Синтез цифровых автономных многомерных систем управления с применением периодических структур Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5:681.3

В.К. Тян

СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ АВТОНОМНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Рассмотрена теория синтеза автономных многомерных цифровых систем управления, основанная на структурном представлении обратных операторов. Полученные результаты позволяют проводить синтез многомерных линейных систем с использованием математического аппарата синтеза одномерных систем управления. Кроме того, открываются широкие возможности в эффективном использовании современной компьютерной техники (контроллеров) в управлении многомерными объектами.

Введение

В настоящее время в мире выпускается широкая номенклатура компьютерных средств для управления промышленными объектами. В арсенале известных фирм имеются необходимые технические и программные средства для реализации систем управления, начиная от этапов проектирования до их внедрения в производство. Характерным моментом для всех производителей современных средств автоматизации является практическое отсутствие технических и программных продуктов, предназначенных специально для управления многомерными объектами. Это неслучайно и обусловлено как многообразием многомерных объектов управления, так и недостатком инженерных методик синтеза многомерных САУ, позволяющих применить аппарат синтеза одномерных систем автоматического управления к синтезу многомерных систем. Данная идея в свое время впервые была высказана И.Н. Вознесенским, однако остается актуальной и по сей день [1].

Проектирование автономных многомерных систем автоматического управления (МСАУ) связано с решением линейного операторного уравнения, имеющего вид [2-4]

Аг = и, и еи,7еГ , (1)

где и, Г- метрические пространства с соответствующими метриками ри(и1 ,и2) и рр(г1 ,г2) ; А -непрерывный оператор.

Под решением операторного уравнения, приведенного выше, понимается, что каждому элементу и еи соответствует 7 е Г . Понятие «устойчивости» решения 7 е Г на паре пространств (Г, и) подразумевает выполнение критерия Коши [2, 5]. Сложность данного уравнения заключается в том, что решение не может быть найдено для произвольной правой части.

Структурное представление обратного оператора в банаховом пространстве

Функционирование обратного оператора в системах реального времени связано с решением проблем устойчивости и физической реализуемости. Решение операторного уравнения (1), связанного с нахождением обратного оператора, представлено в [6, 7]. Приведем их краткое содержание, основные определения и результаты.

В [6] предлагается алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представ -лении обратных операторов в виде периодической структуры следующего вида (рис. 1).

Р и с. 1. Структурное представление обратного оператора А'1 Здесь I - тождественный оператор, А - некоторый непрерывный оператор, отображающий множество Г в V.

Введены следующие понятия [6].

Определение 1. Оператор А0 называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора А выполняется условие

\\1 - ААо|| < 1, (2)

где I - тождественный оператор.

Норма (2) определяется в каждом случае конкретно.

Определение 2. Структура, представленная на рис. 1, называется фундаментальной, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве.

Пусть в (1) и, Г - банаховы пространства.

Лемма. Для того чтобы представленная на рис. 1 периодическая структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы оператор А0 являлся стабилизирующим оператором.

Теорема. При выполнении условия фундаментальности периодической структуры фундаментальная структура является ограниченной, а оператор периодической структуры сходится к обратному оператору А-1.

Структурное представление обратной передаточной матрицы

многомерного объекта управления с дискретным временем

С целью структурного представления обратной передаточной матрицы дискретного многомерного объекта управления приведем уравнения многомерного объекта управления и решения этих уравнений. В пространстве состояний они имеют вид

х(к +1) = Аах(к) + Баи(к);

у(к) = Сах(к), ()

где к — дискретное время, Ал - динамическая матрица, Бй - матрица управления, Сй - матрица выходных координат для дискретного объекта управления, х(к) - вектор состояния, и(к) - управления, у(к) - выходных координат.

Решение уравнений объекта имеет вид

к

х(к )=^(к, ко )х (ко)+ X ^ (к, 9)^ (9 —1)и(9 —1); (4)

9=ко + 1

к

У (к ) = Cd (к% (к, ко )х(ко) + Са (к) X ^ (к, 9)Б^ (9 — 1)и (9 — 1), (5)

9=ко + 1

где к0- начальный момент дискретного времени, матрица перехода Ld (к, к0) выражается через фундаментальную матрицу Ф(к) следующим образом: Ld (к,к0) = Ф(к)Ф—1(к0).

Уравнения (4, 5) являются дискретными аналогами соответствующих интегральных уравнений для непрерывных систем управления. Естественно, все проблемы решения обратной задачи сохраняются и для уравнений (4, 5). Рассмотренные выше определение, лемма и теорема аналогичным образом формулируется и для передаточной матрицы дискретного многомерного объекта управления.

По аналогии с приведенным выше структурным представлением обратного оператора в банаховом пространстве синтезирована периодическая структура, физически реализующая обратную передаточную матрицу многомерного линейного минимально-фазового объекта управления с дискретным временем (рис. 2).

В соответствии с общефункциональным подходом приведем некоторые понятия применительно к теории автоматического управления.

Р и с. 2. Структурное представление обратной передаточной матрицы многомерного объекта управления с дискретным временем: г - оператор сдвига, га - выход дискретной периодической структуры

Определение. Назовем передаточную матрицу Ж0 (г) стабилизирующей матрицей, функционал Ц - Ж (г )Ж0 (г )| стабилизирующим функционалом, а представленную на рис. 2 передаточную матричную структуру фундаментальной, если последовательность периодических структур передаточных матриц при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры описывается фундаментальной последовательностью передаточных матриц.

В выражении функционала Ж (г) - передаточная матрица объекта управления с дискретным временем.

Лемма. Для того чтобы представленная на рис. 2 периодическая передаточная матричная структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы стабилизирующий функционал удовлетворял условию

\\1 - Ж(г)Ж0(г)\\ < 1. (6)

Доказательство для систем управления с дискретным временем аналогично доказательству, приведенному в [6] для обратного оператора в банаховом пространстве.

Теорема. При выполнении условия фундаментальности периодической структуры при неограниченном увеличении числа периодических ячеек фундаментальная структура является ограниченной, непрерывной и сходится к обратной передаточной матрице модели линейного минимально-фазового объекта управления.

Доказательство приведено там же.

Из изложенного очевидны аналогии в определениях и теоремах для абстрактного банахового пространства и для пространства передаточных матриц линейных многомерных объектов управления. Таким образом, структурное представление обратной передаточной матрицы линейного минимальнофазового объекта по аналогии с определением обратного оператора линейного банахова пространства базируется на соотношении

ИшИгп (г) Ж (г ) = I, п ®да. (7)

Индексом п обозначено количество ячеек, Жп (г) - передаточная матрица, описывающая фундаментальную структуру длиной п.

Частотный диапазон, в котором выполняется условие (6), назовем интервалом регуляризации. Таким образом, в интервале регуляризации матрица периодической структуры сходится к обратной передаточной матрице объекта управления, и физическая реализация обратной задачи в системах с причинно-следственными связями (системах реального времени) возможна только в интервале регуляризации.

Для характеристики качества развязки каналов управления введем понятие обобщенных частотных характеристик последовательного соединения периодической структуры и многомерного объекта управления, представляющего частотные характеристики произведения диагональных элементов их результирующей передаточной матрицы. Обобщенная АЧХ в интервале регуляризации при достижении высокого уровня автономности близка к единице, а обобщенная ФЧХ близка к нулю.

Область частот, лежащая вне интервала регуляризации, определяет погрешность решения обратной задачи для систем реального времени и принципиально не может быть сведена к нулю. Получен-

ные результаты позволяют синтезировать корректирующие звенья для достижения автономности по вектору управляющих сигналов и инвариантности к вектору возмущающих воздействий в системах автоматического управления в интервале регуляризации.

Анализ динамических свойств дискретного объекта управления с периодической структурой

Рассмотрим многомерный объект с двумя входами и двумя выходами с непрерывным временем, описываемый следующей передаточной матрицей:

3.4(0.4 р +1) 6.8(0.55 р +1)

Кб (р)=

0.38 р2 + 1.1р +1 0.38 р2 + 1.1р +1

0.18(1.13 р +1) 0.9(1. 1 р +1)

0.38 р2 + 1.1р +1 0.38 р2 +1.1 р +1

(8)

Передаточная матрица соответствующего дискретно-совпадающего объекта управления с экстра-полятором первого порядка, найденная в среде МЛТЬЛБ, имеет следующий вид:

0.03577 - 0.0348

0.09792 - 0.0961

22 -1.9712 + 0.971 22 -1.9712 + 0.971

0.00532 - 0.0053

0.02582 - 0.0256

22 -1.9712 + 0.971 22 -1.9712 + 0.971.

(9)

Структурная схема дискретно-совпадающей модели объекта управления с периодической структурой с шагом дискретизации т = 0.01 показана рис. 3.

Р и с. 3. Структурная схема дискретно-совпадающей модели объекта управления с периодической структурой с шагом дискретизации т = 0,01

Степень развязки входов от несобственных выходов (степень достижения автономности) может быть оценена по реакции системы на векторный управляющий сигнал вида со1 (1 0) и со1 (0 1) (рис. 4, 5).

Как следует из результатов моделирования, представленных на рис. 4 и 5, степень влияния входов на несобственные выходы в системе «объект управления - периодическая структура» в интервале времени 0-0.025 сек составляет 6-7 процентов на рис. 4 и более 100 процентов на рис. 5, что объясняется конечной длиной интервала регуляризации и наличием высокочастотной части, лежащей вне данного интервала на обобщенной частотной характеристике.

Проведем анализ графиков, представленных на рис. 4. В интервале времени 0,025-0,04 сек указанное влияние составляет не более 4 процентов. Далее влияние интенсивно уменьшается, и после отметки времени, равной 0.23 сек, влияние первого входа на второй выход составляет не более 1 процента. В установившемся режиме достигается полная автономность.

L

•••••» ) і С 3 і • • •

z<i2

0.8 ..........J..........i............;...........:...........i............?......................

6 .

о.4-------------•-----------*-----------------------i------------------------;----------------------

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t, с

Р и с. 5. Реакция системы управления на задающий сигнал col (0 1)

Анализ графиков, представленных на рис. 5, показывает, что после отметки времени 0.23 сек влияние на несобственный выход тоже не превышает 1 процента, а в установившемся режиме также достигается полная автономность.

Таким образом, наличие высокочастотной части периодической структуры, лежащей вне интервала регуляризации, отрицательно влияет на качество достижения автономности. Однако это является неизбежным моментом в достижении динамической компенсации в системах реального времени. Ниже будет рассмотрен вопрос уменьшения влияния высокочастотной составляющей периодической структуры.

Анализ частотных свойств дискретного объекта управления с периодической структурой

Оценку частотных свойств рассматриваемой системы проведем на базе обобщенных частотных характеристик, вычисленных по следующим формулам. Введем следующие матрицы.

1 0" "0.9 0"

I = , С =

0 1 0 0.9

п = 6 , т = 0.01,

где п - длина фундаментальной последовательности, т - интервал дискретизации. Стабилизирующую матрицу вычислим по формуле

Ж0(2) = (I - С + жт (2))Л

Тогда передаточная матрица периодической структуры примет вид

^кот (2 ) =

I + £ (I - Ж (2 )-Жо (2 ))

Ж (2 ).

ЛАЧХ и ФЧХ вычислим по формулам

Л(р) = 201ое| Ж (в, 0}т)• Жкот(в1'№Т)|

1Ш| Ж (в' -) • Жкот (в' -)\ Яе| Ж (-)-Жкот (вЖ)\ .

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Во всех приведенных формулах га - частота.

Соответствующие графики показаны на рис. 6 и 7.

Как следует из рис. 6, 7, в интервале регуляризации периодическая структура (динамический компенсатор) - объект управления представляет собой безынерционное звено с единичным коэффициентом усиления.

пб

^35 1 1 1 1 1 1 <• и:)

/ г

/ ' 1

Г

V .

н 1

■ '

<з|ю1 ээ;

ВД

(гЗ

с

-Д2

Л4

г (\

- — 4 Ъ\-\

'\

/ А г 1 \

\ V \ V '

1

\

X

■| -П.Л; Г.* Ч1.2Л Г, 025 1.1 О.ла 1 '.;г 1.й

Р и с. 6. Обобщенные ЛАЧХ при различном числе ячеек структуры:

А1(га) - при п = 6; А2(га) - при п = 10; А3(га) -при п = 13

1 -1’5 -с-.; -с.!к и и.к с.5 ат; 1 л.хь 1.Е

Р и с. 7. Обобщенные ФЧХ при различном числе ячеек структуры: ф1(ю) - при п = 6; ф2(га) - при п = 10; ф3(га) - при п = 13

Редукция многомерного объекта управления к совокупности одномерных типовых объектов с дискретным временем

Как показал анализ переходных характеристик системы «объект управления - периодическая структура», а также анализ обобщенных частотных характеристик этой же системы, наличие высокочастотной части, лежащей вне интервала регуляризации, ухудшает качество управления. Наблюдается «просачивание» высокочастотной части спектра управляющего сигнала в несобственный выход. Для окончательной развязки входов от несобственных выходов логично в интервале регуляризации провести цифровую низкочастотную фильтрацию управляющих сигналов. Параметры низкочастотного фильтра (НЧФ) определяются интервалом регуляризации.

Для подбора цифровых низкочастотных фильтров построим собственные частотные характеристики системы «периодическая структура - многомерный объект управления» в интервале регуляризации (рис. 8, 9).

первым входом и первым выходом

вторым входом и вторым выходом

В результате аппроксимации АЧХ получены следующие цифровые фильтры:

Ж (2 ) =

2

0.0327839 (2 - 0.967216)2

Ж (2 ) =

0.024690!

2

(2 - 0.97531)2 '

На рис. 10 и 11 представлены частотные характеристики полученных цифровых фильтров.

(15)

(16)

Р и с. 10. АЧХ и ФЧХ фильтра первого контура

Р и с. 11. АЧХ и ФЧХ фильтра второго контура

Синтез дискретной редуцированной замкнутой системы

Модель дискретной замкнутой системы с экстраполятором нулевого порядка при т = 0,01 в среде МЛТЬЛБ представлена на рис. 12.

В каждый канал установлены синтезированные выше цифровые низкочастотные фильтры и цифровые ПИ-регуляторы.

Р и с. 12. Верификация замкнутой редуцированной системы управления в среде MatLab

Исследуем динамические свойства замкнутой системы и оценим степень достижения автономности цифровой системы управления, синтезированной с применением периодических структур. С этой целью подадим на задающий вход векторный сигнал col (1 0), а затем -

col (0 1).

Переходные характеристики синтезированной системы представлены на рис. 13 и 14.

Р 5-ї 1 1=а Z ш.і

P и с. іЗ. Вектор выходных координат при задающем векторе col (і G)

P и с. і4. Вектор выходных координат при задающем векторе col (G і)

Анализ полученных результатов показывает, что степень влияния первого канала на второй не превышает 0,2 процента, а степень влияния второго канала на первый составляет величину, не превышающую 1,5 процента. Таким образом, редукция многомерной системы к совокупности одномерных дискретных систем управления с типовыми объектами управления с низкочастотными свойствами обеспечивает получение высокой степени автономности и, следовательно, возможность использования мощного арсенала средств синтеза одномерных систем управления для управления многомерными объектами.

Кроме того, полученные результаты позволяют внедрить в практику управления многомерными объектами современные контроллеры ведущих мировых производителей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. МорозовскийВ.Т. Многосвязные системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

3. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

4. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990.

5. КолмогоровА.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

6. Тян В.К. Структурное представление обратного оператора в банаховом пространстве / Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2007. Вып. №1 (14). С. 197-199.

7. Тян В.К. Теория периодических структур в некорректных задачах синтеза инвариантных и автономных систем управления // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. 2006. Вып. 41. С. 47-54.

Статья поступила в редакцию 15 декабря 2007 года