Ренормгрупповое исследование неравновесной критической динамики. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения в двухпетлевом приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 2. С. 35-38.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, И.В. Лаврухин

РЕНОРМГРУППОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. РАСЧЕТ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОГО ОТНОШЕНИЯ В ДВУХПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Приведена методика и результаты ренормгруппового описания неравновесной критической релаксации модели А с эволюцией из начального высокотемпературного состояния. Выявлены нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в критическом режиме и двухвременная зависимость для корреляционной функции и функции отклика. Для универсального флуктуационно-диссипативного отношения проведен расчет флуктуационных поправок в двухпетлевом приближении при фиксированной размерности пространства d = 3. Для вычисления предельного значения флуктуационно-диссипативного отношения применен метод суммирования рядов Паде - Бореля.

Ключевые слова: неравновесное критическое поведение, ренормализационная группа, флуктуационно-диссипативное отношение, эффекты старения.

Исследование поведения неравновесных систем - одна из важнейших фундаментальных проблем статистической физики. Одним из наиболее интересных явлений, проявляющихся в неравновесной динамике, является эффект старения: корреляционная функция и функция отклика системы проявляют нетривиальную двухвременную зависимость от времен s и t > s, при t и s много меньших времени релаксации системы. Здесь s -время, прошедшее с момента приготовления системы до начала измерения ее свойств, характеризуемое как возраст системы, а t - время измерения. При этом время релаксации системы тем больше, чем она «старше». Для равновесной динамики данные функции зависят только от временного промежутка t - s.

Явления старения были выявлены при экспериментальных исследованиях динамики спиновых стекол [1], а также в системах, испытывающих фазовый переход второго рода вблизи критической температуры [2], чье поведение характеризуется аномально большими временами релаксации.

Особенностью рассматриваемых систем является нарушение флукту-ационно-диссипативной теоремы (ФДТ), что позволяет вводить такие новые понятия для описания неравновесного поведения, как флуктуацион-но-диссипативное отношение [3] и эффективная температура [4; 5].

Пусть система, описываемая гамильтонианом Гинзбурга - Ландау -Вильсона

где ф - параметр порядка, приведена в критическое состояние из начального состояния (t = 0), соответствующего неупорядоченной фазе (T >> Тс).

Для описания релаксационной динамики данной системы (модель А в классификации работы [6]) применяется уравнение эволюции

й=J d

3

(1)

(2)

где £, - дельта-коррелированная гауссова случайная сила

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, И.В. Лаврухин, 2015

36

В. В. Прудников, П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, И. В. Лаврухин

(x,t) (x , t')) = 2QS( x - x')S(t -1')Si,j. (3)

Введем в рассмотрение двухвременные корреляционную функцию и функцию отклика. Функция отклика R(t,s) показывает реакцию параметра порядка в момент времени t на внешнее поле h, приложенное в момент времени s:

R (t ) S(^(t))

Ri,j (t, s) =

Sit,(s)

(4)

h=0

а корреляционная функция C(t,s) - взаимосвязь значений параметра порядка в различных точках i и j , во времена t и s, при эволюции из высокотемпературного начального состояния

Ci,j (t, s) = pt (t)Pj (s). (5)

Связь этих двух функций определяется

ФДТ

R, (t, s)

1 j(t, s)

(6)

T ds

где T - температура. В равновесном режиме двухвременная зависимость переходит в зависимость данных функций от времени наблюдения t - s.

Однако на неравновесном этапе релаксации ФДТ может нарушаться, поэтому для описания системы вводят флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО):

Xx (t, s) = TRx (t,S4 , (7)

x d C (t, s)

предельное значение которого

Lx=0

X x = limlim X.,=r, (t, s),

(8)

s—x t—x

как было показано в [7; 8], является универсальной характеристикой неравновесного поведения в рамках определенной динамической модели. Для ФДО, заданного в импульсном пространстве

TRq (t, s)

Xq (t, s) =tC77-) ’ (9)

q d C (R s)

справедливо равенство предельных отношений

lim Xx=o(t,s) = lim X (t,s). (10)

s ,t —s ,t —7

В рамках формализма производящего функционала [9] затравочные корреляционная функция и функция отклика задаются через решения дифференциальных уравнений [10]:

(-dt+Qtro+q2)-r )ф=h,

|+ntro + q2 )-r

'-тф = h,

с ф(х) = 0, ф(0) = m0 = 0, в виде:

R0(t, t') =

t)

Sh(q, t')

(11)

(12)

(13)

C0(t, t')

5ф(д, t)

Sh(q, t'),

(14)

где r0 ~ T — Tc, rt ~ t 1 , p - вспомогатель-

ное поле отклика, а h - термодинамически сопряженная этому полю величина, mo -намагниченность начального состояния. Таким образом, при T = Tc получим:

R0(t,О = 6(t - s)Vq2(t-s), (15)

C0(t,t') = -1 s(e-X1 x-ss -e-q2(t+s), (16)

q t' '

полагая при этом Q = 1 для упрощения вычислений. В конечном выражении для ФДО можно вернуть зависимость от Q, осуществив преобразование t —— Qt.

Первое слагаемое в С° (t, s) зависит

только от разности времен и играет главную роль в равновесном режиме, а второе, быстро затухающее слагаемое, - на неравновесном этапе эволюции. Данные вклады также называются, соответственно, равновесным

Ce (t, s) и начальным Ci (t, s) коррелятора-

Если пренебречь взаимодействием флуктуаций параметра порядка (модель Ландау), получим значения предельного

ФДО: Xqx=0 = 1/2 и XqX-,0 = 1, что свидетельствует о нарушении ФДТ для моды параметра порядка с q = 0.

Взаимодействие флуктуаций можно учесть, используя разложение гамильтониана (1) по вершине взаимодействия g0 :

R(t, s) = R0 - g0R1 + g02R2 , (17)

dC(t, s) = dC0 - g0 dCi + g02 dC2 , (18)

где R1, R2, dC1, dC2 - однопетлевые и двухпетлевые поправки, задаваемые диаграммами Фейнмана с соответствующими сим-метрийными коэффициентами (табл.1).

Каждая из диаграмм обозначает интеграл по траекториям, например:

t

R11 = Jdt' R0 (t,t')Bc (t')R0 (t',s), (19)

s

t

С11 = J dt' С0 (t, t' )BC ()R0 (, s) + s s (20)

+J dt' R0 (s, t' )Bc ()C0 (t, t),

0

где за Bc (t') обозначена ампутированная

часть диаграммы, без внешних линий, проинтегрированная по импульсам.

Ренормгрупповое исследование неравновесной критической динамики...

37

^ ( ') = I (т с, (tt').

(2п)

(21)

В диаграммах, где корреляционная функция начинается и заканчивается в одной точке, используется только начальный коррелятор.

Используя (17), (18), можно получить для ФДО выражение

X (t, s ) =

R 1 _ go Г + go" r2

dsC0 1 - go C1 + gо" C2

(22)

где за r1, r2, c1, c2 обозначены диаграммные вклады, нормированные на R0 и dsC0 .

После перенормировки константы взаимодействия [9]

go = a (g + ag2 ) (23)

г 1 6

где J =---, a =----, N - число компонент

8п N + 8

параметра порядка, и подстановки ее в (22) ФДО примет вид:

X gt, s)

- r + 1,s ‘ 2J

+ (c1 - r1 )Jrt (ag) +

2J

(24)

+ (r2 -C2 +(c1 -r1 )c1 )

(ag)2

2 J

где отношение затравочных функций приравнено 1/2 при q = 0.

Поскольку время t значительно больше возраста системы s, временная зависимость ФДО для больших времен будет определяться слагаемыми, в которых отношение t/s >> 1 входит в положительных степенях. В результате универсальное предельное значение ФДО может быть получено, если устремить отношение t/s к единице сверху. Подставляя данные из табл. 2 в (24), в пределе получим выражение:

X'

f

= 1 У2П N + 2 _

= 2 6п N + 8 g

Т л/з ^ N + 2 2

—+-----------у g +

п 3п ) (N + 8)

(25)

1 _ i0 If Nil Y g 2

2 9п Л N + 8 )

которое в критической точке рассматривается при g = g * (N) - фиксированном значении вершины взаимодействия (табл. 3).

Ряды теории возмущений для физических величин являются асимптотическими. Для получения их разумных значений к соответствующим рядам применяются различные методы суммирования [9]. В данной работе для вычисления предельного ФДО был применен метод суммирования Паде - Бореля.

Таблица 1

Диаграммы и их симметрийные множители, соответствующие флуктуационным поправкам к корреляционной функции и функции отклика

(прямым линиям соответствуют C0 (t", t'),

линиям с волной - Rq (t", t'), волнистой части

линии - меньшее время, N - число компонент параметра порядка)

Вклад Диаграмма Симметрийный множитель

Ru ■ Q . N + 2 6

d sC1,1 ’ ^цКлл, 1 N + 2

■ 6

R2,1 д ч/\/\. j г г 1 ^ )2

д sC2,1 д. 1 ^ )2

Г f t

5

Г Г' 1

R2,2 */\/\^ ^ г (N + 2)2 18

д sC2,2 iff Г (N + 2)2 18

i 1* Г t

R2,3 У\Л, ■ N + 2 6

д sC2,3 X'" "Л. iА-А. *ЛУ\. ■ W ' N + 2

;—1 6

д sC2,4 i t' \ у Г t N + 2 18

38

В. В. Прудников, П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, И. В. Лаврухин

Окончание табл. 1

Вклад Диаграмма Симметрийный множитель

d A5 i ^ t (N + 2 )2 72

Таблица 2

Значения флуктуационных поправок для корреляционной функции и функции отклика с х = 5 /1 (вклад dsC2 4 при расчетах

предельного ФДО при x << 1 является малым по сравнению с другими вкладами и явное выражение для него опускается)

Вклад Значение

Ru 3 ( i' -(2k) 2 A 1 - х2 \ \ /

d Ar (2n) 2 t 3 yfs ( 3 1 + 12 х2 -10 х2 l \ /

R2,1 n - 2 (1 ) - 32n>'5(1 - X)

d A, -П—31 (l + 4 х - 3 х2) 32n3 V ’

R2,2 1 ( 16n { 1 N 1 - 2 х2 + х - J

d A.2 1 ( 3 2) J 1 +12 х 20 х2 + 9 х2 48П l J

R2,3 •73 —s Г1 — х + х ln х)) 144п3 V !

d Аз ^13 (1 + 8 х-10 х2 + 6 х 2ln х)) 288п3 V ’

d A,4 О ()

d A,5 1 Г s 56п ( 1 ^ 7 х2 - 6 х l J

Таблица 3

Фиксированные значения g * (N) для различных значений числа компонент параметра порядка

N g*

1 1,418

2 1,408

3 1,393

Так, для случая систем с однокомпонентным параметром порядка N = 1 (модель Изинга) при использовании аппроксиманта

[1] /[1] было получено значение Х°° = 0,420, для случая применения аппроксиманта

[2] /[0] X “ = 0,397, для аппроксиманта

[0]/[2] X“ = 0,424. В результате среднее значение X“ = 0,414(8) лучше соотносится

со значением X “ = 0,390(12), полученным в

[11] при компьютерном моделировании методом Монте - Карло неравновесного критического поведения трехмерной модели

Изинга, чем значение X°° = 0,429(6), вычисленное в рамках применения метода е-раз-ложения [12].

Аналогично для XY-модели (N = 2) и модели Гейзенберга (N = 3) были получены значения предельного ФДО X°° (N = 2) =

= 0,396(12) и X°°(N = 3) = 0,397(11).

Проведенные вычисления говорят о том, что метод фиксированной размерности дает более точные результаты даже в рамках применения двухпетлевого приближения, чем метод е-разложения, и позволяет уточнять значения других универсальных характеристик, таких как критические индексы и отношения критических амплитуд [9].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L. F. Slow dynamics and aging in spin-glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184.

[2] Bray A. J. Theory of phase-ordering kinetics // Adv. Phys. 1994. Vol. 43. P. 357.

[3] Cugliandolo L. F., Kurchan J. Analytical Solution of the Off-Equilibrium Dynamics of a Long Range Spin-Glass Model // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. P. 173.

[4] Cugliandolo L. F., Kurchan J. Energy flow, partial equilibration and effective temperatures in systems with slow dynamics // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 3898.

[5] Cugliandolo L. F. Effective temperatures out of equilibrium // AIP Conf. Proc. 1999. Vol. 484. P. 238.

[6] Hohenberg P. C, Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49. P. 435.

[7] Calabrese P., Gambassi A. Aging in ferromagnetic systems at criticality near four dimensions // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 066120.

[8] Godreche C., Luck J. M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems //

J. Phys.: Condens. Matter. 2002. Vol. 14. P. 1589.

[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретико-полевые и численные методы описания критических явлений в структурно неупорядоченных системах. Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2012. 352 с.

[10] Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // J. Phys. B. 1989. Vol. 73. P. 539.

[11] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. № 3. С. 462.

[12] Calabrese P., Gambassi A. Two-loop critical fluctuation-dissipation ratio for the relaxational dynamics of the O(N) Landau-Ginzburg Hamiltonian // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 066101.