CC BY
51
13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 512(072.3) А. А. АКСЁНОВ
доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет E-mail: [email protected]
UDC 512(072.3) A.A. AKSYONOV
Doctor of Pedagogics, Professor, Department of the mathematical and information analysis of economic
processes, Orel State University E-mail: [email protected]
РОЛЬ И МЕСТО НЕЧЁТКИХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ ROLE AND PLACE OF INDISTINCT PROBLEMS IN TEACHING MATHEMATICS TO SCHOOL STUDENTS
В статье представлен один из нескольких возможных вариантов теоретического описания нечётких математических задач и показана специфика их применения в обучении школьников математике. В качестве конструктивного основания выбрана трактовка категории «задача», предложенная Ю.М. Колягиным, дополненная В.И. Крупичем и скорректированная с учётом исследований А.В. Брушлинского.
Ключевые слова: математическая задача, решение, нечёткая задача, процесс обучения математике.
One of several possible versions of the theoretical description of indistinct mathematical problems is presented in the article and specific of their application in teaching mathematics to school students is shown. As the constructive basis the treatment of the category «problem» offered by Y.M. Kolyagin, added by V.I. Krupich and corrected considering researches of A.V Brushlinsky was chosen.
Keywords: mathematical problem, solution, incorrect task, process of teaching mathematics.
В настоящее время тезис о том, что решение задач - это и цель, и основное средство обучения математике, стал методической аксиомой. Однако традиционное обучение школьников базируется на использовании в процессе обучения задач, в которых чётко и однозначно сформулировано условие и требование (это чёткие корректные задачи). Тем не менее, отдельные фрагментарные отступления от этого правила показывают, что весомой дидактической значимостью обладают и задачи, формулировка которых чётко не задана или не всегда однозначно представлена. Поэтому отдельного методико-математического внимания заслуживают нечёткие, или некорректные, задачи. В данной статье предложено теоретическое описание нечётких школьных математических задач и особенности их применения в учебном процессе.
В первую очередь изложим психолого-педагогическое обоснование теоретической интерпретации нечётких задач и их применения в учебном процессе. Будем опираться на понятие нечёткой задачи, данное в работе Г.А. Балла [2, с. 63-65]. В ней автор переосмыслил труды ведущих отечественных и зарубежных учёных по проблемам психологического обоснования категории "задача". Г.А. Балл не является сторонником жесткого теоретического разграничения задачи и проблемной ситуации, так как он не изучает задачи в отрыве от деятельности субъекта. Поэтому характеристика чётких, квазичётких и нечётких задач автором даётся с учётом действующего лица - реального субъекта, решающего задачу.
Приведём данные в работе [2] характеристики. "... называем отнесённую задачу Мв (родовую или индивидуальную):
- чёткой, если прямая информация о том, решена ли эта задача, находится в распоряжении решателя 0> или если задача установления того, решена ли задача Ыв, является для этого решателя рутинной;
- квазичёткой, если прямая информация о том, решена ли эта задача, с вероятностью, достаточно близкой к единице, находится в распоряжении решателя Q или если задача установления того, решена ли задача М^ является для этого решателя квазирутинной;
- нечёткой, если она не является ни чёткой, ни квазичёткой" [2, с. 64].
Для того чтобы эти характеристики были более понятны, приведём ниже толкование терминов, используемых в их трактовках. Так, Г. А. Балл называл задачу отнесённой, если рассматривал её по отношению к некоторому решателю. Задачу, рассматриваемую в абстракции от решателя, автор называл неотнесённой. Безотносительно к решателю Г.А. Баллом различаются индивидуальные и родовые задачи, поскольку предмет задачи, как и предмет вообще, может быть индивидуальным или родовым. Родовую отнесённую задачу М^ автор называет рутинной (квазирутинной), если решатель Q обладает представленным в той или иной форме алгоритмом (соответственно, квазиалгоритмом) решения этой задачи. Прочие родовые задачи названы нерутинными. Также аналогично автором формулируется понятие рутинной и нерутинной индивидуальной зада-
© А. А. Аксёнов © A.A. Aksyonov
чи [2, с. 59]. Алгоритм в понимании Г. А. Балла отличается от квазиалгоритма тем, что алгоритм - однозначно детерминированная процедура, а квазиалгоритм - неоднозначно детерминированная процедура [2, с. 26-28].
Очевидно, задачу следует считать чёткой, если субъект, решающий её, смог решить данную задачу и ему известно, что решение выполнено верно, или в его распоряжении находятся все однозначно применяемые средства, с помощью которых он сможет достоверно установить этот факт. Задачу необходимо считать квазичёткой, если всё, что имеет место для чёткой задачи, существует и для задач данного класса, но не как достоверная, а как наиболее вероятная информация. Наконец, задачу следует считать нечёткой, если субъект её решил, но он не может поручиться за то, правильно им выполнено решение или нет. Заметим, что здесь задача автором рассматривается в полной мере, то есть вместе со своим решением. Г. А. Баллом не разработано в этой монографии никаких критериев, указывающих на то, что задачу можно считать чёткой или нечёткой в зависимости от содержания её формулировки.
Остановимся также на таких характеристиках задач, как их возможность быть открытыми и закрытыми [2, с. 89-91]. Под закрытыми автор понимает задачи, в решении которых на возникающие частные вопросы, число которых конечно, существуют чёткие однозначные ответы. Задача считается открытой, если можно поставить сколь угодно много вопросов в процессе её решения (все они необходимы). При этом для определения таких задач автором введены в рассмотрение открытые и закрытые вопросы. Заметим, что закрытые задачи иногда могут быть заданы с помощью открытого вопроса [2, с. 91].
Разумеется, открытые задачи, сформулированы ли они в виде (или с помощью) открытого или закрытого вопроса, также вполне могут иметь неточные, нечёткие или недостаточные данные в своей формулировке. Рассматривая задачу: "Чем различаются снег и лёд?", сформулированную в виде открытого вопроса, автор утверждает, что она является открытой. В задаче для рассмотрения даны снег и лёд, но при этом ничего не указано ни об их химическом составе, ни о физических свойствах, ни о визуально наблюдаемых качествах. Таким образом, в ходе решения этой задачи нужно задавать сколь угодно много вопросов и отвечать на них. Каждый такой вопрос по сути дела предопределяет конкретизацию условия задачи в смысле её доопределения. Разумеется, доопределённое условие порождает дополнительные требования в задаче. Все дополнительные условия и требования полностью укладываются в предельно общие изначальные условие и требование задачи.
Из рассмотренных психолого-педагогических фактов и конкретных примеров делаем основополагающий для построения теории вывод: нечёткие, а также открытые задачи имеют важную особенность - их формулировка неточна. Её неточность выражается в том, что она часто сконструирована предельно общо и эта общность не даёт возможности однозначно ответить на вопрос задачи. То есть требуется конкретизация условия,
которая обычно влечёт за собой необходимость конкретизации требования задачи. В зависимости от того, что за задача изначально дана, есть возможность конечное или сколь угодно большое число раз выполнять эту конкретизацию.
Вторым, несколько скрытым, но не менее важным обстоятельством является то, что требование конкретизации условия и требования является объективным (разумеется, в гносеологическом смысле). Необходимость конкретизации и уточнения условия и требования следует исключительно из логических особенностей конструкции формулировки задачи, специфики соотнесения предельно общо сформулированного условия с требованием, но отнюдь не из субъективных особенностей человека, решающего задачу.
Таким образом, теоретически исследуя использование нечётких задач в обучении математике, нужно определить такие задачи, исходя из указанных особенностей конструкции их формулировки. Обратим внимание на ещё один важный факт, связанный с открытыми задачами. В них можно сколь угодно раз конкретизировать условие и требование. Разумеется, это субъективная характеристика задачи. Чем более высок уровень математических способностей данного учащегося и прочнее его знания, тем большее количество уточнений условия задачи он сможет сделать. Разумеется, такую информацию учитель получает тогда, когда нечёткие задачи уже длительное время применяются в обучении.
Теперь представим трактовку категории «задача», на основе которой будет теоретически раскрыто понятие нечёткой задачи.
Рассмотрим сложное замкнутое образование "человек - задачная система", в котором задача тоже понимается как объект, являющийся системой. Схематически оно изображается "Б-Р". В нём задачная система определяется на множестве: Р = ^^г1, ау г2, ...}, где: а, Ь
- элементы множества; /1, у - свойства элементов; г1, т2 - отношения между элементами или их свойствами. Под человеком понимается абстрактный субъект. Ситуация в образовании "Б-Р" называется стационарной по отношению к данному субъекту, если ему известны все элементы, их свойства и отношения между ними. В противном случае имеет место нестационарная или проблемная ситуация. Она становится задачей, если у субъекта возникает потребность найти неизвестные элементы. Решить задачу - значит в образовании "Б-Р" привести проблемную ситуацию к стационарной. Для существования задачи необязательно само её решение. Необходимо лишь осознание субъектом нестационарности ситуации [4, 5].
В образовании "человек - задачная система" задача как сложный объект представлена диалектическим единством информационной структуры, которая фактически является формой её представления субъекту, и внутренней структуры, выявляемой в задаче на основе осмысления основного отношения в ней, - отношения условия и искомого, которое находится на верхнем
уровне иерархии в системе отношений, реализованных в задаче, и управляет процессом поиска её решения [6].
Информационную структуру любой задачи можно рассматривать как систему 8 = (А, В, Е, С, Б, Я), замкнутую в том смысле, что все её компоненты могут быть определены в системе "человек - задачная система". Смысл этих компонентов следующий.
А - условие (условия) задачи, то есть данные и отношения между ними.
В - требование задачи, то есть то, что нужно сделать в данной задаче (выражается вопросом или побудительным предложением).
Е - искомое в задаче, то есть то, что в ней требуется найти (обнаружить), доказать или выяснить.
С - базис решения задачи (теоретическая и практическая основа, с помощью которой обосновывается решение).
Б - способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия (условий) задачи для выполнения требования.
Я - основное отношение в отношениях между данным и искомым в задаче.
В предложенной трактовке на две различные части
- требование и искомое теоретически разграничен один компонент, в трудах Ю.М. Колягина и В.И. Крупича трактуемый как требование в задаче. Это разделение предопределило замечание А.В. Брушлинского о неправомерности отождествления требования и искомого, так как в задаче требование известно практически всегда, а искомое в большинстве случаев неизвестно [3].
С учётом психолого-педагогического базиса выполним теоретико-методическое описание нечётких задач. Отношение задачи к множеству чётких или нечётких
- это их классификация, в которой выделено всего два класса: чёткие задачи и нечёткие задачи. Следовательно, к нечётким задачам должна относиться любая школьная математическая задача, не являющаяся чёткой. Поэтому используя понятие информационной структуры формулировки задачи, сформулируем нижеследующее определение нечёткой задачи.
Определение 1. Система компонентов А, В и С* (или А, В, С*, Е, если в задаче известно искомое Е) называется информационной структурой формулировки задачи. Компонент С* называется теоретическим базисом формулировки задачи. Обозначение: 8* = (А, В, С*) (или 8, = (А, В, С*, Е)).
Определение 2. Математическая задача называется чёткой, если информационная структура её формулировки имеет вид 8* = (А, В, С*) (или 8* = (А, В, С*, Е)).
Определение 3. Математическая задача называется нечёткой, если информационная структура её формулировки имеет один из следующих видов:
а) 8* = (X, В, С*) (или 8* = (X, В, Е, С*)), где X = {А,, Аи};
б) 8* = (А, У, С*) (или 8* = (А, У, Е, С*)), где У = {В,, ..., В };
' т} '
в) 8* = (X, У, С*) (или 8* = (X, У, Е, С*)), где X = {А,, ..., Аи}, У = {В,, ..., Вт}. Кроме того, имеют место сле-
дующие факты:
1) натуральные числа m и n могут быть как конечными, так и сколь угодно большими;
2) компоненты A. и B. в задаче не сформулированы, а являются следствием конкретизации и уточнения условия и (или) требования задачи на основе строгих логических рассуждений;
3) компонент C* считается известным только после выполнения указанной конкретизации и уточнения.
Сделаем ряд замечаний. Из определения 3 следу -ет, что в информационной структуре формулировки математических задач компонент A и (или) B следует считать неизвестным лишь в том смысле, что он однозначно не задан. Чёткое его формулирование выполняется только на основе конкретизации и уточнения формулировки нечёткой задачи посредством строгих логических рассуждений. Очевидно, выявленный фактор полностью предопределяет то, что в школьной математической задаче условие и (или) требование могут быть неизвестными только в нечётких задачах (то есть удовлетворяющих определению 3). Очевидно, определения 2 и 3 взаимоисключающие, что гарантирует однозначное разделение школьных математических задач на два множества: чётких задач и нечётких задач.
Определение 4. Нечёткая математическая задача называется нечёткой задачей первого рода, если в информационной структуре её формулировки однозначно задано только условие или только требование, то есть информационная структура её формулировки имеет вид: S* = (X, B, C*) или S* = (A, Y, C*); (S* = (X, B, E, C*) или S* = (A, Y, E, C*), если в задаче известно искомое E).
Определение 5. Нечёткая математическая задача называется нечёткой задачей второго рода, если в информационной структуре её формулировки однозначно не задано ни условие, ни требование, то есть информационная структура её формулировки имеет вид: S* = (X, Y, C*); (S* = (X, Y, E, C*), если в задаче известно искомое E).
Определение 6. Нечёткая математическая задача первого или второго рода называется конечной, если в ней натуральные числа n и m принимают конечные значения, исходя из строгой логической конкретизации её условия и (или) требования.
Определение 7. Нечёткая математическая задача первого или второго рода называется бесконечной, если в ней натуральные числа n и (или) m принимают сколь угодно большие значения, исходя из строгой логической конкретизации её условия и (или) требования.
Разумеется, слово "бесконечной" употреблено не в буквальном смысле, а в том, в котором выше изложена возможность чисел n и m принимать сколь угодно большие значения. Итак, получено четыре разновидности нечётких задач: нечёткие задачи первого рода - конечные или бесконечные; нечёткие задачи второго рода - конечные или бесконечные. Символическое обозначение: 1S„ 1S , 2S„ 2S , соответственно, (f от английского
f да' f да' ' v
слова final - конечный).
Заметим, что принятое выше понимание нечётких задач даёт возможность эффективнее использовать в
обучении математике качественные задачи. Очевидно, к качественным задачам можно отнести и ряд чётких задач. Однако это лишь частные случаи, встречающиеся довольно редко, поскольку чёткая задача может быть качественной, например, тогда, когда все её подзадачи являются задачами на доказательство (причём не содержащими никаких вычислительных процедур). Также это могут быть задачи, связанные с визуальным аспектом: построение фигуры с помощью циркуля и линейки (без использования вычислений) или выявление информации (без количественных данных) на основе визуальных её носителей (графиков, диаграмм и т. п.).
Значительные возможности для использования в обучении школьников качественных математических задач предоставляют нечёткие задачи. Например, можно предложить учащимся следующую задачу: "Сопоставьте функции у = сах и у = Очевидно,
эта задача относится к разновидности 1Бу, поскольку речь, разумеется, идёт о сопоставлении этих функций в рамках математики, но не её истории и т. п., а требование здесь задано однозначно - сопоставление функций (по сути дела, это выявление сходства и различия). В этой задаче необходимо конкретизировать условие (указывать свойства функций и т. п.), но для каждого конкретизированного условия требование одно и то же - сопоставление функций. Конечно, это качественная задача. Напротив, задача: "Радиус основания конуса равен 8 м, а угол между образующей и плоскостью основания равен 600. Что можно вычислить на основе этих данных?" является нечёткой, но количественной. Ясно, что эта задача тоже относится к разновидности 1Бу, поскольку условие определено однозначно, а количество вычисляемых в средней школе характеристик конуса является конечным и немногочисленным. Разумеется, нетрудно составить качественные задачи, относящиеся к остальным трём типам нечётких задач. Если учёсть, что нечёткие задачи могут быть качественными и количественными, получается 8 их разновидностей.
Представленные выше сведения являются ядром теоретического описания нечётких школьных математических задач. Помимо этого можно описать типологию этих задач на основе учения, созданного Ю.М. Колягиным, выяснить вопрос о том, какие виды задач могут охватить нечёткие задачи и т. д. Подробнее некоторые из этих проблем описаны в работе [1].
Ниже сделаем некоторые замечания о роли и месте нечётких задач в обучении школьников математике.
В структуре школьного курса математики нечёткие задачи могут быть представлены в нескольких вариантах. При наличии значительного временного ресурса их можно располагать последними в каждом из отдельных массивов задач: алгоритмических, полуэвристических, эвристических (на внеурочных занятиях). Если этот ресурс ограничен, в случае необходимости задействования в обучении нечётких задач последние могут быть даны учащимся на завершающем этапе решения задач по всей изучаемой теме. И здесь логично сначала предложить школьникам алгоритмические задачи, затем
полуэвристические и на внеурочных занятиях - эвристические (если в этом есть необходимость).
Нечёткие задачи в процессе своего решения в первую очередь должны быть преобразованы в чёткие, следовательно, этот фактор должен стать решающим в определении их роли в математическом образовании школьников. Главным средством указанного преобразования выступает конкретизация и уточнение формулировки нечётких задач вне зависимости от того, к первому или второму роду они относятся. В реализации этих действий учащиеся прежде всего должны осмыслить все возможные взаимосвязи между данными, имеющимися в формулировке задачи, найти какие-либо пути такого их сопоставления, чтобы в конечном счёте получилась логически безупречная конструкция формулировки (таких конструкций может быть несколько). Это обстоятельство позволяет утверждать, что в ходе использования этих задач в учебном процессе развивающая цель обучения будет доминировать над остальными двумя целями. Также возможно усиление воспитывающей цели обучения, поскольку нечёткие задачи для школьников явно отличаются от доминирующих в их обучении чётких задач, что, конечно, разнообразит их учебную деятельность, тем самым повышая интерес к математике.
Заметим, что нечёткие задачи могут применяться учителем в процессе ознакомления школьников с новым теоретическим материалом, например, в рамках проблемного обучения. В ряде случаев проблемное обучение имеет целью миниатюрное воспроизведение фрагмента процесса научного поиска решения проблемы, но учёные-математики далеко не всегда могут изначально чётко сформулировать исследуемую ими проблему, которая фактически представляет собой предельно общо сформулированную математическую задачу. Такое использование нечётких корректных задач может быть направлено и на усиление мотивации учащихся в изучении математике, что тоже является неотъемлемой частью воспитывающей цели обучения.
Приведённые аргументы позволяют сделать вывод о том, что, применяя в обучении нечёткие корректные задачи, обучающую цель следует минимизировать. Во-первых, надо достаточно выпукло представить развивающую и воспитывающую цели, а во-вторых, даже в классах с углублённым изучением математики временной ресурс ограничен, поэтому применение в процессе обучения большого количества нечётких корректных задач, в числе которых будут и задачи с доминированием обучающей цели, маловероятно.
Нечёткие задачи могут выполнять диагностическую и прогностическую функции. Если речь идёт о решении конечной нечёткой задачи, то есть возможность дать полное её решение, то есть сформулировать и решить все задачи, получаемые путём уточнения и конкретизации её формулировки. В зависимости от того, сколько задач-следствий из теоретически возможных решит данный субъект, можно судить о том, насколько глубоки его знания и развита логика. Используя в обучении такие
задачи, можно предоставлять учащимся право пользоваться теоретической литературой. Здесь, конечно, уже не проверишь их знания теории, но в ходе организации самостоятельной работы учащихся во время обобщающего повторения какого-либо материала целесообразно приучать учащихся пользоваться литературой, находить в ней нужные сведения и факты.
В случае работы с бесконечной нечёткой задачей есть возможность проверить не только знания и логическое развитие учащегося, но и его фантазию, интуицию. Если данная бесконечная нечёткая задача допускает довольно много решений, каждое из которых сравнимо по степени трудности со всеми остальными, то можно предлагать одну и ту же задачу нескольким школьникам. При этом каждый из них может знать о задачах-следствиях, уже составленных и решённых одноклассниками. С возрастанием количества задач-следствий нужно учитывать, что остальные задачи сформулировать труднее, поэтому на последних этапах решать эти задачи должны наиболее способные школьники.
Также нечёткие задачи открывают большие возможности для применения в обучении математике качественных задач, тем самым устраняя существенный пробел в процессе обучения школьников.
Интересен вопрос о том, можно ли, конкретизируя и уточняя изначально данное требование нечёткой задачи, получить задачи, относящиеся к различным видам задач школьного курса математики. Рассмотрим задачу: "Дан угол, градусная мера которого варьируется от 800 до 1100, и отрезок длиной 10 м. Какие следствия из этого могут быть получены?". В задаче имеется в виду, что угол дан в том смысле, что он построен и в другом месте рисунка можно построить угол, равный ему в полном соответствии с правилом построения углов с помощью циркуля и односторонней линейки без делений. Его градусная мера для построения не важна, про неё просто есть данная информация. В том же смысле дан отрезок и задана его длина. На основе такого условия можно выполнить построение ромба. В качестве задачи на вычисление можно предложить нахождение периметра, а задачей на исследование вполне может выступить нахождение наибольшего значения площади
фигуры. Поставив вопрос о том, можно ли вписать построенную фигуру в окружность, легко привести простой пример: если значение заданного угла равно 90°. полученный квадрат может быть вписан в окружность. Можно потребовать доказать, что на основе исходных данных нельзя построить фигуры с данными сторонами и углами, имеющие периметр более 50 м и менее 40 м. Конструктивная задача может получиться, если потребовать построения такого ромба, одна из диагоналей которого в 1,1 раза больше другой (легко выяснить, что при этом острый угол ромба принадлежит изначально заданному интервалу). Если потребовать указания того, какие фигуры могут быть составлены из изначально данных отрезка и угла, получим простейшую задачу, решаемую словесным описанием. Итак, в рассматриваемом случае получены задачи семи различных видов.
Уточнение и конкретизация условия и требования, которые выполняются в процессе решения нечётких задач, представляют собой не что иное, как активное изменение субъектом того объекта, с которым он взаимодействует. Указанное обстоятельство является важным фактором формирования профессиональных умений будущих специалистов. Это особенно актуально в настоящее время, поскольку многие профессии (имеется в виду умственный труд) непосредственно основаны на изменении тех ситуаций, в которых приходится действовать, поэтому обучать основам умения локально изменять объект деятельности нужно ещё в средней школе. В совокупности всё это способствует созданию условий для полноценной творческой деятельности учащихся, которая является основой развития личности школьников, а творческая учебная работа в конечном итоге играет одну из главных ролей в профессиональном самоопределении учащихся.
Таким образом, даже тезисное изложение теоретического описания сущности нечётких школьных математических задач и фрагментарная характеристика их роли и места в обучении учащихся позволяют заключить, что такие задачи обладают значительным дидактическим потенциалом и необходимо тщательное изучение их использования в учебном процессе на теоретическом и эмпирическом уровне научного познания.
Библиографический список
1. Аксёнов А.А. Теоретические основы применения нечётких задач в обучении школьников математике. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма «Картуш», 2008. 48 с.
2. Балл Г.А. Теория учебных задач: психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 184 с.
3. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970. 202 с.
4. КолягинЮ.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.
5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.
6. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 166 с.
References
1. AksyonovA.A. Theoretical bases of application of indistinct tasks in teaching school students mathematics. Monograph. Orel: OSU, Printing firm "Kartush", 2008. 48 p.
2. Ball G.A. Theory of educational problems: psychology-pedagogical aspect. M.: Pedagogics, 1990. 184 p.
3. BrushlinskyA.V. Psychology of thinking and cybernetics. M.: Mysl, 1970. 202 p.
4. Kolyagin Y.M. Problems in teaching mathematics. P. I. M.: Prosvjaschenie, 1977. 110 p.
5. Kolyagin Y.M. Problems in teaching mathematics. P. II. M.: Prosvjaschenie, 1977. 144 p.
6. Krupich V.I. Theoretical bases of teaching solution of school mathematical problems. M.: Prometheus, 1995. 166 p.
