Теоретико-полевое описание неравновесной критической динамики сруктурно неупорядоченных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 75-80.

УДК 539.612

В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.А. Калашников

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ*

Впервые осуществлено теоретико-полевое описание неравновесной критической динамики неупорядоченной системы в двух петлевом приближении непосредственно для трехмерных систем без использования метода е-разложения.

Ключевые слова: фазовые переходы и критические явления, коротковременная динамика, ренормгруппа, неупорядоченные системы.

Данная статья посвящена разработке теоретико-полевых методов описания влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности и корреляционных функций в критической точке для структурно неупорядоченных систем с фиксированной размерностью и осуществлению их реализации для трехмерных систем в двухпетлевом приближении с применением на каждом этапе расчетов методов суммирования асимптотических рядов.

Структурный беспорядок, обусловленный присутствием примесей или других дефектов структуры, зачастую играет важную роль в поведении реальных материалов и физических систем. Дефекты структуры задают новые классы универсальности критического поведения, модифицируя кинетические свойства систем и обусловливая низкочастотные особенности в динамике системы. Статистические особенности описания неупорядоченных систем с замороженным беспорядком и эффекты критического замедления, усиливаемые дефектами структуры, создают значительные трудности как для аналитического описания, так и для численного моделирования поведения подобных систем. В последнее десятилетие был достигнут прогресс в понимании и описании неравновесного критического поведения макроскопических систем, далеких от состояния равновесия. Определяющими особенностями динамики подобных систем являются критическое замедление времени релаксации системы и аномально большие времена корреляции различных состояний системы. Данные особенности приводят к реализации динамического скейлингового поведения, даже когда системы находятся в состояниях, далеких от состояния равновесия.

В пионерской работе [1] на основе ренормгруппового анализа неравновесного критического поведения однородных систем было предсказано, что если начальное состояние системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значе-

* Работа поддержана грантом 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы». © В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.А. Калашников, 2009

нием намагниченности, далеким от состояния насыщения, то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем, характеризуемым новым независимым динамическим крити-

0'

ческим индексом 0': ) ~ t . При этом

с увеличением времени коротковременная динамика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону т(V) ~ tЯУ с показателем, определяемым отношением со статическими критическими индексами в и V и динамическим критическим индексом z (рис. 1).

О /

Рис. 1. График эволюции намагниченности в критической точке из неравновесного начального состояния с малой то

В работе [1] было показано, что на макроскопически малых временах эволюции системы точно так же, как и на больших временах, критические дально-действующие корреляции флуктуаций параметра порядка обеспечивают универсальный характер сингулярного поведения для многих динамических характеристик системы, таких как динамическая восприимчивость, временная корреляционная функция и т. д. При этом предсказывалась двухвременная зависимость для функции отклика %(^ ^) и корреляционной функции С(^ tw), которая принимала в коротковременном режиме вид степенной зависимости от отношения переменных t/tw 0^ - время ожидания), характеризуемой показателем 0:

X ^ )0, С(1, ^ )0-1. (1)

Между показателями 0 и 0' в работе было получено связывающее их отношение 0'= =0+(2^~п)^, поэтому независимым критическим индексом является лишь один из них. С использованием метода е-разложения в работе [1] был проведен расчет нового динамического критического индекса 0' (как и показателя 0) в двухпетлевом приближении.

В работе [2] впервые было осуществлено исследование влияния точечных замороженных дефектов структуры на характеристики неравновесного поведения и проведен расчет функции отклика, корреляционной функции и показателей их степенной зависимости от времени в коротковременном режиме в первом порядке теории с использованием метода е-разложения. В работе [3] было осуществлено исследование влияния точечных дефектов структуры во втором порядке теории также с использованием метода е-разложения.

Описание неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем предполагает необходимость при теоретико-полевом описании учета в динамическом производящем функционале дополнительного распределения для начальных значений спиновой плотности эо=з(х,0) в момент времени £=0 относительно неравновесного начального значения намагниченности то. Учет данного распределения приводит к появлению в эффективном функционале действия новой вершины взаимодействия, определяющей влияние неравновесных начальных состояний системы на ее критическое поведение [4]. В результате как рассмотрение влияния неравновесных начальных состояний системы, так и учет структурных нарушений в системе приводят в рамках теоретико-полевого описания к усложнению эффективного функционала действия в динамическом производящем функционале по сравнению с критической динамикой однородных систем и к появлению в функционале действия дополнительных вершин динамического взаимодействия флуктуаций намагниченности.

Рассмотрение критического поведения систем, описываемых многовершинными моделями, как показали наши ис-

следования [5], характеризуется рядом особенностей. Во-первых, обычно применяемый для ренормгруппового описания критического поведения различных систем метод є-разложения в случае с многовершинными моделями дает, как было нами показано для ряда случаев [5], ненадежные результаты. Это объясняется конкуренцией различных типов критического поведения в многопараметрическом пространстве модели, что делает протяжку полагаемого малым параметра є к значениям є=1 для трехмерных систем невозможной без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек ренормгрупповых уравнений. Кроме того, при описании структурно неупорядоченных систем ренормгрупповые уравнения при использовании є-разложения характеризуются случайным вырождением. Для получения достоверных результатов описания критического поведения многовершинных моделей требуется применение более надежного теоретикополевого метода ренормгруппового описания с фиксированной размерностью системы и последовательным применением методов суммирования асимптотических рядов к получающимся на каждом этапе вычислений рядам теории для ре-нормгрупповых функций в дифференциальном уравнении Каллана-Симанчика.

Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изинговских систем используется модельный гамильтониан Гинзбурга-Ландау-Вильсона:

НуМ = |^х (I[(х))2 +т(х>2(х)]+]54(х)^|, (2)

где э(х) - поле параметра порядка (спиновой плотности), т(х) - приведённая случайная локальная температура перехода. Случайную температуру можно представить в виде т(х)=т + У(х), где т - приведённая температура однородной системы, а У(х) - потенциал поля дефектов. Для точечных дефектов накладывается требование на средние значения моментов случайных величин У(х) по примесным конфигурациям:

«У(х)» = 0 ,

<<У(Х)У(У)» = ^(х- у). (3)

Зададим распределение для начальных значений параметра порядка эо(х)

функцией распределения -P[s0] (- Ho[so]), где

exp

Hо[so] = 1ddх (jy[so(x) - mo(x)]2 j • (4)

Будем рассматривать случай чисто релаксационной динамики параметра порядка (модель А), задаваемой уравнением Ланжевена:

dts(x, t) = -*■ „5Я[s] +Z(x, t), (5)

5s(x,t)

в котором случайная сила Z является белым шумом с кинетическим коэффициентом А:

<Z(x, t ))с = 0,

<Z (x, t )Z(y, t '))c = 2^5 (x - y )5(t -1').

В рамках теоретико-полевого описания критической динамики вводится вспомогательное поле ~ (x ,t) и производящий функционал для динамических корреляционных функций и функций отклика в виде:

W[h, h ] = ln{ j D(s, is) exp(-L[s, ~] -H0 [s0 ]) x

(б)

xexp! J ddx J dt (h~ + hs)

A

},

(7)

в котором функционал действия Ь системы с точечными дефектами характеризуется выражением:

со

L[s, ~] = J dt J ddx {~[.j + Л(т - V2)s - в~]}+

(В)

1 ж , ч о 2 ж

+ g — J dt J ddx {ss3}-v — J dt J ddx {s~}

2

Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (8) при g=0 позволяет при граничном условии Дирихле (то = <») получить выражения для затравочной функции отклика и затравочной корреляционной функции [1]:

О0 (р, V - V') = ехр(-Цр2 + т)| V - V' |), (9)

С0°) (р, V, V') = С0е) (р, V - V') + С0г) (р, V + V') , (10) где

С0е) (р, V - V') = ехр(-Цр2 + т) | V - V' |),

р 2 + т

С0г) (р, V + V') =-21 ехр(-Ц р 2 + т)^ + V')).

р + т

0

2

7

8

9

10

11

Рис.

2. Диаграммы, определяющие вклад в Г^

(‘)

Линии означают корреляторы С^}, линии со стрелкой - пропагаторы в0. Вершине взаимодействия д соответствует жирная точка, вершине V - волнистая линия. «Поверхность» t = 0 обозначена вертикальной чертой

При ренорм-групповом анализе модели для устранения возникающих в пределе т—— 0 при учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка расходимостей в динамических корреляционных функциях и функциях отклика нами была применена процедура размерной регуляризации и схема минимальных вычитаний [6] с последующим переопределением параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировкой полей функционала (7):

г1/2~

-2 8^,

(11)

1/2

где ц - размерный параметр. Вычисление всех констант перенормировки 2;, кроме 2з, можно найти в работе [7]. В данной работе представлен расчёт 20 для структурно неупорядоченных систем при размерности системы 1=3.

За счёт введения в теорию начальных условий вида (4) возникает необходимость в перенормировке функции отклика (5(р, V)~(-р, 0)) , задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственноэнергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с

использованием коррелятора (10), не обладающего свойством трансляционной инвариантности во времени. В работе [1] было введено следующее представление для данной функции отклика:

| <~~1,1 (р, t, t t ,){~0}

dt'.

(12)

Одночастичная вершинная функция

Г«(р, V'){,} с одной вставкой поля ~0 в

двухпетлевом приближении описывается диаграммами, представленными на рисунке 2 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один

коррелятор С0(г). Множитель 011 (р, V, V')

определяется равновесной составляющей

коррелятора С0е) в (10). Отметим, что он

отличен от равновесной функции отклика

^и?)(р, V - V') по причине интегрирования

в (12) по времени от начального момента с 2=0 вместо 2 = - да. Однако между ними можно установить функциональную связь уже в двухпетлевом приближении для структурно неупорядоченных систем, если воспользоваться вместо функционала

(4) функционалом Доц^] (2) с новыми вершинами взаимодействия в функционале действия (8)

0

2

За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная функция Г1(е0ч), локализованная на

«поверхности» 2=0. От первого слагаемого в (13), как показано нами в [4], флуктуа-

Г(еч)

10 возникают

только начиная с трехпетлевого приближения, в то время как за счет второго слагаемого в (13), обусловленного влиянием структурных дефектов, флуктуацион-

ные поправки в Г1(е0ч) возникают уже начиная с двухпетлевого приближения (рис.

3).

1 2 3

Рис. 3. Диаграммы, определяющие вклад в Г^ ,) Линиям соответствует равновесный коррелятор С 0е)

Подобно (12), имеет место следующее выражение:

а^(р,г - О = рі>, г, (14)

І

Решив интегральное уравнение

г

5(г - і') = |і\ і )Г1(еоЧ) (ч, 1){~(Г)} <и", (Щ

г'

в каждом порядке теории найдем его ядро К(цҐ,Ґ% флуктуационные поправки к которому для неупорядоченных систем возникают начиная со второго порядка, а для однородных систем - только с третьего порядка теории. В результате одночастичная вершинная функция Г10 (р, і) ,

определяющая функцию отклика на неравновесные начальные состояния системы, определяется выражением:

г

Г1,о ^ г) = |К(P, t, гТи (P, г' (16)

о

и задается в двухпетлевом приближении диаграммами, изображенными на рисунках 2 и 3. Используя выражения (12), (14)-(16), а также осуществляя перенормировку полей в соответствии с (11), определим следующее нормировочное соот-

ношение для определения перенормиро-вочной константы 2о:

7 0-1/2 Гк0( р = 0, г©/2Д = /и2) = 1, (17)

где Гк0(р,ю) - Фурье-образ перенормированной одночастичной вершинной функции Г10 (р, ^) , рассчитываемой в удобной

для нормировки точке с т=0, импульсом р=0 и частотой ш/2Л = ”.

Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм при 1=3 позволили вычислить константу перенормировки £о в двухпетлевом приближении:

70 = 1 + у Ея + 0.660325^ + 0.511678^, (18)

где 1>ъ - перенормированные констан-

ты связи.

Инвариантность по отношению к ре-норм-групповым преобразованиям обобщенной связной функции Грина

О^. ^ = ([^]м [~[~0]1М) можно выразить

дифференциальным ренорм-групповым

уравнением Каллана-Симанчика [6]:

\уЫ /2 + ~~~/2 + (у + у0 )М /2 + /ид и +

1 ~ (19)

+ СЛдя+кгдт+Р8 5' + Д, 5 у = 0.

Ренорм-групповые функции - коэффициенты в (19), характеризующиеся выражениями:

У = (ди)01п 7, ~ = (дД1п ,

С = (ди)01п ^ к = (5Л1пТ

0 0 (20)

ру = (дД V, 0Я = (дД Е,

70 = (ди)01п 7 0,

где (5и)0 = ("д”^ обозначает дифференцирование с постоянными затравочными параметрами g, V, А и т. Для коротковре-меного режима неравновесной критической релаксации принципиально новой является лишь ренорм-групповая функция уо, которая в двухпетлевом приближении, как показали наши расчеты, принимает следующее выражение:

/0 =-7Ея -0.209539^^2 -0.023356^. (21)

Неподвижная точка ^*, і?) ренорм-груп-повых преобразований определяется из системы уравнений:

вв(я \ V •) = 0, в(я *, V •) = 0. (22)

Общее решение дифференциального уравнения (19) методом характеристик в неподвижной точке характеризуется следующей скейлинговой формой [1]:

с£~({х г},т,т^ Я, g*, ^ р) =

(-2+П ^г+Й+^п? )|+(2+П+П0 ^ ^ ^

= l

(23)

(~({ x, ^!,Т2+к*,т—^, Л, g*, v*, -),

где п = У , П~ = У и п0 =У - показатели

аномальных размерностей. Можно связать функции в (23) с критическими индексами, фигурирующими в скейлинго-вых соотношениях, например:

в = —-

z = 2 + Z*,1/V = 2 — к*,

Г +/ + Yo /2

(24)

2(2 + Z )

в = —

2 + Z

и задающими динамический критический индекс z, критический индекс V корреляционной длины, в и & - критические индексы неравновесной эволюции функции отклика и намагниченности. В результате в настоящей статье для неупорядоченной модели Изинга были получены следующие выражения для динамических критических индексов:

7 = 2 - 0.25у* + 0.00840(я*)2 +

+ 0.030862^ * V * + 0.053240(у *)2,

я * (25)

в = ^- + 0.052385( я *)2 + 0.026672я *у *,

6

* *

в = ^ + — + 0.042698(я*)2 -68

-0.001106я*У* -0.031250(у*)2.

В работе [8] представлены значения констант связи в неподвижной точке g*=2.2514(42), і*=-0.7049(13), определенные с применением методов суммирова-

ния из уравнений типа (22) с р-функ-циями, вычисленными в шестипетлевом приближении. Однако ряды теории по константам связи как для p-функций, так и для критических индексов в (25) являются факториально расходящимися, но могут рассматриваться в их асимптотическом контексте. Для получения физически разумных значений критических индексов для трехмерных систем применяются специально разработанные методы суммирования асимптотических рядов [8], из которых наиболее эффективными являются методы Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения. К рядам для индексов z, в и в в (25) нами были применены все эти методы суммирования, что позволило получить следующие результаты:

z = 2.202(2), в = 0.504(2), в' = 0.243(2). (26)

Полученные значения критических индексов могут быть сопоставлены со значениями zs2.185(10), в=0.120(16), и zs2.504(37) и в=0.270(39) из работы [9], полученными при компьютерном модели-ровани слабо неупорядоченных систем со спиновой концентрацией p=0.80 и сильно неупорядоченных систем с p=0.60 методом коротковременной динамики, и z=2.18(10) при экспериментальном исследовании слабо неупорядоченных изингов-ских магнетиков [10].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z.

Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.

[2] Kissner J.G. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 2676.

[3] Oerding K., Janssen H.K. // J. Phys. A. 1995. V.

28. P. 4271.

[4] Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И.А. и др. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. С. 1251.

[5] Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А.А. //

ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 2. С. 611; Prudnikov V.V, Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys. Rev. В. 2000. V. 62. P. 8777; Phys. Rev. B. 2001. V. 63. № 18. P. 184201; Прудников В.В., Прудников П.В. // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. № 3. С. 636.

[6] Васильев А.Н. Квантовополевая ренорм-группа

в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: ПИЯФ, 1998.

[7] Прудников В.В. и др. // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. С. 972.

[8] Криницын А.С., Прудников В.В., Прудников П.В.

// ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.

[9] Прудников В.В. и др. // Вестник ОмГУ. 2008. № 4. С. 35.

[10] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.