CC BY
37
УДК 372.851
Н. Н. Яремко
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье проводится анализ деятельности решения некорректных по Адамару математических задач. Предложены схемы деятельности, критерии ее оценки.
Ключевые слова: деятельность, структура деятельности, задача, структура задачи, некорректная задача.
Abstract. This article analyzes the problem-solving process of ill-posed by Adamar mathematical problems. The networkings and criteria are proposed.
Keywords: activity, structure of the activity, problem, structure of the problem, ill-posed problem.
В соответствии с принятой в настоящее время компетентностной парадигмой высшего профессионального образования особое значение придается вопросам разработки содержания образования и методических средств, обеспечивающих приобретение студентами опыта творческой деятельности, освоения ими общекультурных основ, реализации деятельностного подхода в обучении математике. Выделение состава деятельности [1], адекватной наиболее общим, так называемым опорным, математическим знаниям, умениям, навыкам и дальнейшее ее освоение обучаемыми - актуальная педагогическая проблема. Знания о структуре математической задачи и о структуре деятельности по ее решению относятся, по замечанию И. П. Калошиной [2], к категории таких наиболее общих методологических знаний. Эти знания «носят интер-, меж-, надпредметный характер, позволяющий применять их в разных предметных областях».
Приобретение студентами собственного опыта по решению задач играет одну из ведущих ролей в становлении специалиста, поскольку именно из грамотного решения практических задач чаще всего и состоит профессиональная деятельность. Необходимость принятия решений в условиях переизбытка или недостатка данных, или даже их противоречивости, требует от специалиста умения работать с некорректными задачами. «Потребность восстановить прошлое по некоторым фактам настоящего, заглянуть в будущее или проникнуть в зону недоступности» [3] приводит человека к необходимости решать некорректные задачи в профессиональной сфере. Поэтому вооружение будущих специалистов методологией их решения соответствует реализации целей профессионального образования.
«В настоящее время обратные и некорректные задачи изучаются систематически и завоевали право называться перспективной областью современной науки» [3]. Некорректные задачи приближены к реалиям жизни. К ним относится, например, установление причины по известному следствию. И эта задача, вообще говоря, неоднозначна: постановка диагноза по результатам обследования, восстановление картины преступления по имеющимся уликам, обнаружение месторождения по данным геологоразведки и т.д. Специфика
процесса решения некорректных задач проявляется прежде всего в развернутости деятельности, в прохождении всех ее этапов.
Примем определение корректной задачи, принадлежащее французскому математику Ж. Адамару [3]: задача называется корректной, или корректно поставленной, если ее решение: 1) существует; 2) единственно; 3) устойчиво, т.е. малым изменениям исходных данных задачи соответствует малое изменение решения. Соответственно, задача называется некорректной, или некорректно поставленной, если хотя бы одно из условий не выполняется. Продолжая определение, заметим [3, с. 14]: «Термин «некорректная задача» означает, что задача либо не имеет решения (в интересующем нас классе), либо, напротив, имеет много решений (как минимум два), либо процедура нахождения решения неустойчива».
В настоящей статье проведем поуровневый анализ деятельности обучаемых при решении задач; отметим особенности в структуре деятельности, характерные для решения некорректных задач; обоснуем целесообразность использования некорректных задач в качестве средства формирования математической деятельности студентов.
Первый уровень исследования деятельности по решению задачи основан на предложенной академиком П. К. Анохиным [4] психофизиологической теории функциональных систем (ФС). В функциональной системе выделяют четыре этапа. Назовем их и укажем, какой смысл им можно придать в процессе решения задачи.
1. Афферентный синтез (АС). В этой стадии происходит принятие задачи обучаемым, четкое осознание постановки задачи, интегрирование опыта, знаний, формирование мотивации, выбор цели деятельности.
2. Образ предвосхищенного результата деятельности, цель деятельности (Ц) и параметры результата (ПР) - критерии, которым должен удовлетворять результат. При решении задачи это означает четкое представление решающим задачу ее конечного результата и критериев его оценки. Требования корректности задачи: существование, единственность и устойчивость решения - выступают в качестве критериев.
3. Программа (Пр) выполнения деятельности, которая определяет действия (Д) и операции (Оп), приводящие к искомому результату (Р). Для процесса решения задачи - это ее алгоритм, план решения.
4. Контроль (К) и оценка результата по ранее выдвинутым критериям (Кр). На этом этапе осуществляется проверка, анализ решения задачи с точки зрения корректности, дальнейшее обобщение, перенос результатов или способов действий в новые условия.
Функциональная система дает универсальную архитектуру для описания любой деятельности человека, в частности для решения задач, а также для выполнения отдельных действий или операций в процессе решения задачи. Деятельность начинается в афферентном синтезе, развивается через образ результата и программу, доходит до контроля и далее завершается в афферентном синтезе нового витка деятельности.
Используя теорию функциональных систем в качестве методологической основы, составим модель деятельности при решении задачи (рис 1). Схема имеет вид нескольких колец, поскольку полученный результат оценивается по критериям корректности (существование, единственность, устойчивость решения), выдвинутым на первом и втором этапах; результат оценива-
ется с точки зрения его соответствия предвосхищенному образу. Деятельность по решению задачи начинается с афферентного синтеза и заканчивается в нем. Если на основании обратной связи сделан вывод о том, что полученный результат не удовлетворяет выдвинутым критериям (например, обнаружено еще одно решение, или выявлены противоречия, или нет устойчивости), то студент возвращается к началу задачи и вновь осуществляет весь цикл. Деятельность в этом случае имеет вид нескольких повторяющихся циклов (см. рис. 1). Эта цикличность продолжается до тех пор, пока результат не будет удовлетворять предъявленным критериям корректности задачи.
I II III
Рис. 1
На втором уровне анализа процесса решения задачи, основанном на психологическом аспекте, будем исходить из традиционных положений теории деятельности Л. С. Рубинштейна, А. Н. Леонтьева. Проанализируем процесс решения задачи с этой точки зрения, рассмотрим смысл основных компонентов деятельности, особенности ее осуществления.
Решение задачи, как любая деятельность, осуществляется во внешнем и внутреннем плане, поскольку деятельность - это всегда соединение внутренних и внешних, т.е. психических и поведенческих функций и операций. При решении задач внешняя деятельность всегда сопровождается внутренней, выполнение внешних действий регулируется посредством психики: восприятия, мышления, памяти, внимания, представления. Результат внешней деятельности может быть легко зафиксирован: задача решена или нет. Внутренняя, психическая, деятельность диагностируется сложнее, но она не остается неизменной в этом процессе. При решении некорректных задач для внутренней деятельности характерны особенности: мышление обучаемых приобретает новые черты, становится по преимуществу дивергентным [2]; наблюдается динамика в развитии математических способностей (см. В. А. Крутецкий «Психология математических способностей школьников»).
Деятельность всегда предметна и субъектна. В рассматриваемом нами случае в роли предмета деятельности выступает задача, которая в процессе деятельности преобразуется. Субъектность деятельности находит свое выражение в аспектах активности обучаемого, способах взаимодействия с предметом деятельности - задачей и преподавателем, осуществляющим обучение.
Задача как предмет деятельности является самостоятельным образованием. Она имеет свою структуру, не сводимую к структуре деятельности по ее решению, как система обладает свойством целостности. В качестве основных компонентов задачи выступают: данные задачи, требование задачи, спо-
соб решения, обоснование или базис, предметная область [5]. Некорректная задача наиболее ярко проявляет свойство целостности. Это выражается, например, в относительности понятия корректности - корректность задачи зависит от содержания всех ее компонентов.
Элементы в структуре задачи соотносятся с элементами в структуре деятельности по ее решению. Результат деятельности связан с требованием задачи, но не всегда совпадает с ним. Результат может быть шире, так как к результату деятельности можно отнести и новый метод решения, открытый в задаче, и новое усвоенное действие, и качественные психические и личностные изменения субъекта, решающего задачу. Средства и способы действий тесно связаны со способом решения задачи, с имеющейся в распоряжении обучаемого предметной областью, системой знаний, откуда выделяется базис задачи. По замечанию Г. И. Саранцева [1], деятельность по решению задачи адекватна структуре задачи, но не тождественна ей.
В структурно-функциональном отношении важен анализ деятельности по ее единицам. В качестве такой единицы выступает действие, определяемое как наименьшее структурно-функциональное образование. Действие первично по отношению к включающей его деятельности. С психологической точки зрения человеческая деятельность представляет собой действие или цепочку действий. В свою очередь действие не является последней структурной составляющей деятельности, оно состоит из операций, состав которых определяется как способ выполнения действия и деятельности в целом. Операционный состав деятельности при решении задач очень разнообразен, и описать его возможно для некоторого класса алгоритмических задач, отнесенных к общему методу.
На рис. 2 приведена модель деятельности по решению задачи, соответствующая второму уровню исследования - психологическому.
Рис. 2
1. ОИ - ориентировочно-исследовательский этап. Включает в себя интеграционный блок поисковой деятельности (интеграция знаний, опыта ученика, осознание условий и требований задачи) и приводит к потребности действия.
2. Мотивационный блок формируется последовательно: потребность (П) ^ мотив (М) ^ цель (Ц).
3. Далее операционно-результативное звено: составляется программа (Пр) действий (Д) и операций (Оп), выполнение которых приводит к результату (Р).
4. Последний этап деятельности: контроль (К) и оценка (Оц) результата в соответствии с критериями (Кр). Это контрольно-оценочный этап.
Заметим, что при решении некорректных математических задач все компоненты деятельности: мотив, цель, предмет, средства, способы действий, результат - присутствуют, акцент переносится на анализ результата и выбор средств, способов деятельности. Названные особенности позволяют отнести деятельность по решению некорректных задач к разряду творческой [2].
Проведение анализа на психолого-физиологическом уровне дает достаточно полное представление о деятельности по решению математических задач, но все же остаются в стороне некоторые важные особенности, характеризующие учебный процесс: активность обучаемого, его самостоятельность, характер деятельности (творческая, исследовательская, продуктивная, репродуктивная), а также не отражены роль и участие педагога. Поэтому перейдем к следующему уровню исследований - педагогическому, рассмотрим процесс решения задачи как процесс взаимодействия обучаемого и обучающего.
При проведении дидактического (педагогического) анализа (третий уровень исследований) необходимо определить место педагога. Для этого в модель второго уровня вводится дополнительный блок, который Й. Лингарт назвал вербальной системой (ВС). Этот блок в схеме деятельности размещается таким образом, чтобы на основе обратной связи педагог мог влиять на формирование потребностей, мотивов, целей деятельности; корректировать выработку программы деятельности; подтверждать или отрицать оценку результата действия (рис. 3).
Рис. 3
Обучение решению задач носит характер взаимодействия преподавателя и обучаемого, поэтому укладывается в рамки модели системы педагогического взаимодействия [6]. В этом процессе можно выделить пять качественно различных уровней владения знаниями о структуре задачи и структуре деятельности по ее решению:
I - неопределенный, соответствует «знаниям-узнаваниям»;
II - манипулятивный, соответствует «знаниям-копиям»;
III - прагматический, соответствует «знаниям-умениям»;
IV - оптимальный, «знания-умения» + опыт деятельности;
V - автономный, «знания-трансформации».
Межуровневые переходы представляют динамику развития системы. Эти переходы характеризуются появлением новых качеств во взаимодействии субъектов системы или совершенствованием уже имеющихся.
I ^ II. Ориентировочно-адаптационный. Переход обучаемого от «знаний-узнаваний» к «знаниям-копиям». На этом этапе происходит формирование умений действовать «по образцу»; задача педагога - сообщение схем деятельности, образцов, трансляция методов. Активность обучаемого при этом высокая, но самостоятельность - низкая; главная задача обучаемого - понимание, усвоение, копирование. Деятельность обучаемого - перцептивно-мнемическая.
II ^ III. Этап перехода к функциональной стадии. Здесь характерна сформированность у обучаемого «знаний-копий», но наблюдается неспособность к варьированию; происходит осознание обучаемым цели саморазвития, появление у обучаемого стремления превзойти свою пассивность. Деятельность педагога направлена на создание условий для развития и коррекцию деятельности обучаемого. Деятельность обучаемого - мыслительно-имажина-тивная.
III ^ IV. Оптимизационный. Обучаемый усвоил основные приемы и способы действий, в состоянии самостоятельно формулировать и решать задачи, имеет место накопление опыта успешных и неуспешных действий. Миновала необходимость доминирования преподавателя. Деятельность обучаемого - с элементами творчества.
IV ^ V. Этап автономизации. Обучаемый сам становится инициатором взаимодействия с источником информации, самостоятельно и активно организует свой творческий процесс, проявляет креативность, достигает личност-но значимых результатов. Деятельность обучаемого - творческая.
V ^ переход к новой системе взаимодействия. Обучаемый с новыми сформированными действиями, способностями осознает новые потребности, в которых эти сформированные качества будут востребованы.
Определение уровня развития системы педагогического взаимодействия при решении задач и характера межуровневых переходов позволяет планировать учебный процесс, диагностировать успешность деятельности обучаемых. Включение некорректных задач в содержание обучения позволяет более точно фиксировать достигнутый уровень, быстрее продвигаться от одного уровня системы к другому, так как некорректные задачи активизируют обучение.
На основании проведенного трехуровневого теоретического анализа деятельности по решению задач сделаем выводы о необходимости включения некорректных задач в содержание обучения.
1. Теория некорректных и обратных задач - современная, активно развивающаяся область научных знаний. Знакомство и изучение этой теории способствует формированию познавательной мотивации у обучаемых, развитию интереса к математике, дает представление о современных, перспективных, развивающихся областях научных знаний.
2. При решении некорректных задач реализуется каждый этап деятельности, проявляется значимость последнего проверочного этапа. Необходимость завершать решение задачи проверкой трех условий корректности приводит к более высокому качеству освоения предметных математических знаний и к более высокому уровню владения структурой деятельности по решению задач.
3. Соответственно теории П. Я. Гальперина формирование навыка по решению определенного типа задач должно осуществляться в наиболее разнообразных условиях. Использование некорректных задач в составлении систем задач, ориентированных на выработку определенного навыка, дает его оптимальное формирование, с необходимыми качествами (полнота, развернутость, осознанность), приводит к слому стереотипов деятельности, не позволяет сформироваться ложным аналогиям.
Для практического подтверждения сделанных выводов в 2009 г. был проведен заключительный этап эксперимента. В нем приняли участие 260 студентов с первого по третий курс экономического и физико-математического факультетов Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского. Были выбраны контрольные и экспериментальные группы. Занятия по высшей математике, математическому анализу, дифференциальным уравнениям проводились в экспериментальной группе с включением некорректных задач, в контрольной группе - традиционно.
С целью проведения количественного анализа были выдвинуты критерии оценки уровня сформированности деятельности обучаемых при решении задач в соответствии с выделенными на втором уровне анализа структурными звеньями решения задачи и основными компонентами деятельности. Результаты фиксировались после проведения контрольных работ, выполнения студентами персонального задания и индивидуальной беседы с преподавателем.
Уровень сформированности деятельности определялся по следующим критериям:
1. Характер мотивации: внутренняя - внешняя, познавательная -репродуктивная.
2. Владение знаниями о структуре задачи: постановка задачи (данные, требование); поиск решения и осуществление решения; «взгляд назад».
3. Анализ данных задачи на полноту, противоречивость в соответствии с требованием задачи.
4. Владение стратегией поиска решения задачи, характер его проведения: хаотично - целенаправленно, осознанное владение анализом - синтезом, формулирование гипотез, разбиение на подзадачи, рассмотрение частных и предельных случаев, всех возможных вариантов, выбор рационального способа решения, умение выделить главную идею, которая приводит к решению.
5. Качество выполнения решения: правильность, обоснованность, полнота, свернутость выполнения отдельных простейших операций, затраченное время, характер допущенных ошибок (техническая, логическая).
6. Выполнение последнего этапа, «взгляда назад»: проверка правильности решения; проверка условий корректности задачи; поиск решений, отличных от найденного; обобщение метода; формулирование новых задач.
7. Владение средствами решения задач: рисунки, модели, абстракции, краткая запись задачи, представление данных задачи в различных видах, компьютер.
8. Владение методами решения задач: выбор теоретического базиса для решения задачи, владение простейшими методами и умение их комбинировать.
Выделенные критерии позволяют регистрировать внешнюю деятельность, но по характеру ее выполнения можно оценить и изменения, происходящие во внутренней, психической. Дополняя критерии 1-8 достигнутым уровнем взаимодействия !-У, получаем достаточно полную картину об уровне сформированности деятельности обучаемых по решению задач. Статистическая обработка данных эксперимента позволила сделать вывод об эффективности методики с использованием некорректных задач.
Таким образом, теоретически обосновано и практически подтверждено, что включение некорректных задач в содержание образования и применение соответствующей методики существенно повышает уровень сформированно-сти математической деятельности студентов.
Список литературы
1. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики / Г. И. Саранцев. - Саранск, 1999. - 208 с.
2. Калошина, И. П. Психология творческой деятельности : учеб. пособие для вузов / И. П. Калошина. - 2-е изд. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 559 с.
3. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. -Новосибирск : Сибирское науч. изд-во, 2008. - 460 с.
4. Родионов, М. А. Деятельностно-процессуальный подход к обучению школьников поиску пути решения математических задач / М. А. Родионов, Н. Н. Храмова. - Пенза : ПГПУ, 2007. - 28 с.
5. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. II / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - 144 с.
6. Краснова, О. В. Механизм эмерджентобразования в развитии систем педагогических взаимодействий и его применение при решении задачи коррекции универсальных учебных действий школьников / О. В. Краснова // Наука и школа. -2009. - № 6. - С. 23-27.
Яремко Наталия Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского
E-mail: yaremki@yandex.ru
Yaremko Natalya Nikolaevna Candidate of physical and mathematical sciences, sub-department of mathematical analysis, Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinsky
УДК 372.851 Яремко, Н. Н.
Педагогические компоненты формирования математической деятельности студентов в процессе решения некорректных задач /
Н. Н. Яремко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 150-157.
