CC BY
50
13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 512(072.3) А.А. АКСЁНОВ
доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет E-mail: aksenovaa@inbox.ru
UDC 512(072.3) A.A. AKSYONOV
Doctor of Pedagogics, Professor, Department of the mathematical and information analysis of economic
processes, Orel State University E-mail: aksenovaa@inbox.ru
СУЩНОСТЬ ЭВРИСТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И СПЕЦИФИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ
THE ESSENCE OF HEURISTIC MATHEMATICAL PROBLEMS AND SPECIFICITY OF THEIR USE IN TEACHING STUDENTS
В статье представлен один из нескольких возможных вариантов теоретического описания эвристических математических задач и показана специфика их применения в обучении учащихся средних школ. В качестве конструктивного основания выбрана трактовка категории «задача», предложенная Ю.М. Колягиным, дополненная В.И. Крупичем и скорректированная с учётом исследований А.В. Брушлинского.
Ключевые слова: математическая задача, решение, эвристика, процесс обучения математике.
The article is one of several possible theoretical description of heuristic mathematical problems and specificity of their use in teaching secondary school students. As the constructive basis the treatment of the category «problem» offered by Yu.M. Kolyagin, supplemented by V.I. Krupich and corrected considering researches of A.V Brushlinsky was chosen.
Keywords: mathematical problem, decision, heuristics, process of teaching mathematics.
Понятие «эвристическая задача» в современной теории и методике обучения математике не имеет однозначного понимания. Тем не менее, для дальнейшего развития теоретического базиса методики математики важно определиться с предметным содержанием этого термина, поскольку задачи, которые авторы различных публикаций и учителя математики называют эвристическими, нередко используются в научных текстах для разъяснения теоретических замыслов, а также в обучении школьников. Необходимость более чёткого понимания научной терминологии и дидактической роли эвристических задач требует научного обоснования сущности таких задач и специфики их использования в обучении школьников математике.
Представим трактовку категории «задача», на основе которой будет теоретически раскрыто понятие эвристической задачи.
Рассмотрим сложное замкнутое образование «человек - задачная система», в котором задача тоже понимается как объект, являющийся системой. Схематически оно изображается «Б-Р». В нём задачная система определяется на множестве: Р = ау ^2, •••}, где: а, Ь - элементы множества; /1, у - свойства элементов; т1, т2 - отношения между элементами или их свойствами. Под человеком понимается абстрактный субъект. Ситуация в образовании «Б-Р» называется стационарной по отношению к данному субъекту, если ему известны все элементы, их свойства и отношения между
ними. В противном случае имеет место нестационарная или проблемная ситуация. Она становится задачей, если у субъекта возникает потребность найти неизвестные элементы. Решить задачу - значит в образовании «Б-Р» привести проблемную ситуацию к стационарной ситуации. Для существования задачи необязательно само её решение. Необходимо лишь осознание субъектом нестационарности ситуации [2, 3].
В описанном образовании «человек - задачная система» задача как сложный объект представлена диалектическим единством информационной структуры, которая фактически является формой её представления субъекту, и внутренней структуры, выявляемой в задаче на основе осмысления основного отношения в ней, - отношения условия и искомого, которое находится на верхнем уровне иерархии в системе отношений, реализованных в данной задаче, и управляет процессом поиска её решения [4].
Информационную структуру любой задачи можно рассматривать как систему Б = (А, В, Е, С, Б, Я), замкнутую в том смысле, что все её компоненты могут
быть определены в системе «человек - задачная система». Смысл этих компонентов следующий.
А - условие (условия) задачи, то есть данные и отношения между ними.
В - требование задачи, то есть то, что нужно сделать в данной задаче (выражается вопросом или побудительным предложением).
© А.А. Аксёнов © A.A. Aksyonov
Е - искомое в задаче, то есть то, что в ней требуется найти (обнаружить), доказать или выяснить.
С - базис решения задачи (теоретическая и практическая основа, с помощью которой обосновывается решение).
Б - способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия (условий) задачи для выполнения требования.
Я - основное отношение в системе отношений между данным и искомым в задаче.
В предложенной трактовке на две различные части - требование и искомое теоретически разграничен один компонент, в трудах Ю.М. Колягина и В.И. Крупича трактуемый как требование в задаче. Это разделение предопределило замечание А.В. Брушлинского о неправомерности отождествления требования и искомого, так как в задаче требование известно практически всегда, а искомое в большинстве случаев неизвестно [1].
В.И. Крупичем установлено, что основное отношение не влияет на типологию задач, суть которой состоит в генерировании мыслительной деятельности субъекта, решающего задачу, поэтому в описании типологии задач его следует исключить [4]. Ю.М. Колягин, исходя из стационарной ситуации (когда все компоненты информационной структуры задачи известны), выделил ряд типологических вариантов, основанных на фиксированном количестве неизвестных компонентов в информационной структуре задачи (что соответствует проблемной ситуации). Среди таких вариантов выделим только те, которым свойственна известность и условия, и требования задачи. Это наиболее значимая часть школьных математических задач, поскольку в абсолютном большинстве из них известно и условие, и требование. Такие задачи назовём чёткими корректными. Представим ниже типологию чётких корректных задач. Буквами г, и, V обозначим неизвестные компоненты информационной структуры задачи.
Формальная типология чётких задач
Стационарная ситуация: АВЕСБ.
I тип - неизвестен один компонент информационной структуры:
АВгСБ; АВЕСУ
II тип - неизвестны два компонента информационной структуры:
АВгСУ; ABEИV
III тип - неизвестны три компонента информационной структуры:
АВгИУ
В этой типологии представлено 6 разновидностей задач. На этой основе В .И. Крупичем выделена основная информационная структура школьных математических задач, в которой всегда известно условие и требование. С учётом всех уточнений трактовки категории «задача», эта типология выглядит таким образом:
I тип. АВЕСБ и АВгСБ - алгоритмические задачи.
II тип. АВЕСУ и АВгСУ - полуэвристические задачи.
III тип. ABEUV и ABZUV - эвристические задачи.
Для объяснения того, какие школьные математические задачи целесообразно относить к эвристическим, выясним, что следует понимать под известностью и неизвестностью компонента C (теоретический базис) информационной структуры задачи.
Если исходить только из отражения содержания задачи в сознании реального субъекта, практически сразу же выясняется, что для разных субъектов одна и та же задача может относиться к разному типу. Например, для девятиклассника квадратное уравнение - задача типа ABZCD, а для семиклассника это задача типа ABZUV, так как он ещё не знаком со способом её решения и его теоретическим обоснованием. Однако такое соотнесение задачи с субъектом с научной точки зрения является практически бесполезным, поскольку в методике обучения математике не исследуются проблемы методического обоснования системы обучения, например, семиклассников учебному материалу, относящемуся к курсу математики девятого или десятого класса.
Если исходить из рассмотрения абстрактного субъекта, он, в силу общепринятого его понимания, обладает всеми математическими знаниями, соответствующими тому этапу школьного обучения, в контексте которого рассматривается деятельность абстрактного субъекта в данной конкретной ситуации. Например, если будет рассмотрено обучение решению квадратных уравнений как текущая изучаемая тема, абстрактный субъект знает весь школьный курс математики (и алгебры, и геометрии), который должен быть изучен к этому моменту времени.
Разумеется, каждый учитель математики, согласно современному законодательству в сфере образования, вправе выбирать любой из возможных вариантов построения преподаваемого им предмета, поэтому, устанавливая типологию школьных математических задач, необходимо иметь в виду и этот факт.
Таким образом, определяя типологию школьных математических задач, известность или неизвестность любого компонента информационной структуры данной задачи (кроме компонента R - основного отношения), необходимо устанавливать с учётом её структурного места в данном варианте построения школьного курса математики (составляемого учителем).
Теперь непосредственно исследуем сущность задач типов ABEUV и ABZUV. В них помимо способа решения (и искомого для задач типа ABZUV) неизвестен и его теоретический базис. Выясним, что следует понимать под неизвестностью компонента C. Для простоты изложения проведём рассуждения с точки зрения реального субъекта. Этот способ рассуждений вполне правомерен, поскольку абстрактный субъект, в силу принятого его понимания, - идеализированная модель реального субъекта.
В этом случае неизвестность компонента С означает, что учащиеся ещё вообще не изучали по меньшей мере один теоретический факт, используемый в решении данной задачи. Следовательно, они смогут решить
задачу только в том случае, если самостоятельно (то есть без помощи учителя) «откроют» все необходимые новые теоретические сведения. Однако для части школьных математических задач эта процедура может оказаться чрезмерно трудной. Так, если для решения задачи требуется знание основ дифференциального исчисления, то вряд ли найдутся школьники, которые самостоятельно «откроют» даже азы этой области математики. Такие задачи исключительно трудны и могут применяться лишь для постановки учебных проблем, обоснования необходимости изучения некоторой теории (они предлагаются учащимся в ходе её изложения). Рассмотрим более простую задачу.
Пример 1. В параллелограмме все стороны равны, а диагонали - 6 м и 8 м. Найти его периметр. В процессе решения этой задачи используются теоретические сведения, относящиеся к понятию ромба. Если эту задачу предложить школьникам после изучения параллелограмма и до изучения ромба, её информационная структура будет иметь тип АВгИУ. С другой стороны, учащимся известна вся теория, на основе которой определяются теоретические факты, относящиеся к понятию ромба, поэтому, используя понятие параллелограмма и его свойства, свойства равнобедренного треугольника, теорему Пифагора и правило вычисления периметра четырёхугольника, они смогут решить эту задачу. Следовательно, её информационная структура имеет тип АВгСУ Получено противоречие, которое необходимо прояснить.
Всё это приводит к мысли о том, что в решении задач типов АВЕИУ и АВгИУ нужно использовать теорию, которая изначально (едва ли не аксиоматически) отличается от всех теорий, которые учащиеся уже изучили. Такая теория может относиться к принципиально иной ветви математики, например, «Дифференциальное исчисление», «Векторы» и т. п. Но как показано выше, соответствующие задачи целесообразно использовать лишь для постановки учебных проблем. Всё это, казалось бы, ведёт к тому, что кроме вышеуказанного случая, задачи с информационной структурой типов АВЕИУ и АВгИУ для других целей в обучении не применяются. На самом деле это не так. В связи с этим, проанализируем сущность содержания любой математической теории. Теория включает в себя неопределяемые понятия, неопределяемые отношения между ними, строгие определения, аксиомы и теоремы. При этом любая теорема - это задача на доказательство, сформулированная в общем виде. Однако задача: «Доказать, что в любом равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой его внутренней точки до всех сторон равна высоте» также является задачей на доказательство, сформулированной в общем виде, но в современных учебниках математики такой теоремы нет. Дело в том, что любая задача на доказательство, сформулированная в общем виде, может быть принята как теорема и изложена в учебниках, но в математике традиционно в качестве теорем представлены лишь те из них, которые довольно часто применяются в решении большого числа самых
разнообразных задач, и на результат решения которых в значительной мере опирается дальнейшее развитие науки (или построение учебного предмета). Другого критерия на сегодняшний день практически нет.
В силу вышеприведённых рассуждений можно считать, что если для решения данной задачи субъекту (в том числе, абстрактному) обязательно необходимо использовать некий факт, устанавливаемый в какой-либо задаче на доказательство, сформулированной в общем виде, то в исходной задаче компонент С неизвестен, если указанный факт встречается в школьном курсе математики впервые. Кроме того, он в принципе может занять место в числе теоретических фактов школьного курса математики. Заметим, что указанная задача на доказательство (назовём её вспомогательной) фактически является подзадачей исходной задачи, то есть выявляется в процессе поиска её решения. Таким образом, в задаче компонент С неизвестен, если в ходе её решения неизбежно обнаружение и доказательство некоего факта, который является (или может явиться) частью теоретического материала, изучаемого в школьном курсе математики. Разумеется, эти рассуждения верны лишь для данного конструктивного варианта школьной математики. Обобщая изложенное выше, сформулируем выводы, заключающие в себе сущность эвристических задач.
I. Компонент С в информационной структуре задачи неизвестен, если:
а) для решения задачи обязательно необходимо использовать некий факт, устанавливаемый в некоторой задаче на доказательство, сформулированной в общем виде, причём ранее этот факт (эта вспомогательная задача на доказательство) нигде в структуре учебного предмета не встречался;
б) для решения указанной вспомогательной задачи (подзадачи исходной задачи) теоретический базис известен или неизвестен в смысле пункта а).
II. Задачи с неизвестным компонентом С в их информационной структуре делятся на две категории:
а) задачи первой категории могут быть решены только с помощью средств принципиально (может быть, аксиоматически) иной теории, изучающей, в том числе и математические понятия «другой природы», они применяются в обучении лишь для постановки учебных проблем при изучении этой теории;
б) задачи второй категории удовлетворяют пункту I и для решения всех их вспомогательных подзадач необходимо пользоваться средствами тех теорий, которые изучены ранее в структуре учебного предмета, то есть эти задачи могут быть использованы непосредственно в обучении школьников.
Исходя из изложенного выше, заключаем, что задача из примера 1 имеет информационную структуру АВ2ИУ, так как в её решении обязательно нужно установить перпендикулярность диагоналей (ромба), а это свойство в современной математике является самостоятельным теоретическим фактом. Заметим, что это одна из относительно нетрудных задач типа АВгИУ, по-
скольку многие способные учащиеся могут решить её самостоятельно. Приведём ещё один пример эвристической задачи, из которого станет ясно, как в условиях реального обучения учителю следует составлять такие задачи.
Пример 2. Решить уравнение + 2 ■ х1°а*3 = 21. Если предложить его школьникам, не изучавшим такое
свойство логарифма числа, как alogcb = blogc", это будет эвристическая задача. С применением этого свойства её
решение таково: 3log5 х + 2 • 3log5 х = 27, 3 • 3log5 х = 27,
3log5 х = 9, log5 х = 2, х = 25. Таким образом, для того чтобы преобразовать эту задачу из эвристической в полуэвристическую, учителю достаточно сначала познакомить учащихся со свойством alogcb = blogc". Само это свойство - нетрудная задача на доказательство (хотя изначально данная школьникам задача довольно трудна). Часто учителя математики предлагают школьникам для решения некоторые задачи (называя их опорными, которыми они по сути дела и являются), а затем несколько задач, каждую из которых можно решить, лишь используя результат решения опорной задачи. Однако если математические способности учащихся данного класса довольно высоки (эвристически задачи обычно трудны) и есть в наличии временной ресурс, целесообразно сделать наоборот. Нужно предложить школьникам задачу (или несколько задач) в ходе поиска решения которой вычленяется в качестве подзадачи опорная задача (задача на доказательство, в которой доказываемый факт встречается в изучаемом школьниками курсе математики впервые), наличие которой и позволяет отнести исходную задачу к числу эвристических. По сути дела в примере 2 продемонстрирован основной способ включения эвристических задач в школьный курс математики.
Пример 3. При каких натуральных значениях пара-
{oin n ах = 0
cos х = 1.
ственное решение? Решая каждое из
\^ах = 7ik, [х = 2лш.
ние системы. Значит, других решений быть не должно.
77k
77k
системы, получим:
имеет един-
уравнений Ясно, что х = 0 - реше-
Из системы находим, что
к
х = , Уа
х = 2тп.
. Тогда 2тп ф ,
Уа
то есть у а ф . Таким образом, У а не может быть 2т
рациональным числом. Очевидно, если параметр есть п-ая степень некоторого натурального числа, то указанное требование не выполнено. Выясним, будет ли
во всех других случаях ^а рациональным числом. Здесь формулируется вспомогательная задача (наличие которой и позволяет отнести исходную задачу к эвристическим задачам, если утверждаемый в ней факт ра-
нее школьникам никогда не был представлен): если а - натуральное число, то ^а либо натуральное число, либо иррациональное. Решим её. Пусть х = Па . Из этого равенства получим целое приведённое уравнение хп — а = 0. Оно имеет либо целые корни, либо иррациональные. Итак, а должно быть натуральным числом, не являющимся п-ной степенью какого-либо натурального числа. Пример 3 демонстрирует утверждение о том, значительная часть эвристических задач является весьма трудной.
Таким образом, эвристические задачи, соответствующие их пониманию, представленному в настоящей статье, во-первых, в большинстве своём довольно трудны, во-вторых, составить большое количество таких задач по данной теме весьма непросто. Следовательно, эти задачи целесообразно использовать только в обучении способных школьников, например, в профильных или специализированных математических школах или классах, а также на внеурочных математических занятиях (факультативах, элективных курсах и т. п.). Целенаправленное обучение решению таких задач, очевидно, следует начинать с учащимися 14-15 летнего возраста, поскольку в этом возрасте у школьников уже сформирована способность к доказательству утверждений и абстрактному мышлению, что было обосновано несколько десятилетий назад известным психологом П.П. Блонским. За истекшее время этот факт не устарел, а напротив, прошёл проверку временем.
Для успешного применения эвристических задач в системе обучения школьников целесообразно придерживаться следующего правила. Во-первых, необходимо неоднократно использовать в обучении так называемые опорные задачи. По сути дела это задачи на доказательство, в решении которых устанавливается некоторый факт, который может быть зафиксирован в виде формулы (например, формула зависимости радиуса окружности, вписанной в четырёхугольник, от его площади и периметра) или сугубо словесного описания (например: «из всех четырёхугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат»), причём этот факт должен неоднократно использоваться в решении последующих задач. Во-вторых, школьникам следует предлагать задачи, которые могут быть решены с помощью задач, которые были решены ими относительно недавно, но при этом не следует доводить до сведения школьников это обстоятельство. Они должны сами обнаружить возможность применения результата решения одной из предшествующих задач в отыскании решения данной задачи. То есть эти задачи сыграют роль опорных задач. Всё это является пропедевтикой ознакомления учащихся с эвристическими задачами. В-третьих, школьникам следует предложить собственно эвристические задачи, а обучая их решению, необходимо сделать акцент на том, что в процессе поиска решения нужно выявить (то есть обнаружить и чётко сформулировать) подзадачу, которая является задачей на доказательство, без использования результата реше-
ния которой решение исходной задачи не может быть выполнено. В-четвёртых, обучение решению эвристических задач, очевидно, может быть успешным только
тогда, когда они регулярно предлагаются учащимся данного класса.
Библиографический список
1. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970. 202 с.
2. КолягинЮ.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.
3. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.
4. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 166 с.
References
1. BrushlinskyA.V. Psychology of thinking and cybernetics. M.: Mysl\ 1970. 202 p.
2. Kolyagin Yu.M. Problems in teaching mathematics. P. I. M.: Prosvjashenie, 1977. 110 p.
3. Kolyagin Yu.M. Problems in teaching mathematics. P. II. M.: Prosvjashenie, 1977. 144 p.
4. Krupich V.I. Theoretical bases of teaching solution of school mathematical problems. M.: Prometheus, 1995. 166 p.
