CC BY
8
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3
Индиаминов Р.Ш.
доктор физико-математических наук, профессор Самаркандского филиала Ташкентского
университета информационных технологий, Самарканд, Узбекистан, e-mail: [email protected]
Джумабоев Т. А.
ассистент Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий,
Самарканд, Узбекистан, e-mail: [email protected] Назаров Ш.Н.
магистрант Самаркандского Государственного Университета, Самарканд, Узбекистан, e-mail: [email protected]
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКОЙ ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ В НЕСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Аннотация
В данной статье получено решение нелинейной задачи магнитоупругости ортотропной гибкой конической оболочки в нестационарном поле. Дан числовой пример. Результаты представлены в виде графиков. Проведен анализ влияния конусности на напряженное состояние ортотропной оболочки.
Ключевые слова Оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.
Key words shell, magnetic field, magneto elasticity.
Введение. Построение оптимальных конструкций современной техники работающей в магнитных полях связано с широким использованием конструктивных элементов, например гибких тонкостенных оболочек. Воздействие нестационарных полей на металлические тонкостенные элементы приводит к появлению объемных электромагнитных сил, способных при определенных параметрах полей вызывать большие деформации конструкций. В последнее время значительный интерес вызывает вопрос определения напряженного состояния гибких анизотропных оболочек работающих в переменном магнитном поле с учетом анизотропной электропроводности.
1. Постановка задачи. Основные уравнения. Пусть тело находится в магнитном поле, создаваемым как электрическим током в самом теле, так и источником, находящимся вдали от тела. Примем также, что тело служит проводником электрического тока (токонесущее тело), который подводится к торцам тела от внешнего источника. Предполагается, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по телу (плотность тока не зависит от координат). Тело обладает конечной анизотропной электропроводностью и не обладает свойством самовольной поляризации и намагничиваемости.
Определим величины и запишем уравнения, которые характеризуют свойства электромагнитных полей. Пусть электромагнитное поле тела в эйлеровой системе координат характеризуется вектором
напряженности электрического поля e , вектором напряженности магнитного поля h , вектором
электрической индукции d и вектором магнитной индукции b , а в лагранжевой системе координат
характеризуется соответственно E, H , D и B .
Осуществим переход от эйлеровой системы координат X к лагранжевой ^ с помощью
зависимостей [3, 4]:
5К
£
ijk
=j, +■
5_dJ_ 51
£
д%р дх] "" дX ' чк д%р дх] дX ' д%р дх1 ' д%р дх1 где через ре — обозначена объемная плотность электрических зарядов.
Опуская промежуточные преобразования, уравнения Максвелла в лагранжевых переменных принимают вид:
5et 5bt 5bi д^р = о>
5d, 5£
= Ре (1)
=j +5 ^
i jт г р -w ' ijm^iC
5%р 5t 5%р
5 E 5 вр 5 Bp 5 Dp
с __m — _р._^ —П- _р_ — т?
51 5£
5L
(2)
где
Hm = К ^. e„ = ek ^L . в = Tb ^. d = Td ^
m k ^ " m k ^ " р г/-ч ? r z/-s
öcm 5ьт 5 x 5 x
~ m ~ m i i
Jr =Tji ^; Re =TPe; T = det 5 x
5 x
(3)
Уравнения движения материального тела, которые описывают их взаимодействие с электромагнитным полем, имеют вид:
5
54
П.. ^ V lj 5 х. ,
+ Р0 F + F А ) =
5 V р0 ^
(4)
где ^ — компоненты тензора напряжений Эйлера; р0 = Гр — плотность материала в недеформированном состоянии. Используя тензор напряжений Лагранжа
уравнения движения запишем в виде
5T0 5^к
t о =Tt ^
ik j 5X
+ Ро [F + Fл )=Ро
5Х
512
В дальнейшем уравнение (6) также можно представить в виде
Sij,. +Ро [F + Fл )=Р
5 U
0 512 •
(5)
(6)
(7)
где £ — тензор напряжений, введенный в работе В.В.Новожилова. В векторном виде уравнения магнитоупругости имеют вид [3, 4]:
divS + р0 [F + F л ) =
5 2 u
ро 5t2
? дв Гт т 3D .. 5 л .. - п rotE =--, rotH = J--; divB = 0; divD = R .
д t д t e
Соотношения (3) векторном виде запишем так:
H = hFT; E = eFT; B = YbF l; D = YdF_1; J = TjF \
д x
где F =-l- (i j = 1 2 3) • Обобщенный закон Ома
3
^T 77-1
(8)
J = <jTFt F 1E + V x B]+ ReV,
(9)
(10)
а выражение для пондеромоторной силы Лоренца в материальных переменных запишем в виде
р0 Fл = ст Г"1 F 1 [(E + V х B) х В]+Г-1 ReV.
Таким образом, уравнения магнитоупругости в конечном виде запишем так:
д 2и
divS + р0 (F + Fл ) =
Ро
д t
2
rotE = , rotH = J, divB = 0; divD = 0; (12)
E + V х B
pFл = (Г-1F- [(E + VxB)xB]; J = aYFTF-
Система уравнений (12) должна быть дополнена начальными условиями, граничными условиями и условиями на бесконечности [1,3].
Систему уравнений магнитоупругости необходимо замкнут соотношениями, связывающими векторы напряженности и индукции электромагнитного поля, а также законам Ома, определяющим плотность тока проводимости в подвижной среде.
Если анизотропное тело линейно относительно магнитных и электрических свойств, то определяющие уравнения для электромагнитных характеристик поля и кинематические уравнение для
электропроводимости, а также выражения для сила Лоренца, с учетом стороннего тока Jст в переменных
Лагранжа запишутся соответственно в виде [4]:
B = UtJH , D = si]E,
J = ( YFTF~l [Jem + E + VxB], (13)
pFл = Г"1 F 1 [Jcm x B + (7jJ(E + vx B)x B] .
Здесь (j ,Sj j, j j (i, J = 1,2,3) - соответственно тензоры электрической проводимости,
диэлектрической и магнитной проницаемости линейно анизотропного токонесущего тела [2].
Связанная разрешающая система уравнений магнитоупругости ортотропной оболочки и методики решению принимаем в виде [4,5].
2.Числовой пример. Анализ результатов.
Проведем исследование напряженно-деформированного состояния гибкой ортотропной конической оболочки из бороалюминия постоянной толщины h = 5-10" м, находящейся под действием
механической нагрузки P = 5 •103 sin COtH/ 2 . Оболочка находится во внешнем магнитном поле
^ / м
BS 0 = 0.1 Тл и к ней подводится сторонний электрический ток плотности
J ест = "5 • 10 sin СО t 'Am2 ■ Отметим, что бороалюминий - композитный материал на основе матрицы
из алюминия, армированной борными волокнами, обладающий высокими удельными характеристиками (парамагнетик, кристаллографическая структура - гранецентрированная кубическая). Исследуем влияние угла конусности на напряженно-деформированное состояние ортотропной конической оболочки. В этом случае граничные условия запишем в виде
u = 0, Qs =-200 Н/м, MS = 0, Bo = 0.3 sine t Тл при s = s0 = 0,
u = w = 0, es = 0, B = 0 при s = sN = 0.4м .
Начальные условия принимают вид
N(s, t) L = 0, ú(s, t) L = 0, w(s, t) ^ = 0.
10 -
~ ill '—'
Разрешающая система после применения метода квазилинеаризации принимает вид
-и--№
du (+1) = 1 _yS ve N(k+i) у в cos Pu (k+i) _ v^sin^ + e^ \2 ;
peSh pr pr 2 p
dm
dw(k+1) dm
dNSk+1)
dm
в
(k+1)
d в
(k+1)
P
cosp pr
r
dm ea
\
ve 1
V eS у
pr
,12(1 _vs ve)
PeS h 3
N (k+1) + ^h
MSk+1)
ve cos P л k+1
ek
pr
zcospu (k+1) + smp w( k+1)Л
V
r
r
у
_ + h jcTB(k+1) _ [(-E®B(k) + Ef+1)ßf) + E®B(k+1))+
+ 0.5 {_(w(t+A))(k) Bf) + (w(t+A))(k+1) Bf) +(w(t+A))(k) Bf+1) }(B; + BS")_ -{-{Bf))2(u(t+At))(k)+(b(k))2(u(t+At))(k+1) + 2B(k+1)Bf)(2/(t+At))k}]+ h(u(t+At))(k+1) ;
ee sinp л.(k+1^ ee h sinp f cosp (k+1) , sinp №+1)
dQSk+1) _ cos (k+1)
dm
P
(k+1)
h
1 —, p
pr
-QS
+ Vc
■N
+
es pr
pr
+
■w4
(14)
0.5hJ вст(Bs+ + Bs)_^[_0.5 Евв+1 (Bs+ + Bs)_0.25 (w^)™fe + B-)2 _ 112 (w(t+At))™(b+ _B-)2 + p p p 12
+ 0.5'
.5{_(u(t+A^Bf +(u(i+Ai))(k+1)B(k) +(2/(t+At))(k)B(k+1)}(BS+ + BS)+ Ä{-(¿в(i+Ai))(k)B(k) _
+в (t+At))(k+1) Bf) + в(t+At))(k) Bf+1) }(bs+ + B_ )]+ h (w(t+at))
(k+1) .
с
dMf+1) _ cos p
dm
+ -
pr + .
у ee_ 11 m (k+1) + ^ c°spe(k+1)
e.
12
+
Q
(k +1)
S
+
p
1 (_ NSk)eSk) + NSk+1)ek + Nfek+1 )_уА ^inp(_ Mkseks + MSk+1eSk + Mkek+1 )_
p
ee Ä sin
eS pr h3
12
dB f+1)
inp c2osp [_(eSk))2 + 2er)ef ](¿¡<+*))(k+1);
pr
а 2 л
12p
[E(k+1) + 0.5 (w(t+At))(k+1)(BS+ + BS")_
dm p
{_(u (t+At))(k) B f) +(2/ (t+At)) (k+1) Bf) +(22 (t+At))(k) Bf+1)}]
+ BS _ B,_
ph
dE f+1)
IB(i+At))(k+1)_ cospe(k+1), (k = 0,1, 2,.....).
~ с pr
dm р
При решении задачи параметры принимают следующие значения:
= 0, ^ = 0,4 м, h = 5 -10 4м, г = г0 + ^со8^; г0 = 0.4м, т = 314.16с-1, р = 2600 кг/мъ, В50 = 0.1 Тл, а, = 0.454 -108 (Ом - м)4,
r
r
e
r
S
р = {5.8°; 5.70}, о-2 = 0.454 • 108(Ом • м)-1, сг3 = 0.200 • 108 (Ом • м)-1,
ц = 1.256 • 10 6 Г»/ , JCT =-5• 105sin©t A 2, P = 5 ■ 103sin ©t^ 2,
^ /м eCT /м 2 ' s /м
= 0.262, = 0.320, = 22.9 • 1010 Н/ e = 10.7 • 1010 Н/ 2
S S S /м в /м
B+s = B" = 0.5 Тл , At = 1^10-3с, 0 < t < 110 2с.
Решение задачи определено на интервале времени Т = 10 2 С, шаг интегрирования по времени принять равным: A t = 110- С при ста точках интегрирования по длине оболочки. Максимальные значения получены при шаге по времени t = 5 • 10 3 С . На рис. 1 приведено распределение нормальной составляющей магнитной индукции B. вдоль меридиана оболочки s в момент времени t = 5•10" С при
различных углах р: 1 -р = 5,8°; 2 - р = 5,7° .
На рис. 2 приведено распределение нормальной составляющей силы Лоренца pF£ вдоль меридиана оболочки s в момент времени t = 5 -10 3 С при различных углах р: 1 - р= 5,80; 2 -
р = 5,70.
Рисунок П.5.3 - Распределение нормальной составляющей магнитной индукции В^ вдоль меридиана оболочки ^ в момент времени X = 5-10—' С при различных углах р.
pF¡\ H! м
sm
2,00Е+04 1.50Е+04 100Е+04 5.00Е+03 0.00Е+00 -5.00Е+03 -1 00Е+04 -1.50Е+04
1 - ф = 5.8е; 2 - ср = 5.7е.
Рисунок П.5.6 - Распределение нормальной составляющей силы Лоренца рF£ вдоль меридиана оболочки
^ в момент времени X = 5 -10 3 с при различных углах р.
12 -
. 1 ,
-2 /
/
/
/ ! . i 1 1 3 1
/
3. Заключение. В данной статье рассмотрен учет влияния конусности на нелинейное поведение ортотропной оболочки. Установлено, что с уменьшением угла конусности абсолютные величины силы Лоренца и магнитной индукции возрастают. Выявлено, что угол раствора конуса равный шести градусам оказался критическим для рассматриваемой геометрически нелинейной оболочки при подобранных нагрузках. Дальнейшее уменьшение угла (р = ж/30) приводит к потере устойчивости оболочки.
Список использованной литературы:
1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. -Москва: Наука, 1977. - 272 с.
2. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1979. - 639с.
3. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупругости (укр): учебник.-К:ИПЦ «Киевский университет», 2010.
4. L.V. MoFchenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotopic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. - New York, 2008. - Vol. 44. - No.8. - P. 882 - 891.
5. R. Sh. Indiaminov On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the axsymmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies. - 2008. -Vol. 13, № 6. -P. 65-77.
© Индиаминов Р.Ш., Джумабоев Т.А., Назаров Ш., 2018 г.
