Алгоритмизация решения задач с параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.2(07)

Л.А.Апайчева

кандидат ф.-м. наук, доцент НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация Л.Е. Шувалова старший преподаватель НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Аннотация

Предлагается алгоритм решения экстремальной задачи с параметром, сочетающий графическую иллюстрацию задачи и аналитический способ, использующий геометрический смысл производной, и алгоритм решения уравнения с параметром, основанный на функционально-графическом способе исследования. Рассмотренные алгоритмы могут быть применены при решении задач из различных областей науки и техники.

Ключевые слова

Задачи с параметрами; алгоритм; экстремальная задача.

Моделирование большого числа проблем теории упругости, химической технологии, теории массового обслуживания, физики и других областей науки и техники приводит к необходимости решения задач с параметрами. Задачи с параметрами различны по структуре и являются наиболее трудными, так как каждая из таких задач представляет собой целый класс задач, для которых должно быть получено решение. Решение задач с параметрами занятие непростое, требующее серьезных размышлений, наличия высокой математической культуры, умения наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать полученные результаты. Исследование задач с параметрами играет важную роль в формировании логического мышления, в развитии исследовательских навыков студентов [2]. При решении задач с параметрами сначала надо провести анализ самой задачи, при этом необходимо уметь классифицировать значения параметра, уметь переходить от исходной задачи к равносильной ей, использовать наиболее рациональные методы решения [4]. За последние годы издано достаточно много научной литературы по данной теме. К сожалению, во многих работах рассматриваются частные случаи, где не делается упор на логику решения задач. Пособия [1], [4] отличаются систематичностью изложения теории параметрических задач. Наиболее полное изложение материала представлено в книге [1], которая характеризуется как широким спектром рассматриваемых задач, так и различными методами их решения. В статье [3] предложены алгоритмы решения уравнений, содержащих неизвестную в основании и показателе степени.

В статье [7] представлен алгоритм вычисления площади сечения многогранника. Рассмотренную математическую модель вычисления площади сечения можно считать универсальной. Она подходит к большинству задач на вычисление площади сечений. В статье [6] разработан алгоритм численного решения одного класса сингулярных интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании прикладных задач.

В данной работе разбираются две задачи, на основании которых выстраивается алгоритм рассуждений, приводящий к поиску решения.

Задача 1. На координатной плоскости даны точки M(2; -3) и N(4;0). Найти наименьшее возможное

значение параметра h(h > -5) при котором ближайшая к графику функции y = *Jxr + h точка лежит на отрезке MN.

Для решения данной экстремальной задачи составим алгоритм, сочетающий графическую иллюстрацию задачи и аналитический способ решения. С этой целью рассмотрим графики функции У = 4х + h и прямой, проходящей через точки M(2;-3) и N(4;0) (рис. 1).

y

! >

4

3 2 1

Рисунок - 1

Уравнение прямой, проходящей через точки М и Ы, имеет вид

У = 1,5х-6 (1)

Проведем касательную к кривой у = а/Х7+к параллельно прямой (1). Исходя из геометрического смысла производной, получаем у' = 1,5= 1,5 .

Отсюда находим точку А(1;1+к) на данной кривой, которая является ближайшей к отрезку МЫ. Для определения параметра к проведем через данную точку А нормаль к кривой у = -[хг + к. Уравнение нормали к кривой у = / (х) имеет вид

у=/ (х„) - Х- х

f'( Хо)

Запишем уравнение нормали к данной кривой:

2 5

У = —х +---+ к (2)

3 3 ( )

Далее найдем точку В пересечения нормали (2) и прямой (1). Имеем

6 , 46 х = — к+— 13 13 '

По условию задачи ближайшая к графику функции у = + к искомая точка В должна лежать на отрезке МЫ, поэтому должно выполняться условие . 6 , 46 . 10 ,

2<— к +--<4. Отсюда имеем--^к < 1 .Таким образом, наименьшее возможное значение

13 13 3 V ,

. 10

параметра: к = —— . Итак, ближайшая к графику функции у = -4Х+к точка В совпадает с точкой М.

В рассмотренной задаче пришлось проводить несложные, но последовательные рассуждения, которые выстраиваются в логическую схему.

1. Вычисление производной функции у = /(х);

2. Определение точки А (в которой касательная к кривой / (х) параллельна прямой МЫ) из уравнения /'(х) = к, где к - угловой коэффициент прямой МЫ;

3. Определение точки пересечения нормали к кривой у = /(х) (в точке А и прямой, проведенной через точки МЫ) из системы алгебраических уравнений.

Ниже предлагается еще одна задача, для которой применение графической интерпретации недостаточно.

Задача 2. Определить, при каких значениях а уравнение

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070

5|x - 3а| + \x - a2\ + 4x = а (3)

не имеет решения.

Поставленную задачу будем решать функционально-графическим способом, использующим свойства

функций, содержащихся в уравнении. Проведем исследование функции f (x) = 5 x - 3а| + |x - а2| + 4x - а на

экстремум. Имеем

ru Ч с x-3а x - а2 f'(x) = 5-т + ,-- + 4

;-3а|

x - a

Найдем критические точки: х = 3а, х = аг. Рассмотрим 2 случая расположения критических точек в зависимости от параметра а .

1 случай. Пусть выполняется условие 3а < а2. Определим участки монотонности и экстремумы функции / (х) (рис. 2).

► .V

За а

Рисунок - 2

Значит, в точке х = 3а функция f (х) принимает минимальное значение

f (3a) = |3a — a2\ + 11a .

Для определения искомых значений параметра a находим решение неравенства f (3a) > 0 или |3a — a2| >—11a .

Имеем совокупность неравенств

3a — a2 > —11a "a2 — 14a < 0"

или

3a — a2 < 11a a2 + 8 a > 0

Таким образом, в этом случае при а е (-со;-8) и(0;со) уравнение (3) не имеет решения. 2 случай. Пусть выполняется условие: 3а > аг. Определим участки монотонности функции /(х) (рис.

3).

Рисунок - 3

Следовательно, на промежутке (а2; 3а) функция / (х) принимает постоянные значения, и график / (х) имеет вид (рис. 4).

Рисунок - 4

Для того, чтобы уравнение (3) не имело решения, необходимо выполнение условия /(а2) > 0 или 5|а2-3а| + 4а2- а > 0 .

Найдем все значения параметра а , при которых выполняется неравенство

5|а2 — 3а| > а — 4а2.

Отсюда имеем совокупность неравенств

9а2 -16а>0" а2 -14а <0

Таким образом, получаем

~а е (-оо; -8) 11(0; оо) а е(0; 14)

Поэтому а е (-оо; 0) и (0; оо).

Теперь, объединяя случаи 1 - 2, делаем вывод, что уравнение (3) не имеет решения при всех а ф 0 . Рассмотренные выше примеры и описанные алгоритмы могут быть полезными при решении задач прикладной математики. Прикладная направленность обучения математике включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с другими учебными курсами [5]. Специалистам в любой отрасли научной деятельности необходимо иметь навыки решения таких задач.

Список использованной литературы: 1 .В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике.-3-е изд. доработ. Мн: ООО " Асар", 2004. 464 с.

2. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Применение дифференциального исчисления при решении задач с параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар. науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.

3. Л.А.Апайчева, Л.Е.Шувалова. Методические приемы решений уравнений, содержащих неизвестную в основании и показателе степени //Вестник ТПГУ, 2015. Вып. 1 (154). С. 51-54.

4. В.С. Крамор. Задачи с параметрами и методы их решения. - М. : «Мир и образование», 2007. 416 с.

5. Макусева, Т.Г. Математика в профильном обучении в школе // Наука и школа. №6. 2010. С.60-63.

6. Л.Е. Шувалова, Л.А. Апайчева. Приближенное решение одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений /Вестник Казанского государственного технологического университета, посвященный 50-летию НХТИ. Казань: КНИТУ, 2013.№ 12. С. 289-292.

7 .Л.Е.Шувалова, М.В. Ксенафонтова. Алгоритм управления математической моделью вычисления площадей сечения /Вестник Казанского государственного технологического университета. Казань: КНИТУ, 2014. №5. Т.17. С. 286-289.

© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2016

5a2 — 15a > a — 4a2

или

5a2 — 15a < 4a2 — a

УДК [531.62+532.6+536.421.4]:517.9

В.В. Бублик, к.ф.-м.н. Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирский национальный исследовательский государственный университет

А.Н. Черепанов, д.ф.-м.н., профессор Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН г. Новосибирск, Российская Федерация

УЧЁТ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ЖИДКОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ КАПЛИ ПОСЛЕ ЕЁ СОУДАРЕНИЯ С ПЛОСКОЙ ПОРИСТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Аннотация

На основе интегральных законов сохранения массы и энергии построена математическая численно-