Роль и место некорректных задач в обучении школьников математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512(072.3) А.А. АКСЁНОВ

доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет E-mail: [email protected]

UDC 512(072.3) A.A. AKSYONOV

Doctor of Pedagogics, Professor, Department of the mathematical and information analysis of economic

processes, Orel State University E-mail: [email protected]

РОЛЬ И МЕСТО НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ ROLE AND PLACE OF INCORRECT PROBLEMS IN TEACHING SCHOOL STUDENTS' MATHEMATICS

В статье приводится один из вариантов теоретического описания некорректных математических задач и показаны особенности их применения в обучении школьников математике. В качестве конструктивного основания выбрана трактовка категории «задача», предложенная Ю.М. Колягиным, дополненная В.И. Крупи-чем и скорректированная с учётом исследований А.В. Брушлинского.

Ключевые слова: математическая задача, решение, некорректная задача, процесс обучения математике.

One of versions of the theoretical description of incorrect mathematical tasks is given in the article and features of their application in teaching mathematics to school students are shown. As the constructive basis the interpretation of the category «problem» offered by Y.M. Kolyagin, added by V.I. Krupich and corrected considering researches of A.V Brush-linsky was chosen.

Keywords: mathematical problem, decision, incorrect task, process of teaching mathematics.

В настоящее время тезис о том, что решение задач

- это и цель, и основное средство обучения математике, стал методической аксиомой. Однако традиционное обучение школьников базируется на использовании в процессе обучения задач, в которых чётко и однозначно сформулировано условие и требование (это чёткие корректные задачи). Тем не менее, отдельные фрагментарные отступления от этого правила показывают, что весомой дидактической значимостью обладают и задачи, формулировка которых чётко не задана или не всегда однозначно представлена. Поэтому отдельного методико-математического внимания заслуживают нечёткие или некорректные задачи. В данной статье предложено теоретическое описание некорректных школьных математических задач и особенности их применения в учебном процессе.

Представим трактовку категории «задача», на основе которой будет теоретически раскрыто понятие некорректной задачи.

Рассмотрим сложное замкнутое образование "человек - задачная система", в котором задача тоже понимается как объект, являющийся системой. Схематически оно изображается "Б-Р". В нём задачная система определяется на множестве: Р = {ау т1, г2, ...}, где: а, Ь -элементы множества; У, У - свойства элементов; т., т.

- отношения между элементами или их свойствами. Под человеком понимается абстрактный субъект. Ситуация в образовании "Б-Р" называется стационарной по отношению к данному субъекту, если ему из-

вестны все элементы, их свойства и отношения между ними. В противном случае имеет место нестационарная или проблемная ситуация. Она становится задачей, если у субъекта возникает потребность найти неизвестные элементы. Решить задачу - значит в образовании "Б-Р" привести проблемную ситуацию к стационарной. Для существования задачи необязательно само её решение. Необходимо лишь осознание субъектом нестационарности ситуации [3, 4].

В образовании "человек - задачная система" задача как сложный объект представлена диалектическим единством информационной структуры, которая фактически является формой её представления субъекту, и внутренней структуры, выявляемой в задаче на основе осмысления основного отношения в ней, - отношения условия и искомого, которое находится на верхнем уровне иерархии в системе отношений, реализованных в задаче, и управляет процессом поиска её решения [5].

Информационную структуру любой задачи можно рассматривать как систему Б = (А, В, Е, С, Б, Я), замкнутую в том смысле, что все её компоненты могут быть определены в системе "человек - задачная система". Смысл этих компонентов следующий.

А - условие (условия) задачи, то есть данные и отношения между ними.

В - требование задачи, то есть то, что нужно сделать в данной задаче (выражается вопросом или побудительным предложением).

Е - искомое в задаче, то есть то, что в ней требуется найти (обнаружить), доказать или выяснить.

© А.А. Аксёнов © A.A. Aksyonov

С - базис решения задачи (теоретическая и практическая основа, с помощью которой обосновывается решение).

Б - способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия (условий) задачи для выполнения требования.

Я - основное отношение в отношениях между данным и искомым в задаче.

В предложенной трактовке на две различные части - требование и искомое теоретически разграничен один компонент, в трудах Ю.М. Колягина и В.И. Крупича трактуемый как требование в задаче. Это разделение предопределило замечание А.В. Брушлинского о неправомерности отождествления требования и искомого, так как в задаче требование известно практически всегда, а искомое в большинстве случаев неизвестно [2].

Прежде чем приступить к описанию некорректных задач, дадим определение корректной задачи.

Определение 1. Система компонентов А, В и С* (или А, В, С*, Е, если в задаче известно искомое Е) называется информационной структурой формулировки задачи. Компонент С* называется теоретическим базисом формулировки задачи. Обозначение: 8* = (А, В, С*) (или 8, = (А, В, С*, Е)).

Определение 2. Школьная математическая задача называется корректной, если одновременно выполнены условия:

а) предметное содержание компонента С её информационной структуры соответствует стандартам школьного математического образования;

б) предметного содержания компонента С* информационной структуры её формулировки достаточно для задания компонентов А и В (или А, В, Е);

в) предметное содержание компонентов А и В (или

A, В, Е) позволяет решить данную задачу (удовлетворить предметное содержание компонента В);

г) для выполнения условий пункта в) задействовано всё предметное содержание компонентов А и В (или А,

B, Е).

Теоретико-методический смысл определения 2 следующий.

Во-первых, в корректной задаче компоненты А и В (или А, В, Е, для задач на доказательство) известны, иначе нет возможности утверждать, что предметного содержания компонента С* информационной структуры её формулировки достаточно для задания этих компонентов.

Во-вторых, в формулировке корректной задачи нет ни лишних, ни недостающих данных, а всё то, что в ней имеет место, позволяет решить задачу в плане выполнения её требования. В этом смысле можно утверждать, что в корректной задаче между собой согласованы все компоненты её информационной структуры в смысле сущности их предметного содержания. То есть в корректных задачах между собой будут согласованы компоненты информационной структуры её формулировки, а также взаимно согласованы формулировка, способ решения и его теоретический базис.

В-третьих, смысл пункта в) состоит в нахождении предметного содержания всех неизвестных компонентов в информационной структуре данной задачи или установлении отсутствия логических противоречий в предметном содержании всех компонентов информационной структуры задачи, если в ней все компоненты известны.

Определение 3. Школьная математическая задача называется некорректной, если она не является корректной (не удовлетворяет определению 2).

Согласно этому определению, к некорректным следует отнести такие задачи, в которых имеет место несоответствие хотя бы одному аспекту предметного содержания хотя бы одного из пунктов а), б), в), г) определения 2.

Кратко опишем суть процесса выявления некорректных школьных математических задач. Очевидно, некорректность задач в конечном счёте сводится к взаимной некорректности компонентов их информационной структуры. Эта некорректность может предопределяться только сущностью содержащейся в них информации (здесь слово "информация" - синоним словосочетания "предметное содержание"). Информация имеет качественные и количественные характеристики, других, в силу логического закона исключённого третьего, не существует. Рассмотрим особенности информации, детерминирующие некорректность задач. Избыток или недостаток и, в частном случае, отсутствие информации - количественная её характеристика, а логическая несогласованность - качественная характеристика. Частным, но особым случаем логической несогласованности информации является её противоречивость. Вторым таким случаем является ложность информации. Тогда будем считать, что логическая несогласованность означает несоответствие друг другу каких-либо утверждений, противоречивость состоит в том, что в одном утверждении содержится факт, противоположный факту, содержащемуся в другом утверждении, а ложность информации означает, что некоторые факты или понятия специально неверно трактуются.

Итак, некорректность компонентов информационной структуры задач выражается следующими факторами: а) логической несогласованностью информации; б) информационными противоречиями; в) ложностью информации; г) избытком или недостатком информации; д) отсутствием информации. Для краткой записи рассуждений введём обозначения: "-о" - знак согласования; "><" - знак несогласованности; "?!" - знак противоречия; "А", "В", "Е" - знаки ложности информации; ">" - знак избытка информации; "<" - знак недостатка информации; "л" - традиционный знак конъюнкции.

Далее некорректность школьных математических задач следует рассмотреть в трёх аспектах:

1. некорректность задачи предопределена её формулировкой;

2. некорректность задачи детерминируется процессом её решения;

3. некорректность задачи обусловлена формули-

ровкой и процессом её решения.

В рассмотрении формулировки, в свою очередь также выделяются три случая: а) обособленное рассмотрение компонентов; б) рассмотрение всевозможных пар компонентов; в) рассмотрение всех трёх компонентов.

Сама процедура выявления специфики проявления некорректности в задачах - довольно сложная, длительная и громоздкая процедура, выполняемая на основе системного подхода. В рамках одной статьи в полной мере описать её не представляется возможным, поэтому ограничимся лишь констатацией результатов исследования этой проблемы, представленных ниже с помощью принятых ранее обозначений.

Формулировка задачи

Обособленное рассмотрение компонентов А, В, Е:

а) каждый из этих компонентов может быть не сформулирован;

б) компоненты А и Е могут содержать противоречивую информацию;

в) компоненты А и Е могут содержать ложную информацию.

Рассмотрение пар компонентов А и В, А и Е, В и Е:

а) оба компонента в каждой паре могут быть не сформулированы;

б) А < В; А > В; А > Е; А < Е (частный случай для А < В); В > Е;

в) А >< В; А >< Е;

г) А ?! Е.

Рассмотрение сочетаний АВ и Е, АЕ и В, ВЕ и А:

а) все три компонента могут быть не сформулированы;

б) (А > В) > Е (частный случай для А > В);

в) (А < В) < Е (частный случай для А < В);

г) (А > В) >< Е (частный случай для А >< Е);

д) А < (В > Е);

е) А > (В > Е);

ж) А >< (В > Е);

з) А ?! (В > Е).

Процедура решения задачи концентрировано соответствует двум компонентам информационной структуры задачи: С и Б. Поэтому необходимо исследовать каждый из них по отдельности, а затем совместно. В конечном счёте получается нижеследующий результат, который будет зафиксирован с помощью принятых ранее обозначений.

Решение задачи

Рассмотрение компонентов С, Б:

а) 0Б (задача может иметь решение, выходящее за рамки школьного курса математики);

б) 00 (задача в принципе не может иметь решения);

в) С < Б (эвристические задачи, то есть задачи с неизвестным компонентом С в их информационной структуре - некорректные задачи).

Сопоставление в задаче некорректности, обусловленной особенностями формулировки и спецификой процесса решения не столь громоздкая процедура, при-

ведём её полностью. Разумеется, сопоставляя в общем виде варианты некорректности для формулировок и процесса решения, необходимо учитывать методическую целесообразность использования в обучении некорректных задач, получающихся в ходе соответствующих сопоставлений, поскольку так могут быть получены задачи, которые в принципе не следует применять в обучении ввиду отсутствия у них дидактической значимости.

Рассмотрим случай 0Б (задача может иметь решение, выходящее за рамки школьного курса математики). Он характерен тем, что учитель в принципе может указать (то есть просто огласить их учащимся) теоретические средства, с помощью которых могут быть решены подобные задачи (например, вычисление объёма тела с помощью двойного интеграла). Ясно, что специально предлагать школьникам такие задачи (дополненные некорректной формулировкой) нет смысла: если учитель хочет продемонстрировать школьникам задачу, решение которой выходит за рамки школьной математики, нецелесообразно отвлекать внимание учащихся от этого факта некорректностью формулировки такой задачи.

Теперь изучим случай 00, когда задача в принципе не может иметь решения. Специально составлять такие задачи (дополнив их некорректной формулировкой) для обучения школьников нет смысла, поскольку в арсенале учителя математики в принципе нет конкретных средств, позволяющих строго обосновать, что данная задача вообще не имеет решения.

Исследуем случай, когда С < Б. Сопоставлять его с любым из случаев, характерных для формулировки задачи, методически нецелесообразно. Во-первых, это эвристические задачи (с неизвестным компонентом С в их информационной структуре), которые чрезвычайно трудны. Такие эвристические задачи обычно используются для постановки учебных проблем, практически никто из учащихся не сможет их решить самостоятельно. Если для таких задач составить ещё и некорректную формулировку (в любом её варианте), трудность такой задачи существенно возрастёт. Во-вторых, задачи, используемые для обоснования учебных проблем, наоборот, должны быть чётко сформулированы, иначе теряется весь смысл их применения в обучении в указанном выше качестве.

Таким образом, все три случая, когда некорректность задачи проявляется в процессе поиска и реализации её решения, методически нецелесообразно (или невозможно) совмещать с некорректностью формулировки задачи. Но если в процессе решения задач с некорректной формулировкой, если для решения требуется, например, доопределить условие задачи, школьники могут прийти к тому, что получат задачу, для которой имеет место один из трёх вариантов:

а) задача не может быть решена средствами школьной математики (0Б);

б) задача в принципе не имеет решения (00);

в) в задаче имеет место факт: С < Б.

В таких случаях методически целесообразно обосо-

бленно рассматривать как некорректную задачу, которая получилась у школьников в результате преобразования изначально предложенной им некорректной задачи.

Таким образом, в реальном обучении математике школьникам следует предлагать некорректные задачи лишь в двух вариантах:

а) некорректность задачи обусловлена только их формулировкой;

б) некорректность задачи проявляется только в выполнении их решения.

Следовательно, выше в знаково-символической форме представлены все варианты некорректных школьных математических задач.

Приведём конкретные примеры школьных математических задач, которые относятся к числу некорректных и демонстрируют некоторые из их специфических особенностей, выявленных ранее.

Обособленное рассмотрение компонентов А, В, Е

Задача 1. Решить уравнение ^2х + logsx = ... . Здесь не сформулировано условие, поскольку правая часть уравнения может быть дополнена сколь угодно большим количеством выражений, которые позволят считать эту задачу корректной в полной мере.

Задача 2. В трапеции проведены биссектрисы смежных углов, прилежащих к одной боковой стороне. Доказать, что . . В этой задаче на доказательство не сформулировано искомое. С помощью словосочетания "биссектрисы перпендикулярны" эта задача преобразуется в корректную.

Рассмотрение пар компонентов А и В, А и Е, В и Е

Задача 3. В правильный треугольник, вписанный в окружность радиусом 4 м, вписана ..., доказать, что ... . Здесь не сформулированы условие и искомое. Если условие дополнить словом "окружность", искомое можно изложить так: " длина этой окружности меньше

13 м".

Задача 4. Одна из диагоналей ромба равна его стороне, а один из его острых углов равен 600. Вторая диагональ ромба равна 1273м. Найти его площадь. Это переопределённая задача (условие информационно превалирует над требованием, то есть А > В). Значение острого угла ромба может быть найдено на основе того, что диагональ равна его стороне.

Рассмотрение сочетаний АВ и Е, АЕ и В, ВЕ и А

Задача 5. В параллелограмме АВСБ проведена диагональ АС и отрезки, соединяющие точки В и Б с серединами сторон АБ и ВС соответственно. Стороны параллелограмма равны 10 м и 6 м. Доказать, что указанные отрезки делят диагональ АС на три равные части. Это переопределённая задача на доказательство ((А > В) > Е) - частный случай некорректных задач, для которых имеет место факт А > В. В исходной задаче количественные данные лишние.

Задача 6. Два круга имеют единственную общую точку. К их окружностям проведены две общие каса-

тельные (не проходящие через эту точку). Доказать, что радиусы этих окружностей равны. Это недоопределён-ная задача на доказательство ((А < В) < Е) - частный случай некорректных задач, для которых имеет место факт А < В. В исходной задаче отсутствует указание на то, что проведённые касательные параллельны друг другу.

Рассмотрение компонентов С, Б (решение задачи)

Задача 7. Решить уравнение x3 + 6x + 2 = 0. Эта задача адекватна формализованной записи 0Б. Дело в том, что это уравнение имеет только иррациональный корень и два корня комплексных (сопряжённых). Она может быть решена только по формулам Кардано, изучение которых не предусмотрено даже программой для школ и классов с углублённым изучением математики. (Конечно, учителя математики, работающие в таких школах и классах, по личной инициативе на внеурочных занятиях могут познакомить своих учащихся с формулой Кардано, что вполне возможно, поскольку они изучают комплексные числа.)

Задача 8. Решить уравнение x5 + x2 - 6 = 0. Данная некорректная задача соответствует формализованной записи 00. Она составлена средствами школьного курса математики. Утверждать, что она в принципе не имеет решения, вполне правомерно, поскольку данная редакция формулировки требует абсолютно точного нахождения корней уравнения, но в общем случае для алгебраических уравнений степени выше четвёртой это сделать невозможно в силу теоремы Руффини-Абеля. В данном случае представлено уравнение, единственный действительный корень которого находится в интервале (1; 2), что нетрудно доказать. Остальные корни этого уравнения - комплексные числа. В курсе высшей алгебры для таких уравнений разработаны лишь методы приближённого вычисления корней, но приближённое вычисление корней, это, по сути дела, уже другая мате-магическая задача, не тождественная данной.

Приведённые примеры являются убедительным свидетельством того, что некорректные задачи вполне могут и должны занять достойное место в школьном курсе математики.

В завершении теоретического описания некорректных задач заметим, что здесь это методико-математический научный термин. Однако существует и одноимённый математический научный термин. В частности, академик А.Н. Тихонов в статье, помещённой в третье издание Большой советской энциклопедии, о некорректных математических задачах пишет: "... Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение г. При этом считается, что u и г связаны функциональной зависимостью г = К(и). Задача называется корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности):

1. задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения);

2. каждым исходным данным и соответствует толь-

ко одно решение (однозначность задачи);

3. решение устойчиво.

Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи.

Эти два условия обычно называют условиями мате-магической определённости задачи.

Третье условие заключается в следующем. Если и и и2 — два различных набора исходных данных, мера уклонения которых друг от друга достаточно мала, то мера уклонения решений х1 = Я (и1) и х2 = Я (и2) меньше любой наперёд заданной меры точности. При этом предполагается, что в многообразии и = {и} допустимых исходных данных и в многообразии возможных решений 2 = {х} установлено понятие меры уклонения (или меры близости) р(и1, и2) и р*(х1, х2). Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными) ...".

Отметим следующее. Во-первых, некорректные задачи в математике часто называют некорректно поставленными, то есть можно утверждать, что их некорректность заложена уже в самой формулировке. Во-вторых, первое и второе условия корректности задачи фактически означают, что в полной мере согласуются условие и требование задачи, а также её теоретический базис - компоненты А, В и С информационной структуры задачи (эти понятия могут быть применены не только к школьным математическим задачам, но и к учебным или научным задачам, относящимся к высшей математике). Третье условие корректности фактически заключает в себе математическую (физико-математическую) специфику задачи, в частности отражает тот факт, что такие задачи имеют не абсолютно точное, а приближённое решение. В средней школе такие сведения о математических задачах частично узнают учащиеся математических классов в ходе их знакомства с решением и интерпретацией решения простейших дифференциальных уравнений.

Таким образом, можно утверждать, что, разумеется, частично, но, тем не менее, существует некоторая преемственность в понимании сущности некорректных математических задач, используемых в школьном и вузовском обучении, а также в математике как в науке. Этот факт, в свою очередь, подчёркивает необходимость знакомства школьников с некорректными задачами, поскольку оно содержит в себе пропедевтический элемент (однако он может быть полезен лишь для тех выпуск-

ников средних школ, которые выберут для себя профессии, требующие знания солидного объёма курса высшей математики).

Итак, несмотря на текстуальное совпадение указанных выше терминов, их сущность в предельно общем случае различна.

Теперь кратко охарактеризуем роль некорректных задач в обучении школьников математике. Прежде всего заметим, что использование в процессе обучения некорректных задач главной целью имеет формирование у школьников представления о формулировке задач, важности правильного её составления, поскольку от этого зависит ответ на вопрос о возможности выполнения требования задачи (или о возможности обоснования того, что требование задачи в принципе не выполнимо).

Задачи, некорректность которых обусловлена лишь одним компонентом формулировки, главным образом используются для проверки и развития бдительности учащихся, их применение возможно практически на любом этапе обучения школьников. При этом важно следить за тем, чтобы используемые факторы некорректности не отвлекали внимание учащихся от основной дидактической цели, которой соответствуют предложенные им задачи.

Задачи, некорректность которых обусловлена сопоставлениями пар или всех трёх компонентов, могут применяться в обучении лишь тогда, когда учащиеся приобретут ощутимый опыт решения задач на доказательство (они принадлежат к этому виду задач, так как в них известно искомое, то есть то, что и надо доказывать в задаче). Логично использовать их в обучении школьников с 14-15 летнего возраста, поскольку в это время у учащихся уже на достаточном уровне сформировано абстрактное мышление и способность к доказательству утверждений, как свидетельствуют исследования П.П. Блонского [1]. Заметим, что условия некорректности, характерные для всех трёх компонентов, по сути дела есть обобщение и комбинирование факторов некорректности, относящихся к парам компонентов формулировки задачи.

Задачи, некорректность которых обусловлена процедурой их решения, специально предлагать школьникам можно, пожалуй, лишь для их демонстрации учащимся. Однако они могут быть найдены учащимися в дополнительной математической литературе. В этом случае учителю следует пояснить учащимся суть и специфику некорректности таких задач.

В заключение предлагаемой статьи остановимся на следующих методических проблемах. За редким исключением (переопределённые и недоопределённые задачи) некорректные задачи практически не используются в традиционном обучении математике, даже невзирая на то, что многие из них могут применяться уже в младших и начальных классах. Такие задачи не только доступны школьникам, но и интересны, поскольку они придают большее разнообразие всему массиву задач, предлагаемых учащимся для решения. Из этого можно сделать вывод о том, что в отечественном школьном

математическом образовании не сложилась традиция регулярного применения некорректных задач в процессе обучения. Частично это произошло из-за дефицита учебного времени, но если временной ресурс позво-

ляет задействовать некорректные задачи в обучении школьников, например, в специализированных или профильных математических классах, целесообразно восполнить существующий пробел.

Библиографический список

1. Блонский П.П. Память и мышление. СПб.: Питер, 2001. 288 с.

2. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970. 202 с.

3. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.

4. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.

5. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 166 с.

References

1. BlonskyP.P. Memory and thinking. SPb.: St. Petersburg, 2001. 288 p.

2. BrushlinskyA.V. Psychology of thinking and cybernetics. M.: Mysl\ 1970. 202 p.

3. Kolyagin Yu.M. Problems in teaching mathematics. P. I. M.: Prosvjashenie, 1977. 110 p.

4. Kolyagin Yu.M. Problems in teaching mathematics. P. II. M.: Prosvjashenie, 1977. 144 p.

5. Krupich V.I. Theoretical bases of teaching solution of school mathematical problems. M.: Prometheus, 1995. 166 p.