CC BY
7деленности обеспечить охлаждение с гарантированной точностью, решить тем же способом задачи быстрейшего охлаждения жилы в ванне фиксированной длины с заданной точностью и т.д.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ С11ИСОК
1. Митроишн В.И. Математическое моделирование процессов теплопереноеа при охлаждении экструдированной кабельной жилы с учетом фазовых превращений полимерной изоляции // Вести. Самар, гос. техн. ун-та. Сер. "Технические науки". 2005. Вып. 32, С, 182-186.
2. Рапопорт ЭЯ, Митрошин 11.!/.. Кретов ЛИ. Оптимальное управление процессом охлаждения полимерной кабельной изоляции при ее наложении на жструзионной линии // Вести. Самар, гос. техн. ун-та. Сер. "Физикоматематические науки”. 2006. Вып. 43. С. 146-153.
3. Митрошин В.И. Структурное моделирование процесса охлаждения изолированной кабельной жилы при ее изго-
товлении на жструзионпой линии // Вест. Самар, юс, техм. ун-та. Сер. '' Технические науки”. 2006. Вып. 40. С. 22-33. '
4. Рапопорт З.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления е распределенными параметрами. М.: Высш. шк.. 2003. 299 с.
5. Рапопорт Э.Я Альтернанепый метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука. 2000. 336 е.
Статья поступила в редакцию 30 октября 2007 г.
УДК 681.5:681.3 В. К. Тми
РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕМИНИМАЛЬНО ФАЗОВЫМ ОБЪЕКТОМ
Введено понятие обратного устойчивого оператора неминимспыю фазового объекта и решена проблема синтеза автономных а компенсационных многомерных систем автоматического управления с неминимально фазовым объектом.
Проблема решения обратных задач связана с решением линейного операторного уравнения, имеющего вид [1-3]
Аг - и\
(1)
и е V а е
где I], Р ~ метрические пространства с соответствующими метриками р11{и^и2) и Рр{2\,22),Л - некоторый непрерывный оператор.
Приведем некоторые известные базовые понятия.
Под решением операторного уравнения (1) понимается, что каждому элементу и е V соответствует ге/’’. Понятие «устойчивости» решения г е Р на паре пространств {Р,и) подразумевает выполнение критерия Коши [4], т.е. для всякого числа £>0 найдется <5(е}>0. такое, что из неравенства
р11(и],и2)<
следует
р1. (г],12)<£, О)
где величины
г, =Я(г^|), ^2 =Д(гг2) (4)
определяются по исходным данным и .
Таким образом, понятие обратной задачи применимо к объектам с причинноследственными связями. Фактически под решением понимается определение причины по ее проявлению, т.е. следствию. Из общих соображений ясно, что если в следствии присутствует компонента, не обусловленная причинно-следственными связями, например, помехи в выходном сигнале, то решения не существует в определенном выше смысле. Это важный прак-
тический случай и, естественно, ему было уделено много внимания. Приведем несколько понятий решения операторного уравнения (1).
Задача определения решения уравнения (1) в указанном выше смысле называется корректно поставленной по Ж. Адамару, если выполняются следующие условия [ 1 ],
1. Для всякого и е U существует и однозначно определяется решение z е F .
2. Определяемые решения являются устойчивыми на паре пространств (F, U).
Подавляющее большинство практических обратных задач не удовлетворяют условиям 1,
2 и, следовательно, не могут решены в корректной постановке по Адамару.
Дальнейшим шагом в решении операторного уравнения 1, не удовлетворяющего условиям Адамара, является условно-корректная постановка по А.Н. Тихонову, позволившая решить ряд важных практических задач и положившая начало фундаментальному научному направлению [1-3]. В постановке А.Н. Тихонова приближенное решение минимизирует функционал вида
p„(Azd,и) = inf p„(Az,и) ; (5)
Z€ М .
Во многих работах, в том числе и работах учеников А.Н, Тихонова, например в [2], отмечается, что характерным признаком обратных задач является их физическая нереализуемость.
В задачах синтеза систем управления, функционирующих в реальном темпе времени, требуется физическая реализация решений обратных задач. Например, решение обратных задач, связанных с синтезом автономных и компенсационных систем управления, связано с рядом следующих принципиальных проблем:
1) физическая реализуемость решения обратных задач, т.е. нахождение обратного оператора, функционирующего в реальном масштабе времени;
2) устойчивость обратных операторов в задачах синтеза систем управления.
Вопросы физической реализуемости и устойчивости обратных операторов в случае многомерных линейных минимально фазовых объектов управления рассмотрены в [2]. С особенной остротой вопрос устойчивости возникает при синтезе компенсационных систем с неминимально фазовым объектом управления. В этом случае обратный оператор (1), описывающий неминимально фазовый объект, является принципиально неустойчивым. Решение проблем устойчивости и физической реализуемости для неминимально фазовых объектов базируется на полученных в [5, 6] результатах. Приведем их краткое содержание, основные определения и результаты.
В [5] предлагается алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представлении обратных операторов в виде периодической структуры следующего вида (см. рис. 1).
А~]
Рис. 1. Структурное представление обратного оператора А~1
Здесь I — тождественный оператор, А - некоторый непрерывный оператор, отображающий множество Р в и.
Введем следующие понятия.
Определение 1
Оператор Ао называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора Л выполняется условие
где I - тождественный оператор.
Норма (6) определяется в каждом случае конкретно.
Определение 2
Структура, представленная на рис. 1, называется фундаментальной, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве.
Пусть в (1) и, Р — банаховы пространства.
Лемма
Для того чтобы представленная на рис. 1 периодическая структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы оператор А0 являлся стабилизирующим оператором. Приведенная на рис. 1 фундаментальная периодическая структура и математические понятия представляют общефункциональный подход для развития теории синтеза комбинированных многомерных систем управления.
Р и с. 2. Структурное представление обратной передаточной матрицы
На базе общефункционального подхода была развита теория периодических структур, позволяющая проводить синтез компенсационных систем с заданной инвариантностью [6]. На рис. 2 представлена периодическая структура, физически реализующая обратную передаточную функцию многомерного линейного минимально фазового объекта управления и построенная по аналогии со структурным представлением обратного линейного оператора в банаховом пространстве.
В соответствии с общефункциональным подходом приведем некоторые понятия применительно к теории автоматического управления [6].
Определение
Назовем передаточную матрицу ^(р) стабилизирующей матрицей, функционал \1 - ЩрЩ0(р)\\ - стабилизирующим функционалом, а представленную на рис. 2 передаточную матричную структуру фундаментальной, если последовательность периодических структур передаточных матриц при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры описывается фундаментальной последовательностью передаточных матриц.
В выражении функционала №(р) - передаточная матрица объекта управления.
Лемма
Для того чтобы представленная на рис. 2 периодическая передаточная матричная структура была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы стабилизирующий функционал удовлетворял условию
/
■V }*-Ї
(
..у .. .....і : . і/) ,.—.. [ с---- / .- •
ЇУ0(рУ+-^ }У(р)г №(ру- Ч^о(Р)ІЧ"1^(Р)Ґ
д
(7)
Теорема
При выполнении условия фундаментальности периодической структуры при неограниченном увеличении числа периодических ячеек фундаментальная структура является ограниченной, непрерывной и сходится к обратной передаточной матрице модели линейного минимально фазового объекта управления.
Из вышесказанного очевидны аналогии в определениях и теоремах, изложенных для абстрактного банахового пространства и для пространства линейных передаточных функций. Более точно теория периодических структур следует из теории структурного представления обратного оператора в линейном пространстве.
Таким образом, определение обратной матрицы передаточной функции линейного минимально фазового объекта по аналогии с определением обратного оператора линейного пространства, имеющего вид
АА~1 ШI, (8)
где I-тождественный оператор, представляется в виде
(9)
где I - единичная матрица.
В контексте излагаемой теории вышеприведенные определения имеют вид
Пт АкА = I; (10)
к-* оо
(И)
Индексом к обозначено количество ячеек, Ак, Щ {р) - оператор и передаточная матрица, описывающие соответствующие фундаментальные структуры длиной к.
Решение задач синтеза компенсационных систем с неминимально фазовым объектом с использованием вышеприведенных определений обратных операторов и обратных передаточных функций сталкивается с принципиальными проблемами, связанными с физической реализуемостью, о которой говорилось выше, и с проблемой устойчивости, обусловленной неустойчивостью обратной передаточной матрицы неминимально фазовых объектов управления. Для решения задачи синтеза компенсационных систем управления с неминимально фазовым объектом управления введем следующее определение обратной передаточной матрицы неминимально фазового объекта управления.
Определение 1
Фундаментальная структура реализует обратную передаточную функцию неминимально фазового объекта управления, если их последовательное соединение описывается соотношением
Пт Игл(р')Щр) = -1. (12)
к-* <и
Правомерность введения данного определения базируется на нижеследующей теореме и, как это будет показано ниже, позволяет использовать теорию периодических структур представления обратных операторов для синтеза компенсационных и автономных многомерных систем с неминимально фазовым объектом управления.
Определение 2
Фундаментальную периодическую структуру с замененными в звеньях периодической структуры неустойчивыми нулями на устойчивые вещественно сопряженные нули назовем вещественно сопряженной фундаментальной структурой.
Теорема
Вещественно сопряженная фундаментальная структура устойчива и равна обратной передаточной функции неминимально фазового объекта в смысле определения 1.
Доказательство
Рассмотрим одномерный неминимально фазовый объект управления. Для него вещественно сопряженная фундаментальная структура имеет предел вида [6]:
г--|
lim Wk(p)=WZ,h{p) , к
(13)
где И'\,ф(р) - передаточная функция соответствующего минимально фазового объекта управления, получаемого путем замены неустойчивых нулей в неминимально фазовом объекте с передаточной функцией IV (р), расположенных в правой полуплоскости, на симметричные
относительно мнимой оси устойчивые нули. Тогда
lim
к
Ж,(;ш)№Чко)
- I;
!im arg{ff* ((ю)^Г(кй)} = -л.
А—
()4)
(15)
Полученные выражения (14) и (15) эквивалентны введенному определению (12). Теорема доказана.
Tfinrftf Fen®
Scopt
Р и с. 3. Вещественно сопряженная фундаментальная структура с неминимально фазовым
объектом управления
Верификация полученных теоретических результатов была проведена в среде Matlab. Рассмотрим одномерный неминимально фазовый объект, описываемый следующей передаточной функцией:
/Г1 , • (i6>
0. \р~ + р +1
На рис. 3 представлена вещественно сопряженная фундаментальная структура с последовательно соединенным неминимально фазовым объектом управления.
На рис. 4 показана переходная характеристика /?,(/) вещественно сопряженной фундаментальной структуры, последовательно соединенной с неминимально фазовым объектом управления. Как следует из рис. 4, установившееся значение переходной характеристики равно минус единице. Таким образом, получена устойчивая обратная передаточная функция неминимально фазового объекта управления в смысле определения 1.
Ниже приведен анализ частотных характеристик рассматриваемой структуры в среде MatliCAD. Параметры вещественно сопряженной фундаментальной структуры: « = 4, С = 0.7, где п - количество периодических ячеек, С - параметр регуляризирующего звена [5, 6]. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) рассматриваемой структуры определяется следующим выражением:
р substitute , р = i ■ ю .
Л(ш) = 20log(| WmlmWk0l„{m)I), (17)
где
Гя(р) = -• -г1-"Ы = (1 - с + ^(/>))-'; Гя1 (р) = р2 1 ;
0.1/Г + /> + 1 0.1/Г +/7 + 1
л, (О
^оты=
і + ХО-^ОО^ООГ1
і=і
Щр)-
I, с
Р и с. 4. Переходная характеристика последовательно соединенных вещественно сопряженной фундаментальной структуры с неминимально фазовым объектом управления
ЛАЧХ при различном числе ячеек структуры показаны на рис. 5.
Анализ ЛАЧХ, представленных на рис. 5, показывает, что в интервале регуляризации коэффициент усиления равен обратной величине коэффициента усиления неминимально фазового объекта управления. Отметим высокую сходимость фундаментальной структуры, выражающуюся в том, что при малом количестве периодических ячеек достигается решение обратной задачи в интервале регуляризации. Таким образом, по амплитудной характеристике получено решение обратной задачи для рассматриваемого класса объектов.
Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) рассматриваемой структуры определяется выражением (см. также (16)).
Ца), дб
Р и с. 5. Логарифмические частотные характеристики последовательно соединенных вещественно сопряженной фундаментальной структуры с неминимально фазовым объектом управления для различного числа периодических ячеек: А(ш) - при п =4; А1 (со) — при п = 6; А2(ю) - при п = 10
ф(а)) = я1ап
.(*»>)' ,(«»));
(19)
Результаты исследования фазочастотной характеристики структуры, представленной на рис. 3, показаны на рис. 6. В интервале регуляризации фаза стремится к минус 180 градусам. Это означает, что установившееся значение должно быть равно минус единице, что подтверждается переходной характеристикой, рассмотренной выше и представленной на рис. 4. Это означает, что найдено решение обратной задачи, т.е. построен обратный физически реализуемый оператор, определенный соотношением (12). Таким образом, теория синтеза обратных операторов для одномерных линейных неминимально фазовых объектов управления полностью подтверждена и теоретически, и моделированием в среде Ма^аЬ и МаЛСАО.
ф(ш), рад
Р и с. 6. ЛФЧХ последовательно соединенных вещественно сопряженной фундаментальной структуры с неминимально фазовым объектом управления для различного числа периодических ячеек: ф(ш)- при п = 4; <р1(ш) - при п = 6; ф2(со) - при п = 10 Рассмотрим случай многомерных неминимально фазовых объектов управления на примере многомерного объекта управления с двумя входами и двумя выходами со следующей передаточной матрицей:
' 2,-2
0,1 р + р + I />-1
5р~5
0.1 р2 + р+ 1 Зр-З
(20)
0,\р + /> + 1 0,1 р + р+ 1
На рис. 7 представлена вещественно сопряженная фундаментальная структура с последовательно соединенным многомерным неминимально фазовым объектом управления. На рис. 8 показана переходная характеристика вещественно сопряженной фундаментальной структуры, последовательно соединенной с неминимально фазовым объектом управления. Анализ переходных характеристик проведен для двух случаев управляющих векторов. В первом случае
вектор управления равен и\ = [1 0]г, а для второго случая (рис. 9) V2 = [0 1]г. В первом случае, как следует из рис. 8, установившее значение переходной характеристики Ан(0 на первом выходе близко к минус единице, а на втором /?]2(0 не превышает 0.01. Во втором случае (рис. 9), наоборот, на первом выходе й2](0 не более 0.01, а на втором /*22 (0 - близко к минус единице. Это означает следующее:
1) построена вещественно сопряженная фундаментальная структура, описываемая обратной передаточной функцией;
2) достигнута автономность неминимально фазового объекта; влияние входов на другие выходы составляет не более одного процента (в данном конкретном случае).
Таким образом, получено устойчивая обратная передаточная функция неминимально фазового объекта управления.
»Гт7 &оор«
Р и с. 7. Вещественно сопряженная фундаментальная структура с последовательно соединенным многомерным неминимально фазовым о&ьектом управления
Обобщенная амплитудная частотная характеристика периодической структуры с объектом вычислена на основании соотношений [6], аналогичных (17, 18):
(1 (Л (0.7 0 >
I = ;С= ; п = 6;
■ ; ^ о 0.7/ ’
Кт{р)=
,0 У
Р+1
2 5
ОАр + р + \
1 3
;ти>) = (/-с + тгт(р$-1;
р-1
ОАр + р + ]
2 5 1 3
Р и с. 8. Переходная характеристика последовательно соединенных вещественно сопряженной фундаментальной структуры с неминимально фазовым объектом управления. Случай 1
1
_ м
р яиЬзШШе, р = / - ш —у / - со;
Л(а» = 20^(|^я1(*ш)^(йв)|).
МО 1-5 1
0.5
О
-0.5
Р и с. 9. Переходная характеристика последовательно соединенных вещественно сопряженной фундаментальной структуры с неминимально фазовым объектом управления. Случай 2
Анализ переходных функций и ЛАЧХ, представленных на рис. 8, 9, 10, показывает, что в интервале регуляризации структура, показанная на рис, 7, описывается диагональной матрицей и, следовательно, фундаментальная структура реализует обратную передаточную функцию неминимально фазового звена в соответствии с введенным выше определением. Полученные результаты являются основой для синтеза многомерных автономных систем управления с неминимально фазовым объектом управления.
Х(со), дб з
2.5 2
1.5
А(ю> '
А1(») 0.5
А2(ш)
----- 0
-0.5
-1 -1.5
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0 75 I 1.25 1,5 1.75 2
1ов(га)
Рис. 10. Обобщенные ЛАЧХ при различном числе ячеек структуры:
А(ш) - при п = 6; А1 (со) - при п = 10; А2(со) - при п = 13
. ■
цг— -
1 1 I
1. Тихонов. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979,
2. Тихонов АН.. Кальнер И.Д., Г.шско Н.!>. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение. 1990.
3. Тихонов ЛИ.. Гончаровский А.В.. Степанов В. В.. Я гол а А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990.
4. Колмогоров А.N . Фомин С. II. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. 1981.
J Тян В. К Структурное представление обратного оператора н банахопом пространстве г Вестник Самар, гос.
тех», ун-та. Сер Ф ши ко-м ате м гпи ч ее к и е пауки. 2007. Пып №1 (14). С. 197-199.
6. Тян П К. Теория периодических структур it некорректных задачах синтеза инвариантных и автономных систем управления Вестник Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. 2006. Вып. 41. С.47-54.
Статья поступила е редакцию 15 декабря 2006 г.
