CC BY
57
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.37
Л.А.Апайчева
кандидат ф.-м. наук, доцент НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация Л.Е. Шувалова старший преподаватель НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация
НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»
Аннотация
Рассматриваются способы нахождения суммы рядов, вычисления пределов функции и решения трансцендентного уравнения с помощью степенных рядов.
Ключевые слова Степенной ряд, предел функции, сумма ряда.
Настоящая статья является продолжением наших предыдущих работ [1]-[2] и преследует ту же цель -повысить интерес к углубленному изучению математики, способствовать развитию логического мышления и поисковых навыков при решении олимпиадных задач.
В данной работе представлена подборка нестандартных олимпиадных примеров [3] на применение степенных рядов. Теория рядов является одним из важнейших разделов математического анализа. Ряды используются во многих областях современной математики. На практике часто возникает необходимость нахождения суммы ряда, в частности, при решении различных задач интегрального исчисления, при решении дифференциальных уравнений, вычислении пределов функции, а также в различных приближенных вычислениях.
Как известно, лучшая подготовка к олимпиаде - это систематические занятия математикой, решение задач повышенной трудности. Несмотря на уникальность олимпиадных задач, мы попытались сгруппировать примеры, при разборе которых используются математические основы теории рядов.
4,ппз
Задача 1. Найти сумму ряда Еп=1 .
Решение. Будем искать сумму степенного ряда
т
Zxnn3 п! ,
п=1
используя разложение в степенной ряд функции f(x )=ех (см, напр., [4]);
т п 2 3 п
ZX1 X2 X3 х'
— =1+х + —■ + — + ■■■ + —-+■■■ (1) п! 2! 3! п! w
п=0
Радиус сходимости данного ряда равен R=<». Обозначим сумму этого ряда через S(x );
т
ZX
—, х е (-ж, ж). п!
X
п\
п=0
Дифференцируя последнее равенство три раза, последовательно находим
т
,п-1
Znx
— (2)
п=1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070
S'
'(х) = £
п(п — 1)хп 2 ^ п2хп 2 ^ пхп 2
п
п=1
^пх V"1
п! 1 п!
п=1 п=1
; (3)
S'
'(х) = Z
т 7 —Г) т
п2(п — 2)хп 3 V-1 п(п — 2)хп 3
п=1
п!
I
п=1
п!
-Гтхп-3—з1
т 2 п-3 т п-3 п2 х п-3 п х п-3
п-1
п=1
п!
+ 2
I
п=1
п!
Отсюда получаем
1 ^ п3хп 3 ( ^ п2х7 Б"'(х)=-) —---()
X3 ¿—I П! X \
3 п 2 п-2 п х п-3
1 п х
х3 п! х п! п! х3 п!
п=1 п=1 п=1 п=1
^пх \ 1 V"1
п! I х31
п-1
(4)
Учитывая соотношения (2), (3), формулу (4) запишем в виде
S'
'Ю-?1
1 п3 х п 3
1
х3 п! х п=1
х2
Из последнего равенства находим искомую сумму
3 п
^п3 х'
—— - х3^"(х) + 3х2У(х) + х&(х).
п=1
п!
(5)
Поскольку Б'(х) = Б"(х) = Б'"(х) = ех, х Е (-ж, ж), из (5) получаем
= (х3 + 3х2 + х) ех. (6)
I
п=1
3 п п3 х п
п!
Теперь, полагая х =4, из соотношения (6) находим искомую сумму
= (43 + 3.42 + 4)е4 = 116 е4.
I
п=1
4 п п3
п!
1
Задача 2. Пусть /(х) = \ех — 1 — х--. Найти Ит-
"М 2 х^о И'(х)г
Решение. Найдем производную функцию Дх):
Г(х) =
ех — 1 — х
х2
3j(ex -1 — х — ^-)2
С учетом последней формулы требуется вычислить предел
2
Ит
27(ех-1 — х — х-)2
(7)
х^о (ех — 1 — х)3
Применение правила Лопиталя к вычислению данного предела нецелесообразно. Будем вычислять предел с помощью степенных рядов. Используя формулу (1), запишем предел (7) в виде
Ит
х^0
ax2 ■у3 уп ■у2
А А м А \ О
+ х+2Т+зТ+- + пг+- — 1—х—2т)2
х2 х3 х п
+ ЗГ + "+
х3 4 х4 хп+2
3! + 4Г" + "+ + . (п + 2)! +
х3 х4 хп+2
+ ЗГ + 4! +" 1 (п + 2)!
(3! + 4! + "' + (п + 2)! +
=27 lim-
■УУ2 лу3 лу-п+2
+ -у
Отсюда получаем
OD
2
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
Л Л/" л/'2
, х (3! + 4! + 5! + + (п + 1)! + ) lim---2--= 6.
X >0 6 s 1 ^ _l ^ ^ Л 3
Х (2!! + 3\ + ~4\+ ■ + JnTTy! + ^ )
Задача 3. Найти корень уравнения
X5 X9 х4п+1 1 1
Х + —+ - + ■•• + ---+■■■ =-arctgx + ~. (8)
5 9 4п+1 2 4 у J
Решение. Если |х| < 1, то, используя разложение функции f(x) = arctgx в степенной ряд (см, напр., [4]) уравнение (8) запишем в виде
5 9 х4п+1 1 ( X3 X5 X1 , , , , + 1 Х2П-1\ , 1
х + —+ — + ■■■ +-+ ■■■ =-(х--+---+ ■■■ + (-1)П+1-) + -.
5 9 4п+1 2\ 3 5 7 v J 2n-1J 4
Последнее уравнение приводим к виду
I X3 X5 х2п-1 \
Преобразуем левую часть уравнения(9). Пусть
х3 х5 х2п 1
Б(х) = х + ^ + ~5+"' + 2п—1 + "' '1Х1<1 (10) Дифференцируя почленно данный ряд, получим
Б'(х) = 1+х2+х4 + - + х2п-2 + -Радиус сходимости полученного ряда равен 1, а сумма его равна 1 , так как это геометрическая прогрессия со знаменателем х2, |х| < 1. Следовательно, сумма ряда (10)
1 + х
; = 0,5 1п
X2
Г йх
= 1т-^ = 0,5Ы 0
Поэтому уравнение (9) принимает вид 1п = 1п е.Отсюда находим х = -. Задача 4. Пусть S- сумма ряда
1-х
1x1 < 1.
I
{1п(1 + е2п} = {1п(1 + е)} + {1п(1 + е2)} + {1п(1 + е4)} + ",(11)
п=0
где {х} = х — [х] - дробная часть числа х. Вычислить е1-Б. Решение. Запишем ряд (11) в виде 1п(1 + е) — 1 + 1п(1 + е2) — 1+ 1п(1 + е4) — 4 + 1п(1 + е8) — 8 + - + 1п(1 + е2п) — 2П + Отсюда находим частичную сумму ряда (11)
Бп = 1п(1 + е)(1 + е2)(1 + е4) ... (1 + е2") — (1 + 2 + 22 + 23 +- + 2П) =
1 — 2п+1 ,2\ГЛ л. „4Л ГЛ л. „2П- 1 2
= ln(1 + е)(1 + е2)(1 + е4) ... (1 + е2 )
1-2
Далее представим сумму ряда (11) в виде
S = lim Sn = lim (ln(1 + e)(1 + e2)(1 + e4) ... (1 + e2") + 1- 2n+-)
n^m
Теперь вычисляем
e1-S = e-im(\n(1+e)(1+e2)(1+e4)...(1+e2 )-2n-1)
= lim
2n e2
e2 (1-е)
= lim
n^m (1 + e)(1 + e2)(1 + e4) ... (1 + е2П) 2n
n^m (1 - e2)(1 + e2)(1 + e4) ... (1 + e2")
2п+1 гл \
e2 (1 - e) = lim-—n— = e - 1.
n^m 1 - e2n+1
Надеемся, что рассмотренные задачи помогут сформировать идею решения, послужат хорошим тренингом при подготовке к математической олимпиаде.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №04-4/2017 ISSN 2410-6070_
Список использованной литературы:
1. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е. Применение дифференциального исчисления при решении задач с параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар. науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.
2. Апайчева Л.А. , Шувалова Л.Е. Л.А. Методические приемы решения геометрических задач с помощью дифференциального исчисления. /Инновационная наука: междунар. науч. журнал: Аэтерна, №03-2/ 2017. С. 10-12.
3. i-olymp.ru
4. Краснов М.Л., Киселев А.И.,.Макаренко Г.И , Шикин Е.В. , Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.3. Изд. 3-е.-М.: ЕдиториалУРСС. 2010.-240 с.
© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2017
УДК 519.62:517.977.5
А.А. Баймуратов
магистрант 2 курса Факультет математики и информационных технологий Оренбургский государственный университет Научный руководитель: Л.М. Анциферова к.п.н., старший преподаватель кафедры прикладной математики Оренбургский государственный университет Г. Оренбург, Российская Федерация
МОДЕЛЬ МЮЛЛЕРА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕСТОВЫМИ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РЕКЛАМНЫМИ РЕШЕНИЯМИ
Аннотация
В работе использована модель Мюллера для описания различных типов клиентов и потоков между этими группами. На основе принципа максимума Понтрягина численно решена задача оптимального управления рекламой, состоящая в оптимизации потока прибыли.
Ключевые слова
Математическая модель, принцип максимума Понтрягина, оптимальное управление, итерационный метод, рекламная модель.
Мюллер представляет динамическую модель нового внедренного продукта основанного на диффузионном процессе, который создает различие между двумя типами рекламных целей: увеличение осознания и изменения предрасположенности купить [4]. Рынок, размером N поделен как
N = х^) + х2^) + х3^) , (1)
где х1(?) - число людей, которые не знают о существовании продукта, х2(?)- число клиентов, которые купили продукт,
Хз^) - число потенциальных клиентов, которые знают о продукте, но еще не купили его.
Для того, чтобы повлиять на вероятности перехода между этими тремя группами, фирма может выбрать два типа рекламы:
их - осведомительная реклама, которая информирует клиентов о продукте и таким образом переводит его из не знающей группы Х1 в потенциальную группу хз;
