CC BY
19
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
УДК 539.3
Индиаминов Р. Ш.
доктор физико-математических наук, профессор Самаркандского филиала Ташкентского
университета информационных технологий Самарканд,Узбекистан, e-mail: [email protected]
Наркулов А. С.
ассистент Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий
Самарканд, Узбекистан, e-mail: [email protected] Саидкулов Э. А.
магистрант Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий
Самарканд, Узбекистан
МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Аннотация
В работе при различных видах закрепления контуров оболочки исследовано напряженно-деформированное состояние гибкого токонесущего ортотропного конуса из бериллия переменной толщины. Полученные результаты свидетельствует о влиянии граничных условий на деформацию оболочки, а также взаимосвязанность механических и электромагнитных полей.
Ключевые слова Оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.
Key words
Shell, magnetic field, magneto elasticity.
Введение. Развитие исследований в теории магнитоупругости связано с решением многих важных задач современной техники. В современных технологиях все чаще используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными. Предлагаемая теория нелинейной магнитоупругости оболочек разрабатывается для пара - и диамагнитных веществ. К таким веществам, в частности, относятся бериллий, бороалюминий, вольфрам, кадмий, олово, цинк и многие другие. Наряду с анизотропией материала, они обладают и анизотропией электропроводности. Все эти вещества имеют монокристаллическое строение. Монокристаллы - это однородные анизотропные вещества, во всем объеме которых атомы расположены регулярно, так что все вещество состоит из одинаковых периодически повторяющихся кристаллических ячеек. Электрические и магнитные свойства кристаллов из разных систем и классов существенно отличаются, и это необходимо учитывать при их исследовании.
1. Нелинейная постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим нелинейное поведение
ортотропной токонесущей конической оболочки из бериллия переменной толщины, изменяющейся в
J / ^
меридиональном направлении по закону h = 5 • 10 1 — d у м. Считаем, что оболочка находится под
V / SN у
воздействием механической силы P = 5 • 103 sin со t Н/ 2, стороннего электрического
^ / м
тока
Jест = _5 • 105 sin® t "у 2 , и внешнего магнитного поля BS0 = 0.1 Тл, а также что оболочка имеет
конечную ортотропную электропроводность С ((, С2, (С3) .
Предполагаем, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего тока не зависит от координат. В этом случае на оболочку действует комбинированное нагружение, состоящее из пондеромоторной силы Лоренца и механической силы.
Отметим, что в рассматриваемом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
кристаллографическим осям второго порядка, а также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы [2,3].
Предположим, что геометрические и механические характеристики тела таковы, что для описания процесса деформирования применим вариант геометрически нелинейной теории тонких оболочек в
квадратичном приближении. Также предполагаем, что относительно напряженности электрического поля E
и напряженности магнитного поля H выполняются электромагнитные гипотезы [1,4]:
öu öu
El = Ex(a,ß,t); E2 = E2(a,ß,t); E3 = Bx B2;
öt öt
Ji = Jx(a,ß,t); J2 = J2(a,ß,t); J3 = 0; (1)
Hi =1 (h+ +h-)+z (H+- H-) ; 2 h
H2 = i(h+ + H_)+z(H+ -H-); H3 = H3(a,ß,t).
2 h
где и1 — компоненты вектора перемещений точек оболочки; Е1, Н1 — компоненты векторов
напряженности электрического и магнитного полей оболочки; 3' — компоненты вихревого тока; Hf —
тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на поверхностях оболочки; h — толщина оболочки.
Эти допущения являются некоторым электродинамическим аналогом гипотезы недеформируемых нормалей и вместе с последней составляют гипотезы магнитоупругости тонких тел. Принятие этих гипотез позволяет свести задачу о деформации трехмерного тела к задаче о деформации выбранной произвольным образом координатной поверхности.
Разработанный методики к численному решению новых класс связанных задач магнитоупругости теории ортотропных конических оболочек вращения обладающей ортотропной электропроводностью, основан на последовательном применении конечноразностной схемы Ньюмарка, метода линеаризации и дискретной ортогонализации [4-6].
Для эффективного использования предложенной методики предполагаем, что при появлении внешнего магнитного поля не возникает резких скин-эффектов по толщине оболочки и электромагнитный процесс по координате £ быстро выходит на режим, близкий к установившемуся. Это приводит к ограничениям на характер изменения внешнего магнитного поля и на геометрические и электрофизические параметры оболочки
> 1, (2)
И < ^
где Т — характерное время действия магнитного поля. В случае невыполнения этого условия следует рассматривать только уравнения движения оболочки под действием магнитного давления.
В такой постановке система уравнений, описывающая на соответствующем временном слое нелинейные колебания гибкой токонесущей ортотропной конической оболочки переменной толщины, согласно [5,6], после применения метода квазилинеаризации принимает вид
■sb Nf+1) -Ув COS^u (k+1) W(k+1) + (e«) )2 -в«+1)в*) ;
dm pesh pr pr 2 p
dw (k+1) _ в! - ^О-Щв) M (*+i)_ YeCOS^e k+i
dm p dm Pesh3 S Pr S
cos^
dNsk+!)
dm pr
f Vg£e_i'lNf+1) + ^h f-COS^u(k+i) + Sü^w(+1)" V ) V r r
P(k+i) h rr h г/ \
+ hJeCTBf+i) _— [(_E(ek)B(k) + Ef+i)Bf + E(k)Bf+i))+
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
- {- (Bf) )2 (ù(t7At) )(k)+(b(k) )2(ù(t7At) )(k71) + 2Bf71)Bf ) (ù(t7At) ) k }] + h (ü(t+At) )(k71) ; (3) dQs+l) _ cos < Q(k71)+v £q sin < N(ke^h sin < ( cos^(k+1^sin^^^ _
7 A-'O S S
dm pr es pr p r V r r
Pik+1) _ ^ a h
0.5 hJecT (p; 7 p;)-^ [- 0.5 ЕГ B 7 Bo)-0.25 (w ^ )(k71) (B-+ 7 B-)2 - I (w(t+At) )(k71) (B-+ - B-)2 7 p p p 12
).5 {-(ù(t7At))kB(k) 7 (ù(t7At) )(k+1)B(k) 7 (ù(t+At) )(k)B(k71) }(в- 7 B-)7 h {-(<?(t7At) )(k)B(k) 7(0(t7At))(k71)B(k) +(éi(t7At))(k)Bf71)}(p; 7p;)]+ h (w(t7At))(k71) ;
dM-k 71) cos <
dm pr
'Г „ Л „ и-
e
Vs—- 1
V es J
M-k71) 7^cos<^-k71) 12 r
)( k 71) p
QS
7 —-7
- (- N-k)eSk) 7 N(k71)eks 7 n-Q71 )-vSe^ (- M le- 7 m-Q 7 M-Q-71 )-
p es pr
s
ee h3 sin < COs< [(Q(k) )2 7 Qk71)Q(k) ]7 jhL fo^At) ) (k71) .
12 pr2 L q - ' - - J 12p V ' '
= [e(k71) 70.5 (w(t7At))(k71)(ps7 7B-)-
dm p
{-(ù (t7At) )(k) p(k) 7 (ù(t7At) )(k71) B(k) 7 (ù(t7At) )(k) Bf7l) }]7 Bi^B
ph
--(p»7At>)<k71)- COs<£<k71>, (k = 0, 1, 2,.....).
dm р ^ рг
Здесь N— — меридиональное усилие; Qs — перерезывающее усилие; М— — изгибающие момент; и, ^ — перемещение и прогиб; 0$ — угол поворота нормали; р, Р^ — компоненты механической нагрузки; Е о — окружная составляющая напряженности электрического поля; В^ — нормальная составляющая магнитной индукции; Ва , В— — известные составляющие магнитной индукции из
поверхности оболочки; Jq ст составляющая плотности электрического тока от внешнего источника;
es , e - модули упругости по направлениям S , Q - соответственно; V-, Vq - коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат; ß - магнитная проницаемость; СО - круговая частота; a1 ,a2, a3 -главные компоненты тензора удельной электропроводности.
Решение краевых задач магнитоупругости теории тонких оболочек с конечной электропроводностью в нелинейной постановке связано с большими вычислительными трудностями. Это объясняется тем, что система, описывающая напряженно-деформированное состояние оболочки связанная, то есть состоит из уравнений движения и электродинамики. В уравнениях движения присутствует объемная сила Лоренца, а в уравнения электродинамики входят производные от перемещений по времени. Кроме того, она является нелинейной смешанной гиперболо-параболической системой дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами. Объемные силы Лоренца - нелинейные и изменяются в зависимости от деформирования срединной поверхности оболочки и изменения временной координаты.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
2. Числовой пример. Анализ результатов.
Проведем исследование напряженно-деформированного состояния гибких токонесущих конических оболочек переменной толщины при различных видах закрепления контуров.
Задача для ортотропного конуса из бериллия переменной толщины рассчитана при различных видах закрепления оболочки (4 варианта). Граничные условия:
u = 0, w = 0, MS = 0, B = 0.3 sin ot (шарнир) при s = s0 = 0,
w = 0, 0S = 0, NS = 0, B = 0 (скользящее) при s = sN = 0.5м.
u = 0, w = 0, MS = 0, B = 0.3 sin cot (шарнир) при s = s0 = 0,
u = 0, w = 0, 0S = 0, B = 0 (жесткое) при s = sN = 0.5м.
u = 0, w = 0, MS = 0, B = 0.3 sin ot (шарнир) при s = s0 = 0,
u = 0, w = 0, MS = 0, B = 0 (шарнир) при s = sN = 0.5м.
u = 0,QS = 0,MS = 0,Ee =-0.5-(B+s - B-) +--(шарнир) прus = s0 = 0,
4. 81 81
u = 0, w = 0, MS = 0, E = 0 (шарнир) при s = sN = 0.5м. Параметры оболочки и материала принимаем следующие:
s0 = 0, sN = 0,5 м, h = 5 ■ 10-4(1 - 0.5 s/ )м, r = r0 + scosp; , r0 = 0.5м,
/ sN
o = 314.16 с-1, p = 2300 га/3, B+ = B = 0.1 Тл, <р = л/ , BS0 = 0.1 Тл,
/ м s s /30 S 0
jU = 1.256 ■ 10 6 Гн/м, JeCT =-5-10 5 sin o tj/M 2 , ( = 0.279 ■ 108 (Ом ■ м)-1,
\8 I
(2 = 0.321 -108(Ом■м)-1, (3 = 1.136-108(Ом■м)-1, vs = 0.03, ve = 0.09,
в
r = 5 -10 sin o t / 2 , = 28.8 ■ 10 — , e = 33.53 ■ 1010 -- .
f м м2 в м2
P = 5■Ю3sin ot-/ 2, e = 28.8■Ю10 —-, e = 33.53■ 101
Решение задачи получено на интервале времени Т = 0 — 10 С, шаг интегрирования по времени
выбирался равным А t = 1-10 3 С . Максимальные значения получены при шаге по времени ? = 5 • 10 3 С . Отметим, что в рассматриваемом случае анизотропия удельного электрического сопротивления бериллия
равно = 4 07 . Л1
На рис. 1 показано распределение прогиба W вдоль меридиана оболочки в момент времени ? = 5 • 10 3 С для трех видов закрепления контура 5 = 5^ . Кривые (1,2,3) рисунка показывают распределение прогиба для соответствующих видов граничных условий 1^3. Из графиков видно, что скользящее закрепление контура 5 = 5^ (вариант 1) приводит к увеличению прогиба по сравнению с вариантами 2 и 3.
На рис. 2 показано распределение прогиба W вдоль меридиана оболочки в момент времени
? = 5 • 10 3 С для двух видов закрепления контура 5 = 5^ .
Кривые (1 и 2) рисунка показывают распределение прогиба для соответствующих видов граничных условий 3-4.
Из результатов вычислений видно, что прогиб достигает максимального значения в окрестности точки 5 = 0.4 м, где оболочка имеет наименьшую толщину.
На рис. 3 и 4 показано распределение прогиба W вдоль меридиана оболочки в момент времени
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
t = 1 • 10 3 С для трех и двух видов закрепления контуров соответственно. Кривые рисунков 3 и 4 показывают распределение прогиба для соответствующих видов граничных условий 1^3 и 3-4.
1,20E-03 1,00E-03 8,00E-04 6,00E-04 4,00E-04 2,00E-04 0,00E+00 -2,00E-04
W,M
S,M
1, 2, 3 - соответствуют граничным условиям (1^3). Рисунок 1 - Распределение W по 5 в момент времени ? = 5 • 10 3 С .
1,00E-03 8,00E-04 6,00E-04 4,00E-04 -2,00E-04 0,00E+00 -2,00E-04
S,M
1, 2 - соответствуют граничным условиям (3 и 4). Рисунок 2 - Распределение W по 5 в момент времени ? = 5 • 10 3 С .
6,00E-05 5,00E-05 4,00E-05 3,00E-05 2,00E-05 1,00E-05 0,00E+00 -1,00E-05
1
™ ™ з
V
_ - - 1
1 4 5 ; ( 8 ! < 1 0
S,M
1, 2, 3 - соответствуют граничным условиям (1^3). Рисунок 3 - Распределение W по 5 в момент времени ? = 1 • 10 3 С .
4,00E-06 3,00E-06 2,00E-06 1,00E-06 0,00E+00 -1,00E-06
1 -1 —
3 4 ! 1
6 i ! < 1 0
S,M
1, 2 - соответствуют граничным условиям (3 и 4). Рисунок 4 - Распределение W по 5 в момент времени ? = 1 • 10 3 С .
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
Как показывают результаты вычисления, распределение прогиба вдоль меридиана оболочки отличаются качественно и количественно в зависимости от граничных условий и переменности толщины в разных моментах времени.
3. Заключение. В данной статье рассмотрена связанная задача магнитоупругости для гибкой ортотропной конической оболочки с учетом ортотропной электропроводности. Исследуется влияние граничных условий на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки.
На основе полученных результатов установлено, что во всех рассмотренных случаях максимальные значения прогиба возникают при «шарнирно-скользящем» закреплении контуров оболочки при
t = 5 • 10 3 с.
Исходя, из полученных результатов можно судить о влиянии граничных условий на взаимосвязанность механических и электромагнитных полей.
Список использованной литературы:
1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. -Москва: Наука, 1977. - 272 с.
2. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.: Мир, 1967. - 385 с.
3. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1979. - 639с.
4. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупругости (укр): учебник.-К:ИПЦ «Киевский университет», 2010.
5. L.V. MoFchenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotopic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. - New York, 2008. - Vol. 44. - No.8. - P. 882 - 891.
6. R. Sh. Indiaminov On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the axsymmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies. - 2008. -Vol. 13, № 6. -P. 65-77.
© Индиаминов Р.Ш., Наркулов А.С., Саидкулов Э. 2017 г.
УДК 519.6
О.В. Матысик
К. ф.-м. н., доцент, БрГУ имени А.С. Пушкина
г. Брест, Беларусь E-mail: [email protected] А.М. Иванова
Магистр математики, Лёвенский католический университет
г. Лёвен, Бельгия E-mail: [email protected]
ИЗ ИСТОРИИ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
Аннотация
В работе проводится обзор разнообразных явных и неявных итерационных схем решения некорректных задач. Рассматриваются случаи неединственности и неустойчивости решения операторного уравнения, априорный выбор числа итераций.
Ключевые слова
Некорректная задача первого рода, положительный ограниченный и самосопряженный оператор,
спектр, гильбертово пространство
В последние десятилетия математическая наука обогатилась важным разделом — теорией некорректно
