CC BY
61
фика инженерной педагогики // Педагогика. - 2001. - №3. 5. Основы инженерной педагогики [Текст] / А. А. Кир-
4. Краевский В.В. Сколько у нас педагогик? // Педагогика. санов, В.М. Жураковский, В.М. Приходько, И.В. Федоров. - 1997. - №4. - М.: МАДИ (ГТУ); Казань: КГТУ, 2007.
УДК 372.851 ББК 22.11
НЕКОРРЕКТНЫЕ ПО АДАМАРУ-ТИХОНОВУ ЗАДАЧИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
И.И. Баврин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры ТИ и ДМ МПГУ
Н.Н. Яремко, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры мат. анализа Пензенского
государственного педагогического университета
В статье анализируется структура некорректной задачи, ее дидактические особенности. Рассматривается возможность введения элементов теории некорректных по Адамару-Тихонову задач в школьный курс математики.
Ключевые слова: теория учебных математических задач, некорректные задачи, теория некорректных по Адамару-Тихонову задач.
ILL-POSED BY ADAMAR-TICHONOV MATHEMATICAL PROBLEMS IN SCHOOL MATHEMATICS Bavrin I.I., Yaremko N.N.
This article analyzes the structure and didactic peculiarities of ill-posed mathematical problems. Author considers the possibility of introduction the elements of Adamar-Tichonov method in school mathematics.
Keywords: theory of methodic educational problems, ill-posed problems, theory of ill-posed by Adamar-Tichonov mathematical problems.
Обратившись к школьникам с вопросом, что такое некорректная задача в их понимании, мы получали ответ, что это "неправильная задача, и ее не нужно решать". Школьники относили к некорректным те задачи, в которых не было математической определенности, т.е. задачи имели либо противоречия в условиях, либо недостаточность данных, либо их переизбыток, либо отсутствовал вопрос в задаче. По поводу корректности предложенных задач мнения расходились, но единодушно признавалось, что решать "некорректные" задачи невозможно, и на практике они не встречаются. Отношение учителей к изучению некорректных задач было скорее отрицательным, чем положительным. После популярного рассказа о некорректных по Адамару-Тихонову задачах, их применении в компьютерной томографии, в геологоразведке, при численном решении широкого класса уравнений, мнение аудитории коренным образом менялось. Важность для практики лишь корректных задач понималась уже не столь абсолютно, выяснялось, что некорректные задачи могут быть содержательными. Слушатели отказывались от бытующих стереотипов, что некорректные задачи не представляют научного интереса. Напротив, некорректные задачи и выявляемые в них противоречия приводят к новому этапу в научном и учебном познании, здесь достаточно вспомнить парадоксы теории множеств, создание неевклидовой геометрии, теорию относительности Эйнштейна. Таким образом, необходимость изучения некорректных задач диктуется потребностями практики, поскольку существует реальная необходимость принятия решений в условиях недостатка, переизбытка, противоречивости данных, при этом решение задачи (в классическом понимании) может быть неединственным, или неопределенным, или даже отсутствовать.
Рассмотренная ситуация проявляет ряд противоречий: - между строгим математическим понятием некорректной задачи и бытующим представлением о некорректной задаче как о "неправильной", не имеющей решения, противоречивой, т.е. как о задаче, которую не нужно рассматривать;
- между не совпадающими по смыслу трактовками понятия "некорректная задача" в школьном и вузовском курсах математики, в различных научных областях: математике, методике математики, философии, психологии;
- между представлением о некорректной задаче как о задаче, заведомо несодержательной, и ее реальным развивающим научным потенциалом, ведь именно в преодолении "некорректности" происходит развитие науки;
- между потребностями практики в решении некорректных задач и традиционным обучением, основанном на корректных задачах.
В практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени, несмотря на то что само понятие «задача» до настоящего времени четко не определено. В психолого-педагогических исследованиях нет единой трактовки понятия задачи. Существенный вклад в изучение этой проблемы внесен педагогами, психологами, специалистами в области математики, информатики, кибернетики. Обратимся к наиболее важным, на наш взгляд, трактовкам понятий «задача», «корректная задача», «некорректная задача».
Д. Пойа в известной работе [1] определение задачи не дает, но рассматривает ее структуру, изучает методы поиска решений задачи. С точки зрения Д. Пойа, математическая задача состоит из трех частей: постановка задачи -ответ на вопрос "Что?"; решение задачи - ответ на вопрос "Как?"; завершение задачи - "Взгляд назад". В свою очередь, каждая из этих частей может быть разделена на подпункты, подвопросы. Постановка задачи включает ответы на два вопроса: «Что дано?» и «Что требуется?» (или «Что найти?»). Решение задачи состоит из двух моментов: поиск решения (как решать?) и реализация решения. "Взгляд назад" - это анализ решения; проверка; поиск другого решения, отличного от найденного, или нового способа решения; обобщение метода решения на класс подобных задач и т. д. Представим в виде схемы изложенные соображения (см. схему 1.1).
что?
Схема 1.1
Вопрос о корректности задачи возникает на всех этапах реализации схемы 1.1, соответствующей исследованиям Д. Пойа: при анализе постановки задачи, на этапе поиска решения и его выполнения, а также во время осуществления "взгляда назад". Для глубокого понимания условий задачи Д. Пойа предлагает вопросы: "Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?" Ответы на эти вопросы позволят судить о корректности поставленной задачи.
Д. Пойа предлагает выделить "правильно" и "неправильно" поставленные задачи: "Правильно поставленная задача должна содержать все необходимые данные, ни одно из которых не должно быть лишним; ее условие должно быть в точности достаточным, не будучи ни противоречивым, ни чрезмерным". И далее в тексте есть указания на анализ решения с точки зрения его устойчивости. Фактически речь идет о корректных и некорректных задачах. Кроме того, Д. Пойа различает практические задачи и математические. Д. Пойа пишет, что "практические задачи во многих отношениях отличаются от чисто математических задач, однако основные мотивы и ход их решения по существу одни и те же". Каждая инженерная задача - это пример некорректной задачи, ввиду того что условий чаще всего переизбыток, а среди данных возможны и противоречивые. Переход к корректной постановке задачи путем построения подходящей математической модели -проблема весьма сложная, требующая от инженера-практика соответствующей квалификации и опыта.
В математической задаче Ю.М. Колягиным [3] выделены четыре основных компонента:
е
1) начальное состояние (А) - условия за элементы и связи между ними;
0^\кодечнЬеаЬст\яние (В) - заключения или целЪ задачи: неизвестные элементы и связи между ними;
3) решение задачи (Я) - один из возможных способов перехода от начального состояния к конечному. Для математических задач это способ преобразования условия задачи для нахождения требуемого;
4) базис решения задачи (С) - мн|5 определяющих некоторое решение, т.е. Ееоретичес практическая основа данного решения. Для математических задач базис решения выступает в форм /шосЗЬвОниП решения. ^ шшхКЛъ^ш^
Базис решения задачи С включен в Б, С С В, Б -предметная область; базис С составляет некоторую часть предметной области Б, в которой решается задача. Таким образом, задача представляет собой систему (АСЯВ), отнесенную к предметной области Б.
Следуя работам Ю.М. Колягина [3], В.И. Крупича [6], А. А. Столяра [7], определим задачу как некоторую систему, состоящую из объектов и морфизмов (связей) [8]. Каждой паре объектов А и В отвечает множество морфизмов (связей) Мог(А,В). Элементы этого множества обозначаются символом / : А — В или А ——> В или коротко буквой / . С рассматриваемой точки зрения задача представляет собой систему с объектами А,В,В и всевозможными морфизмами между ними:
Мог (А, В ), Мог (А, В ), Мог (В, В ), см. схему 1.2.
Схема 1.2
Связи (стрелки) могут быть обратимыми, в этом случае морфизм превращается в изоморфизм.
Морфизм /, примененный ко всякому "условию"
(начальному состоянию), т.е. к объекту А , дает "решение" (заключительное состояние), т.е. объект В.
Рассмотренная система обладает свойством целостности; это означает, что существует предикат целостности,
определяющий семантику объектов А, В, С, Б, а также семантику морфизмов.
Приведенные определения развивают взгляд на задачу с точки зрения систем и соответствуют линии Колягина Ю.М., Крупича В.И. Кроме того, данные определения позволяют ввести понятие устойчивости решения и коррект-
ности задачи, которые соответствуют известным определениям Ж. Адамара и А.Н. Тихонова [2].
С точки зрения предложенной модели задачи могут быть двух типов:
• восстановить недостающие элементы объектов А, В, Б или какие- либо из связей внутри объектов А, В, Б;
• восстановить недостающие морфизмы
Мог(Л, В ), Мог(Л, Б ), Ыот{р, В).
Проведем классификацию задач в зависимости от вида морфизмов.
Задача имеет решение, если морфизм / : Л ^ В является эпиморфизмом [8]. Решение задачи единственно, если морфизм / : Л ^ В представляет собой мономорфизм. Решение задачи существует и единственно, если / : Л ^ В - изоморфизм, т.е. одновременно эпиморфизм и мономорфизм. В этом случае задача называется математически определенной [2].
В действующих в настоящее время задачниках и учебниках по математике школьникам и студентам преимущественно предлагаются задачи математически определённые, т.е. задачи, решение которых существует и единственно. Такие задачи содержат в условии ровно столько данных, сколько требуется для получения ответа, не больше и не меньше. С учетом полноты и непротиворечивости условий задач В. А. Крутецкий в своей книге "Психология математических способностей школьников" приводит такую классификацию.
1. Задачи с несформированным условием - задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.
2. Задачи с избыточным условием - задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.
3. Задачи с неполным составом условия - задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.
4. Задачи с противоречивым условием - задачи, содержащие в условии противоречие между данными [5, с. 124-150].
Л.Л. Гурова [4] в типологию задач вводит "задачи, хорошо или плохо определенные". Добавив некоторые уточнения, придем к следующей предварительной классификации:
1) задачи, в которых учтены все условия, и ответ функционально связан с исходными данными, определен ими однозначно - математически определенные задачи;
2) задачи, на результат решения которых оказывают влияние некоторые случайные факторы, не учтенные в условиях (так называемые задачи с неполными условиями), в силу чего при заданных условиях задачи результат получается неоднозначным: он формулируется для некоторого числа аналогичных случаев. В этом случае решение задачи существует, но не единственно. Такие задачи определим как некорректные или некорректно поставленные;
3) задачи, не имеющие решения при заданных условиях или содержащие противоречия, также отнесем к классу некорректных или некорректно поставленных задач.
Решение задачи обладает свойством устойчивости, если "малым изменениям" данных задачи соответствует "малое изменение" решения. Это требование означает, что решение задачи непрерывно зависит от данных задачи.
Следуя Ж. Адамару и А.Н. Тихонову, примем основное определение нашей работы. Математическая задача называется корректной по Адамару-Тихонову или корректно поставленной по Адамару-Тихонову, если решение задачи: 1) существует; 2) единственно; 3) устойчиво.
Задачи, решение которых не удовлетворяет хотя бы одному из перечисленных трех условий, называются некорректными или некорректно поставленными.
Математическая задача называется математически определенной, если решение задачи удовлетворяет первым двум условиям, т.е. существует и единственно.
Как сказано выше (см. схему 1.2), задача представляет собой систему с объектами A, B, D и всевозможными морфизмами
между ними: Mor (A, B ), Mor (A, D ), Mor (D, B ) . Речь о корректности задачи можно вести только в том случае, когда заданы объекты A, B, D и определены морфизмы. Все три требования в определении корректности задачи - существование решения, его единственность и устойчивость - относительны в том смысле, что важны условия, при которых эти требования рассматриваются. Кроме того, большая роль в корректной постановке задачи принадлежит формулировке, указанию метода решения и объему предметной области, которой пользуется ученик при решении задачи. Даже небольшие изменения внутри системы "задача" могут приводить к изменению ее корректности. Основная цель учителя в контексте реализации методической системы обучения решению корректных и некорректных задач - научить ученика управлять этими изменениями.
В школьном курсе математики понятие существования и единственности решения должно быть сформировано у учащихся на уровне владения, устойчивость - на уровне интуитивного представления, иллюстрированного примерами. Значимость вопросов единственности и существования решения задачи связана и с вводимой тестовой системой контроля знаний, в которой предполагается, как правило, один верный ответ из серии предложенных, т. е. математически определенная постановка задачи.
К некорректным относятся задачи, не имеющие решения. В школьных учебниках математики такие задачи практически отсутствуют. Фраза "Задача не имеет решения" употребляется школьниками, как правило, неверно. Приходится слышать, что задача не имеет решения, когда корни квадратного уравнения иррациональны. В случае отсутствия действительных корней школьники часто неверно произносят: "Не может быть" или "Неправильно". Выработку навыка правильного употребления ответа "Задача не имеет решения" нужно осуществить в школе в 911 классах, т. е. некорректные задачи с корректным ответом: "Нет решения", должны войти в повседневную практику работы школы.
Введение элементов теории корректных и некорректных по Адамару-Тихонову задач в школьный курс математики обеспечивает преемственность и непрерывность в обучении в системе «школа - вуз», исключает неоднозначность трактовки понятий «некорректная задача», «математически не определенная задача» в школе и вузе.
После изучения элементов теории корректных и некорректных по Адамару-Тихонову задач повысился уровень владения школьниками приемами работы с задачей. Школьники:
- грамотно употребляют ответ: "Задача не имеет решения";
- находят в задаче решения, отличные от найденного;
- анализируют способ решения с целью выяснения более рационального;
- варьируют данные задачи с целью проверки устойчивости решения;
- варьируют элементы решения задачи с целью проверки устойчивости.
Литература
1. ПойаД. Как решать задачу. - Львов: Квантор, 1991.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979.
3..Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение, 1977.
4. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: изд-во Воронежского университета, 1976.
5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968.
6. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995.
7. Столяр А.А. Педагогика математики. - Минск: Высш. шк., 1986.
8. Плоткин Б. И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. - М.: Наука, 1991.
УДК 372.851 ББК 22.3
НЕКОТОРЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА -
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Е.К. Годунова, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математической физики МПГУ
В статье предлагаются возможные пути установления связей и аналогий в курсах математического анализа и элементарной математики как в содержании, так и в структуре построения, в формулировках определений и теорем, в способах их доказательств, в методах решения задач.
Ключевые слова: межпредметные связи, математический анализ, элементарная математика, определение, доказательство, задача.
SOME WAYS OF REALIZATION BETWEEN-SUBJECT CONNECTIONS "ELEMENTARY MATHEMATICS -
MATHEMATICAL ANALYSES"
Godunova E.K.
In this paper there are shown some ways to establish the connections between two mathematical subjects in content, in forms of proof the theorems and solution of the problems.
Keywords: Mathematical Analysis, Elementary Mathematics, between-subject connections, definitions, proof, problem.
В последние годы в учебный план ряда вузов на I ных учебниках, справочниках, энциклопедиях; устанавли-
курсе был включён повторительный курс элементарной математики. Цель курса - не только повторение конкретных знаний основных фактов школьного курса и укрепление элементарных навыков математических преобразований. Предполагалось с помощью такого курса поднять уровень общего математического и логического мышления, научить основным правилам построения определения понятий, формулировки и доказательства теорем, сформировать умение устанавливать зависимость одних фактов от других, использовать при решении задач и доказательстве теорем основные правила эвристики и теоретические знания, анализировать изучаемый материал.
Особенно остро необходимость осуществления сформулированных целей проявляется при изучении математических дисциплин, в частности математического анализа.
Поэтому представляется естественным при прохождении нового курса рассмотреть имеющиеся связи и точки соприкосновения элементарной математики и математического анализа, выявить общность структуры математических предметов, формулировок определений и теорем, методов доказательств, зависимость успехов в понимании и усвоении математических фактов от предшествующей подготовки; проиллюстрировать единый подход к поиску решений задач, к «открытию» новых математических утверждений, обобщающих известные.
Для осуществления намеченных межпредметных связей было выделено несколько направлений.
1. Построение определений основных понятий и формулировок теорем.
Студенты сравнивали определения понятий, относящихся к какой-либо теме математического анализа или элементарной математики, сформулированные в различ-
вали, к какому виду эти определения относятся; приводили примеры ошибочных определений, например, с порочным логическим кругом или с нарушением соразмерности определяемого и определяющего понятий. Для упражнений в построении формулировок теорем студенты выполняли задания, в каждом из которых давалась пара конкретных утверждений А и В, например:
А: J f ( x)dx = 0'
В: /(х) - нечетная функция;
2) А: число делится на 9,
В: сумма цифр числа делится на 9.
В задании требовалось сформулировать прямую теорему, приняв за неё «Если А, то В», обратную теорему и теорему, противоположную обратной; установить, является ли А достаточным, необходимым условием утверждения В; каким условием утверждения А является В. Нужно было также построить формулировки теоремы, содержащие условия А и В, с использованием слов «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда». В случае необходимости следовало изменить условия А и В так, чтобы сформулированные в предложенной форме теоремы оказались истинными.
2. Единый подход к изучению доказательств теорем и к их анализу.
В первую очередь целесообразно обратить внимание на имеющиеся аналогии между теоремами математического анализа и элементарной геометрии. При изучении в курсе анализа геометрических приложений определённого интеграла легко установить связь между выводами формул для вычисления длины окружности и площади круга в школе и
