Нелинейное решение на алгебре октонионов в ранней Вселенной Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070

3 3 3

AB = — (4 - 2x) = 3 —x = 3 —x ; AK = 3.

4 2 4

Вычислим площади трапеции MNKA и треугольника ABD соответственно:

13 3 2

Smn =— x(3 — x + 3) = 3x — x , тр 2 4 8

1 ~ 3 w, ~ . ~ 3 ч „ „ 3

Smbd = 2(3 - 2 x)(4 - 2x) = (3 - 2 x)(2 - x) = 6 - 6x + - x1

Площадь многоугольника MNKBL принимает вид

S = Smp + SA.Bn = 3х-3х2 + 6-6x + 3x2 = — x2 -3x + 6.

тр А4ВП g 2 8

Исследуем данную функцию на экстремум:

9 4 „9

S' = — x — 3 = 0, x0 = — . Поскольку S"(x) = — > 0, то находим наименьшую возможную площадь

, 4 9 16 „

Smn(-) = 6 — 3 •- +---= 4 кв.ед.

3 3 8 9

Предлагаемые к рассмотрению задачи могут способствовать более эффективному пониманию математического анализа. Расширяют возможности применения их в практической деятельности. Список использованной литературы:

1. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Применение дифференциального исчисления при решении задач с параметрами / Перспективы развития научных исследований в 21 веке: сборник материалов 6-й междунар. науч.-практ. конф., (г. Махачкала, 31 октября 2014 г.) . Махачкала: ООО «Апробация», 2014. С 7 -9.

2. Л.А. Апайчева, Л.Е. Шувалова. Алгоритмизация решения задач с параметрами. /Инновационная наука: междунар. науч. журнал: Аэтерна, №10/ 2016. Часть 3. С.8-11.

3. I-olymp.ru

© Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., 2017

УДК 524.851

Дорофеев В. Ю.,

канд. физ.-мат. н., доцент, Лаборатория теоретической физики им. А. А. Фридмана,

Санкт-Петербург, Россия.

НЕЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ НА АЛГЕБРЕ ОКТОНИОНОВ В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ

Аннотация

Рассматриваются поля на алгебре октав Кэли в ранней Вселенной, на которых получены уравнения движения для векторных полей. Показано, что эти уравнения нелинейные типа «лямбда фи в четвёртой» вида инстантонов, для которых найден класс периодических решений и их период. Показано, что эти решения могут интерпретироваться как решения движущихся частиц с некоторой массой.

Ключевые слова Инстантоны, октонионы, теория Вайнберга-Салама, неабелева группа.

Введение. На инстантонные решения как решения, локализованные во времени, и солитонные решения как решения, локализованные в пространстве, в 70-80-х годах прошлого столетия смотрели с

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_

надеждой получить не расплывающиеся волновые пакеты и тем самым связать квантовую и классическую теории. Оказывается, что уравнения инстантонного вида возникают для векторных полей на неассоциативной алгебре [1] и они являются периодическими [2], а нелинейные взаимодействия можно понимать как проявление массы [3].

Неассоциативность как самодействие. В [4] рассмотрено обобщение лагранжиана Вайнберга-Салама теории слабых взаимодействий на алгебру октонионов и было показано, что лагранжиан векторного поля может иметь следующий вид:

L = L(SU(N))--aIJKL(ÄaAJb — ÄbAJa)(Aa(K)Äb(L) — Ab(K)Aa(L)) (i)

4^2

где L(SU(N)) - стандартная часть лагранжиана на SU(N)-алгебре (по повторяю-

IJKL I J K L

щимся значкам суммируется), a =< e • e • e • e > - коэффициент

неассоциативности, равный произведению • базисных элементов e1, I = 4,5,6,7 на неассоциативной алгебре.

Варьирование лагранжиана (1) по полю Aa1 приводит к следующим уравнениям Эйлера-Лагранжа

LAt1 — aIJKLAJaAKAb (L) = 0 (2)

a ab

где введено обозначение [2]: LAa = Vb Fba = д bFba — [ Ä, Fba ] =

= 5 ь а Ч а а Ч + [ ль, а ьла -а аль + [ ль, ла ]] -аь [ ль, ла ] (3)

Казалось бы, можно предположить, что в ранней Вселенной должны быть сильные флуктуации пространственно-временной пены согласно подходу де Витта. С другой стороны, ранняя Вселенная характеризуется большой плотностью материи в малом объёме, что должно сильно подавлять любые неоднородности. В качестве примера можно привести нейтронную звезду: нейтронная звезда также характеризуется чрезвычайно высокой плотностью, близкой к плотности малой чёрной дыры, но не вращающаяся нейтронная звезда, как известно, обладает идеальной сферической поверхностью. Поэтому нас интересуют существующие максимально симметричные решения (2).

Найдём решения (2) в поперечной калибровке ло = 0, ла1 (х) = Па1 л(х). Здесь введено обозначение для направляющих косинусов (паг)2= 1. Тогда дала1 = 0 и уравнение (3) принимает вид

аг'а, х) + ал3 ^, х) = 0, г = 0,1, 2, 3 (4)

Постоянная а отражает неассоциативный характер взаимодействующих полей и принимает значения либо положительные, либо отрицательные, либо - ноль. Отрицательное значение коэффициента а приводит к экспоненциально затухающим или растущим решениям, что не представляет интерес. Равенство коэффициента а нулю приводит к уравнениям без самодействия, что также неинтересно. Поэтому ограничимся случаем положительного значения а. Введём ещё одно упрощающее обозначение

л(х) = ,— у(х) . В результате приходим к уравнению векторного поля с самодействием, эквивалентным л/а

потенциалу «лямбда фи в четвёртой».

Периодичность инстантонных решений. Рассмотрим уравнение (4) в случае, если нет зависимости от координат [3] для у(х).

УХ х) + У 3( х) = 0 (5)

соответствующее потенциалу У(ф) = ф4 инстантона d2ф/dt2 + dУ/dф = 0.

После умножения (5) на у' и интегрирования получим

^ ^ 1

2У2 +У = >7 = +~Т2 Х — X

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_

Таким образом решение y(x) - ограниченная функция \y(x)\ < C (C > 0). В точках максимума и минимума (y(x) = C, y(x) = — C) производная обращается в ноль. Точный вид решений (1) даётся эллиптическими функциями.

1.0

Рисунок 1

Схожесть решений (6) и функций f(x) = sin x и f(x) = cos x, для которыхf'2(x)+f(x)=1, - очевидна.

Обозначим решение (6) с начальными условиями y(0) = 0, y' (0) = 1/ л/2 как sitn(x), а решение (6) с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=0 как cots(x), для которых период функций при C = 1 равен

(5/4)

T =

У1

C sin

Г (3/4) 2лСх

7.4163 > 2^

а сами функции близки к

У 2

С cos

2лСх

т т

Задавая начальные условия, аналогичные тригонометрическому синусу и косинусу, с помощью пакета Математика 11.0 (Лицензия № 3460-3516) можно построить графики функции cots(x) и sitn(x) в сравнении с соответствующими тригонометрическими функциями при С = 1 (см. рисунок 1).

Массивность инстантонных решений. Вернёмся к (4), которые представим в виде волн, движущихся

в направлении i k / | k | . Вводя фазу волны ф, представим функцию у(, X) как y(k0t + kx) = у(ф) и приходим к уравнению

(k02 - k 0y" (?) + y» = 0

_ 2

3 ,

''О ^ и фф VФ 1 ^ ф) = " (7)

Коэффициент перед второй производной может быть как положительным так и отрицательным. Но его отрицательное значение приводит к экспоненциально растущим и убывающим решениям, поэтому их рассматривать не будем. Не интересен случай и равенства его нулю. Таким образом можно ввести новую

к2 = ш2 > 0

величину к0 к = ш > 0 . Избавиться от коэффициента перед второй производной можно двумя

путями: сделать замену переменной с соответствующим коэффициентом или ввести коэффициент перед самой функцией.

Есть физический момент в такого рода подходах. Всякие переменные в физике размерность либо имеют, либо не имеют. По определению мы считаем физические координаты как размерные величины. По этой причине в уравнении (7) функция у(х) также должна быть размерной величиной, причём обратной для координаты. Естественно считать функцию зависящей от безразмерной переменной. По этой причине логично считать переменную ф безразмерной. Но тогда остаётся один путь - ввести коэффициент перед функцией у(х), а не под знак аргумента этой функции. Таким образом считаем

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_

y(<) = д/k02 - k2 • z(<) = m • z(<) = m • z(k0t - kx) (8)

и Z' (<) + Z (<) = 0 . Обычно выражение k0 - k = m > 0 даёт квадрат массы. Но это в случае гармонических колебаний. Так как у нас колебания не гармонические, то естественна аналогия:

^ > ~ ^ > ~ ^C/\t kx

y(k0t - kx) = m • sitn(k0t - kx) ^ m • sin ° ^— (9)

k0 k ~2 Так как должно быть 2 , . 2 - rr 2 , . 2 = m .

T0 /4л T0 / 4ж

2

то k0 = 0 2 m + k . Таким образом, если речь идёт о движущихся частицах энергии ko и

4^

импульсом

k , удовлетворяющих уравнению (7), то их масса равна

m = 2жу!k02 - k2 / T0 (10)

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержки фонда РФФИ, Грант № 15-02 06818 «Суперколлайдеры элементарных частиц во Вселенной». Список использованной литературы:

1. Дорофеев В. Ю. Неассоциативность как самодействие. // Международная научно-практическая конференция «Новая наука: от идеи к результату». Сургут: АМИ, 22 февраля 2017, с. 26-28.

2. Дорофеев В. Ю., Сорокина О. А. Инстантонное решение как перио-дическое. // Международная научно-практическая конференция «Новая наука: от идеи к результату». Сургут: АМИ, 22 февраля 2017, с. 22-24.

3. Дорофеев В. Ю. Инстантонное решение как массивное. // Международная научно-практическая конференция «Новая наука: от идеи к результату». Сургут: АМИ, 22 февраля 2017, с. 24-26.

4. Дорофеев В. Ю. Метод алгебраического расширения лагранжиана слабых взаимодействий на неассоциативную алгебру. Известия ВУЗов. Математика. т. 11, с. 3-11, 2011. (www.arxiv.org: 0908.3247у1, [таШ-рЦ).

© Дорофеев В. Ю.. 2017.

УДК 524.85

А.В. Емельянов

д.т.н.,профессор

Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

И.А. Емельянов к.т.н.,доцент

Калужский государственный университет им. К.Э.Циолковского г. Калуга, Российская Федерация

А РАСШИРЯЕТСЯ ЛИ ВСЕЛЕННАЯ? Аннотация

Заново анализируются опытные факты, на основании которых сначала был сделан вывод о равномерном расширении Вселенной, а спустя восемь десятилетий - об ее ускоренном расширении с введением гипотезы «темной энергии». Обнаружено, что красное смещение в спектрах далеких галактик не