом, мы получим оценки снизу и сверху для времени убегания решения u(x, t) (3). Список использованной литературы:

1. Аззамов Т.Ж., Асроров Ф.А., Данилов Я. До питания виникнения колапс1в при розвязуванш квазшшийних порабол1ческих р1внянь. - Вюник Кшвского университету. Сер1я: физико-математичш науки. Вып №3. Кшв, 2006

2. Кружков С.Н., Олейник О.А. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. УМН,т.16,вып.5,1961

3. Лаврентьев М.М.(мл). Решение параболических уравнений через функционалы Ляпунова. Сибирский математический журнал.

Т. 46, №5, 2005

4. Ладыженская О. A. ,Солоников B. A. , Уральцева H. A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. M. Наука ,1967.

5. Филиппов A. Ф . Условия существования решений квазилинейных параболических уравнений. ДАНСССР, 1961 , Т141

6. Колонтаров B. K. , Ладыженская O.A. О возникновения коллапсов для квазилинейных уравнений параболических и гиперболических типов. Записки научных семинаров ЛОМИ, Т 69. Краевые задачи мат. физики и смежные вопросы теории функции. ЛГУ Ленинград , 1977

7. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений.- том 3: дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия. Изд-во АН СССР, 1960.

© Шамшиев А.Ш., Мусаев А.О., Аззамов Т. Ж.,2016

УДК 517.946+531

О.В. Шемелова

к.ф.-м.н.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», г. Нижнекамск, Российская Федерация

ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИКОЙ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация

Рассматривается метод построения математической модели управления динамикой систем, содержащих компоненты различной физической природы. Строится алгоритм определения реакций связей, обеспечивающих выполнение уравнений связей. Также проводится модификация уравнений динамики, которая позволяет решить задачу стабилизации связей и обеспечить точность численного решения системы дифференциально-алгебраических уравнений в форме уравнений Лагранжа.

Ключевые слова

Уравнения динамики системы, управление динамикой систем, уравнения возмущений связей, системы

различной физической природы.

Исследование задачи моделирования динамики управляемых систем и решение обратных задач динамики сводится к построению дифференциальных уравнений, решения которых обладают заданными свойствами, или определению соответствующих управляющих функций. Известные динамические аналогии позволяют решать задачи моделирования динамики систем различной физической природы, описываемой уравнениями Лагранжа, Гамильтона или другими уравнениями аналитической динамики [1, 2, 3].

Среди разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить похожие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом используются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении задач. Они позволяют сводить решения некоторых задач к решениям других (уже известных) задач (зачастую из другого раздела физики).

Исследование всех систем различной физической природы может быть разделено на две части: на составление дифференциального уравнения, исходя из постановки задачи и физических законов, и на решение дифференциального уравнения.

Для построения уравнений динамики рассматриваются величины, которые характеризуют динамическое поведение систем различной физической природы. А так как уравнения динамики системы могут быть составлены в форме уравнений Лагранжа или в форме уравнений Гамильтона, среди динамических величин проводится некоторая классификация [4, 5].

Уравнения динамики физической системы в форме Лагранжа получаются из общего уравнения

динамики свободной системы [1, 2] в силу независимости обобщенных координат <[,...,.

< = /, = у = 1,.,П, (1)

& д<<у дцу дцу д<<у

*

где <[,...,Сп - координаты перемещений, <[,...,- координаты расходов, Т - кинетическая коэнергия системы любой физической природы [4], V - потенциальная энергия, О - диссипативная функция, Q - обобщенные силы.

Уравнение (1) соответствует системе П обыкновенных дифференциальных уравнений второго

порядка с П неизвестными /1,..., . Основным условием вывода ОДУ Лагранжа (1) является независимость обобщенных координат системы. Допустим, что на координаты перемещения и расходы

наложены ограничения, удовлетворяющие Ш} голономным и Ш2 неголономным связям:

Ф;(ц,О = 0, I = 1,..., Ш, (2)

% (ц, ц, 0 = 0, I = 1,..., ш2, (3)

а также

ф * =

щ

dqf

ф. =

тq

Wi

dq

j = 1,..., П, (4)

j J

Для стабилизации связей (2), (3) вводятся уравнения программных связей [6]

Ф(ц, г)=у(г), (5)

ц, г) = 1(1). (6)

Правые части У (/), ) равенств (5), (6) определяются как решения дифференциальных уравнений

у = §(у, У, 1 < <г), 1=К У, у, 1, с, с, г), (7)

g(0, 0, 0, q, q, t) = 0, h(0, 0, 0, q, q, t) = 0.

Уравнения (7) должны быть рассмотрены совместно с уравнениями динамики и начальными

условиями q(t0 ) = q°, q(t0 ) = q0, q(t0 ) = Ф0, У(t0 ) = Ф0, zfo ) = Т0 .

Равенства (5), (6) составляют уравнения программных связей. Уравнения (7) являются уравнениями возмущений связей [6]. Уравнения программных связей (5), (6), как и уравнения обычных связей, накладывают ограничения на обобщенные координаты перемещения и координаты расхода точек системы. Тогда ОДУ Лагранжа, с учетом уравнений (5), (6), приводятся к виду

* *

d дТ дТ д¥ дБ т mT „

(8)

дсд дд дд дсд д д Движение, описываемое уравнением (8), должно удовлетворять также уравнениям программных связей (5) - (6). Таким образом, кинематические уравнения связей (5) - (6) добавляются к уравнениям движения (8) для получения векторов неизвестных множителей К и Ц .

Система (5), (6), (8) представляет собой систему дифференциальных уравнений динамики Лагранжа,

которая содержит в себе П неявных относительно д ОДУ второго порядка, + уравнений связей

(голономных и Ш2 неголономных связей).

Продифференцировав по времени слагаемое

d дТ

, уравнение (8) можно представить в виде,

dt dq

допускающем решение относительно старших производных:

Mq + Ф>Т к + ^J | = S,

q

(9)

где M (q, q, t) =

9 *

д 2Т

S (q, q, t) = Q

9 *

д 2T

q

9 *

д 2T

+ -

дТ д¥ дБ

дд дсддд ддд1 дд дд дд

Это уравнение вместе с алгебраическими уравнениями связей (5), (6) составляет ДАУ в форме

Лагранжа. А, вводя вектор координат расхода / — С, множество ДАУ Лагранжа из П ОДУ второго порядка преобразовывается к системе ОДУ первого порядка. Итак, система ДАУ имеет вид:

д—/,

М + ф} к + ч} ц — ^,

ф — у, Ч — г.

Выполнение соответствующих преобразований для уравнений (10), которое включает исключение множителей К и Ц , а также построение уравнений возмущений связей для учета стабилизации связей, позволяет получить следующую систему 2п уравнений первого порядка:

д—/,

(10)

f = M ~х<

S - Ф q " т " Ä1 Ä2" -1

_ A3 Ä4 _

OqM 1S + Z1 - y ТfM ~lS + Z2 - z

где Ai(f,q,t) = ФqM, Ä2(f,q,t) = ФqM, A3(f,q,t) = ТfM"1Ф -Ut iT

-u t

q,

Л4(/,с,0 — Ч/ы Ч} , Zl(f,с,Г) — 2Фд/ + Ф„, Z2(f,д,0 = Чд/ + 4.

Представление системы уравнений связей и уравнений Лагранжа второго рода в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с известными частными интегралами позволяет использовать стандартные численные методы для решения уравнений динамики.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

Список использованной литературы:

1. Layton, Richard A. Principles of analytical system dynamics. - Springer-Verlag New-York, Inc. - 1998. - 156 p.

2. Шемелова О.В. Управление динамикой электромеханических систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2003, С. 63-71.

3. Шемелова О.В. Уравнения динамики управляемой системы в канонических переменных // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ., 2004, № 1 (12), С. 51-58.

4. Шемелова О.В. Классификация основных характеристик систем различной физической природы // Вестник Казанского технологического университета, № 6, 2015 С. 192-195.

5. Шемелова О.В. Кинематические и динамические характеристики физических систем: монография. -Санкт-Петербург «Свое издательство», 2015, 93 с.

6. Мухарлямов Р.Г. Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация систем с программными связями // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2015. № 1. С. 13-26.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-08-00558

©. Шемелова О.В, 2016