Методические приемы решения геометрических задач с помощью дифференциального исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.2

Л.А.Апайчева

кандидат ф.-м. наук, доцент

НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация

Л.Е. Шувалова

старший преподаватель

НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Российская Федерация

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Аннотация

Рассматриваются некоторые оригинальные прикладные задачи с использованием теории дифференциального исчисления функции одной переменной.

В связи с внедрением новых требований ФГОС, очень важны методические разработки, которые способствовали бы формированию компетенций, имеющих прикладную направленность. Поэтому особую актуальность приобретают задачи, иллюстрирующие теорию дифференциального исчисления, способствующие более глубокому пониманию содержания математического анализа. В наших статьях [1] -[2] предложен способ решения неравенства с параметром и алгоритм решения экстремальной задачи с параметром, сочетающий графическую иллюстрацию задачи и аналитический способ, использующий геометрический смысл производной.

В материалах данной статьи представлены некоторые редкие геометрические задачи [3], требующие умения построения касательных к кривым, нахождения экстремума функции. Главная цель - познакомить студентов с новыми идеями и приемами решения нестандартных задач, высказать полезные соображения, которые расширяют возможности их профессионального применения.

Задача 1. Найти расстояние между двумя общими касательными к графикам функций у = х и у = X3 -3х2 + 3х + 2.

Решение. Уравнение касательной для функции у = f (х) в точке М (х0, у0) имеет вид у = kx + Ь

Ключевые слова

Касательная к кривой; экстремум функции.

или

Ук = f (xo) + f'(xo)(x - xö).

(1)

Li У

Найдем уравнение касательной к кривой у = X3 в точке М3(х1,х^) (рис.1):

у® = х33 + 3х32 (х - х1) или уЧ = 3х12х - 2х33. (2)

Здесь ^ = 3х32, Ь3 = —2х33. Уравнение касательной для функции у = х3 — 3х2 + 3х + 2 в точке

М2( х2;( х2 — 1)3 + 3) принимает вид:

у(2 = 3( х2 — 1)2 х + (—2х23 + 3х2 + 2)

Рис.1

Здесь k2 = 3(x2 — 1)2 , b2 = —2x2 + 3x2 + 2. Поскольку обе касательные к двум кривым должны совпадать между собой, поэтому должны выполняться условия:

|3xf = 3(-1)2, [- 2x13 = -2x2 + 3x2 + 2.

(4)

Из системы уравнений (4) найдем абсциссы точек касания общих касательных к двум данным кривым. Полагая х1 = х2 — 1, систему (4) запишем в виде:

X1 Х2 1,

Отсюда имеем 2 решения:

I ("x2 1) ЗХ2

Гх1 = -1, fx1 = 1,

или

|x1 = x2 - 1, [- 3x22 + 6x2 = 0.

x2 = 0

I x2 2.

Теперь с помощью формулы (2) получаем уравнения двух касательных к параболе у = X3 в точках

М, (1,1) и Ы-, (—1,1) , которые имеют вид

1 7 ^ соответственно:

3х — у — 2 = 0 и 3х — у + 2 = 0. Эти прямые в силу соотношений (4) являются общими касательными для обеих парабол. Далее найдем

|3 • 1 — 1 -1 + 2|_2-Л0

искомое расстояние между ними: d =

J L У=х2

C B

Л2 .

0 1

A /

79+1 5 '

Задача 2. Касательная к параболе у = х2 проведена так, что абсцисса х0 точки касания принадлежит промежутку [1;2]. Определить точку х0, при которой треугольник, ограниченный касательной, осью ординат и прямой у = х^ имеет наибольшую площадь.

Решение. С помощью формулы (1) находим уравнение касательной к параболе у = х2 в точке В(х0; х^) : у = 2х0х — х^

Касательная пересекается с осью ОУ в точке А(0;—х^). Определим

площадь ДАВС (рис.2):

S = 2 x0 • 2x0 = x0 .

_ v3

Рис.2

Находим наибольшее значение функции Б = х3 на промежутке [1;2]. Поскольку S' = 3х = 0, х0 = 0 £ [1;2], определим 5 (1) = 1, 5 (2) = 8

Итак, наибольшая площадь ДАВС при x0 = 2: maX[12] S(x) = S(2) = 8

Задача 3. Вершины бумажного треугольника находятся в точках (0;0), (4;0) и (0;3). В этом треугольнике провели вертикальную линию параллельно оси ОУ и перегнули ее по этой линии таким

образом, что получился многоугольник. Найти наименьшую возможную площадь этого многоугольника.

Решение. Требуется вычислить площадь многоугольника MNKBD (рис.3).

Из подобия треугольников COD и NMD находим

MN 3 3,. л

-= ; MN = -(4 - x).

4 - x 4 4

Рис.3

Далее из подобия треугольников ABD и COD определяем

3 3 3

AB = -(4 - 2x) = 3 —x = 3 —x ; AK = 3.

4 2 4

Вычислим площади трапеции MNKA и треугольника ABD соответственно:

13 3 2

Smn =— x(3 — x + 3) = 3x — x , тр 2 4 8

1 ~ 3 _ ч _ 3 ч , , 3

Smbd = 2(3 - 2 x)(4 - 2x) = (3 - 2 x)(2 - x) = 6 - 6x + - x1

Площадь многоугольника MNKBL принимает вид

S = Smp + SA.Bn = 3х-3х2 + 6-6x + 3x2 = — x2 -3x + 6.

тр А4ВП g 2 8

Исследуем данную функцию на экстремум:

9 4 „9

S' = — x — 3 = 0, x0 = — . Поскольку S"(x) = — > 0, то находим наименьшую возможную площадь

, 4 9 16 „

Smn^) = 6 — 3 ■- +---= 4 кв.ед.

3 3 8 9

Предлагаемые к рассмотрению задачи могут способствовать более эффективному пониманию математического анализа. Расширяют возможности применения их в практической деятельности. Список использованной литературы:

1. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Применение дифференциального исчисления при решении задач с параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар. науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.

2. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Алгоритмизация решения задач с параметрами. /Инновационная наука: междунар. науч. журнал: Аэтерна, №10/ 2016. Часть 3. С.8-11.

3. I-olymp.ru

© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2017

УДК 524.851

Дорофеев В. Ю.,

канд. физ.-мат. н., доцент, Лаборатория теоретической физики им. А. А. Фридмана,

Санкт-Петербург, Россия.

НЕЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ НА АЛГЕБРЕ ОКТОНИОНОВ В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ

Аннотация

Рассматриваются поля на алгебре октав Кэли в ранней Вселенной, на которых получены уравнения движения для векторных полей. Показано, что эти уравнения нелинейные типа «лямбда фи в четвёртой» вида инстантонов, для которых найден класс периодических решений и их период. Показано, что эти решения могут интерпретироваться как решения движущихся частиц с некоторой массой.

Ключевые слова Инстантоны, октонионы, теория Вайнберга-Салама, неабелева группа.

Введение. На инстантонные решения как решения, локализованные во времени, и солитонные решения как решения, локализованные в пространстве, в 70-80-х годах прошлого столетия смотрели с