Нелинейное деформирование гибких ортотропных оболочек переменной толщины в нестационарном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Р.Ш.Индиаминов

доктор физико-математических наук, профессор Самаркандского филиала Ташкентского

университета информационных технологий Самарканд,Узбекистан,e-mail: r_indiaminov@mail.ru

З.Ахмеджанова

магистрант Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий

Самарканд,Узбекистан П.Насриддинова

магистрант Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий

Самарканд,Узбекистан

НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Аннотация

В работе проведен анализ напряженного состояния гибкой ортотропной оболочки, находящейся под действием переменной по времени механической силы и переменного по времени внешнего электрического тока, с учетом механической и электромагнитной ортотропии. Исследуется влияние толщины на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки. Полученные результаты свидетельствует о влиянии толщины на деформацию оболочки и необходимости учета этого фактора в расчетных схемах.

Введение. Развитие исследований в теории магнитоупругости связано с решением многих важных задач современной техники. Такие задачи возникают при разработке электромагнитных насосов, магнитогидродинамических ускорителей, измерительной аппаратуры, которая работает с электромагнитными полями, наложением магнитных полей при управлении движением плазмы, при протекании в упругой оболочке, расчете защитных экранов, атомных реакторов, постановке некоторых физических экспериментов и т. д.

Построение оптимальных конструкций современной техники работающей в магнитных полях связано с широким использованием конструктивных элементов, например гибких тонкостенных оболочек. Воздействие нестационарных полей на металлические тонкостенные элементы приводит к появлению объемных электромагнитных сил, способных при определенных параметрах полей вызывать большие деформации конструкций. В последнее время значительный интерес вызывает вопрос определения напряженного состояния гибких ортотропных оболочек работающих в переменном магнитном поле с учетом ортотропной электропроводности.

1. Нелинейная постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим нелинейное поведение ортотропной токонесущей конической оболочки из бериллия переменной толщины, изменяющейся в

Ключевые слова

Оболочка, магнитное поле, магнитоупругость. Key words Shell, magnetic field, magneto elasticity.

f

меридиональном направлении по закону h = 5 • 10 1 — а

V

Л

м. Считаем, что оболочка находится под

воздействием механическом силы

стороннего электрического тока

Jаг^т 5 * 10 5 sin a t 2 , и внешнего магнитного поля B„n = 0.1 Тл, а также что оболочка имеет

ÜL.I /м S 0

конечную ортотропную электропроводность О (< , <Г2, <Г3).

2

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2016 ISSN 2410-6070_

Предполагаем, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего тока не зависит от координат. В этом случае на оболочку действует комбинированное нагружение, состоящее из пондеромоторной силы Лоренца и механической силы. Контур

малого радиуса S = S0 шарнирно закреплен, а второй контур S = S^ -свободен в меридиональном

направлении.

Отметим, что в рассматриваемом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно кристаллографическим осям второго порядка, а также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы [2,3].

Предположим, что геометрические и механические характеристики тела таковы, что для описания процесса деформирования применим вариант геометрически нелинейной теории тонких оболочек в

квадратичном приближении. Также предполагаем, что относительно напряженности электрического поля E

и напряженности магнитного поля H выполняются электромагнитные гипотезы [1,4]:

E = E,(a,ß,t); E = E2(a,ß,t); Къ =^B,— ^B2;

et et

J = J(aß,t); J2 = J2(a,ß,t); J = 0; (1)

h =1 (h; + h-)+z (h; — H-);

2 h

H2 =1 H ; H 2-); Z H - H2); H = H3(a,ß, t).

2 h

где Ut — компоненты вектора перемещений точек оболочки; Et, Ht — компоненты векторов

напряженности электрического и магнитного полей оболочки; J — компоненты вихревого тока; Hf —

тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на поверхностях оболочки; h — толщина оболочки.

Эти допущения являются некоторым электродинамическим аналогом гипотезы недеформируемых нормалей и вместе с последней составляют гипотезы магнитоупругости тонких тел. Принятие этих гипотез позволяет свести задачу о деформации трехмерного тела к задаче о деформации выбранной произвольным образом координатной поверхности.

Разработанный методики к численному решению новых класс связанных задач магнитоупругости теории ортотропных конических оболочек вращения обладающей ортотропной электропроводностью, основан на последовательном применении конечноразностной схемы Ньюмарка, метода линеаризации и дискретной ортогонализации [4-6].

Для эффективного использования предложенной методики предполагаем, что при появлении внешнего магнитного поля не возникает резких скин-эффектов по толщине оболочки и электромагнитный процесс по координате £ быстро выходит на режим, близкий к установившемуся. Это приводит к ограничениям на характер изменения внешнего магнитного поля и на геометрические и электрофизические параметры оболочки

Т

Т2-> 1' (2)

h г ^

где Т — характерное время действия магнитного поля. В случае невыполнения этого условия следует рассматривать только уравнения движения оболочки под действием магнитного давления.

В такой постановке система уравнений, описывающая на соответствующем временном слое нелинейные колебания гибкой токонесущей ортотропной конической оболочки переменной толщины, согласно [5,6], после применения метода квазилинеаризации принимает вид

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2016 ISSN 2410-6070

,(k+1)

du( + ) _ 1 -vs ve л (k+i) v^cos^ (k+i) v sin^ (k+i) 1

dm

dw(k+1) dm

dN(k+1) dm

pesh

N(k+1) u ^k+1) w^k+1) + (ef) )2 -ef+L

pr

pr

2 p

(k)

S eS ;

L^ . dL+k_ 12(1 -v+ k+1^ VLCOs^k+1

P

cos 9 pr

dm

ve 6jL-1

e

V es У

pes h3

L

pr

S 5

Nf+1) + ee h

Г cos9 (k+1) , sin9„ г¿+1)Л -u +--w

V

r

r

У

P(k+1) h rr h

Ps__L hr R(k+1) a1

+ JecTn^

[(- E<k> Bf' + E<M> Bf' + E<k> B<k+1>) +(

+

p p p

+ 0.5 {-(w(i+Ai))(k)B(k) + (w(i+Ai))(k+1)Bf) +(w(t+At))(k)B(k+1) }(b; + b;)-{- (b(k) )2 (u(t+At))(k)+(b(k) )2(u(t+A))(k+1) + 2B(k+1)Bf) (u(t+At))k }]+ h (ü(t+At))(k+1) ;

(3)

dQSk+1)

dm

cos 9 n (k+1) L sin9

Qs + vs N s

^(k+1) + ^eh sin9 Г cos9^(k+1) , sin9n.(k+1)

pr

es pr

pr

P,

(k+1)

0.5hJecTB+ + Bs)-^[-0.5 B+ + B+)-0.25 (w(t+At))™(b+ + B+)2 -1 (w^)™(B+ -B+)2 +

2 1

---.

p

p

p

12

+ 0.5

{-(u (t+At ))kB (k) +(u (t+At) )(k+1) B(k) + (u (t+At) )(k) B(k+1) }(bs+ + b;)+ h {-(e (t+At) )(k) B(k) + (l(t+at))(k+1) в(k) +(l(t+at))(k) в(k+1) }в; + b;)]+ h (w(t+At))(k+1);

dM f+1) dm

cos 9

pr

vQ—~ 11 m f+1)+^ cos9 e?+1)

12 r

(k+1) + +

Qi

p

+1 (- N(k Lf) + n(k+1)ek + Nf )ek+1)-v — Mkeks + Mk+Lk + Mkek+1 )-

p e+ pr

ea h3 sin

in 9 c2os9 [-(ef )2 + 2e(k+1Lk) ]+— (¿?(t+At)) (k+1);

12 pr2 L v + ' + + J 12p

[e(k+1) + 0.5 (w(i+Ai))(k+1)(в; + b;)-

dB f+1)

dm

2 p

+

{-(u ('+*о)(k) Bf) + (u (i+Ai)) (k+1) Bf) +(ii (t+At))(k) B(k+1)}]

1+ Bs - Bs .

ph

dE (k+1) 1

= -1 (в( +a) ) (k+1) - cos9 e(k+1), (k = 0,1, 2,.....).

ёш р ' ^ ' рт

В этом случае граничные условия запишем в виде

и = 0, w = 0, = 0, В = 0.3 ирм ^ = = 0,

^ = 0, вв= 0, N3 = 0, В = 0 ирм

Начальные условия принимают вид

N,^Я = 0, и^,^^ = 0, w,^)|_= 0.

ä = ^ = 0.5 .w.

(4)

Здесь N3, N в ~ меридиональное и окружное усилия; £ - сдвигающее усилие; Qs

r

r

перерезывающее усилие; Ms, Mq — изгибающие моменты; U, W — перемещение и прогиб; Qs — угол поворота нормали; р , р — компоненты механической нагрузки; Eq — окружная составляющая напряженности электрического поля; В^ — нормальная составляющая магнитной индукции; Вs , Bs —

известные составляющие магнитной индукции из поверхности оболочки; Jq ст составляющая плотности электрического тока от внешнего источника; e , - модули упругости по направлениям S , Q —

соответственно; VS ,Vq — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в

направлении осей координат; ß — магнитная проницаемость; С — круговая частота; < ,< ,< -главные

компоненты тензора удельной электропроводности.

Решение краевых задач магнитоупругости теории тонких оболочек с конечной электропроводностью в нелинейной постановке связано с большими вычислительными трудностями. Это объясняется тем, что система, описывающая напряженно-деформированное состояние оболочки связанная, то есть состоит из уравнений движения и электродинамики. В уравнениях движения присутствует объемная сила Лоренца, а в уравнения электродинамики входят производные от перемещений по времени. Кроме того, она является нелинейной смешанной гиперболо-параболической системой дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами. Объемные силы Лоренца - нелинейные и изменяются в зависимости от деформирования срединной поверхности оболочки и изменения временной координаты.

2. Числовой пример. Анализ результатов.

Исследуем поведение ортотропной оболочки в зависимости от изменения толщины оболочки. Задача для ортотропного конуса из бериллия переменной толщины h = 5 • 10 —4 — а ^ J м рассчитана при

различных значениях параметра а = {0.2; 0.3; 0.4; 0.5} характеризующего переменность толщины в

меридиональном направлении.

При решении задачи параметры принимают следующие значения:

so = 0, sN = 0,5 м , h = 5-10—4(1 — а s/ )м, r = r0 + scos^; r0 = 0.5м, С = 314.16 с—,

/ SN

р = 2300к^/мъ, В; = В— = 0.5 Тл. ф = 30°,Bso = 0.1 Тл, ß = 1.256 •10—6 ГУМ, JecT =—5 -105 sin© t^ 2, < = 0.279 •Ю8 (йм • м)—1, < = 0.321 -108(Ом • м)— ,<3 = 1.136-108(Ом• м)—1 ,vs = 0.03, Ve = 0.09,

P = 5•Ю3 sin © tн/ 2, e = 28.8 • 1010н/ e = 33.53 • 1010Н/ f /м S /м q /м'

Решение задачи находилось на интервале времени т = 0 ^ 10 —2 c, шаг интегрирования по времени

выбирался равным A t = 1 • 10 3 С.

Рассматриваемом случае анизотропия удельного электрического сопротивления бериллия равно

Л3/ = 4.07. /Л

На ниже приведенных рисунках графики (1, 2, 3, 4) соответствуют значениям параметра

а = {0.2; 0.3; 0.4; 0.5}.

На рис.1. показано распределения прогиба W вдоль меридиана оболочки в момент времени t = 5 • 10 3 С для различных значений параметра а.

1,20E-03 1,00E-03 8,00E-04 6,00E-04 4,00E-04 2,00E-04 0,00E+00 -2,00E-04

W,M

1

""-ч \

\

№ '— > \\

4

л

3 ■ ! ; ( 8 ! < 1 01

S,M

1 - а = 0.2; 2 - а = 0.3; 3 - а = 0.4; 4 - а = 0.5.

Рисунок 1 - Распределение ^ по £ в момент времени ? = 5 • 10 3 С при различных значениях параметра а .

Установлено, что максимальные значения прогибов вдоль оболочки возникают примерно в окрестности значении £ = 0.4 М .

Это объясняется тем, что согласно граничным условиям левой торец шарнирно закреплен, а правый конец оболочки свободен в меридиональном направлении.

Кроме того, толщина оболочки начиная от левого торца к правому торцу уменьшается до 2 раза при а=0,5. Поэтому максимальные значения прогибов возникают около правого торца оболочки.

При учете влиянии толщины напряжение конической оболочки рассматривалось как сумма механических напряжений и напряжений максвелла, т.е. учитывалось общее напряженное состояние.

На рис. 2 и 3 показаны распределение максимальных значений напряжений (С22 2 Т22) и (СТ2 2 + Т2 2

) вдоль меридиана оболочки в момент времени ^ = 5 • 1023 С по внешней и внутренней поверхностях оболочки для различных значений параметра а .

Кривые 1^4 характеризуют распределение напряжений для соответствующих значений параметра а .

С22 + Т22 , Н / М' 7,00Е+07

6,00Е+07

5,00Е+07

4,00Е+07

3,00Е+07

2,00Е+07

1,00Е+07

0,00Е+00

| 1 -4

/ и

а а S а s ^ 4 Л

V

ff

+

S,M

10 11

123456789

1 - а = 0.2; 2 - а = 0.3; 3 - а = 0.4; 4 - а = 0.5.

Рисунок 2 - Распределение С22 2 Т22 по £ в момент времени_ ? = 5 • 10 3 С при различных значениях параметра а .

Из рисунков видно сложный характер поведение оболочки в зависимости от граничных условий при действии механических и магнитных полей. Необходимо отметить, что максимальное значение наблюдаем во всех случаях при £ = 0.5 М и с возрастанием параметра а - значения напряжений на поверхностях оболочки увеличиваются.

°22 + Г22' H 1 М

6,00E+07 4,00E+07 2,00E+07 0,00E+00 -2,00E+07 -4,00E+07 -6,00E+07 -8,00E+07 -1,00E+08

= г_-

в =-= = S—= — . ^

> ■ ! , [ ' ; i ' i 1 < 1 1 0 \ 1

■ ™ 2

— - - 3

1

SM

1 - а = 0.2; 2 - а = 0.3; 3 - а = 0.4; 4 - а = 0.5.

+ Т22 по Б в момент времени t = 5 • 10 3 С при различных значениях параметра а .

Рисунок 3 - Распределение + Т 22 по Б в момент времени

/ Ук2 /

На рис. 4 и 5 приведены изменения скорости ( / ) и ускорения (д w/ ) перемещения вдоль

/ д/ / д^

меридиана оболочки в момент времени t = 5•103 С для различных значений параметра а .

ди/ м/

5,00E-02 0,00E+00 -5,00E-02 -1,00E-01 -1,50E-01 -2,00E-01 -2,50E-01 -3,00E-01 -3,50E-01 -4,00E-01

'дV /с

ч~ ■ -

> / s-- \-! -i Г" - гН

S,M

1 - a = 0.2; 2 - a = 0.3; 3 - a = 0.4; 4 - a = 0.5.

д u

Рисунок 4 - Распределение по Б в момент времени t = 5 • 10 3 С

при различных значениях параметра а .

д 2w/ м/ 'д t2 7 с2

5,00E+03 4,00E+03 3,00E+03 2,00E+03 1,00E+03 0,00E+00 -1,00E+03

- л _ ч \

5 =-- — ^^ \ S - \

*>\

1 4 i ! ! 1 0 1

S,M

1 - a = 0.2; 2 - a = 0.3; 3 - a = 0.4; 4 - a = 0.5. д2 w

Рисунок 5 - Распределение

д t

2 по S в момент времени

t = 5 • 10 3 с

при различных значениях параметра а .

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №5/2016 ISSN 2410-6070_

Из рисунков видно, что с увеличением значения параметра X и соответственно с уменьшением толщины h (s), происходит увеличение скорости продольного перемещения вдоль меридиана.

Максимальные значения ускорения радиального перемещения вдоль меридиана возникают при значении s=0,4 м, что связана с граничными условиями и переменности толщины оболочки.

3. Заключение. В данной статье рассмотрена связанная задача магнитоупругости для гибкой ортотропной конической оболочки с учетом ортотропной электропроводности. Исследуется влияние толщины на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки. Полученные результаты свидетельствует о влиянии толщины на деформацию оболочки и необходимости учета этого фактора в расчетных схемах. Как видно, переменность толщины оказывает значительное влияние на изменения напряженно-деформированного состояния оболочки, а учет геометрической нелинейности позволяет существенно уточнить картину деформирования. Список использованной литературы:

1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. -Москва: Наука, 1977. - 272 с.

2. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.: Мир, 1967. - 385 с.

3. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1979. - 639с.

4. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупругости (укр): учебник.-К:ИПЦ «Киевский университет», 2010.

5. L.V. Molchenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotopic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. - New York, 2008. - Vol. 44. - No.8. - P. 882 - 891.

6. R. Sh. Indiaminov On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the axsymmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies. - 2008. -Vol. 13, № 6. -P. 65-77.

© Индиаминов Р.Ш., Ахмеджанова З., Насриддинова П. 2016 г.

УДК 62-752.2

В.Г. Кульков

д. ф.-м. н., профессор каф. «Общая физика»

В.К. Самсонов магистрант А.А. Сыщиков

ассистент каф. «Общая физика» Филиал НИУ «МЭИ» в г. Волжском г. Волжский, Российская Федерация

ДЕМПФИРОВАНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ВИБРАЦИЙ В ПОРИСТЫХ УЛЬТРАМЕЛКОЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ

Аннотация

Рассматривается возможность применения пористых ультрамелкозернистых материалов для демпфирования нежелательных вибраций энергетического оборудования. Рассчитывается демпфирующая способность таких материалов на инфранизких частотах.

Ключевые слова

Зернограничные поры, ультрамелкозернистые материалы, демпфирующая способность, зернограничная диффузия.