CC BY
8
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 4. С. 12-13. ЛЩК 539 173
© И.А. Калашников, В.В. Прудников, 2006
РЕНОРМ-ГРУППОВОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ ОДНОРОДНЫХ И НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ*
И.А. Калашников, В.В. Прудников
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 5 сентября 2006 г.
The renormalization group analysis is applied to study the influence point-like quenched disorder on non-equilibrium short-time dynamic scaling properties. We consider dissipative relaxation behavior (model A) to obtain the initial slip exponents в and в' for both pure and disordered Ising systems. Exponents в and в' are calculated to the second order and then summed with the use of Pade-Borel technique.
Данная работа посвящена изучению влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности в критической точке для однородных и неупорядоченных систем изингов-ского типа. Исследование эволюции намагниченности m(t) из начального состояния с малым то приводит к универсальному скейлинговому закону для m(t) на коротковременном этапе ее критической эволюции. Вычисление показателей, характеризующих степенную зависимость m(t), будем осуществлять методом ренорм-группы (РГ) и е-разложения.
В соответствии с теорией скейлинга сингулярная часть потенциала Гиббса т, /г, то) характеризуется обобщённой однородностью относительно основных переменных, задающих состояние системы в критической области, а именно, времени t, приведённой температуры г, поля /г и начальной намагниченности то. При этом
$sing(i, г, /г, то) = A$sing(A°<i, AАаЧг, А°'"т0),
где А - фактор подобия, ctj - показатели подобия. Отсюда следует, что в критической точке ( г = 0, h = 0) намагниченность m = —d$/d/i представляется в виде
m(i,m0) =t-{ah+1)/atFm(m0t-a™/at). (1)
Разложение правой части в (1) по малой величине moi-0"1/0* приводит к степенной зависимости ч, ,
m(t) ~ ^ te . (2)
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 0402-17524 и 04-02-39000)
Рис. 1. Схематический график эволюции намагниченности в критической точке из неравновесного начального состояния с малым то .
Все СЦ, за исключением ат, можно связать с известными критическими индексами, описывающими поведение систем без эффектов коротко-временной эволюции. Поэтому в [1] был введён новый индекс в'. Можно показать, что при эволюции системы из начального упорядоченного состояния т ~ . как и для случая слабо
упорядоченных начальных состояний при I —>■ оо (см. рис. 1).
Проведём расчёт индекса в' и рассмотрим влияние точечных дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения. Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изинговских систем используется модельный гамильтониан Гинзбурга-Ландау
Ренорм-групповое описание неравновесной критической релаксации
13
я и
d ;Г
{|[(VS(x))2+r(x)S2(x
(3)
где в(х) - поле параметра порядка, а т(х) -приведённая случайная температура перехода. Случайную температуру можно представить [2] в виде т(х) = т + У(х), где г - приведённая температура однородной системы, У(х) - потенциал поля дефектов. Пусть среднее по примесным конфигурациям ((У(х)))=0, а ((У(х)У(у))) = «<5(х — у). Малость V обеспечивается малостью концентрации дефектов. Пусть любая конфигурация параметра порядка реализуется при условии, что в момент 1 = 0 поле параметра порядка во(х) распределено с функцией распределения ехр(-Яо[во]), где Н0[в0} = ¡<^х Ц- (в0(х) - т0(х))/
Мы рассматриваем случай чисто релаксационной динамики параметра порядка, задаваемой уравнением Ланжевена
5Н[з\
где е = 4 — с1, (л - размерный параметр.
РГ-инвариантность обобщённой связной функции Грина = (И^И^Зо^) можно выразить [1,4] дифференциальным уравнением:
7W/2 + 7W/2 + (7 + jo) M/2 + AtdM + ÇXd\
+ КТ&Г + l3gdg + /Зуд.,
гм _ n
(9)
<9ts(x,i) = -X-
(4)
<5s(x, t)
в котором случайная сила £ является белым шумом с кинетическим коэффициентом А:
<e(x,i)>€ = o, <e(x',i')e(x,i))€ = 2AJ(x' -x)J(f -f). (5)
Для описания динамики критических явлений вводят [3] вспомогательное поле s(x) так, что производящий функционал связных корреляций и функций отклика будет
W[h, h] = In I J T>(s,is)exp(-C[s,s]-H0[s0]) xexp^Jdd.r Jdt (hs + hs) j }, (6)
в котором функционал действия С системы с точечными дефектами имеет вид:
оо
£[s, s] = Jdt Jddx{s [s + А(т — V2)s — As]} (7) 0
00 Г oo
+ Jdt Jddx {is3} - v^- Jdt Jddx {sS}
Для устранения расходимости диаграммных поправок в перенормированных величинах нами была применена [4] размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний с последующим переопределением параметров и мультипликативной перенормировкой полей функционала (6):
s = sRZl/2,
7l/2
s = srZ- , A = Ад\ZS/Z-S)1/2 , T = TRZ^ZtIÀ2, ^ v = vrl ieZvZ~2, g = gRpeZgZ-'2, So = (ZSZ0)1/2 S0R,
РГ функции Вильсона имеют вид
/Зд ЕЕ (<9M)o£f, /3V = (d^ov, 7o = (ÔM)olnZ0, 7=(ÔM)01 nZSl 7=(ÔM)0ln Zs, K=(ÔM)0lnr,
С = (6»M)0lnA = -(7-7),
где (<9M)o = означает дифференцирова-
ние с постоянными затравочными параметрами .g,v, А и г. Неподвижная точка {g*,v*) определяется из системы уравнений: /3* = /3* = 0. Общее решение дифференциального уравнения (9) методом характеристик [1] в неподвижной точке имеет следующую скейлинговую форму
Gn,n({x' r' 7о~1 ' А' 9*'г'* ' V)
= l(d-2+'rls)f + (d+2+'m)f + (d+2+'m+m)§
х GÛ-({lx, Z2+C*i}, т1~2+к*, Tq112+1'* , A, g*,v*,v),
где i]s = 7*, щ = 7*, и rjо = 7q - показатели аномальных размерностей. Можно легко связать РГ функции с критическими индексами, фигурирующими в скейлинговых соотношениях:
z = 2 + C, 1/V = 2 -к*. (11)
Воспользуемся результатами работ [2], [5] по определению РГ функций в двухпетлевом приближении. Координата устойчивой неподвижной точки для однородной системы, удовлетворяющая уравнению f3g{g*, 0) = 0, имеет вид:
(12)
Случайное вырождение уравнений на неподвижную точку для неупорядоченных систем в двухпетлевом приближении приводит к тому, что неподвижную точку следует искать в виде ряда по д/б. Координата неподвижной точки для неупорядоченной системы в первом порядке по е определяется /3-функциями в трехпетлевом приближении [6] и имеет следующий вид:
4л/318
9
53 л/318 53
■yft - 1.134037035б + 0(б3/2), у^- 0.396716806е + 0(е3/2). (13)
Известно, что при t —>■ 0 справедливо s(t) = cr(t)so и s(t) = â(t)So(t). Используя соотношения
14
И.А. Калашников, В.В. Прудников
(8) и проводя размерный анализ амплитудных функций а и а, можно получить [1] следующие формулы
a(t, г, Л; (i,) = rz-'i°/2a(tlz, тГ1^, А; ц), 5-(Í, г, Л; ц) = l~v°/'2â(tlz, rlr1^, А; ц). (14)
Тогда функции Грина G(x,t,t') = â{t')G\ 0(х, í) + ... и C(x,í,í') = 2Act(í')G^0(x,í) + ... с'учётом (10) и (14) при í' -» 0 и í > 0 можно представить [1] в виде
C^.U': /-(ff). (15)
где универсальный динамический индекс
в = -по/2 z. (16)
Выражение для намагниченности m(x,í,то) = 6W\h, /г]/<5/г(х, t) |ftможно разложить в ряд по малой то :
m(í, т0) = J2 ¿ /d<Í'ri ' ' '/dd-rbGí,o({x}' t)mo •
L=0 ' J J
Последнее выражение справедливо также и для перенормированных величин, поэтому вместо Gfg можно подставить решение РГ уравнения (10) и провести суммирование. Результат представим в виде (см. рис. 1)
m(m0,f) = m0te'F(m0te'+ß/l/z ^t1^'), где искомый показатель
в' = в + {2- z-n)/z. (17)
Асимптотика функции F в критической точке даётся F(x) ~ 1/х при .г —>■ оо и lim F(x) = 1. Для вычисления динамических критических индексов коротковременной эволюции в и в' подставим выражения (11), соответствующие неподвижной точке для однородной или неупорядоченной систем, в (16) и (17). Итоговые выражения для искомых индексов во втором порядке теории имеют вид:
• для однородной системы:
в = е/12 + 0.063e2 + 0(е3), в' = е/12 + 0.047е2 + 0(е3), (18)
• для неупорядоченной системы:
в = 0.168л/ё - 0.103e + 0(е3/2), в' = 0.087е + 0(е3/2). (19)
К рядам (18) и (19) для получения разумных значений индексов для трехмерных систем при е = 1 был применен метод суммирования Паде-Бореля (ПБ) [7] с аппроксимантой [1/1]. Это позволило получить следующие результаты:
Метод Значение индекса в системе
вычис- Однородной Неупоряд.
ления в в' в в'
Теорет.
(e = l) 0.146 0.13 0.065 0.087
Сумм. ПБ 0.103 0.138 0.111 0.087
Комп.
мод ел. [8] 0.071(6) 0.108(2) - -
Таблица 1. Результаты расчета индексов в и 0' для модели Изинга и их сравнение с результатами компьютерного моделирования.
• для однородной системы:
в = 0.103, в' = 0.138;
• для неупорядоченной системы:
в = 0.111, в' = 0.087.
Результаты проведённого расчёта динамических критических индексов коротковременной эволюции в и в' для однородных и структурно-неупорядоченных систем изинговского типа приведены в таблице 1. Видно, что значения индексов, определенные для однородных систем методом коротковременной динамики [8], находятся ближе к результатам расчета, полученным при использовании методов суммирования, чем при непосредственной подстановке в ряды е-разложения (18) и (19) значения е = 1.
Для неупорядоченных систем полученные значения критических индексов в и в' могут служить ориентиром для численных и экспериментальных исследований неравновесного критического поведения изингоподобных систем.
[1] Н. К. Janssen, В. Schaub, В. Schmittmann. Z. Phys. В 73, 539 (1989).
[2] I. D. Lawrie, V. V. Prudnikov. J. Phys. С 17, 1655 (1984).
[3] R. Bausch, H. К. Janssen, Н. Wagner. Z. Phys. В 24, 113 (1976).
[4] А. П. Васильев. Квантовополевая ренорм-группа в теории критического поведения и стохастической динамике. С.-П.: ПИЯФ, 1998.
[5] A. A. Fedorenko. Phys. Rev. В 69, 134301 (2004).
[6] Н. К. Janssen, К. Oerding, Е. G. Sengespieck. J. Phys. Е 28, 6073 (1995)
[7] А. С. Криницын, В. В. Прудников, П. В. Прудников. ТМФ 147 №1, 137 (2006).
[8] A. J aster, J. Mainville, L. Schälke and В. Zheng. J. Phys. A: Math. Gen. 32, 1395 (1999).
