CC BY
28
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 75-80.
УДК 539.612
В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.А. Калашников
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ*
Впервые осуществлено теоретико-полевое описание неравновесной критической динамики неупорядоченной системы в двух петлевом приближении непосредственно для трехмерных систем без использования метода е-разложения.
Ключевые слова: фазовые переходы и критические явления, коротковременная динамика, ренормгруппа, неупорядоченные системы.
Данная статья посвящена разработке теоретико-полевых методов описания влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности и корреляционных функций в критической точке для структурно неупорядоченных систем с фиксированной размерностью и осуществлению их реализации для трехмерных систем в двухпетлевом приближении с применением на каждом этапе расчетов методов суммирования асимптотических рядов.
Структурный беспорядок, обусловленный присутствием примесей или других дефектов структуры, зачастую играет важную роль в поведении реальных материалов и физических систем. Дефекты структуры задают новые классы универсальности критического поведения, модифицируя кинетические свойства систем и обусловливая низкочастотные особенности в динамике системы. Статистические особенности описания неупорядоченных систем с замороженным беспорядком и эффекты критического замедления, усиливаемые дефектами структуры, создают значительные трудности как для аналитического описания, так и для численного моделирования поведения подобных систем. В последнее десятилетие был достигнут прогресс в понимании и описании неравновесного критического поведения макроскопических систем, далеких от состояния равновесия. Определяющими особенностями динамики подобных систем являются критическое замедление времени релаксации системы и аномально большие времена корреляции различных состояний системы. Данные особенности приводят к реализации динамического скейлингового поведения, даже когда системы находятся в состояниях, далеких от состояния равновесия.
В пионерской работе [1] на основе ренормгруппового анализа неравновесного критического поведения однородных систем было предсказано, что если начальное состояние системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значе-
* Работа поддержана грантом 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы». © В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.А. Калашников, 2009
нием намагниченности, далеким от состояния насыщения, то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем, характеризуемым новым независимым динамическим крити-
0'
ческим индексом 0': ) ~ t . При этом
с увеличением времени коротковременная динамика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону т(V) ~ tЯУ с показателем, определяемым отношением со статическими критическими индексами в и V и динамическим критическим индексом z (рис. 1).
О /
Рис. 1. График эволюции намагниченности в критической точке из неравновесного начального состояния с малой то
В работе [1] было показано, что на макроскопически малых временах эволюции системы точно так же, как и на больших временах, критические дально-действующие корреляции флуктуаций параметра порядка обеспечивают универсальный характер сингулярного поведения для многих динамических характеристик системы, таких как динамическая восприимчивость, временная корреляционная функция и т. д. При этом предсказывалась двухвременная зависимость для функции отклика %(^ ^) и корреляционной функции С(^ tw), которая принимала в коротковременном режиме вид степенной зависимости от отношения переменных t/tw 0^ - время ожидания), характеризуемой показателем 0:
X ^ )0, С(1, ^ )0-1. (1)
Между показателями 0 и 0' в работе было получено связывающее их отношение 0'= =0+(2^~п)^, поэтому независимым критическим индексом является лишь один из них. С использованием метода е-разложения в работе [1] был проведен расчет нового динамического критического индекса 0' (как и показателя 0) в двухпетлевом приближении.
В работе [2] впервые было осуществлено исследование влияния точечных замороженных дефектов структуры на характеристики неравновесного поведения и проведен расчет функции отклика, корреляционной функции и показателей их степенной зависимости от времени в коротковременном режиме в первом порядке теории с использованием метода е-разложения. В работе [3] было осуществлено исследование влияния точечных дефектов структуры во втором порядке теории также с использованием метода е-разложения.
Описание неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем предполагает необходимость при теоретико-полевом описании учета в динамическом производящем функционале дополнительного распределения для начальных значений спиновой плотности эо=з(х,0) в момент времени £=0 относительно неравновесного начального значения намагниченности то. Учет данного распределения приводит к появлению в эффективном функционале действия новой вершины взаимодействия, определяющей влияние неравновесных начальных состояний системы на ее критическое поведение [4]. В результате как рассмотрение влияния неравновесных начальных состояний системы, так и учет структурных нарушений в системе приводят в рамках теоретико-полевого описания к усложнению эффективного функционала действия в динамическом производящем функционале по сравнению с критической динамикой однородных систем и к появлению в функционале действия дополнительных вершин динамического взаимодействия флуктуаций намагниченности.
Рассмотрение критического поведения систем, описываемых многовершинными моделями, как показали наши ис-
следования [5], характеризуется рядом особенностей. Во-первых, обычно применяемый для ренормгруппового описания критического поведения различных систем метод є-разложения в случае с многовершинными моделями дает, как было нами показано для ряда случаев [5], ненадежные результаты. Это объясняется конкуренцией различных типов критического поведения в многопараметрическом пространстве модели, что делает протяжку полагаемого малым параметра є к значениям є=1 для трехмерных систем невозможной без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек ренормгрупповых уравнений. Кроме того, при описании структурно неупорядоченных систем ренормгрупповые уравнения при использовании є-разложения характеризуются случайным вырождением. Для получения достоверных результатов описания критического поведения многовершинных моделей требуется применение более надежного теоретикополевого метода ренормгруппового описания с фиксированной размерностью системы и последовательным применением методов суммирования асимптотических рядов к получающимся на каждом этапе вычислений рядам теории для ре-нормгрупповых функций в дифференциальном уравнении Каллана-Симанчика.
Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изинговских систем используется модельный гамильтониан Гинзбурга-Ландау-Вильсона:
НуМ = |^х (I[(х))2 +т(х>2(х)]+]54(х)^|, (2)
где э(х) - поле параметра порядка (спиновой плотности), т(х) - приведённая случайная локальная температура перехода. Случайную температуру можно представить в виде т(х)=т + У(х), где т - приведённая температура однородной системы, а У(х) - потенциал поля дефектов. Для точечных дефектов накладывается требование на средние значения моментов случайных величин У(х) по примесным конфигурациям:
«У(х)» = 0 ,
<<У(Х)У(У)» = ^(х- у). (3)
Зададим распределение для начальных значений параметра порядка эо(х)
функцией распределения -P[s0] (- Ho[so]), где
exp
Hо[so] = 1ddх (jy[so(x) - mo(x)]2 j • (4)
Будем рассматривать случай чисто релаксационной динамики параметра порядка (модель А), задаваемой уравнением Ланжевена:
dts(x, t) = -*■ „5Я[s] +Z(x, t), (5)
5s(x,t)
в котором случайная сила Z является белым шумом с кинетическим коэффициентом А:
<Z(x, t ))с = 0,
<Z (x, t )Z(y, t '))c = 2^5 (x - y )5(t -1').
В рамках теоретико-полевого описания критической динамики вводится вспомогательное поле ~ (x ,t) и производящий функционал для динамических корреляционных функций и функций отклика в виде:
W[h, h ] = ln{ j D(s, is) exp(-L[s, ~] -H0 [s0 ]) x
(б)
xexp! J ddx J dt (h~ + hs)
A
},
(7)
в котором функционал действия Ь системы с точечными дефектами характеризуется выражением:
со
L[s, ~] = J dt J ddx {~[.j + Л(т - V2)s - в~]}+
(В)
1 ж , ч о 2 ж
+ g — J dt J ddx {ss3}-v — J dt J ddx {s~}
2
Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (8) при g=0 позволяет при граничном условии Дирихле (то = <») получить выражения для затравочной функции отклика и затравочной корреляционной функции [1]:
О0 (р, V - V') = ехр(-Цр2 + т)| V - V' |), (9)
С0°) (р, V, V') = С0е) (р, V - V') + С0г) (р, V + V') , (10) где
С0е) (р, V - V') = ехр(-Цр2 + т) | V - V' |),
р 2 + т
С0г) (р, V + V') =-21 ехр(-Ц р 2 + т)^ + V')).
р + т
0
2
7
8
9
10
11
Рис.
2. Диаграммы, определяющие вклад в Г^
(‘)
Линии означают корреляторы С^}, линии со стрелкой - пропагаторы в0. Вершине взаимодействия д соответствует жирная точка, вершине V - волнистая линия. «Поверхность» t = 0 обозначена вертикальной чертой
При ренорм-групповом анализе модели для устранения возникающих в пределе т—— 0 при учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка расходимостей в динамических корреляционных функциях и функциях отклика нами была применена процедура размерной регуляризации и схема минимальных вычитаний [6] с последующим переопределением параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировкой полей функционала (7):
г1/2~
-2 8^,
(11)
1/2
где ц - размерный параметр. Вычисление всех констант перенормировки 2;, кроме 2з, можно найти в работе [7]. В данной работе представлен расчёт 20 для структурно неупорядоченных систем при размерности системы 1=3.
За счёт введения в теорию начальных условий вида (4) возникает необходимость в перенормировке функции отклика (5(р, V)~(-р, 0)) , задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственноэнергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с
использованием коррелятора (10), не обладающего свойством трансляционной инвариантности во времени. В работе [1] было введено следующее представление для данной функции отклика:
| <~~1,1 (р, t, t t ,){~0}
dt'.
(12)
Одночастичная вершинная функция
Г«(р, V'){,} с одной вставкой поля ~0 в
двухпетлевом приближении описывается диаграммами, представленными на рисунке 2 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один
коррелятор С0(г). Множитель 011 (р, V, V')
определяется равновесной составляющей
коррелятора С0е) в (10). Отметим, что он
отличен от равновесной функции отклика
^и?)(р, V - V') по причине интегрирования
в (12) по времени от начального момента с 2=0 вместо 2 = - да. Однако между ними можно установить функциональную связь уже в двухпетлевом приближении для структурно неупорядоченных систем, если воспользоваться вместо функционала
(4) функционалом Доц^] (2) с новыми вершинами взаимодействия в функционале действия (8)
0
2
За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная функция Г1(е0ч), локализованная на
«поверхности» 2=0. От первого слагаемого в (13), как показано нами в [4], флуктуа-
Г(еч)
10 возникают
только начиная с трехпетлевого приближения, в то время как за счет второго слагаемого в (13), обусловленного влиянием структурных дефектов, флуктуацион-
ные поправки в Г1(е0ч) возникают уже начиная с двухпетлевого приближения (рис.
3).
1 2 3
Рис. 3. Диаграммы, определяющие вклад в Г^ ,) Линиям соответствует равновесный коррелятор С 0е)
Подобно (12), имеет место следующее выражение:
а^(р,г - О = рі>, г, (14)
І
Решив интегральное уравнение
г
5(г - і') = |і\ і )Г1(еоЧ) (ч, 1){~(Г)} <и", (Щ
г'
в каждом порядке теории найдем его ядро К(цҐ,Ґ% флуктуационные поправки к которому для неупорядоченных систем возникают начиная со второго порядка, а для однородных систем - только с третьего порядка теории. В результате одночастичная вершинная функция Г10 (р, і) ,
определяющая функцию отклика на неравновесные начальные состояния системы, определяется выражением:
г
Г1,о ^ г) = |К(P, t, гТи (P, г' (16)
о
и задается в двухпетлевом приближении диаграммами, изображенными на рисунках 2 и 3. Используя выражения (12), (14)-(16), а также осуществляя перенормировку полей в соответствии с (11), определим следующее нормировочное соот-
ношение для определения перенормиро-вочной константы 2о:
7 0-1/2 Гк0( р = 0, г©/2Д = /и2) = 1, (17)
где Гк0(р,ю) - Фурье-образ перенормированной одночастичной вершинной функции Г10 (р, ^) , рассчитываемой в удобной
для нормировки точке с т=0, импульсом р=0 и частотой ш/2Л = ”.
Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм при 1=3 позволили вычислить константу перенормировки £о в двухпетлевом приближении:
70 = 1 + у Ея + 0.660325^ + 0.511678^, (18)
где 1>ъ - перенормированные констан-
ты связи.
Инвариантность по отношению к ре-норм-групповым преобразованиям обобщенной связной функции Грина
О^. ^ = ([^]м [~[~0]1М) можно выразить
дифференциальным ренорм-групповым
уравнением Каллана-Симанчика [6]:
\уЫ /2 + ~~~/2 + (у + у0 )М /2 + /ид и +
1 ~ (19)
+ СЛдя+кгдт+Р8 5' + Д, 5 у = 0.
Ренорм-групповые функции - коэффициенты в (19), характеризующиеся выражениями:
У = (ди)01п 7, ~ = (дД1п ,
С = (ди)01п ^ к = (5Л1пТ
0 0 (20)
ру = (дД V, 0Я = (дД Е,
70 = (ди)01п 7 0,
где (5и)0 = ("д”^ обозначает дифференцирование с постоянными затравочными параметрами g, V, А и т. Для коротковре-меного режима неравновесной критической релаксации принципиально новой является лишь ренорм-групповая функция уо, которая в двухпетлевом приближении, как показали наши расчеты, принимает следующее выражение:
/0 =-7Ея -0.209539^^2 -0.023356^. (21)
Неподвижная точка ^*, і?) ренорм-груп-повых преобразований определяется из системы уравнений:
вв(я \ V •) = 0, в(я *, V •) = 0. (22)
Общее решение дифференциального уравнения (19) методом характеристик в неподвижной точке характеризуется следующей скейлинговой формой [1]:
с£~({х г},т,т^ Я, g*, ^ р) =
(-2+П ^г+Й+^п? )|+(2+П+П0 ^ ^ ^
= l
(23)
(~({ x, ^!,Т2+к*,т—^, Л, g*, v*, -),
где п = У , П~ = У и п0 =У - показатели
аномальных размерностей. Можно связать функции в (23) с критическими индексами, фигурирующими в скейлинго-вых соотношениях, например:
в = —-
z = 2 + Z*,1/V = 2 — к*,
Г +/ + Yo /2
(24)
2(2 + Z )
в = —
2 + Z
и задающими динамический критический индекс z, критический индекс V корреляционной длины, в и & - критические индексы неравновесной эволюции функции отклика и намагниченности. В результате в настоящей статье для неупорядоченной модели Изинга были получены следующие выражения для динамических критических индексов:
7 = 2 - 0.25у* + 0.00840(я*)2 +
+ 0.030862^ * V * + 0.053240(у *)2,
я * (25)
в = ^- + 0.052385( я *)2 + 0.026672я *у *,
6
* *
в = ^ + — + 0.042698(я*)2 -68
-0.001106я*У* -0.031250(у*)2.
В работе [8] представлены значения констант связи в неподвижной точке g*=2.2514(42), і*=-0.7049(13), определенные с применением методов суммирова-
ния из уравнений типа (22) с р-функ-циями, вычисленными в шестипетлевом приближении. Однако ряды теории по константам связи как для p-функций, так и для критических индексов в (25) являются факториально расходящимися, но могут рассматриваться в их асимптотическом контексте. Для получения физически разумных значений критических индексов для трехмерных систем применяются специально разработанные методы суммирования асимптотических рядов [8], из которых наиболее эффективными являются методы Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения. К рядам для индексов z, в и в в (25) нами были применены все эти методы суммирования, что позволило получить следующие результаты:
z = 2.202(2), в = 0.504(2), в' = 0.243(2). (26)
Полученные значения критических индексов могут быть сопоставлены со значениями zs2.185(10), в=0.120(16), и zs2.504(37) и в=0.270(39) из работы [9], полученными при компьютерном модели-ровани слабо неупорядоченных систем со спиновой концентрацией p=0.80 и сильно неупорядоченных систем с p=0.60 методом коротковременной динамики, и z=2.18(10) при экспериментальном исследовании слабо неупорядоченных изингов-ских магнетиков [10].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z.
Phys. B. 1989. V. 73. P. 539.
[2] Kissner J.G. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 2676.
[3] Oerding K., Janssen H.K. // J. Phys. A. 1995. V.
28. P. 4271.
[4] Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И.А. и др. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. С. 1251.
[5] Прудников В. В., Прудников П. В., Федоренко А.А. //
ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 2. С. 611; Prudnikov V.V, Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys. Rev. В. 2000. V. 62. P. 8777; Phys. Rev. B. 2001. V. 63. № 18. P. 184201; Прудников В.В., Прудников П.В. // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. № 3. С. 636.
[6] Васильев А.Н. Квантовополевая ренорм-группа
в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: ПИЯФ, 1998.
[7] Прудников В.В. и др. // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. С. 972.
[8] Криницын А.С., Прудников В.В., Прудников П.В.
// ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.
[9] Прудников В.В. и др. // Вестник ОмГУ. 2008. № 4. С. 35.
[10] Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452.
