CC BY
68
13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 512(072.3) А.А. АКСЁНОВ
доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева E-mail: aksenovaa@inbox.ru
UDC 512(072.3) A.A. AKSYONOV
Doctor of Pedagogics, Professor, Department of the mathematical and information analysis of economic processes, Orel State University named after I.S.Turgenev
E-mail: aksenovaa@inbox.ru
ПРОПЕДЕВТИКА ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ЛОГИЧЕСКОМУ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
PROPAEDEUTICS PROCESS TEACHING SCHOOLBOYS LOGICAL SEARCH FOR SOLVING MATHEMATICAL TASKS
В статье охарактеризована сущность пропедевтики обучения школьников логическому поиску решения математических задач. Представлены основные ресурсы процесса логического поиска решения задач. Обоснована возможность их применения в обучении школьников в начальных и младших классах.
Ключевые слова: математическая задача, поиск, решение, пропедевтика, процесс обучения математике.
The article described the essence of the teaching of pupils propaedeutics logical search for solving mathematical problems. Core resources of the search process ofproblem solving are represented. The possibility of their use in teaching schoolboys at the elementary and preparatory levels is justified.
Keywords: mathematical task, search, decision, propaedeutics, process of teaching mathematics.
1. Обоснование проблемы
Проблема обучения школьников поиску решения математических задач трудна и до сих пор в науке и практике не нашла приемлемого решения. Многие научные исследования по этой проблеме были посвящены лишь некоторым частным её аспектам и в своей совокупности не решали её. Только недавно появились исследования, в которых предпринята попытка создания многоаспектной теории, раскрывающей проблему обучения школьников поиску решения задач не с частных, а с общих позиций [1]. Однако, во-первых, это сугубо научные разработки, описывающие эту проблему только на теоретическом уровне. Во-вторых, заметим, что в них речь идёт о логическом поиске решения, то есть таком, суть которого детерминируется специфическими особенностями самих задач. Иными словами, логический поиск решения задач обусловлен объективной информацией, содержащейся в каждой задаче. В-третьих, это лишь первые попытки, которые, конечно, через некоторое время должны быть подвергнуты критическому переосмыслению и переработаны. Окончательно построить теорию обучения школьников логическому поиску решения математических задач можно, пожалуй, за несколько десятилетий и, видимо, усилиями многих учёных.
На практике полноценное обучение школьников логическому поиску решения математических задач можно воплощать лишь начиная с 13-14 лет, когда у них начинает формироваться абстрактно-логическое мышление и способность к доказательству, что было установлено ещё П.П. Блонским в первой половине
© А. А. Аксёнов © A.A. Aksyonov
двадцатого века. Однако для достижения большей эффективности этого процесса нужно, чтобы школьники к этому возрасту уже владели некоторыми частными аспектами общего умения выполнять логический поиск решения задач, которые должны быть освоены ими ещё тогда, когда у них преобладает наглядно-образное мышление. Следовательно, всё то, что они изучают на этом этапе, должно быть направлено на соединение с формированием общих умений выполнять логический поиск решения задач, то есть требуется полноценная пропедевтика обучения поисковым умениям.
Для полноценного обучения школьников логическому поиску решения задач необходимо добиться того, чтобы они знали основные поисковые ресурсы. Такими ресурсами являются: виды задач; методы и алгоритмы решения задач; четырёхаспектная типология теоретического базиса задач; сущность внутрипредметных связей; два варианта декомпозиции задачи на ряд подзадач; три вида информации, выявляемой в процессе решения задачи; типология задач. Разумеется, речь идёт не о сообщении всей совокупности сведений по вышеперечисленным ресурсам, а о том, чтобы школьники осознали сущность и поняли практическую полезность каждого из них применительно к процессу логического поиска решения школьных математических задач.
2. Содержание и сущность обучения
логическому поиску решения задач на этапе
обучения, характеризуемом преобладанием
наглядно-образного мышления школьников
Раскрывая сущность процесса обучения логическому поиску решения математических задач на этом этапе, в первую очередь необходимо учесть диалектическое единство двух в некотором смысле противоположных обстоятельств. С одной стороны, учащиеся большую часть школьного обучения находятся в том возрасте, когда их мышление является в основном наглядно-образным. Способность к доказательству и собственно абстрактно-логическое мышление, играющее основную роль в поиске и выполнении доказательств и в решении задач, формируется у подростков примерно к 8 классу современной школы. С другой стороны, обучение логическому поиску решения задач - это, прежде всего, формирование умения решать любые задачи, для работы с которыми школьники изучили всю необходимую теорию. Разумеется, такое умение может быть сформировано у школьников только тогда, когда процесс обучения опирается на их абстрактно-логическое мышление. Полученное противоречие вполне можно в достаточной мере разрешить, если начиная с 5 класса, обучать школьников частным приёмам работы над задачей, поиску решения некоторых типов задач и т. д., а с 7-8 класса начать постепенное формирование полноценного умения решать любые задачи.
Освоение школьниками основных закономерностей процесса поиска решения задач начинается со знакомства с математическими задачами, которое состоялось ещё в начальной школе. Здесь учащиеся узнают, что формулировка задачи включает в себя условие и требование. Под условием понимается то, что в задаче дано, а под требованием - то, что нужно в ней найти (фактически, первые задачи, которые решают школьники - сюжетные задачи на вычисление).
В младших классах учащимся средней школы посильна процедура переформулирования задачи с целью задания её условия и требования в явном виде. Они понимают сущность условия и требования задачи. Школьники способны указывать лишние данные в условии или устанавливать недостаток информации, выяснять, корректно или противоречиво сформулирована задача, имеет ли место в этом тексте задача или в нём есть только условие, но нет требования (или наоборот) и т. д. В это же время нужно постепенно знакомить учащихся с различными приёмами работы с математическими задачами, приёмами преобразований, которые выполняются в процессе их решения. Это такие приёмы, как равносильное переформулирование задачи, изменение редакции формулировки задачи с целью явного задания её условия и требования.
Учащихся 5-6 класса нужно обучать обнаружению аналогичных задач в их общем массиве. Кроме того, значительное внимание надо уделять самостоятельному составлению задач школьниками. Причём они должны составлять не только задачи, формально аналогичные
данным, но и прочие задачи, основываясь на своей фантазии и интуиции, которая интенсивно развивается в процессе составления задач.
В школьном курсе математики существует 7 основных видов задач: задачи на вычисление; задачи на доказательство; задачи на построение; задачи на исследование; конструктивные задачи; задачи, решаемые приведением конкретного примера; задачи, решаемые словесным описанием. Обучение определению вида задачи в полной мере может быть осуществлено только тогда, когда учащиеся изучают и алгебру, и геометрию, поскольку начиная с этого момента, школьная математика содержит довольно много различных тем учебного материала.
Учащихся необходимо знакомить со всеми семью видами задач по мере их появления в школьном курсе математики. Такие виды задач, как «Задачи на вычисление», «Конструктивные задачи», «Задачи, решаемые приведением конкретного примера», могут быть включены в курс математики начальной школы. Конструктивными являются, например, такие задачи: «Составьте задачу, в которой ответ можно найти, сосчитав: 8 + 4 - 2». В младших классах следует предлагать более сложные задачи. Так, можно предложить учащимся составить задачу, которая будет решена, например, тремя действиями, ответом к которой будет число 43, а в тексте задачи нужно использовать словосочетания «столько же» и «меньше на 28». К моменту обучения в младших классах учащиеся понимают сущность задач этих видов, могут определить, к какому из них она относится. Это проявляется, например, в том, что, получив задачу, в формулировке которой содержатся слова «можно ли», они приводят в качестве решения конкретный пример. Такова задача: «Может ли сумма двух однозначных чисел быть двузначным числом?».
В обучении учащихся младших классов можно пропедевтически использовать и задачи на исследование. Приведём пример: «Даны рычажные весы и восемь внешне одинаковых монет, одна из которых легче всех остальных. За какое минимальное количество взвешиваний она будет обнаружена?». Вид задач на построение строго не может быть представлен даже в младших классах, но он вполне реализуется на уровне задач-прототипов. Некоторые задачи на построение с использованием линейки со шкалой, циркуля и транспортира содержатся в учебниках математики для 6 класса (авторы - Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, 1996 г.). Можно расширить их арсенал, предложив школьникам построить, например, четырёхугольник, у которого известны три стороны и два угла, с вершинами, соединяющими известные смежные стороны. Далее задачи на доказательство и построение изучаются в курсе геометрии седьмого класса.
Задачи, решаемые словесным описанием, доступны учащимся младших классов. Ими являются, например, задания по составлению характеристики того, что изображено на рисунке: учащимся может быть предложено указать точки, лежащие и не лежащие на данной пря-
мой, или назвать номера четырёхугольников, содержащих прямой угол и т. п.
После знакомства с этими видами задач следует обобщить данную их классификацию и сформулировать название каждого из семи видов. Для того чтобы всё это было усвоено учащимися, далее в процессе обучения им нужно определять вид каждой решаемой задачи. Итак, к окончанию седьмого класса учащиеся вполне способны на элементарном уровне познакомиться со всеми семью видами задач школьной математики.
В среднем и старшем звене учащиеся решают задачи, для которых могут иметь место все четыре возможные ситуации, обусловленные количеством теорий, с помощью которых задача сформулирована и решена: 1) задача сформулирована и решена средствами одной теории; 2) задача сформулирована средствами одной теории, но решена с привлечением аппарата дополнительных теорий; 3) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена только их средствами; 4) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена с привлечением арсенала дополнительных теорий. (Назовём это четырёхаспектной типологией теоретического базиса задач.) Выясним, какие аспекты этого ресурса могут применяться в обучении младшеклассников.
Первая ситуация, когда формулирование и решение задачи выполнено средствами одной темы (теории), разумеется, составляет основную часть в указанном курсе математики. Если для решения задачи, сформулированной средствами одной темы, применять арсенал другой темы, такие задачи вполне реализуемы в обучении младшеклассников. Это, например, задачи на вычисление, которые решаются в процессе изучения пропедевтического курса геометрии. Основная тема здесь - какой-либо геометрический материал, но для решения задач используются все знания, необходимые для выполнения вычислений, что справедливо отнести к другой теме. Сюда же можно отнести и сюжетные задачи, решаемые с помощью уравнений. Решение уравнений, безусловно, в младших и начальных классах можно считать отдельной темой. Важно лишь найти правильное соотношение решения сюжетных задач с помощью уравнений и собственно арифметически, так как первый вариант обладает, в основном, математическим преимуществом в обучении, а второй вариант - методическим преимуществом.
В упомянутом выше учебнике математики для 6 класса в теме «Координатная плоскость» есть ряд задач, сформулированных средствами этой темы с использованием других средств геометрии (таких, как прямая, ломаная). Это вполне можно считать задачей, сформулированной средствами нескольких теорий. Такие задачи решаются их же средствами. Позднее, повторяя координатную плоскость в ходе изучения окружности, можно расширить арсенал таких задач, предложив школьникам, например, задачу: «Окружность радиуса 3 см имеет центр в точке A(4; 5). Пересекает ли окружность прямую, проходящую через точки B(-2; -3) и C(8;
6)?». Эту задачу можно наполнить сюжетным содержанием, например, связав центр окружности с местонахождением антенны сотовой связи, радиус окружности - с радиусом её действия, а прямую - с близлежащим шоссе. Так можно составить задачу о сотовой связи, но правдоподобнее взять другой масштаб, что свяжет уже три темы в одной задаче. Причём если о масштабе ничего не указано в формулировке, а предполагается, что школьники сами (возможно, с помощью учителя) предложат использовать масштаб для построения графической интерпретации задачи, то имеет место четвёртая ситуация, обусловленная тем, что учащиеся решают задачу, сформулированную средствами нескольких тем, привлекая к решению ещё одну тему. Разумеется, учите -лю следует чаще использовать координатную плоскость и геометрический материал для составления и решения таких задач. Можно привлечь для этого составление уравнений, тему «Графики» и пр.
Обучая логическому поиску решения задач, учителю надо обращать внимание школьников на то, что задача декомпозируется на подзадачи. Каждую подзадачу следует выделять и обучать учащихся этому умению (эти умения учителя начинают формировать ещё у учащихся начальных классов). Далее школьникам нужно рассказать о непосредственной (индифферентной) и поэтапной декомпозиции исходной задачи на несколько подзадач. Систематически изучая алгебру и геометрию, они вполне могут овладеть этими умениями, поскольку большинство сюжетных задач, решаемых ими в течение 6 лет обучения в начальных и младших классах, допускает непосредственную декомпозицию на подзадачи. То есть у школьников уже есть немалый опыт приме -нения этого приёма работы с задачей. Поэтапная декомпозиция задач на подзадачи - это, в некотором смысле, противоположная процедура. Главное, чтобы учащиеся поняли, что если результат данной подзадачи логически детерминирует сущность последующей подзадачи, имеет место поэтапная её декомпозиция на подзадачи.
Рассмотрим задачи, заимствованные в учебнике математики для 6 класса (авторы - Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, 1996 г.). Они в учебнике отнесены к числу задач повышенной трудности. Задача № 1328: «Вычтя из знаменателя дроби 537/463 некоторое число и прибавив его к знаменателю, после сокращения Таня получила 1/9. Какое число она вычитала из числителя и прибавляла к знаменателю?». Решая эту задачу, можно заметить, что сумма числителя и знаменателя равна 1000. Если от числителя отнять какое-то число и его же прибавить к знаменателю, то сумма числителя и знаменателя не изменится. Только после этого можно догадаться, что дробь 1/9 целесообразно представить в виде 100/900. Теперь легко найти, что искомое число - 437. Задача № 1330: «Найдите натуральные числа a и b, такие, чтобы число, обратное их разности, было в три раза больше числа, обратного их произведению». Эту задачу следует предложить школьникам после изучения пропорций. Им по силам составить пропорцию 1/ (a - b) = 3/ab, и на основе соответствующих её свойств
преобразовать её к виду 3а - 3Ь = аЬ. Только получив это равенство, можно вести рассуждения дальше. Лишь переписав его (возможно, после многих других попыток) в виде 3а - аЬ = 3Ь, а затем выполнив вынесение общего множителя за скобки (что тоже изучено учащимися к моменту знакомства с пропорциями) и представив в виде а(3 - Ь) = 3Ь, можно сделать вывод, что Ь может быть равно 1 или 2, так как левая часть равенства должна быть положительной, поскольку его правая часть всегда положительна. Далее легко найти, что только числа 6 и 2 удовлетворяют условию задачи. Таковой же является задача: «Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная из вершины на основание, является медианой и биссектрисой». Поскольку к моменту её решения школьники ещё не изучили теорему о сумме углов треугольника, провести доказательство они могут только методом «от противного». Выполняя его, предполагают, что высота не может быть медианой, то есть она не делит основание треугольника пополам. Лишь после этого делают вывод, что треугольники, на которые исходный треугольник разделён «высотой», не равны друг другу, значит, не равны и смежные углы, то есть рассматриваемый отрезок не является высотой.
В ходе декомпозиции исходной задачи на подзадачи учитель должен обращать внимание учащихся на то, что для каждой подзадачи существует определённая идея решения. В курсе алгебры и геометрии немало задач, логика решения которых одна и та же, но конкретное исполнение решения может быть различным даже для одной и той же задачи. С помощью таких задач нужно пояснить учащимся, что такое метод и что такое способ решения задачи, причём способ решения школьникам достаточно понимать как альтернативный вариант решения. Здесь же нужно на конкретных примерах показать, что метод - более ёмкое понятие, чем способ и что один метод может включать в себя несколько способов. Рассмотрим пример: «Из города А в город В выехал грузовик. Через два часа вслед за ним выехал легковой автомобиль, средняя скорость которого на 30 км/ч больше скорости грузовика. Найти скорости движения автомобилей, если в город В они прибыли одновременно и грузовик пробыл в пути 6 ч». В зависимости от того, скорость какого автомобиля школьники обозначат неизвестной х, они составят уравнение 4(х + 30) = 6х или уравнение 4х = 6(х - 30).
Среди методов решения задач существуют и такие, которые встречаются наиболее часто. В процессе обучения учителю нужно выделить эти методы, учащиеся должны изучить признаки того, что задача решается с помощью этого метода. Сделать это можно таким образом. Знакомясь с очередным методом, школьники выделяют указанные основные признаки или учитель излагает их учащимся. Далее они решают несколько задач с целью овладения применением данного метода. Здесь необходимо рассмотреть все признаки того, что задача может быть решена изучаемым методом. Когда изучены все методы, которые учитель посчитал нужным выделить в качестве основных стандартных,
учащимся должна быть предложена система задач, для решения которых необходимо задействовать все изученные ими методы. Рассматривая каждую конкретную задачу, учащиеся выбирают метод, с помощью которого её можно решить. Можно предварительно рассмотреть всю систему задач и, не решая их, определить, какой метод применяется для решения каждой задачи. Этот приём можно применять, знакомя школьников с новым методом решения задач. Но здесь учащимся из системы следует выбирать те задачи, которые решаются изучаемым в данный момент методом. Причём не обязательно их все решать. Такая работа учит школьников выделять в задаче признаки того, что в её решении применяется изучаемый метод. К тому же так можно рассмотреть большее количество задач, а так как не все они решены, получается экономия времени, но вместе с тем новый метод изучается довольно основательно. Эта методика работы с задачами используется многими учителями, работающими в профильных и специализированных математических классах.
Для экономии времени без ущерба для качества обучения можно использовать следующий приём. Применяя новый метод к решению задач, часть из них школьники решают полностью, а большую часть не полностью. Для них процесс решения включает в себя всё то, что имеет отношение к применению нового метода, а далее задача должна довольно легко решаться с помощью средств, ранее изученных и хорошо усвоенных школьниками. Затем учащиеся так же работают с остальными задачами. В домашней работе они должны большинство задач решить полностью. Этот приём показал свою эффективность в обучении учащихся профильных и специализированных математических классов.
Обучая учащихся использованию тех или иных методов решения задач, учителю следует в качестве основных выбирать такие методы, которые будут использованы не только в данной теме, но и далее в школьном курсе математики. Тогда учащиеся их лучше запомнят и научатся применять.
Решая нетривиальные задачи, нужно на некотором этапе решения каким-либо образом преобразовывать их, чтобы применить данный метод решения. Такое преобразование выполняется аналитико-синтетическим методом. С целью упорядочения процесса поиска решения задачи, учащихся нужно приучить к тому, что в ходе поиска возможно движение от требования (и искомого) к условию, то есть анализ, и движение от условия к требованию, то есть синтез. Целесообразно назвать это «методом движения назад» и «методом движения вперёд» (ввести научные термины можно позже, в более старших классах). Использование аналитического и синтетического методов поиска решения практику -ется уже в начальной школе. Поскольку большинство сюжетных задач на вычисление допускает как аналитический, так и синтетический поиск решения, у школьников к моменту начала изучения алгебры и геометрии накоплен достаточный опыт применения анализа и синтеза к поиску решения задач.
Перечисленные выше факты касались, в основном, содержательной составляющей обучения. Рассмотрим его процессуальный компонент. Работая в начальных и младших классах, учитель должен помнить о наличии в сознании человека тесной взаимосвязи речи и мышления. В зрелом возрасте она проявляется преимущественно в том, что человек (тем более, имеющий хорошее образование) может достаточно чётко сформулировать и высказать или изложить на бумаге свои мысли. В начальной и младшей школе интеллект субъекта ещё только формируется, поэтому имеет место обратная зависимость - хорошо (для ученика данного возраста) развитая речь помогает развитию мышления. Для того чтобы более или менее приемлемо высказать свои мысли, школьник должен их сформулировать, осознать суть того, что он собирается сказать, а это, в свою очередь, как раз и развивает мышление. Поэтому опытные учителя математики требуют от учащихся начальной и младшей школы произнесения вслух всех действий, выполняемых в ходе решения задач. Эта привычка у них сохраняется примерно до 8-9 класса и обычно исчезает по мере развития абстрактно-логического мышления.
Немаловажно помнить, что математика этого периода обучения тоже является инструментарием всей последующей математики, изучаемой субъектом далее в школе и вузе. Поэтому она изобилует многочисленными частностями, требующими овладения до уровня хорошо сформированного умения или навыка. Следовательно, особое внимание в процессе обучения следует уделить формированию этих умений и навыков. Для этого можно использовать учение П.Я. Гальперина о поэтапном формировании умственных действий [2].
Сделаем некоторые выводы. Прежде всего, работа учителя математики с учащимися младших классов в плане обучения их логическому поиску решения задач должна быть направлена на соединение с теми действиями, которые предпринимаются учителем, формирующим у школьников общее умение выполнять логический поиск решения математических задач. Для этого нужно обратить внимание на овладение школьниками аналитико-синтетическим методом поиска решения задач, осознание ими того, что в процессе решения задачи важно найти теоретические средства, опираясь на которые можно решить задачу. Не менее важно приучить школьников к тому, что любой математический факт, используемый в решении задачи, каким-либо образом связан с другими фактами, существующими в математике вообще, поэтому поиск решения - это, прежде всего, поиск различных теоретических фактов, так или иначе связанных друг с другом.
Неумение школьников решать задачи состоит, прежде всего, в неумении управлять своими действиями в ходе поиска решения задачи, следовательно, формирование общего умения выполнять логический поиск решения задач должно состоять в обучении школьников управлению своей деятельностью в процессе поиска решения. Отсюда следует главный вывод: целенаправленное обучение школьников логическому поиску решения
математических задач должно базироваться на деятель-ностном подходе, а поисковая деятельность должна состоять, главным образом, из тех конкретных видов деятельности, которые имеют отношение, прежде всего, к выработке самоуправляющих умений, проявляющихся в работе с задачами. Также очевидно, что на этапе пропедевтики нужно на самом элементарном уровне приучать школьников к управлению своими действиями в процессе решения задач. Этому способствует произнесение вслух действий, которые учащиеся выполняют, решая задачи, а также структурирование решения задачи (как в процессе выполнении поиска, так и в изложении найденного варианта решения).
3. Три вида информации, содержащейся в задаче, и сущность её получения в процессе логического поиска решения задач
Любая математическая задача, в частности школьная, представлена субъекту в виде формулировки, содержащей условие и требование. Под условием обычно понимают то, что в задаче дано, а под требованием по -нимается побудительное предложение, которое указывает, что вообще нужно сделать в этой задаче.
В процессе поиска решения формулировку задачи анализируют с целью получения какой-либо информации, помогающей найти решение. Но зачастую это непростая процедура. Достаточно заметить, что условие и требование в задаче далеко не всегда сформулированы в явном виде. Поэтому приходится редактировать формулировку, чтобы вычленить в ней то, что в задаче дано, и то, что в ней требуется сделать, и сформулировать это в явном виде. Часто формулировка задачи, даже содержащая в явном виде условие и требование, заключает в себе много скрытой информации, которую нужно уметь выявлять.
Много внимания этой проблеме уделил методист-математик Г.И. Саранцев [6]. В этой статье автор раскрыл умение анализировать условие и требование геометрической задачи. Причём анализ условия и требования в некоторой степени выполняется по-разному. Это, безусловно, верно, но в процессе такого анализа много общего. В первую очередь рассмотрим анализ условия и требования математической задачи с точки зрения общих закономерностей. Г.И. Саранцев утверждает, что в ходе анализа условия вся информация теоретически разделяется на три основных вида: 1) информация, непосредственно заданная в условии задачи; 2) информация, полученная непосредственно из условия задачи; 3) информация, полученная уже из новой, то есть выведенной ранее информации. Безусловно, так же нужно получать информацию и из требования задачи. Аналогично под анализом условия и требования задачи следует понимать выявление той информации, которая непосредственно не задана в них, но им присуща (автор относит это только к анализу условия). Выражая согласие с Г.И. Саранцевым в том, что анализ требования нужен для выяснения возможных путей ответа на вопрос задачи, по аналогии с этим целью анализа условия бу-
дем считать выявление тех теоретических положений, посредством которых можно решить задачу. Эта информация «автоматически» выявляется и в процессе анализа требования задачи.
Итак, непосредственно заданная информация содержится в формулировке задачи, поэтому для её выявления достаточно разграничить условие и требование. Для выявления информации второго вида существенны два обстоятельства. Первое состоит в том, что условие (или требование) является отдельным понятием, а второе - в том, что условие (или требование) отдельным понятием не является. Оно является каким-либо математическим фактом, который можно истолковать, опираясь на некоторые понятия и отношения между ними. Когда условие (требование) является каким-либо математическим фактом, следует выделить в этом факте все присутствующие понятия и объекты, а также установить связи и отношения между ними.
Информация третьего вида выявляется теми же путями, что и информация второго вида. На это указывал Г.И. Саранцев в статье [6].
Пример. Решить уравнение cos х = log (х2 + 2).
В формулировке условие и требование заданы в явном виде. Искомое (корни) неизвестно. Требование - решить уравнение - это понятие. Напомним его определение. Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет. Это информация второго вида. Информация третьего вида здесь состоит в том, что эту задачу нужно решать либо как задачу на нахождение, либо как задачу на доказательство. Возможно, потребуется и находить корни и доказывать, что их нет на каком-либо подмножестве области определения уравнения.
Условие здесь: cos х = log,(x2 + 2). Это и есть непосредственная информация - равенство двух выражений, то есть условие не является понятием. Выявим информацию второго вида. Если условие выражать через понятия, задействуем понятие функции. Здесь имеют место следующие функции: у = cos х и у = log (х2 + 2) . Их признаками является символическая запись. Рассмотрим свойства этих функций. Функция у = cos х определена при всех х, периодическая, область значений - отрезок [- 1; l], возрастание и убывание чередуется, функция чётная. Функция у = log, (х2 + 2) - сложная. Это композиция функций у = log, z и z = х2 + 2 . Теперь выявим информацию третьего вида. Функция z = х2 + 2 определена при всех х, область значений - промежуток [2; + да). Тогдафункция у = log, (х2 + 2) определена при всех х . Функция у = log, z строго возрастает, поэтому log, z > log, 2 = 1, так как z > 2 . Итак, область значений сложной функции у = log,(x2 + 2) - промежуток [l; + со) . Значит, функция у = log2(x2 + 2) ограничена снизу, а функция у = cos х ограничена и снизу, и сверху. Сопоставляя эти факты, замечаем, что первую функцию снизу, а вторую функцию сверху ограничивает число 1. Следовательно, уравнение может иметь корни лишь тог-
да, когда одновременно выполнены равенства: cos -v = ' и log, (х2 + 2) = 1. Получаем систему уравнений:
icos X = 1,
1 Решением системы и исходного урав-
[log2(x2+2)= 1. нения является число 0.
Рассмотренный пример относится к той части математики, когда обучение поиску решения задач находится уже далеко не на этапе пропедевтики, но здесь специально представлено это уравнение, так как оно в большей степени демонстрирует сущность каждого из трёх видов информации. Разумеется, точно так же нужно выявлять информацию трёх видов и в ходе решения сюжетных задач, и геометрических задач, решаемых учащимися 7 класса и т. п.
Таким образом, к концу первого года изучения алгебры и геометрии учащиеся должны уметь: выявлять в задаче информацию трёх видов; определять вид задачи; понимать суть четырёхаспектной типологии теоретического базиса задач; декомпозировать данную задачу на подзадачи непосредственно (индифферентно) и поэтапно; применять анализ и синтез в процессе поиска их решения. Вся совокупность знаний об основных методах решения задач должна быть усвоена учащимися к концу обучения в девятом классе.
4. Информационная структура школьных математических задач
В 1977 году опубликованы результаты исследований Ю.М. Колягина по проблеме применения задач в обучении школьников математике [3, 4]. Согласно этим исследованиям, информационная структура задачи состоит из компонентов: S = (A, C, D, B). Смысл их следующий.
А - условие задачи, то есть данные и отношения между ними.
В - требование задачи, то есть искомое (искомые) и отношения между ними.
С - базис решения задачи, то есть теоретическая и практическая основа, необходимая для обоснования решения.
D - способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия задачи для выполнения требования.
Впоследствии они были усовершенствованы В.И. Крупичем в труде [5]. В частности, в информационную структуру задач был введён компонент R - основное отношение в системе отношений между искомым и условием в задаче.
В типологии задач Ю.М. Колягин компонент В понимал как искомое, то есть то, что необходимо узнать (найти, построить, описать и т. п.), а не как требование (то есть побудительное предложение). Заметим, что с точки зрения психологии мышления требование и искомое в задаче - суть разные реальности, так как требование всегда известно, а искомое - нет. Это методическое замечание принадлежит известному психологу А.В. Брушлинскому. Задача имеет место лишь тогда, когда известен и компонент А, и компонент В (понимаемый
как требование). Если хотя бы один из этих компонентов неизвестен, задача места не имеет. Учитывая указанное выше замечание, дуалистичный компонент B следует разделить на два однозначных компонента - собственно требование в задаче (компонент B) и искомое в задаче (компонент E). Тогда информационная структура любой школьной математической задачи будет представлена в виде: S = (A, B, E, C, D, R). Здесь первые три компонента в предельно общем случае относятся к формулировке задачи: это условие, требование и искомое (которое известно только в задачах на доказательство - в них искомым как раз и является то, что требуется доказать).
Для субъекта, взаимодействующего с задачей, возможны только два типа ситуаций: когда все компоненты A, B, E, C, D ему известны (стационарная ситуация); когда хотя бы один из них субъекту неизвестен (нестационарная или проблемная ситуация).
С учётом того, что для чётких и корректных школьных математических задач всегда должно быть известно условие и требование, можно выделить нижеследующую типологию задач.
I тип. ABECD и ABXCD - алгоритмические задачи.
II тип. ABECX и ABXCY - полуэвристические задачи.
III тип. ABEXY и ABXYZ - эвристические задачи.
Очевидно, она составлена (В.И. Крупичем) исходя из количества неизвестных компонентов в информационной структуре задачи. Компонент R не влияет на типологию задач, поэтому он в ней не учитывается [6]. В эту типологию не вошли задачи типов ABEXD и ABXYD. Оба типа задач отличаются тем, что неизвестен теоретический базис решения, но известен способ решения, а также условие. Этого не может быть для математических задач, так как теоретический базис - это теоретическое обоснование способа решения, следовательно, если известен способ, то должен быть известен и его теоретический базис. Однако в задачах указанных типов он неизвестен.
С информационной структурой задач можно знакомить учащихся девятого класса, поскольку они уже изучают достаточно большое количество тем (теорий) и способны к восприятию некоторых абстрактных сведений о задаче. Подход к типологии задач, очевидно, субъективен. Для одного решателя задача имеет один вид информационной структуры, для другого - иной вид, так как он может не знать теоретических средств, необходимых для её решения.
Школьников надо приучить к тому, что поиск решения задач выполняется по схеме: выдвигается некоторая
идея и определяются теоретические средства, необходимые для её реализации, или наоборот, для какого-то теоретического материала отыскивается идея, позволяющая применить данные теоретические средства в решении задачи. Так может повторяться несколько раз в процессе поиска. Иными словами, поиск решения и теоретического базиса задачи - это два аспекта одного и того же процесса, и отыскивать одно без другого невозможно. В дальнейшем понимание этого факта станет основой формирования у школьников общих умений выполнения логического поиска решения задач.
5. Выводы
Процесс обучения школьников поиску решения задач в полной мере начинается лишь в 8 классе. Этому способствуют содержание курса математики и психолого-физиологические особенности мышления подростков. Но без пропедевтики всех средств, выполняющих роль инструмента в целенаправленном обучении логическому поиску решения задач, невозможно осуществлять само это обучение как таковое. Следовательно, пропедевтика соответствующего обучения должна в полной мере охватить все частные умения, которые необходимо сформировать у младших школьников.
Вторым, не менее важным обстоятельством, которое нужно учесть на этапе пропедевтики, является то, что формирование умения выполнять поиск решения любых математических задач в первую очередь заключается в воспитании умения управлять своими действиями, предпринимаемыми в ходе поиска решения задачи. Это, в свою очередь, означает, что учитель математики, обучая учащихся младших классов, должен формировать у них основы такого управления. Прежде всего, это выражается в том, что школьники должны осмысливать и уметь чётко формулировать всё то, что они делают в процессе отыскания способа решения задачи, то есть нужно в полной мере задействовать связь речи и мышления.
Также важный фактор - получение информации в процессе анализа формулировки задачи. Этому можно учить и учащихся начальных классов.
Изучение информационной структуры задачи - первый шаг к теоретическому осмыслению самих задач. Самое главное здесь - добиться от школьников понимания диалектического единства поиска способа решения задачи и её теоретического базиса. Целенаправленно обучать этому школьников нужно, начиная с девятого класса.
Библиографический список
1. Аксёнов А.А. Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач: дисс. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / Аксёнов Андрей Александрович. Орёл, 2010. 460 с.
2. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. Исследования мышления в советской психологии. М.: Наука, 1966. С. 236-277.
3. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.
4. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.
5. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. Монография. М.: Прометей, 1995. 166 с.
6. Саранцев Г.И. О методике обучения школьников поиску решения математических задач. Преподавание алгебры и гео- метрии в школе: Пособие для учителей. Сост. О.А. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. 223 с.
References
1. Aksyonov A.A. Learning theory logical search for decisions of the school of mathematical tasks: diss. ... dr. ped. science: 13.00.02
/ Andrey Aleksandrovich Aksyonov. Orel, 2010. 460 p.
2. Halperin P.Y. Psychology of thinking and teaching about the gradual formation of mental action. Study of thinking in Soviet psychology. M.: Nauka, 1966. Pp. 236-277.
3. Kolyagin Yu.M. Tasks in teaching mathematics. P. I. М.: Prosvecshenie, 1977. 110 p.
4. Kolyagin Yu. M. Tasks in teaching mathematics. P. II. М.: Prosvecshenie, 1977. 144 p.
5. Krupich V.I. Theoretical bases of teaching solution of school mathematical tasks. Monograph. М.: Prometheus, 1995. 166 p.
6. Sarantcev G.I. On the method of teaching students to find solutions to mathematical tasks. Teaching algebra and geometry in school: a handbook for teachers / Compl. O.A. Bokovnev. М.: Prosvechenie, 1982. 223 p.
