CC BY
82
Н-.Ч ТЕХНОЛОГИИ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ ПО ДИАГРАММАМ СОСТОЯНИЙ
Литвинов А.И.,
Военная академия связи, litvinovaleks@mail.ru
Ключевые слова:
условия некорректности, операторное уравнение, существование решения, единственность, устойчивость, электрооборудование, техническое состояние, распознавание, идентификация.
АННОТАЦИЯ
Статья посвящена методам построения устойчивых приближенных решений широкого класса некорректно поставленных математических задач. К этому классу задач относится большой круг, так называемых обратных задач, к которым приводят про -блемы обработки и интерпретации экспериментальных наблюдений. Освещаются вопросы нахождения обобщенных решений обратных задач, так как в классической постановке эти задачи могут не иметь решений. Изложены основные подходы, связанные с обеспечением устойчивости распознавания диаграмм состояния при идентификации технического состояния электрооборудования систем электроснабжения специального назначения, с помощью тококинетического метода контроля и диагностики. Указанны основные условия некорректности обратных задач. Отражена постановка некоторых актуальных некорректных задач в линейных пространствах. Описаны трудности, возникающие при исследовании таких задач. Рассмотрены сформулированные французским математиком Адамаром три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Данные условия известны как условия корректности по Адамару и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Сформулирована основная задача, подлежащая исследованию, заключающаяся в построении по приближенным данным, такой последовательности приближенных решений, которая сходится в некотором пространстве к точному решению уравнения, при условии сходимости исходных данных. Рассмотрен пример решения некорректной задачи на примере решения задач по распознаванию диаграмм состояния, описывающих техническое состояние контролируемого электрооборудования. Для повышения устойчивости решения задачи распознавания диаграмм состояния предложено использовать методы регуляризации Тихонова. Использование регуляризатора позволяет получить единственное, в некотором смысле «наилучшее» решение. В качестве примера рассмотрена задача дихотомии с помощью построения разделяющей гиперплоскости, при условии, что классы линейно отделимы. Следствием решения этой задачи является построение континуума гиперплоскостей верно классифицирующих все объекты выборки, использование данного регуляризатора приводит к построению оптимальной разделяющей гиперплоскости, которая единственна. Сформулированное направление повышения устойчивости при решении задачи распознавания диаграмм состояния обуславливает увеличение достоверности идентификации технического состояния электрооборудования систем электроснабжения специального назначения.
TECHNOLOGIES
US
RESEARCH
Введение
В электротехнике, радиотехнике и связи в последнее время выделяется большой класс задач, нахождение решения которых представляет собой некорректно поставленные математические задачи [4].
Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исход-ных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Одним из примеров некорректных задач является задача диагностики технических объектов.
Условия некорректности обратных задач
Под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно понимаются задачи, в которых малые возмущения исходных данных могут вызвать большие изменения результатов. В течение долгого времени считалось, что эти задачи не имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено даже после работы А. Н. Тихонова 1943 г., в которой впервые была указана практическая важность подобных задач и возможность их устойчивого решения. В конце пятидесятых, и особенно в начале шестидесятых годов, появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.
Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода [6]:
А ■ и = g
(1)
в линейных нормированных пространствах и (и Е и) и £т ( g е G) , А - заданное отображение (оператор), действующий из и в О (в общем случае и и О есть произвольные топологические пространства).
Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.
Широкий класс задач физики и техники может быть описан в абстрактной форме уравнением (1) с вполне непрерывным, в частности интегральным оператором А, где и - искомый элемент. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле. Естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, g} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ай, gg}, аппроксимирующую в выбранной топологии пару {А где А^, gg приближенные значения. Ошибки можно ин-
терпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1) и описываемой ею физической реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.
Основная задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {Ай, gg}, такой последовательности приближенных решений щ, gg, которая сходится в пространстве и к точному решению и уравнения (1) при условии сходимости исходных данных {Аъ, gg} ^ {А, g}.
В начале ХХ века французским математиком Адама-ром были сформулированы три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [13] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (1) условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:
1) для любого g Е О, существует элемент и Е и такой, что Au=g, т. е. область значений оператора Я(А) = О (существование);
2) элементом g решение и определяется однозначно, т. е. существует обратный оператор А-1 (единственность);
3) имеет место непрерывная зависимость и от g, т. е. обратный оператор А1 непрерывен (устойчивость). При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару). Задачи рассматриваемые в классической математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при естественном выборе пространств и,О. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в литературе [9,13], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части g) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное решение, полученное как решение уравнения Au=gg, лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [8].
HiS
RESEARCH
ТЕХНОЛОГИИ
Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в и и О и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив О сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора А-1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то обычные методы, применяемые для решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А.Н.Тихоновым [10].
Обозначим образ множества Меи в пространстве О при отображении А через Ы=АМ.
Задачу (1) называют корректной по Тихонову [11] на множестве Меи, а само множество М называют ее множеством (классом) корректности, если:
точное решение задачи существует и принадлежит множеству Меи, т. е. gGN=AM;
решение единственно на множестве М, т. е. оператор обратим на множестве М;
существует непрерывная зависимость решения и от правой части g, когда вариации g не выводят решение за пределы множества М, т. е. оператор А-1 непрерывен в относительной топологии множества N.
Проанализируем сформулированные требования 1) - 3). В отличие от корректных по Адамару постановок задач, где первое условие устанавливается теоремой существования, в рассматриваемой ситуации обычно трудно указать в замкнутом виде условия того, чтобы множество М было множеством существования. Вопрос о разрешимости на заданном множестве М конкретных прикладных задач обычно решается на основе физических соображений. Это обстоятельство и объясняет разумность условия 1). Что касается условия 2), то его отличие от соответствующего условия Адамара в том, что обратимость оператора требуется лишь на множестве М.
В условии 3) непрерывная зависимость обратного оператора предполагается только на множестве N=AM, т. е. устойчивость задачи (1) восстанавливается сужением класса возможных решений до множества М (или, что то же, сужением возможных правых частей g до множества NN). Поэтому задачу (1), корректную по Тихонову, называют также условно-корректной задачей, а устойчивость по Тихонову (т. е. условие 3)) - условной устойчивостью.
Обеспечение устойчивости распознавания диаграмм состояний
Рассмотрим пример решения некорректной задачи на примере решения задачи распознавания диаграмм состояния (ДС), описывающих техническое состояние
контролируемого электрооборудования. Задача решения уравнения (1) является некорректной, в первую оче-редь, по причине нарушения третьего условия: даже очень малые относи-тельные ошибки (напри мер, 10 -8) правой части (а также ядра И (х — х0, у — у0 и метода решения) могут приводить к настолько боль шим ошибкам, что численное решение не будет иметь практически ничего общего с точным.
Диаграмма состояний и(х, у) в идеальном случае состоит из множества точек с координатами (х0, у0). В реальности вследствие наличия случайных помех формирования ДС и погрешностей измерения интенсивность точки изображения (х0, у0) распределяется по кругу радиусом р и площадью П = лр2 с плотностью интенсивности и ( Хо, Уо ) / пр2 . При этом выбор радиуса определяется дисперсиями координат точек ДС и уровнем доверия к результатам измерения. В целом результат измерения реальной ДС g (х, у) определяется в процессе суммирования (интегрирования) по каждой точке (х0, у0), которая накрывается кругом с центром в точке и радиусом , т.е.
1 (2)
ё (х у ) = Л —2 и (Х0'У0 ) ^оФо
\/(Х - хо )2 +(у - Уо )2 ^р
Преобразовав выражение (2) получим уравнение задачи, в которой следует найти ДС по результатам измерения :
1 1 И (х - хо, У - Уо )и (хо, Уо) ¿хо ¿Уо = ё (X У)
-¥ < X, y < ¥
(3)
где ядром уравнения является аппаратная функция
И(х-хо> У-Уо) = -
1/пр2 X - Xo )2 +(У - Уо )2 ^Р; 0, V(X-Xo)2 +(У-Уо)2 >Р
Представляет интерес, каким методом решить уравнение (2), чтобы выполнялись все три условия по Ж. Адамару [13].
Соотношение (3) как двухмерное интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки может быть решено относительно идеальной ДС и(х, у) методом преобразования Фурье (ПФ), [5] которое используется для спектрального анализа и регуляризации Тихонова.
и (ХоЛо) = П 1 1ф(т1' ю2)ехР[-У («Хо +®2Го)]
где ] = •//— 1 - мнимая единица, ПФ (спектр) решения имеет вид:
Ф (щ, Щ) = G (щ, щ)/H (щ, щ)
TECHNOLOGIES
US
RESEARCH
а G ((, ( )и H ((, преобразования Фурье (спек- рядность минимального двоичного кода. Шаг квантова-тры) соответственно правой части g (х, у) и ядра уравне- ния с0=2 -п+1. Каждому уровню с$ соответствует двоичный
код А" = {ао() а^,..., ап-1()}, ц ® Е [0, 1], 1=0,..., 2п-1; ]=0,...,п-1 [1].
ния (3), равные [2]: G(w-, ф)= J Jg(x, y) ехР[j(фх + y)]dxdy
oo
H (ф, ф2 )= J Jh (x, y) exp [ j (w-x + ф2y)]dxdy
N-1N -1
фу = h • c0 XI uj exp (k2n(li / N + mj / N)) =
i =0 j =0
=h I
j =0
C01 uij exp (k2n(li / N)) • exp (k2n(mj / N))
i =0
В виду того, что ДС строится по периодически повторяющемуся сложному сигналу, то спектр - дискретный.
Значения функции , вычисляются на дискретных сетках узлов (по оси ординат - уровень квантования, по оси абсцисс - шаг дискретизации).
Дискретные отсчеты и(х0 , у0) снимаются на равномерной сетке узлов:
tk = kh, k = 0,N-1
Таким образом, двухмерное дискретное преобразование Фурье можно записать в виде:
Однако задача решения уравнения (4) является некорректной (неустойчивой), так как функция Ф.. измеряется с погрешностью, а это ведет к чрезвычайно большим значениям ошибки распознавания истинного состояния ЭО, а также связана с решением интегрального уравнения Фредгольма I рода, хотя «степень некорректности» в значительной степени снижается благодаря тому, что это уравнение решается аналитически.
где h = const - интервал (шаг) дискретизации по t, а N -число отсчетов.
Справедлива теорема Котельникова [7], в силу которой:
1) линейная частота дискретизации (максимальная линейная частота) в дискретном преобразовании Фурье равна:
f = f = 1
J g J max h
( m - круговая частота, связанная с линейной частотой f -соотношением: m = 2л/);
2) шаг дискретизации по частоте равен [12]:
л/ =
f
J m
1 1
N h-N t„
где t g = tmax = tN = h- N - длина выборки;
3) фт = 2яfт, t = 0, N-1 , fT = T-Лf =
T
h-N
где
h <-
'2/
В виду того, что отсчеты будут добавляться или убавляться внутри области [0, ^ ), то ^ увеличивается, либо уменьшается, однако шаг дискретизации по частоте
- -1
не изменяется и, следовательно, не изменяется разрешение по частоте / .
Что касается уровня квантования, то при этом используется равномерное квантование на количестве уровней ккв, кратное 2к, к < п, где п - максимальная раз-
Заключение
Для повышения устойчивости решения уравнения (4) необходимо ис-пользовать методы регуляризации Тихонова, данные методы подробно изложены в [3,5,11]. Использование регуляризатора позволяет получить единственное, в некотором смысле «наилучшее» решение. В качестве примера рассмотрим задачу дихотомии с помощью построения разделяющей гиперплоскости. Предположим что классы линейно отделимы. Очевидно, что в этом случае можно построить континуум гиперплоскостей верно классифицирующих все объекты выборки. Несложно увидеть, что использование данного регуляризатора приводит к построению оптимальной разделяющей гиперплоскости, которая единственна. Таким образом, повышение устойчивости решения (4) обуславливает увеличение точности распознавания диаграмм состояния описывающих техническое состояние электрооборудования.
Литература
1. Арутюнян Р.А., Дорошев А.В. Ошибки цифрового распознавания состояний диагностируемых объектов // 11-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов.- МИЭТИ.- 2004. С. 205-206.
2. Бакушинский А.Б., Гончаровский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд. МГУ, 1989. - 199 с.
3. Ветров Д.П. Об одном способе регуляризации некорректно поставленных задач распознавания образов // Доклады 11 Всероссийской конференции Математические методы распознавания образов.- М.: ВЦ РАН, 2003, С. 41-43.
4. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. О способе модельных примеров при реализации методов решения некорректных задач. - Электронное моделирование, 1979, вып. 1, С. 86-89.
1
HiS
RESEARCH
ТЕХНОЛОГИИ
5. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наукова думка, 1986. - 543 с.
6. Дедков В.К., Масоди Д.А. Условия некорректности обратных задач // Журнал труды международного симпозиума надежность и качество, том. 1, 2007. С. 35-36.
7. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. - М.: Энергоиздат, 1966. - 151 с.
8. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: «Мир»б 1964, 832 с.
9. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными
производными. М.: Физматгиз, 1961, 401с.
10. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. - ДАН СССР, 1943, т. 39, №5, с. 131-198.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач., 2 изд.: М.,1979, 284с.
12. Сизиков В.С., Российская М.В., Козаченко А.В. Обработка смазанного изображения методами дифференцирования, Преобразования Хартли и регуляризации Тихонова // Изв. вузов. Приборостроение. - 1999. - т.42 - №7. - С. 11-15.
13. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932, 90 р.
ENSURING STABILITY OF THE SOLUTION OF TASKS IDENTIFICATIONS OF TECHNICAL CONDITION ELECTRIC EQUIPMENTS ACCORDING TO CHARTS OF STATES
Litvinov A.., Military Academy of communications litvinovaleks@mail.ru
Keywords: incorrectness conditions, operator equation, decision existence, uniqueness, stability, electric equipment, technical condition, recognition, identification.
Abstract
Article is devoted to methods of creation of steady approximate solutions of a wide class of incorrectly set mathematical tasks. The big circle belongs to this class of tasks, so-called return tasks to which lead problems of processing and interpretation of experimental supervision. Questions of finding of the generalized solutions of the return tasks as in classical statement these tasks can not have decisions are taken up. The main approaches connected with ensuring stability of recognition of charts of a state at identification of technical condition of electric equipment of systems of power supply of a special purpose, by means of a tokokinetichesky control method and diagnostics are stated. Main conditions are specified of an incorrectness of the return tasks. Statement of some actual incorrect tasks is reflected in linear spaces. The difficulties arising at research of such tasks are described. Three conditions formulated by the French mathematician Hadamard with whom each task having reasonable physical interpretation has to satisfy are considered. These conditions are known as a condition of a correctness on Hadamard and express natural requirements to the mathemati-cal task displaying reality which consist that the decision has to exist, be the only thing and is continuous depend on basic data. The main objective which is subject to research, consisting in construction according to approximate data, such sequence of approximate decisions which meets in some space to the exact solution of the equation, on condition of convergence of basic data is formulated. An example of the solution of an incorrect task on the example of the solution of tasks on recognitions of charts of the state describing technical condition of controlled electric equipment is reviewed. For increase of stability of the solution of a problem of recognition of charts of a state it is offered to use methods of regularization of Tikhonov. Use of a regulyarizator allows to receive the only thing, somewhat the «best» decision. As an example the problem of a
dichotomy by means of creation of dividing hyperplane provided that classes are linearly separable is considered. Creation of a continuum of hyperplanes truly classifying all objects of selection is a consequence of the solution of this task, use of this regulyarizator leads to creation of optimum dividing hyperplane, which only. The formulated direction of increase of stability at the solution of a problem of recognition of charts of a state causes increase in reliability of identification of technical condition of electric equipment of systems of power supply of a special purpose.
References
1. Arutyunyan R & Doroshev A, 2004, 'Errors of digital recognition of conditions of diagnosed objects' the 11th All-Russian interuniversity scientific and technical conference of students, MIETI, pp. 205-206.
2. Bakushinsky A & Goncharovsky A, 1989, 'Incorrect tasks. Numerical methods and appendices', Moscow, prod. Moscow State University, 199 p.
3. Vetrov D ,2003, 'About one way of regularization of incorrectly objectives of recognition of images' reports 11 All-Russian conferences Mathematical methods of recognition of images, Moscow, VTS RAN, pp.41-43.
4. Verlan A & Sizikov V, 1979,'About a way of model examples at realization of methods of the solution of incorrect tasks', Electronic modeling, no. 1, pp. 86-89.
5. Verlan A & Sizikov V, 1986, 'Integrated equations: methods, algorithms, programs', Kiev, Naukova thought, 543 p.
6. Dedkov V & Masodi D, 2007, 'Conditions of an incorrectness of the return tasks', Magazine works of the international symposium reliability and quality, volume. 1, pp. 35-36.
7. Kotelnikov V, 1966, 'Theory of potential noise stability', Moscow, Energoizdat, 151p.
8. Courant R, 1964, 'The equations with private derivatives', Moscow, World, 832 p.
9. Petrovsky I, 1961, 'Of lecture about the equations with private deriva-tives', Moscow, Fizmatgiz, 401 p.
10. Tikhonov A, 1943, 'About stability of the return tasks', DAN USSR, t. 39, no. 5, pp. 131-198.
11. Tikhonov A & Arsenin V, 1979, 'Methods of the solution of incorrect tasks', 2 prod., Moscow, 284 p.
12. Sizikov V, Russiaskay M, Kozachenko A, 1999, 'Processing of the greased image by methods of differentiation', Hartley's Transformation and Tikhonov's regularization, Izv. higher education institutions. Instrument making, t. 42 no.7, pp. 11-15.
13. Hadamard J, 1932, 'Le probleme Cauchy', Paris, 90 p.
