Структурное представление обратного оператора в банаховом простанстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория управления

УДК 681.5:681.3 В. К. Тян

СТРУКТУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА В БАНАХОВОМ ПРОСТАНСТВЕ

Рассмотрена задача построения обратного оператора уравнения Лх = и (и є и,2 є Р; и,Р — метрические пространства). Предложен алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представлении обратных операторов в виде периодической структуры. Сформулированы необходимые и достаточные условия фундаментальности периодической структуры и показано, что при его выполнении оператор периодической структуры сходится к обратному оператору.

Как известно, многие задачи естествознания описываются операторным уравнением вида

Лх = и, и є и, 2 є Р , (1)

где и, Р — метрические пространства с соответствующими метриками ри (и1, и2) и рР (х1, г2); Л — некоторый непрерывный оператор. Уравнение (1) фактически описывает причинноследственную связь, а именно, и есть следствие, обусловленное действием оператора Л на причину г . При решении обратных задач, т.е. нахождение причины г по ее следствию и, возникают ряд серьезных математических проблем [1—3], центральной из которых является то, что обратный оператор Л-, заданный на всей области определения, не является непрерывным. Это стало причиной формулировки Ж. Адамаром понятия корректной постановки задач математической физики.

Фактически, любая практическая задача, связанная с экспериментальным получением исходных данных, не укладывается в рамки корректной постановки задач [2, 3]. Известен неоценимый вклад отечественных ученых в решение обратных задач. А. Н. Тихонов сформулировал понятие условно корректной постановки, из которой следуют следующие утверждения. Пусть ит — точное значение, а соответствующее точное решение операторного уравнения Лгт = ит принадлежит компакту М . Тогда обратный оператор Л-1 непрерывен на паре множеств: компакте М и его образе N, и для любого и8 є N приближенное решение г8 можно представить в виде

= Л-\ . (2)

Причем в метрике пространства и : и8 ® ит при 8 ® 0 (ри (ит, и8) < 8) . Разработанные алгоритмы решения задач в условно корректной постановке по А. Н. Тихонову широко используются на практике при решении важнейших задач, которые не были решены на базе существовавшего математического инструментария. Перечислим некоторые из этих задач [2, 3]. Это обратные задачи электромагнитных методов геофизики, гравиметрии и магнитометрии, астрофизики, обработки фотоизображений, электродинамики и др. Актуальность решения перечисленных задач неоспорима, что подтверждает неоценимый вклад А. Н. Тихонова и его коллег в теорию и практику решения некорректных и обратных задач.

Как отмечается в [2], характерным признаком обратных задач является их физическая не-реализуемость. В некоторых приложения важен именно этот момент. Например, в теории управления решение ряда задач требует именно выработки некоторых управляющих сигналов в реальном времени, которые являются решением обратной задачи операторного уравнения (1). Эти задачи относятся к разделу динамической компенсации [4, 5]. Это позволило бы на качественно новом уровне реализовать компенсационные системы и синтезировать адаптивные системы, проводить идентификацию в реальном темпе времени и другие важные задачи управления, т.е. реализовать принцип динамической компенсации, с которым в настоящее время связаны некоторые нерешенные проблемы.

Реализация оптимальных нелинейных систем при случайных воздействиях также связан с проблемами принципа динамической компенсации. Аналогичная проблема возникает при использовании метода проекционно-матричных операторов корреляционного анализа стационар-

ных и нестационарных линейных систем автоматического управления. Это связано с усреднением стохастических матричных операторов, связывающих проекционные характеристики входного и выходного сигналов и определенные на базе матричных операторов интегрирования и умножения [4].

Упомянутые выше задачи, а также ряд других задач, по своей сути относятся к классу некорректных задач и их решение требует общефункционального подхода. В данной работе предлагается алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представлении обратных операторов в виде периодической структуры, схематически представленной на рисунке.

С-)

<■+)

і

Г

(-)

ли,

Ао Н » .4

(+)

(+)

<■>

Аі? * ► А

Структурное представление обратного оператора А 1

Здесь I — тождественный оператор, А — некоторый непрерывный оператор, отображающий множество F в и.

Введем следующие понятия.

Определение 1. Оператор А0 называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора А выполняется условие ||1 — АА01| < 1.

Определение 2. Структура, представленная на рисунке называется фундаментальной, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве.

Пусть в (1) и, F — банаховы пространства.

Лемма. Для того, чтобы представленная на рисунке периодическая структуры была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы оператор А0 являлся стабилизирующим оператором.

Доказательство. Данная структура, содержащая к периодических ячеек, описывается следующей системой операторных уравнений:

Ди0 = А0и ; Д1 = [I — АА0]и ; ДЦ = А0Д1; Д2 = 1Д1 — АДи1; Ди2 = А0Д2;

А * =1А *-1 - ААик ; Аик = А А к. (3)

Из системы (3) нетрудно получить операторное выражение для структуры длиной к :

2к = 4)

и.

(4)

Тогда оператор, описывающий представленную на рисунке периодическую структуру длиной к , имеет вид

Ак = А0

Структура с (к +1) ячейкой описывается следующим оператором:

—і

Ак+1 = А) I+ Х(I — ААо)

_ І=1

Найдем разность операторов

ДАк = Ак+1 — Ак . (7)

Подставив (5), (6) в (7), после преобразований получим

ДАк = (I — ААо)к+1 . (8)

Из (8) следует, что необходимым и достаточным условием фундаментальности периодической структуры, представленной на рисунке, является условие

III — АЧ|| < 1. (9)

Таким образом, лемма доказана.

Теорема. При выполнении условия фундаментальности периодической структуры (9) фундаментальная структура является ограниченной, а оператор периодической структуры сходится к обратному оператору А—1 .

Доказательство. На основании (5) запишем AAk = AA(

I + £(I - AAoy

или

AAk = AAoX(I-AAo) . (10)

i=0

К произведению операторов AAo прибавим и отнимем тождественный оператор I, полу-

чим

AAk =X[(I - AAo) - (I - AAo)i+1 ]. (11)

i=o

После суммирования окончательно имеем

AAk = I - [I - A41k+1 • (12)

При соблюдении условия (9) выполняются следующие неравенства [7]:

X| [I - AAo ГI ^Xl |I - AAol Iі <¥. (13)

i= o i=o

На основании полноты рассматриваемых пространств и сходимости ряда (13) имеем

XI |[I - AAor||, (14)

i=o

из (12) следует, что оператор AAk является ограниченным. Так как оператор A является ограниченным, то, следовательно, оператор Ak является так же ограниченным при любом значении k .

Таким образом, первая часть теоремы об ограниченности фундаментальной структуры доказана. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Предел суммы (12) с учетом (9) примет вид: lim AAk = I при k . Следовательно, A¥ = A- .

Что и требовалось доказать.

Анализ периодической структуры, представленной на рисунке, показывает, что для получения приближенного значения обратного оператора использован прямой оператор. А это дает возможность построения физически реализуемого обратного оператора. Полученные результаты могут использованы во многих задачах теории управления и позволяют синтезировать системы управления, работающие в реальном масштабе времени. Эффективность периодических структур продемонстрирована в теории управления и в ряде других работ [8-11].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979. 224 с.

2. Некорректные задачи естествознания / Под ред. А. Н. Тихонова, А. В. Гончарского. М.: МГУ, 1987. 3o4 с.

3. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 199o. 264 с.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова и Н. Д. Егупова. М.: МГТУ, 2oo4. 64o с.

5. Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. 642 с.

6. Тихонов А. Н., Гончаровский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 547 с.

8. Рапопорт Э. Я., Тян В. К. Достижение заданной инвариантности в стохастических системах комбинированного управления / Куйб. полит. ин-т. Деп. В ВИНИТИ 20.06.89, № 4089-В89. 9 с.

9. Тян В. К Решение интегрального уравнения первого рода типа свертки в некорректных задачах теории управления // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки, 2006. Вып. 40. С. 50-56.

10. Тян В. К Теория периодических структур в некорректных задачах синтеза инвариантных и автономных систем управления // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки, 2006. Вып. 41. С. 47-54.

11. Тян В. К Структурное представление решения системы линейных алгебраических уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2006. Вып. 43. С.158-162.

Поступила 16.08.2006 г.

Письмо в редакцию

А. Ф. Заусаев

Самарский государственный технический университет

В статье «Теория движения N материальных тел, основанная на новом принципе взаимодействия», опубликованной в Вестнике Самарского государственного технического университета (Серия «Физико-математические науки», выпуск 43, 2006) на стр. 135 обнаружены опечатки.

Формулы (18) должны иметь следующий вид:

dt2 , V d ^ _у і Д. 1 0 { Г, - Y ] 01 Д2 +Д.^(Д3 - г03/.) + ^(Д3 -г03/.)2 3а»л2,

dt2 ~ d2 г _у Д. V 1 0 ( г - гЛ і Д2 +Д.^(Д3 -г3,) + ^(Д3 -г3,)2 3а»л2,

dt2 " Д. Д2 +Д! ^(Д3 - г-0,) + ^(Д3 - ^ )2

(18)

Поступила 10.09.2006 г.