CC BY
11
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
Список использованной литературы:
1. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е. Применение дифференциального исчисления при решении задач с параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар. науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.
2. Апайчева Л.А. , Шувалова Л.Е. Л.А. Методические приемы решения геометрических задач с помощью дифференциального исчисления. /Инновационная наука: междунар. науч. журнал: Аэтерна, №03-2/ 2017. С. 10-12.
3. i-olymp.ru
4. Краснов М.Л., Киселев А.И.,.Макаренко Г.И , Шикин Е.В. , Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.3. Изд. 3-е.-М.: ЕдиториалУРСС. 2010.-240 с.
© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2017
УДК 519.62:517.977.5
А.А. Баймуратов
магистрант 2 курса Факультет математики и информационных технологий Оренбургский государственный университет Научный руководитель: Л.М. Анциферова к.п.н., старший преподаватель кафедры прикладной математики Оренбургский государственный университет Г. Оренбург, Российская Федерация
МОДЕЛЬ МЮЛЛЕРА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕСТОВЫМИ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РЕКЛАМНЫМИ РЕШЕНИЯМИ
Аннотация
В работе использована модель Мюллера для описания различных типов клиентов и потоков между этими группами. На основе принципа максимума Понтрягина численно решена задача оптимального управления рекламой, состоящая в оптимизации потока прибыли.
Ключевые слова
Математическая модель, принцип максимума Понтрягина, оптимальное управление, итерационный метод, рекламная модель.
Мюллер представляет динамическую модель нового внедренного продукта основанного на диффузионном процессе, который создает различие между двумя типами рекламных целей: увеличение осознания и изменения предрасположенности купить [4]. Рынок, размером N поделен как
N = х^) + х2^) + х3^) , (1)
где х1(?) - число людей, которые не знают о существовании продукта, х2(?)- число клиентов, которые купили продукт,
х3(?) - число потенциальных клиентов, которые знают о продукте, но еще не купили его.
Для того, чтобы повлиять на вероятности перехода между этими тремя группами, фирма может выбрать два типа рекламы:
их - осведомительная реклама, которая информирует клиентов о продукте и таким образом переводит его из не знающей группы Х1 в потенциальную группу хз;
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
U2 — пробная реклама, которая убеждает клиентов купить продукт и таким образом переводит его из группы Хз В группу Х2.
С учетом (1), которое определяет х3 = N — х1 — х2, переходы клиентов между различными группами может быть представлены следующими уравнениями:
-u^-kx^N- Xj)/N, Xj(0) = N, (2)
x2= (a + u2)(N-xl —x2) — Sx2, x2(0) = 0 (3)
Люди, которые знают, N — Xi, свяжутся и сообщат в общей сложности k (N — Xi), из которых только часть Xi / N недавно оповещена. Из общего числа людей оповещены с помощью рекламы uN, только часть X, / N недавно оповещена. Константа а это стоимость первой покупки, которая может быть
увеличена дополнительно путем пробной рекламы. Как обычно, S это скорость распада, при котором клиенты покупают конкурирующие бренды или не закупают вообще. b означает скорость повторной покупки, скорость продажи S(t) определяется как
S = {a + —хх— х2) + bx2= х2+ Sx2+ Ъх2 (4)
Рекламные расходы необходимы, чтобы создать осведомительный эффект ui и пробный эффект U2 обозначенные как Ui(t) и U2(t), соответственно. Мюллер предполагает, чтобы они были выпуклыми многочисленными функциями [4].
Целью является максимизация текущей стоимость потока прибыли:
J,
о е щ(г) -и2(г)}dt (5)
при условии (2) и (3). Подставляя S(t) из (4) в (5) и интегрируя по частям, полученный член с хз, даст новую цель
I е~г{р(г + 3 + Ь)х2-u1(t)-и2^)}dt (6)
* о
где г - положительный параметр дисконтирования, с помощью которого будущие полезности приводятся к настоящему времени (исходя из того, что ближайшее во времени потребление важнее отдаленного).
В итоге приходим к задаче оптимального управления с двумя фазовыми переменными XI, хз и двумя управляющими функциями и1 и и2.
Эта задача состоит в максимизации функционала при условиях (2) и (3)
да
J = Je rt{p(r +S + b)x2 — u1(t) — u2(t)}dt^max, (7)
0
Xj = - MjXj - kxl (N - xl) / TV,
(8)
x2 = (a + u2)(N - xx- x2)- Sx2,
xY (0 ) = N, x2 (0) = 0, (9)
0 < x (t )< N, (10)
0 < u (t)< A, t e[0,да]. (11)
Построим функцию Понтрягина для задачи (7) — (11) [3]:
Н (t, x1 (t), x2 (t), u1 (t), u2 (t), у (t)) = F (x2, u1, u2, t) + у • (—u1x1 — kx1 (N — x1) / N) —
-Vx2 ■((a + U2)(N — x1 — x2) — Sx2).
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
Составим систему уравнений для сопряженных переменных:
(13)
Тогда
dH
dt дх1
d< dH
dt dX2
dt dy
= (их + k (N - 2x,) / N)¥xi-y2(a+ u2) (I4)
= (a + U2 -S)^X2 - p (r + £ + b) (15)
Если у/ (0) < 0, то в соответствии с (2.1) Ui (0 ) = 0, что не является оптимальным состоянием
проведения рекламной деятельности. Если уx (0)> 0, то в соответствии с (2.1) Ц (0)> 0 на всем
промежутке времени. Если |/ЛС2(0)<0, то в соответствии с (2.6), 1//,^ ( 0 j < 0. и, следовательно,
Ц/ (/ j < (0) < 0 для любого момента времени, что исключает сходимость к стационарному состоянию
[2]. Следовательно, у*2 ( 0 ) > 0 .
Так как в задаче правый конец свободен, то запишем условия трансверсальности:
¥Xl(T) = 0, (16)
Ух2(Т) = 1. (17)
Оптимальное управление определяется из условия:
H (t, x (t), U] (t), y(t)) = max H (t, xt (t), u} (t), у (t)) (18)
J UjGU j
где U = {uj | Uj e [0, A]}.
Необходимое условие экстремума для функции Понтрягина записывается в виде уравнений по переменным U1 и U2
^ = -U;(U1) + ху < 0, U ^ = 0 (19)
ои1 ои1
Я H Я H
—=-и; (U2)+Х2^; < 0, U2—=0 (20)
ou2 OU2
с2 н с2 н
А так как -— = - Uj (u1) < 0, -— = - UU (u2) < 0, то решение уравнений (2.12) - (2.13)
ЯUl &U2
соответствуют максимальному возможному значению функции Понтрягина [1]. Уравнение (2.12) можно переписать в форме
U'u1(U1) = Ху1 (21)
Запишем условие максимума функции Понтрягина по переменной u .
u;(w2) = (N - X - x2) (22)
x2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070
Таким образом, оптимальное управление определяется из системы:
A, если > 0, ül(t) = \ 0, еслиХ^^ < 0,
[0, A], если Х^ = 0.
<
(23)
A, если^ (N - x1 - x2) > 0,
Х2
u2(t) = <¡0, если^ (N - X1 - Х2) < 0,
[0, A], если (N - Х1 - Х2) = 0.
(24)
Совместное решение уравнений (2.5) - (2.6) дают возможность получить дифференциальные уравнения для рекламных тарифов щ и и2. Следовательно, монотонные свойства двух типов рекламных тарифов могут быть получены.
Основной результат состоит в том, что в (ш,щ) - плоскость траектории не может двигаться против часовой стрелки. Другими словами, если существует решение, которое сходиться в направлении стационарного состояния, то оно должно начинаться с точки щ>0, и2 = 0 на оси, представлено на рисунке 1.
Во всех случаях затраты на пробную рекламу постепенно увеличиваются, в то время как осведомительная реклама либо монотонна или имеет один пик.
Пока во многих маркетинговых моделях оптимальный рекламный тариф уменьшается монотонно со временем, необязательно это сохраняется, если рассмотрены различные типы рекламы. Таким образом, осведомленность о рекламе может действительно уменьшаться со временем, но так как пробная реклама возрастет, общий объем расходов со временем будет зависеть от их суммы.
Список использованной литературы:
1. Андреева Е. А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации: учеб. пособие для вузов. -Тверь: ТвГУ, 2004. 575 с.
2. Андреева Е. А., Арапова О.С., Болодурина И.П., Огурцова Т.А. Математическое моделирование и оптимальное управление: учебно-метод. пособие. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. 152 с.
3. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. - М.: Высш. шк, 2002. 840 с.
4. Management Science/Vol. 40 - Dynamic Optimal Control Models in Advertising: Recent Developments. Gustav Feichtinger, Richard F. Hartl, Suresh P. Sethi - №2 - February 1994
Рисунок 1 - Плоскость траектории (u1,u2)
© Баймуратов А.А., 2017
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
УДК 539.3
Индиаминов Р. Ш.
доктор физико-математических наук, профессор Самаркандского филиала Ташкентского
университета информационных технологий Самарканд,Узбекистан, e-mail: r_indiaminov@mail.ru
Наркулов А. С.
ассистент Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий
Самарканд, Узбекистан, e-mail: narkulov@inbox.uz Саидкулов Э. А.
магистрант Самаркандского филиала Ташкентского университета информационных технологий
Самарканд, Узбекистан
МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Аннотация
В работе при различных видах закрепления контуров оболочки исследовано напряженно-деформированное состояние гибкого токонесущего ортотропного конуса из бериллия переменной толщины. Полученные результаты свидетельствует о влиянии граничных условий на деформацию оболочки, а также взаимосвязанность механических и электромагнитных полей.
Ключевые слова Оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.
Key words
Shell, magnetic field, magneto elasticity.
Введение. Развитие исследований в теории магнитоупругости связано с решением многих важных задач современной техники. В современных технологиях все чаще используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными. Предлагаемая теория нелинейной магнитоупругости оболочек разрабатывается для пара - и диамагнитных веществ. К таким веществам, в частности, относятся бериллий, бороалюминий, вольфрам, кадмий, олово, цинк и многие другие. Наряду с анизотропией материала, они обладают и анизотропией электропроводности. Все эти вещества имеют монокристаллическое строение. Монокристаллы - это однородные анизотропные вещества, во всем объеме которых атомы расположены регулярно, так что все вещество состоит из одинаковых периодически повторяющихся кристаллических ячеек. Электрические и магнитные свойства кристаллов из разных систем и классов существенно отличаются, и это необходимо учитывать при их исследовании.
1. Нелинейная постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим нелинейное поведение
ортотропной токонесущей конической оболочки из бериллия переменной толщины, изменяющейся в
J / ^
меридиональном направлении по закону h = 5 • 10 1 — d у м. Считаем, что оболочка находится под
V / SN у
воздействием механической силы P = 5 • 103 sin со t Н/ 2, стороннего электрического
^ / м
тока
J ест = -5 " 105 sin® t A/ 2 , и внешнего магнитного поля BS 0 = 0.1 Тл, а также что оболочка имеет
конечную ортотропную электропроводность С ((, С2, (С3) .
Предполагаем, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего тока не зависит от координат. В этом случае на оболочку действует комбинированное нагружение, состоящее из пондеромоторной силы Лоренца и механической силы.
Отметим, что в рассматриваемом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно
