Дидактический анализ некорректной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.851

Н. Н. Яремко

ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

Аннотация. Анализируются дидактические особенности некорректной по Адамару-Тихонову математической задачи. Автор обосновывает целесообразность изучения некорректных задач в школе и вузе.

Ключевые слова: процесс обучения математике; математическая деятельность; математическая задача: корректная, некорректная, математически определенная, математически не определенная.

Abstract. This article analyzes the didactic peculiarities of ill-posed by Adamar-Tichonov mathematical problem. Author founds the advisability of ill-posed problems learning in higher school.

Keywords: mathematic educative process; mathematical activity; mathematical problem: correct-posed, ill-posed, mathematically determined, mathematically indetermined.

В настоящее время в естественно-научных областях знаний заметно усилился интерес к так называемым некорректным задачам. Понятие корректной задачи дано Ж. Адамаром и развито А. Н. Тихоновым в начале XX в. [1]: под корректной, или корректно поставленной, задачей понимается задача, решение которой: 1) существует; 2) единственно; 3) устойчиво. Соответственно, задача некорректна или, что то же, некорректно поставлена, если ее решение не удовлетворяет хотя бы одному из названных трех условий.

В методической науке встречаются несколько другие толкования корректных и некорректных задач. Под некорректными понимались задачи с неполными или противоречивыми данными, т.е. математически не определенные задачи. Устойчивость задачи не рассматривалась. Всюду в дальнейшем в статье принято определение Адамара-Тихонова, поскольку оно уже прочно утвердилось в большинстве областей знаний: математике, численных методах, информатике, теории систем, теории распознавания образов и т.п. Кроме того, определение Адамара-Тихонова не противоречит, а обобщает те определения некорректных задач, которые использовались в теории и методике обучения математике, психологии, философии. Следует отметить несомненные преимущества определения некорректных задач по Адамару-Тихонову: это определение четко сформулировано и легко проверяется, а также соответствует логике построения естественно-научных областей знаний.

В дополнение отметим, что большинство задач, возникающих в практике, некорректны в смысле определения Адамара-Тихонова, и не вызывает сомнений тот факт, что невозможно подготовить специалиста к профессиональной деятельности, обучая его лишь на корректных задачах. Ведь, вопреки бытующему мнению, даже задачу с противоречивыми данными можно решать (см. пример 2), необходимо лишь специальным образом переформулировать ее постановку. Этот вопрос, наряду со многими другими, изучается в теории некорректных задач.

В настоящей статье рассматриваются вопросы, связанные с методическими особенностями некорректных задач; обсуждаются место и роль некорректных задач в обучении; обосновывается утверждение о том, что использование некорректных задач в единстве с корректными в более полной мере

служит образовательным целям, поскольку при этом существенно расширяются возможности реализации исследовательской и мировоззренческой функций обучения.

В практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени, несмотря на то, что само понятие «задача» до настоящего времени четко не определено. В психолого-педагоги-ческих исследованиях нет единой точки зрения по поводу трактовки данного понятия. Существенный вклад в изучение названной проблемы внесен педагогами, психологами, специалистами в области информатики и кибернетики.

Теория учебных математических задач была построена Ю. М. Коляги-ным [2, 3], В. А. Крупичем [4]. Обратимся к их исследованиям.

По утверждению Ю. М. Колягина, любая задача возникает в предметной области. Обозначим ее символом D. Предметная область D характеризуется системой, состоящей из одного или нескольких множеств с установленными в них предикатами.

В задаче Ю. М. Колягиным выделены основные компоненты:

1. Начальное состояние (А). Для математических задач это состояние выступает в форме условия задачи (данные элементы и связи между ними).

2. Конечное состояние (В). Для математических задач это состояние выступает в форме заключения или цели задачи (неизвестные элементы и связи между ними).

3. Решение задачи (Я) - один из возможных способов перехода от начального состояния (А) к конечному (В). Для математических задач это способ преобразования условия задачи для нахождения требуемого.

4. Базис решения задачи (С) - множество факторов, определяющих некоторое решение, т.е. теоретическая или практическая основы для преобразования А в В посредством данного решения. Для математических задач базис решения выступает в форме обоснования решения. Базис решения задачи С представляет собой часть предметной области D, C с D .

Таким образом, всякая математическая задача характеризуется ее основными компонентами АС(D)RВ и корректность задачи тесно с ними связана. Это означает, что, например, в условиях рассмотрения задачи над одной предметной областью может быть констатирована некорректность, а при расширении или сужении этой предметной области задача может превратиться в корректную. Один из алгоритмов решения может приводить к неустойчивому решению, в то время как другой способ, в частности регуляризация, давать устойчивость. Эти факты свидетельствуют об относительности понятия корректности задачи, т.е. корректность задачи тесно связана с теми условиями, в которых задача рассматривается. Научиться управлять изменениями в структуре задачи, ее корректностью и некорректностью - важная методическая проблема, поскольку именно в этом содержится путь к решению некорректных задач. Приведем пример.

Пример 1. Решить уравнение:

2х = -4 .

Уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел, и задача некорректна. На множестве комплексных чисел задача имеет бесконеч-

. . 1п4 + i (1 + 2п ) 71

ное число решений х = Log2 (-4 ) =-------- --—, п е Z , и единственность

достигается рассмотрением однозначных ветвей многозначной аналитической функции ^ = Log2г . Таким образом, если расширить предметную область В от множества действительных чисел до множества комплексных чисел, задача из некорректной превратится в корректную и может быть решена.

Приведенный пример иллюстрирует, что признание задачи некорректной в данных условиях не означает невозможность ее решения в дальнейшем. Некорректная задача очень часто дает толчок развития науке, приводит к открытиям и новым теориям. Мировоззренческая роль некорректных задач проявляется в том, что именно на некорректных задачах иллюстрируется относительность истины, поэтапность и неограниченность познания. Для иллюстрации достаточно вспомнить теорию относительности Эйнштейна или неевклидову геометрию. Можно привести выдержку из доклада Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже, в котором не только говорится о значении для математики «хорошо поставленной» специальной проблемы, но и с поражающей силой и убежденностью высказан тезис о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи: «В математике не существует ^погаЬітш! (мы не будем знать)».

Большой вклад в развитие теории задач внесен математиком-методистом Д. Пойа. В своей известной книге [5] Д. Пойа хотя и не дает определение задачи, но рассматривает основные ее части, структуру, проводит классификацию, дает план ее решения. С точки зрения Д. Пойа, решение математической задачи состоит из четырех этапов. Сохраняя основную идею Д. Пойа, сведем задачу к выполнению трех этапов: 1) постановка задачи - ответ на вопрос «Что?»; 2) поиск решения и выполнение решения - ответ на вопрос «Как?»; 3) завершение задачи - «Взгляд назад». В свою очередь каждый из этих этапов может быть разделен на подвопросы. Постановка задачи включает ответы на два вопроса: «Что дано?», «Что требуется или что найти?». Решение задачи состоит из двух моментов: поиск решения (как решать?) и реализация решения. «Взгляд назад» - это анализ решения; проверка; поиск другого решения, отличного от найденного, или нового способа решения; обобщение метода решения на класс подобных задач и т.д. Представим в виде схемы изложенные соображения (рис. 1).

Корректность задачи устанавливается только после нахождения ее решения, на завершающем этапе «Взгляд назад», после выполнения глубокого анализа всех элементов, составляющих задачу.

ЧТО?

1) Что дано?

2) Что требуется?

ЗАДАЧА

КАК?

1) Поиск решения

2) Выполнение решения

Проверка

ВЗГЛЯД -------Поиск новых способов решения

НАЗАД --—■ Поиск других решений

—Обобщение способа решения

Рис. 1

Некорректность же задачи может быть установлена на любом этапе ее решения. Если на моменте анализа исходных данных обнаруживается противоречие, то задача не имеет решения и она некорректна. Если в процессе поиска решения задачи обнаруживается его неединственность, то все предполагаемые решения должны быть обоснованы и найдены, и в силу определения Адамара-Тихонова задача признается некорректной. В данном случае задача распадается на полную систему корректных подзадач. Некорректность задачи может быть констатирована и в процессе осуществления решения. Но наиболее часто некорректность задачи устанавливается на завершающем этапе «Взгляд назад». Констатация факта некорректности задачи обязывает решающего вернуться к началу задачи и далее действовать в зависимости от причины, вызвавшей некорректность.

Деятельность по решению некорректной задачи приобретает вид спирали, состоящей из нескольких циклов (рис. 2). Выполнив один из циклов, на завершающем этапе «Взгляд назад» мы вынуждены возвращаться к началу задачи, но на более высокий уровень знаний о задаче. Задача считается решенной после выполнения нескольких циклов, когда в результате контроля фиксируется результат, удовлетворяющий предъявленным критериям.

Для иллюстрации спиралеобразного характера деятельности по решению некорректных задач приведем пример 2, связанный с проблемой составления диеты. Каждый из законченных циклов решения в примере 2 отметим римскими цифрами I, II, III, IV, V.

Пример 2. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки определенное количество питательных веществ Б]_, В2, В3. Используется два вида продуктов. Содержание питательных веществ в единице продукта, суточная норма их потребления и цена единицы продукта указаны в табл. 1.

Найти вариант диеты стоимостью в N денежных единиц, которая содержит в точности суточную норму питательных веществ.

I

Рис. 2

Таблица 1

Питательные Суточная Содержание питательных веществ в единице продукта

вещества норма п1 п2

В 14 2 1

В2 10 1 2

В3 20 2 4

Цена единицы продукта 1 2

Решение

I. Обозначим через Л}, Х2 число единиц продуктов первого и второго видов, соответственно. Опуская подробности, сведем задачу к системе линейных уравнений:

2 л + Х2 = 14,

Л + 2 Х2 = 10,

2 Х} + 4 Х2 = 20,

Х} + 2 Х2 = N.

Задача имеет единственное решение лишь для стоимости диеты N = 10. При этом имеем вариант диеты: Х1 = 6, Х2 = 2. Любое сколь угодно малое изменение стоимости диеты N приводит к противоречивости системы уравнений и отсутствию решений, т.е. полученная система уравнений переопределенная, непротиворечивая и неустойчивая.

II. Рассмотрим случай несовместности системы, например N = 11. Для несовместных систем определяют так называемое псевдорешение [2], которое задается как вектор (х1, Х2), минимизирующий невязку:

|(2x1 + Х2 _ 14) +(х1 + 2Х2 _ 10) +(2Х1 + 4Х2 _20) + (Х1 + 2Х2 _ 11) ).

Получим:

107 _ 38

Х1 =----~ 5,94, х2 = — ~ 2,11.

1 18 2 18

Псевдорешение устойчиво.

Проведем экономический анализ полученного результата. Для этого подставим псевдорешение в систему. При данной диете происходит превышение суточного потребления веществ В2, В3, и затраты на питание будут менее 11 денежных единиц. Полученный результат приводит к мысли о том, нельзя ли еще уменьшить стоимость диеты, при которой будет гарантировано суточное потребление питательных веществ. Так мы естественным образом подошли к необходимости изменения исходной математической модели.

III. Новая математическая модель - задача линейного программирования, исследование на минимум стоимости диеты при ограничениях:

z = Х1 + 2Х2 ^ шт,

2Х1 + Х2 > 14,

Х1 + 2Х2 > 10,

2Х1 + 4Х2 > 20.

Решение задачи можно найти, например, геометрическим методом. В результате имеем однопараметрическое множество оптимальных планов:

Х1 = *, Х2 = , 6 - * -10,

для каждого из которых будут достигаться минимальные затраты на диету: шт z = 10 и будут полностью удовлетворены суточные потребности в питательных веществах В1, В2, В3 (причем потребности в веществе В1 будут превышены в случае планов 6 < * - 10, а по веществам В2, В3 будет строгое равенство).

Следуя логике рассуждений экономического характера, студенты от классической задачи линейной алгебры решения системы линейных уравнений (I) переходят к задаче отыскания псевдорешений несовместной системы линейных уравнений (II), а затем - к задаче линейного программирования (III). Далее возможно составление цепочки задач - обобщений.

IV. Возможно ли составить диету стоимостью меньше 10 денежных единиц? (Ответ: нельзя).

V. Найти замещение в диете продукта «2 на другой продукт «3 с тем же составом питательных веществ, но более дешевый, ценой а денежных единиц, при этом стоимость затрат на диету не должна превзойти 9 денежных единиц. (Ответ: а - 1,5).

Рассмотренный пример 2 может служить иллюстрацией организации квазипрофессиональной деятельности студентов в вузе. Переход от одной математической модели к другой можно проиллюстрировать на схеме, представленной на рис. 3 [6].

Процесс решения рассмотренной в примере 2 некорректной задачи носит циклический характер. Он начинается с исходной проблемной ситуации, которая в результате проведения содержательного анализа переводится в практическую задачу. Далее практическая задача формализуется, и строится ее математическая модель, которая затем решается. Полученный результат оценивается с точки зрения критериев, предъявляемых формализованной моделью и реальной проблемной ситуацией. Таким образом, процесс решения задачи завершается возвратом к исходной проблеме, проверкой полученного результата, его практической интерпретацией. Если полученный результат не удовлетворяет условиям проблемной ситуации, то весь процесс повторяется заново, выбирается другая математическая модель, и после проведения решения результат вновь оценивается с точки зрения условий исходной проблемной ситуации. Весь процесс решения обладает цикличностью, представляет собой спиралеобразную процедуру. Решение завершается после выполнения нескольких циклов, когда получен результат, удовлетворяющий практическим потребностям, сформулированным в исходной проблемной ситуации.

Рассмотренная задача иллюстрирует вполне естественное свойство практических задач, когда имеется не одно, а сразу несколько правильных решений. Следующий факт: наличие более одного правильного решения - характеризует некорректные задачи и позволяет подходить к практическим некорректным задачам с тех же позиций, что и к корректным.

Рис. 3

Некорректные задачи в большей степени, чем корректные, требуют глубокого понимания математического материала, выявляют существенные стороны понятий, границы применения приемов и методов, приводят к слому стереотипов деятельности, к необходимости создания эвристик и новых математических моделей.

Изучение в школе и вузе элементов теории корректных и некорректных по Адамару-Тихонову задач обеспечивает преемственность и непрерывность в обучении в системе «школа - вуз», исключает неоднозначность трактовки понятий «некорректная задача», «математически не определенная задача» в школе и вузе, способствует формированию более богатой по структуре математической деятельности.

После изучения элективного курса «Элементы теории корректных и некорректных по Адамару-Тихонову задач» повышается уровень владения школьниками приемами математической деятельности, приобретаются устойчивые навыки не только решения, но и исследования задач. Фиксируются результаты:

- грамотное употребление ответа «Задача не имеет решения»;

- успешное овладение навыками отыскания решений, отличных от найденного; приобретение навыков анализа способа решения с целью выяснения более рационального;

- утверждается целесообразность варьирования данных задачи с целью проверки устойчивости решения, варьирования элементов решения задачи с целью проверки устойчивости алгоритма.

Для студентов вуза некорректные задачи дают примеры профессиональной деятельности по решению практических задач, служат материалом для исследовательской работы, поскольку методы теории некорректных задач являются математическим аппаратом их решения.

Некоторые аспекты обучения решению некорректных задач в школе и вузе рассматривались нами в работе [7].

Подведем итоги.

1. Решение некорректной задачи имеет спиралеобразный вид, состоит из ряда замкнутых циклов. В качестве критериев оценки результата решения задачи выступают три требования корректной постановки задачи: существование решения, его единственность и устойчивость.

2. Некорректная задача не может быть правильно решена без «взгляда назад». Этот важный последний этап при решении корректных задач очень часто неверно опускается, но при этом правильный ответ может быть получен. На некорректных задачах проявляется значимость всех этапов решения задачи, ярко иллюстрируется и утверждается целесообразность и обязательность выполнения последнего проверочного этапа.

3. Деятельность по распознаванию некорректной задачи включает следующие действия: установление существования решения - это проверка полноты, непротиворечивости, независимости данных задачи; установление единственности решения - это анализ данных задачи и способа ее решения; малые варьирования данных задачи и ее решения - анализ задачи с точки зрения устойчивости. Малые изменения исходных данных и способа решения, осуществляемые действием варьирования, позволяют исследовать устойчивость задачи.

4. Некорректные задачи в сравнении с корректными расширяют возможности освоения предметных знаний и формирования математической деятельности, адекватной структуре задачи. Привычные действия анализа условий задачи, требований и способа решения некорректной задачи приобретают более глубокое содержание, а порой и новый более значимый смысл. Без глубокого анализа всех компонентов некорректной задачи (данных, требований, способа решения, базиса, предметной области) невозможно ее правильное решение. Действия аналогии, обобщения, конкретизации, анализа, преобразования условий задачи, выведения следствий, конструирование новых объектов и т.д. становятся предметом усвоения при решении некорректных задач, приводят к формированию более богатой по структуре деятельности. Осознанность всех действий, отсутствие формализма, необходимость создания эвристик - отличительные черты деятельности студентов и школьников по решению некорректных задач.

Таким образом, некорректные задачи существенно дополняют корректные, и их введение в курс обучения математике, как в школе, так и в вузе, вполне обосновано. С помощью этих двух видов задач (корректных и некорректных) картина мира может быть описана математическими средствами в наиболее полном виде.

Список литературы

1. Арсенин, В. Я. Некорректные задачи / В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов // Математическая энциклопедия. - М. : Советская энциклопедия, 1982. - Т. 3. - С. 930-935.

2. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - Ч. 1. - 110 с.

3. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - Ч. 2. - 144 с.

4. Крупич, В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В. И. Крупич. - М. : Прометей, 1995. - 166 с.

5. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. - Львов : Квантор, 1991. - 216 с.

6. Родионов, М. А. Мотивация учения математике и пути ее формирования : монография / М. А. Родионов. - Саранск : МГПИ, 2001. - 253 с.

7. Яр емко, Н. Н. Некорректные задачи при обучении математике в школе и вузе / Н. Н. Яремко // Известия РГПУ им. Герцена. Общественные и гуманитарные науки. - 2008. - № 11 (62). - С. 339-346.

Яремко Наталия Николаевна

кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра математического анализа, Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

Yaremko Natalia Nikolaevna Candidate of physical-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematical analysis. Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinskiy

E-mail: [email protected]

УДК 372.851 Яремко, Н. Н.

Дидактический анализ некорректной задачи / Н. Н. Яремко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. -2009. - № 1 (9). - С. 109-117.