Дидактические принципы обучения решению некорректных задач Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ № 16 (20)2010

IZ VESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PUBLIC SCIENCES № 16 (20) 2010

УДК 372.851

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

©н. н. ЯРЕМКО

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Яремко Н. Н. - Дидактические принципы обучения решению некорректных задач // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 16 (20). С. 175-178. - Сформулированные дидактические принципы отражают закономерности и основные требования к обучению решению некорректных задач в школе и вузе. Указаны ведущие принципы на каждом из этапов обучения.

Ключевые слова: дидактические принципы, процесс решения задач, некорректные задачи.

Yaremko N. N. - Didakticheskie printsipy obucheniya resheniyu nekorrekt-nyh zadach // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 16 (20). P. 175-178. - Formulated didactic principles reflect the laws and basic requirements for training of ill - posed process solving problem at school and university. The guiding principles are indicated for each stage of teaching.

Keywords: didactic principles, the process solving problems, ill-posed problems.

Эффективная и целенаправленная работа, ориентированная на формирование деятельности школьников и студентов по решению математических задач, должна осуществляться на наиболее разнообразном содержании, в разнообразных условиях, с привлечением соответствующих форм, методов и средств обучения. Образовательная цель: формирование деятельности по решению задач, формирование универсальных учебных действий (УУД) по решению задач - может быть успешно достигнута лишь при выполнении ряда условий и требований, как к содержанию образования, так и к проектированию и построению целостного воспитательного и развивающего учебного процесса. Включение некорректных задач в содержание образования представляется нам весьма перспективным в этом направлении, и в связи с этим разработка методических средств обучения решению некорректных задач в школе и вузе превращается в актуальную задачу методической науки. Требования к отбору содержания и методическому обеспечению учебного процесса сформулируем в виде дидактических принципов, которые основываются на закономерностях обучения решению некорректных задач.

Некорректные математические задачи [5, 6] - это задачи, которые либо не имеют решения (в виду противоречивости данных или отсутствия в базе знаний обучаемого соответствующих фактов), либо имеют более одного решения (в рассматриваемом классе), либо решение неустойчиво, т.е. малым изменениям данных задачи соответствуют существенные изменения решения. В школьном курсе математики задачи такого сор-

та присутствуют в очень малом количестве. Среди них можно назвать уравнения, не имеющие решения; текстовые задачи на составление уравнений, в которых более одного решения удовлетворяют условиям задачи; некоторые геометрические задачи; задачи с параметром. В вузе о некорректных задачах студенты узнают лишь на старших курсах при изучении специальных дисциплин, хотя своевременное знакомство, а затем и изучение некорректных задач может превратиться в эффективное средство формирования математической деятельности обучаемых.

Разработка принципов обучения решению некорректных задач, ориентированного на формирование математической деятельности обучаемых, осуществляется в трех направлениях:

1) изучаются возможности использования общепедагогических принципов (научность, наглядность, доступность, активность и сознательность обучения, воспитывающий характер обучения и т.п.), а также их специфика в школе и вузе (непрерывность, преемственность, профессиональной ориентации, единство научной и учебной деятельности, междисциплинарных связей и т.п.) ;

2) конкретизируются основные дидактические принципы обучения математике для обучения решению некорректных задач;

3) формулируются специальные принципы обучения решению некорректных задач.

Принципы обучения отражают зависимость между объективными закономерностями учебного

процесса и целями, которые стоят в обучении. Принципы указанных направлений 1) - 3) взаимодействуют, дополняют и конкретизируют друг друга. В каждом из направлений можно указать группы принципов, относящихся: а) к цели; б) к отбору содержания; в) к организации целостного процесса обучения, т.е. к выбору методов, форм и средств обучения.

Построение целостного процесса обучения решению некорректных задач на основе общепедагогических принципов обучения, воспитания и развития вполне оправдано. В таком подходе реализуется методология решения педагогических проблем с общих позиций. Специальные принципы позволяют более детально, конструктивно, с учетом особенностей подойти к решению конкретной методической задачи. Сформулируем далее наиболее важные, на наш взгляд, принципы обучения решению некорректных задач.

Принцип научности означает, что содержание обучения должно соответствовать уровню развития математики в ее современном состоянии, отражать новые научные факты, формировать у обучаемых научное мировоззрение. В контексте обучения решению некорректных задач это означает освещать на доступном для обучаемых уровне (тут и принцип доступности!) современное состояние теории некорректных задач, показывать, что некорректные задачи являются объективными моделями состояний и процессов реального мира, формировать в мышлении обучаемых такие понятия, которые в настоящее время признаны научными.

«Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысливания и обобщения учащимися изучаемого материала. Средства наглядности служат опорой для осознания связей и отношений между свойствами предметов при формировании понятий» [4]. Графические иллюстрации решения систем линейных уравнений дают наглядное представление о неустойчивости решения, об отсутствии решений или геометрическом смысле квазирешения; процесс регуляризации системы линейных уравнений имеет простые графические истолкования. Опора на наглядность при введении основных понятий теории некорректных задач, в частности, устойчивости решения, позволяет сформировать вначале интуитивное представление об этом понятии, а затем перейти к строгим математическим формулировкам. Наглядность обучения при рассмотрении бифуркационных процессов в математике: видоизменение сечений многогранников в зависимости от положения сечения, изменение числа корней уравнения в зависимости от значений параметра, расположение графика функции в зависимости от входящих в ее выражение параметров - может быть реализована с помощью информационных средств и их графических возможностей.

Принцип сознательности и активности в обучении означает требование превращения обучаемого в активный субъект процесса обучения, с выраженной инициативой и самостоятельностью, со сформированной познавательной мотивацией, развитой способностью к саморегуляции, продуктивно взаимодействую-

щий с обучающим и внешней средой. При обучении решению некорректных задач это означает следующее. Обучаемый вовлечен вначале в репродуктивную деятельность, он копирует образцы деятельности обучающего. Далее происходит переход на более высокий уровень взаимодействия с педагогом, когда сам студент или школьник осознает цель обучения; анализирует условия корректности: существование, единственность, устойчивость решения; обнаруживает либо противоречия в данных задачи, либо осознает необходимость дальнейшего расширения предметной области; решает некорректную задачу рассмотрением полной системы корректных подзадач; самостоятельно изучает бифуркационные процессы. В процессе активного получения знаний происходит и формирование деятельности, обучаемый усваивает методологию некорректных задач, овладевает простейшими умственными действиями: варьированием, анализом, переносом. Лишь в процессе активного усвоения учебного материала происходит формирование деятельности, собственной позиции ученика в процессе обучения; проявляется интерес к математике, инициатива.

Принцип систематичности, непрерывности и преемственности изучения материала означает постепенное овладение основными понятиями теории некорректных задач, методами решения, последовательное усложнение рассматриваемых вопросов, тесное межпредметное взаимодействие. Алгебра, геометрия, информатика составляют единую предметную базу в период школьного знакомства с теорией некорректных задач. Высшая математика, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, а далее - численные методы, спецкурсы по уравнениям математической физики, по обратным задачам, выполнение курсовых и дипломных работ позволяют реализовать общие методы теории некорректных задач. На первом этапе, в школе формируется понятие однозначной разрешимости задачи, понятие устойчивости решения усваивается лишь на наглядно-иллюстративном уровне. Школьник знакомится с бифуркацирнными процессами, учится их наблюдать и исследовать, узнает о точках, в которых нарушается устойчивость процесса, т.е. о точках бифуркации. У школьника формируется первичное представление о корректных и некорректных задачах, об устойчивости процессов, о богатой методологии некорректных задач. далее уже в вузовском курсе все эти вопросы изучаются на более высоком научном уровне и с большей абстракцией, с привлечением понятий метрических или нормированных пространств. условия корректности задачи становятся аппаратом научных исследований.

Вузовское обучение имеет свои особенности и при выделении системы принципов обучения в высшей школе [1], необходимо их учитывать. Особенности и закономерности вузовского процесса обучения связанны с тем, что в высшей школе изучаются не основы наук, а сама наука в ее развитии; сближаются самостоятельные и исследовательские виды студенческих работ с научно-исследовательской деятельностью преподавателей; учебно-познавательная деятельность

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ ►►►►►

студентов на младших курсах превращается в квазипрофессиональную и собственно профессиональную к старшим курсам; цели обучения напрямую связаны с потребностями общества; имеет место усиление межпредметных связей, особенно это касается профильных учебных дисциплин. Требования, основанные на выделенных закономерностях обучения в условиях высшей школы и обеспечивающие необходимую эффективность обучения студентов в вузе, становятся принципами обучения. К их числу отнесем [1, 2]:

- принцип ориентированности высшего образования на развитие личности будущего специалиста;

- принцип соответствия содержания вузовского образования современным и прогнозируемым тенденциям развития науки (принцип фундаментализации);

- принцип прикладной и профессиональной направленности обучения;

- принцип рационального применения современных методов и средств обучения на различных этапах подготовки специалистов.

«В совокупности содержание всех принципов отражает ведущие инвариантные требования к процессу обучения, вытекающие из его целей, закономерностей и других детерминирующих факторов, чтобы они в совокупности обеспечивали осуществление полного цикла деятельности: от целеполагания до анализа результатов. Все принципы нацелены на осуществление ведущего принципа: принципа воспитывающего и развивающего обучения» [2].

В соответствии с высказанным ведущим дидактическим принципом обучение в школе и вузе ориентировано на развитие личности обучаемого и его воспитание. Развитие психики определяется реальной деятельностью, в нашем случае, деятельностью по решению некорректных задач. Включение некорректных задач в содержание образования обеспечивает развитие психических познавательных процессов обучаемых. Мышление, внимание, память, восприятие, речь приобретают новые качества, свойственные более высокому уровню развития интеллекта и когнитивных структур личности; формируются продуктивные свойства психических познавательных процессов. некорректные задачи служат учебным материалом, в деятельности по решению такого сорта задач формируются дивергентность мышления, креативность личности, интеллектуальная активность. деятельность обучаемых в процессе решения некорректных задач проходит все этапы от целеполагания до анализа результатов и переноса в новые условия.

для воспитания активной мировоззренческой позиции обучаемых на материале некорректных задач необходимо раскрывать действие законов диалектики, в соответствии с которыми корректные и некорректные задачи представляют собой две взаимодействующие, тесно взаимосвязанные и взаимодополняющие друг друга стороны реального мира, с помощью этих двух видов задач (корректных и некорректных) картина окружающего мира может быть описана математическими средствами в более полном виде, чем при использовании лишь корректных задач. Некорректные задачи иллюстрируют поэтапность и неограничен-

ность познания, конкретизируют идею незавершенности знания.

В соответствии с высказанными принципами обучение решению некорректных задач в вузе должно быть профессионально ориентировано. Это означает, что при обучении студентов - будущих учителей, необходимо реализовывать методическую функцию некорректных задач, обсуждать со студентами место и роль некорректных задач при обучении школьников математике. для студентов, обучающихся на экономических специальностях, некорректные задачи выступают в роли математических моделей исследования экономических процессов. В частности, понятие устойчивости системы используется при изучении вопросов регуляции рынка, спроса и потребления, курсов валют, процессов инфляции. для студентов - программистов некорректные задачи представляют большой научный интерес в плане разработки устойчивых алгоритмов, например, для обратных задач математической физики.

Следуя принципу практической направленности обучение решению некорректных задач необходимо строить таким образом, чтобы наглядно демонстрировалась связь некорректных задач с реальной жизнью. Можно сказать, что человек постоянно сталкивается с некорректными задачами. «В самом деле, каждый понимает, как легко ошибиться, пытаясь восстановить прошлое по некоторым фактам настоящего (воссоздать картину преступления по имеющимся прямым и косвенным уликам, выявить причины возникновения болезни по результатам обследования и т.п.); или заглянуть в будущее (предсказать стихийное бедствие или хотя бы погоду через неделю); или "проникнуть" в зону недоступности (недра Земли - геофизика, мозг человека - ЯМР-томография) и понять, что там происходит» [5]. Любой специалист достаточно хорошо знает, что большинство задач и проблем, возникающих в жизни, некорректны и часто в практике своей работы имеет дело именно с решением некорректных задач. Принятие решения в условиях избытка или недостатка данных, или даже их противоречивости требует от специалиста владения методологией теории некорректных задач.

Принцип соответствия содержания вузовского образования современным и прогнозируемым тенденциям развития науки означает осуществлять обучение некорректным задачам, «демонстрируя их проникновение во все сферы математики, включая арифметику, алгебру, анализ, геометрию, дифференциальные уравнения, математическую физику, вычислительную математику, теорию распознавания образов, и т.п.» [5]. К настоящему времени обратные и некорректные задачи превратились в бурно развивающуюся область знаний, проникающую практически во все сферы математики и те отрасли научных знаний, которые используют математический аппарат.

К специальным дидактическим принципам обучения решению некорректных задач можно отнести следующие:

- принцип незавершенности знания;

- принцип обязательной разрешимости любой задачи;

- принцип спиралеобразного развития понятия некорректной задачи;

- принцип вариативности деятельности.

Реализация принципов незавершенности знания и обязательной разрешимости любой задачи предполагает проведение идеи неограниченности познания. В соответствии с этим принципом обучение должно строиться таким образом, что установленная на данном этапе некорректность задачи в дальнейшем изучении будет снята и задача получит свое решение. И, вообще говоря, нет неразрешимых задач, речь идет только о том, когда и какими средствами, в результате каких научных исследований это осуществится. О реализации принципа незавершенности и неограниченности знания в обучении с поразительной убежденностью высказался д. гильберт в его известном докладе "Математические проблемы", прочитанном 8 августа 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже. В этом докладе говорится не только о значении для математики "хорошо поставленной" специальной проблемы, но и утвержден тезис о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи: "В математике не существует ^погаЫ-тш! (мы не будем знать)".

Следуя принципу спиралеобразного развития понятия некорректной задачи, мы должны строить обучение, начиная с описания идеи некорректности задач и далее выходить на строгие математические формулировки с детализацией и учетом всех существующих вариантов. Наибольшее внимание при этом заслуживает понятие устойчивости, поскольку оно может развиваться от простейших наглядных образов и интуитивных представлений до строгих математических абстракций. Образно говоря, от известной сказки «про репку, которую вытянула мышка» до математических абстракций. Каждый раз, возвращаясь к одному и тому же понятию, мы используем имеющийся научный, психо-физиологический потенциал обучаемого, детализируем, конкретизируем, формируем это понятие на более высоком научном уровне, осуществляем его «логическое развертывание».

для соблюдения принципа вариативности деятельности необходимо так строить учебный процесс, чтобы обучаемые при решении задач прочно усваивали навык: если нет решения в выбранной математической модели - надо составлять новую или использовать известную, но другую математическую модель и продолжать решение.

Совокупность указанных выше принципов может быть расширена, конкретизирована или, наоборот,

сокращена, более кратко сформулирована. Но основное, инвариантное содержание принципов должно сохраняться.

Совокупность выделенных принципов образует систему с внутренней взаимосвязью, взаимодействием, взаимодополнением. Следуя деятельностно - ком-петентностной парадигме современного образования, в качестве центрального, системообразующего выделим принцип развивающего и воспитывающего обучения. На каждом из этапов обучения (школа - вуз) доминирует какой-либо ведущий принцип или, точнее, группа ведущих принципов. В период обучения решению некорректных задач в школе к ведущим принципам следует отнести научность, доступность, наглядность. На начальном обучении в вузе к ведущим принципам причислим преемственность, непрерывность, контекс-тность, фундаментальность. Далее, на старших курсах вузовского обучения приоритет переходит к принципам профессиональной и практической направленности, единства научной и учебной деятельности. В соответствии с уровневыми целями и задачами обучения, формами и методами, акцент переносится на те или иные принципы, которые и выполняют роль ведущих.

Выделенная система принципов представляет собой руководящие идеи, требования к процессу обучения решению некорректных задач, к отбору содержания образования, к его построению. На них основываются методы и средства обучения, проектируется целостный процесс обучения. Эти положения определяют требования к методической системе обучения решению некорректных задач в целом и ее отдельным компонентам.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Педагогика и психология высшей школы. Ростов н/Д.: Феникс, 2006. 512 с.

2. Загвязинский В.И. Теория обучения: современная интерпретация. М.: Изд. центр «Академия», 2006. 192 с.

3. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов. М.: Физматлит, 2003. 176 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мерлина Н.И., Мерлин А.В., Савина О.А., Авдеева Т.К., Терентьева Л.П. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Чебоксары: Изд-во Чувашск. ун-та, 2009. 732с.

5. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское науч. изд-во, 2008. 460с.

6. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. 480 с.