Научная статья на тему 'Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния'

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
226
61
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
метод Монте-Карло / неравновесное критическое поведение / струк- турно неупорядоченная модель Изинга / эффекты старения / Monte Carlo method / non-equilibrium critical behaviour / diluted Ising model / ageing properties

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н., Крижановский В.В.

Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностейнеравновесного критического поведения в трехмерной структурно неупорядоченноймодели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния для ши-рокого спектра спиновых концентраций p = 1.0, 0.95, 0.8, 0.6, 0.5. Впервые показано,что пиннинг доменных стенок на дефектах структуры приводит к существенному из-менению неравновесных эффектов старения в структурно неупорядоченных систе-мах по сравнению с «чистой» системой. В результате предельное значение флуктуа-ционно-диссипативного отношения X ∞ становится равным нулю для структурнонеупорядоченных систем, в то время как для «чистой» системы X ∞ = 0.784(5).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н., Крижановский В.В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Influence of disorder on the non-equlibrium critical behavior of the 3D Ising model from low-temperature initial state

The Monte Carlo description of ageing properties in non-equilibrium critical behaviour of three-dimensional diluted Ising model is considered with evolution from ordered initial state with wide range of spin concentrations p = 1.0, 0.95, 0.8, 0.6, 0.5. At first, it was shown, that pinning of domain walls on defects leeds to sharp change of ageing properties in diluted systems in comparison with pure system. Consequently, the asymptotic value of the fluctuationdissipative relation X ∞ becomes equal to null for diluted systems, while for pure system X ∞ = 0.784(5).

Текст научной работы на тему «Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 32-38.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА ПРИ ЭВОЛЮЦИИ ИЗ НАЧАЛЬНОГО НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ*

Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной структурно неупорядоченной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния для широкого спектра спиновых концентраций p = 1.0, 0.95, 0.8, 0.6, 0.5. Впервые показано, что пиннинг доменных стенок на дефектах структуры приводит к существенному изменению неравновесных эффектов старения в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. В результате предельное значение флуктуа-ционно-диссипативного отношения X°° становится равным нулю для структурно неупорядоченных систем, в то время как для «чистой» системы X °° = 0.784(5).

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, структурно неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

Поведение статистических систем вблизи температуры Tc фазового перехода второго рода характеризуется чрезвычайно медленной динамикой с аномально большими временами релаксации, стремящимися к бесконечности как trei ~|T - Tc\-zv при T ^ Tc, где z и v - динамический критический индекс и индекс корреляционной длины соответственно. В результате система, находящаяся в критической точке, не в состоянии прийти к равновесному состоянию в течение всего процесса релаксации. В этих условиях система демонстрирует ряд особенностей своего неравновесного поведения, такие как явления старения и нарушения флуктуационно-диссипа-тивной теоремы [1-5]. Эффекты старения наблюдаются только на временах t << trei и проявляются в форме двухвременной зависимости корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени ожидания tw. Время ожидания tw характеризует проме^жугок времени от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. При медленной эволюции из неравновесного начального состояния старение системы проявляется в замедлении релаксационных процессов при увеличении времени ожидания tw - «возраста» системы - и сопровождается такими неэргодическими эффектами, как памятью о начальном и любом промежуточном состояниях в релаксационном процессе при t, tw << trei и нарушением флуктуационно-диссипативной теоремы [3-5].

В исследованиях влияния начальных состояний системы на характеристики неравновесного критического поведения различают высокотемпературные состояния, созданные при To > Tc и характеризуемые начальной намагниченностью mo = 0, и низкотемпературные состояния с To < Tc с mo ^ 0. Дальнейшая реализация неравновесного процесса характеризуется тем, что в начальный момент времени система приводится в контакт с термостатом при критической температуре Tc системы и затем с момента времени tw осуществляется измерение двухвременных величин - корреляционной функции и функции отклика, на временах 1<< t, tw<< trei.

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562. Исследования выполнены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

33

В данной работе мы представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния дефектов на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного начального состояния с приведенной намагниченностью mo = 1. Гамильтониан для ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением

H = -JX P.PjSiSj -н£pS, (1)

<i,j > i

где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, зафиксированными в узлах решетки. В данной модели немагнитным атомам примеси сопоставляются пустые узлы. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения

Ppi) = (1 - P)8(p) + pSpi), где p = (p^j задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Моделирование проводилось на кубической решетке с наложенными периодическими граничными условиями. Ns = pL3 характеризует число спинов в решетке с линейным размером L. В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность

M (t) = V j ddx[s (x, t})]

временная корреляционная функция C(t,tw) и линейная функция отклика R(t,tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями

C(t, tw) = V j ddx[{ S (x, t )S (0, tw})-( S (x, t))( S (0, tw})],

R(t,tw) = V j d

Д( S(x,t}) ] SH(x,tw)

(3)

d

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решётке.

Согласно общим представлениям о неравновесных процессах, ожидается, что для t > tw >> trel, C(t,tw) = Ceq(t-tw) и R(t, tw) =

= Req(t-tw), где Ceq и Req являются соответствующими равновесными величинами, связан-

ными флуктуационно-диссипативной теоремой (далее - ФДТ) TReq(t) = -dCeq(t)/dt. Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение ФДТ [3-5], когда связь функции отклика системы на внешнее возмущение R(t,tw) и корреляционной функции C(t,tw) осуществляется через введение дополнительной величины X(t,tw), получившей название флуктуационно-дис-сипативного отношения (далее - ФДО):

X (t, tw ) dC (t, tw )

R(t, tw) = -

kT

dt

(4)

Для времен с t > tw >> trel ФДТ устанавливает, что X(t,tw) = 1. Однако в общем случае для времен с t, tw << trel X(t,tw) ^ 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое как

X = limlimX(t,tw), (5)

оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.

В настоящее время установлено, что временная зависимость для автокорреляционной функции и функции отклика в неравновесном режиме при эволюции из низкотемпературного начального состояния с m0 ^ 0 удовлетворяет следующим выражениям [6]:

C = A(t - tw)a+1-d/z (t / tw )e-1 FC (tw /1, t / tm),

R = B(t -tw)a-d/z (t / tw)e Fr(tw /1,t / tm), (6)

где tm ~ mak - новый временной масштаб, задаваемый начальным значением намагниченности mo, c показателем k = 1 / (в + a + + fi/zv) > 0, a = (2 - n - z) / z, в - новый независимый критический индекс неравновесного поведения. Скейлинговые функции FC (tw /1, t / tm ) и Fr (tw /1, t / tm ) являются конечными при tw ^ 0 и t / tm ^ 0 , A и B - неуниверсальные амплитуды, значения которых фиксируются условием FC,R (0, 0) = 1.

Величины C(t,tw,tm) и R(t, tw, tm) являются обобщенно однородными функциями трех временных масштабов t tw, tw и tm. В частности, когда реализуется их следующее соответствие tw< t<< tm, которое в^1полняется ^зсе гда для случая эволюции из высокотемпературного начального состояния с m0 = 0, зависимости (6) переходят в соотношения, соответствующие этому случаю [2; 6]. В противоположном случае с временами t-tw и tw, большими по сравнению с tm, т. е. для tm<<tw<t, скейлинговые выражения (6) принимают вид:

C(t, tw) = A(t - tw)a+l-d/z (t / tw ) FC(tw /1),

R(t, tw) = B(t - tw)a-d/z (t / tw ) TR (tw /1), (7)

где введен новый показатель 9 = -fiS / (vz) = = -(1 + a + fi /(vz)), а Fcr (tw /1) являются

34

В. В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В. В. Крижановский

скейлинговыми функциями, получающимися из Fcr (tw /1, t / tm ) в (6) при предельно

больших значениях t/ tm.

В режиме старения, реализующемся для времен t- tw ~ tw, корреляционная функция и функция отклика описываются соотношениями

C (t, tw)~ t;ip'(vz) Tc (t / tw),

R(t, tw)~ tw TR /t / tw) (8)

со скейлинговыми функциями Fcr (t / tw), которые убывают на долговременном этапе их изменения с t — tw >> tw в соответствии со степенным законом

Fc,R (t / tw ) ~ (t / tw )p, (9)

где показатель p = d/z - a + fi6/(uz) [6].

Для выявления особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной системе изинговских спинов при эволюции из низкотемпературного начального состояния с то = 1 и исследования влияния на них дефектов структуры в данной работе осуществлялось компьютерное моделирование в рамках статистического метода Монте-Карло. Был реализован динамический процесс односпиновых переворотов с применением алгоритма тепловой бани [7]. В данной работе, по аналогии с работами [2; 6], мы применили методику, позволяющую рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля, осуществляя расчет обобщенной восприимчивости в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):

t

w 1 N

X(t,tw) = j dt'R(t,t') = — £[(P&(t)AS,(tw})] (10)

0 i=1

с функцией отклика, задаваемой соотношением (3), и функцией AS(tw), рассчитываемой при моделировании состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяемой соотношением

t

AS, (tw) = £[ S t (s) - SW (s) ] , (11)

s=0

где SW = th( JX PmSm / T) .

m^t

С другой стороны, если в (10) для функции отклика применить соотношение (4), то можно получить, что

tw dC(t t') C(t,tw)

Tx(t,tw) = jX(t,t') —dt' = j X(C)dC .(12)

0 0

В результате флуктуационно-диссипа-тивное отношение может быть определено соотношением

X(t, t) = lim T dz(t,tw) , (13)

y wJ C^0 dC (t, tw)

с помощью которого можно определить предельное флуктуационно-диссипативное отношение (5).

Нами было осуществлено моделирование систем со спиновыми концентрациями p = 1.0; 0.95; 0.8; 0.6; 0.5 на кубической решетке с линейным размером L = 128 при соответствующих критических температурах Tcp): Tc(1.0) = 4.5114(1) [8]; Tc(0.95) =4.26267(4); Tc(0.8) = 3.4995(2); Tc(0.6) = 2.4241(1);

Tc(0.5) = 1.84509(6) [9]. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение в исследованиях решетки с достаточно большим линейным размером L = 128 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при моделировании равновесных критических явлений [10].

В работе было проведено вычисление двухвременной зависимости для автокорреляционной функции C(t,tw) (3) и восприимчивости x(t,tw) (11) от времени наблюдения

t - tw для набора различных времен ожидания tw при заданных выше значениях спиновой концентрации p. Поведение систем исследовалось на временах до 10 000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании «чистой» системы с p = 1.0 проводилось статистическое усреднение по 90 000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 6 000 примесных конфигураций и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Результаты расчетов представлены на рис. 1. Эффекты старения наглядно проявляются через зависимость C(t,tw) и x(t,tw) от «возраста» системы tw на временах наблюдения

t — tw ~ tw и характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее «возраста». Из представленных графиков также видно, что с ростом концентрации дефектов (уменьшением спиновой концентрации p) происходит усиление эффектов старения. Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. Мы связываем эти сильные изменения в поведении автокорреляционной функции с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, происходящем при неравновесном изменении доменной структуры системы при переходе от однодоменного состояния при To = 0 к многодоменной флуктуационной структуре, возникающей при критической температуре Tc. На это указывают графики для двух составляющих автокорреляционной функции в (3), которые мы обозначили как Css(t,tw) и Cmm(t,tw) и представили на рис. 2 для «чистой» системы и системы со спиновой концентрацией p = 0.5 соответственно. Из графиков видно, что для

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

35

«чистой» системы на временах наблюдения t — tw ^ tw значения составляющих Css{t,tw) и Cmm(t,tw) начинают совпадать, приводя к взаимной компенсации в полной автокорреляционной функции, в то время как для структурно неупорядоченных систем графики для этих составляющих хотя и сближаются на

временах t — tw S tw с параллельным дальнейшим изменением, но полной компенсации их не происходит, более того, их разница растет с увеличением времени ожидания tw и ростом концентрации дефектов cimp = 1 - p.

Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции C(t, tw) (a) и динамической восприимчивости х(Щ (б)

от времени наблюдения (t - tw) для различных значений концентрации спинов p и времён ожидания tw

Рис. 2. Сравнение временных зависимостей вкладов в автокорреляционную функцию Css(t,tJ) ~ [<S(t)S(tw)>] и Cmm(t,tw) ~ [<S(t)><S(tw)>] для концентрации спинов p = 1.0 (a) и p = 0.5 (б)

В режиме старения временная зависимость автокорреляционной функции характеризуется скейлинговыми соотношениями

(7) и (8). Подобную скейлинговую форму для временной зависимости восприимчивости можно получить на основе применения инте-трального соотношения (10) и скейлинговой зависимости (7) для функции отклика. В результате получаем

X(t, tw )~ tw-2FMVZ7%(t / tw ) (14)

со степенной зависимостью функции Fx(t / tw) ~ (t / tw)~ф на долговременном этапе

релаксации системы с t — tw >> tw >> tm при сохранении значения показателя ф , что и в

соотношении (9). Для подтверждения скей-линговой зависимости для автокорреляционной функции (7) и восприимчивости (14) было осуществлено построение зависимости

К™C(t, tw) и tw'pn">X(t, tw) от (t - и)/и с

ip/(vz )

использованием значений критических индексов: 2fi/v = 1.032(5) [10], z = 2.024(6) [11] для p =1.0; 2fi/v = 1.016(32), z = 2.191(21) [12] для p =0.95; 0.8 и 2fi/v = 0.924(80),

z = 2.663(30) [13] для p = 0.6; 0.5. Результат приведен на рис. 3, который демонстрирует «коллапс» полученных для различных tw данных на соответствующих различным спиновым концентрациям p универсальных кривых, характеризуемых скейлинговыми функциями Fc (t / tw) и Fx(t / tw).

Для временных интервалов с (t - tw)/tw >> 1 были определены приведенные в табл. 1 значения показателей рс и рх для

«чистой» системы с p = 1.0, которые в пределах погрешностей хорошо согласуются друг с другом и с теоретически предсказанным значением (р = 1 + d/z + fi/(vz) = 2.737(8).

36

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В.В. Крижановский

Рис. 3. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции twplv C(t,t) (a) и восприимчивости

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X(t, t) (б) от (t - tw)/tw, демонстрирующие «коллапс» полученных для различных tw данных

t

Таблица 1

Значения критических показателей автокорреляционной функции и динамической восприимчивости

p Фс Са Фх

1 2,740(28) 2,735(26)

0,95 2,618(27) 0,232(2) 2,607(22)

0,8 2,590(19) 0,224(4) 2,582(20)

0,6 2,386(23) 0,186(2) 2,388(19)

0,5 2,337(27) 0,178(3) 2,335(14)

Однако для структурно неупорядоченных систем с p < 1 в значениях показателей для автокорреляционной функции и восприимчивости, определенных на интервале с (t - tw) / tw >> 1, наблюдаются большие различия, обусловленные выявленным существенным влиянием дефектов структуры на корреляционные свойства системы на неравновесном этапе эволюции. Так, степенное поведение скейлинговой функции Fc (t 1 tw) для

структурно неупорядоченных систем более правильно характеризовать показателем Са.

FC (t 1 tw )~(t 1 tw yc- (15)

с ca = fi / (vz), характеризующим долговременную релаксацию намагниченности M(t) ~ t-e/(vz) при T = Tc. Действительно, определенные нами значения показателя ca, представленные в табл. 1, в пределах погрешности хорошо согласуются со значениями fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций. В то же

время для скейлинговой функции Fx(t 1 tw) вычисленные значения показателя (рх оказываются в хорошем соответствии со значениями показателя ф = 1 + d / z + fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций.

Тем не менее для структурно неупорядоченных систем в поведении автокорреляционной функции в режиме старения на временах (t - tw) ~ tw наблюдается более резкое спадание (рис. 1, а), на котором поведение

скейлинговой функции Fc (t 1 tw) (рис. 3, а) может быть аппроксимировано степенным законом с показателем фс, принимающим приведенные в табл. 1 значения, которые в пределах погрешностей согласуются с вычисленными значениями фх для динамической восприимчивости и значениями показателя ф = 1 + d / z + fi / (vz) для соответствующих спиновых концентраций. Это указывает на то, что предсказываемое ре-нормгрупповой теорией скейлинговое поведение для корреляционной функции в соответствии с (6) осуществляется в неравновесном поведении структурно неупорядоченных систем вплоть до режима старения с t - tw ~ tw >> 1, а в долговременном режиме с t - tw >> tw >> 1 за счет пиннинга доменных стенок на дефектах происходит сильное замедление корреляционных эффектов и спадание автокорреляционной функции со временем осуществляется по степенному закону критической релаксации намагниченности.

Более тонкий анализ поведения автокорреляционной функции для структурно неупорядоченных систем в долговременном режиме с t - tw>> tw >> 1 показывает нарушение ее простой скейлинговой зависимости, определяемой Fc (t 1 tw), так как на этом этапе эволюции полного совпадения данных для различных tw не происходит (рис. 3, а). Представление скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции в виде Fc (t 11%) позволяет при значениях показателя ц = 2.30(6) для систем с p = 0.95; 0.8 и ц = 2.80(7) для систем с p = 0.6; 0.5 получать совпадение данных для различных tw (рис. 4). Такой случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц >1, классифицируется в теории неравновесных процессов как явление «сверхстарения» [1]. Из рис. 4 видно, что восстановление «коллапса» данных для автокорреляционной функции в долговременном режиме с t - tw >> tw >> 1 через

Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение...

37

введение скейлинговой функции Fc (t /10) разрушает «коллапс» этих же данных для времен t — tw < tw. Это позволяет нам предположить, что для структурно неупорядоченных систем должна реализовываться более сложная форма, чем в (7), для скейлинговой зависимости автокорреляционной функции при tm << tw < t вида

C(t,tj=A (t-tw y+1-d/ z[(t/tw f-1 F (t/tw)+

+Be (p )FC (t / о (16)

с функциями Fc (t /tw)~(t / twy2p/{vz),

Fe (t / o~(t / e)-pi(vz) и Bc(p = 1) = o.

Рис. 4. Эффект «сверхстарения» в скейлинговом поведении автокорреляционной функции tw2p/(vz)C(t, tw)

в зависимости от t / А

На следующем этапе исследований нами был проведен расчет флуктуационно-дисси-пативного отношения в соответствии с соотношением (13). Из представленных на рис. 5 графиков зависимостей Тх от C видно, что для «чистой» системы эта зависимость имеет линейный характер для временного интервала t — tw ^ tw >> 1 изменения автокорреляционной функции C(t,tw) и характеризуется предельным значением ФДО X" = 0.784 (5). Данное значение было получено при проведении процедуры определения значений X(tw) на основе соотношения (13) для каждого значения времени ожидания tw. К полученным значениям X(tw) была затем применена аппроксимация X(tw ^ да), которая и позволила определить искомое предельное флуктуационно-диссипа-тивное отношение X". Значение X" = 0.784(5)

находится в очень хорошем согласии с теоретико-полевым значением X" ~ 0.78, полученным в работе [6] на основе ренормгруппового описания неравновесной критической динамики диссипативной модели А с применением метода е-разложения.

от автокорреляционной функции, определяющие в соответствии

с (14) флуктуационно-диссипативное отношение

Однако для структурно неупорядоченных систем за счет выявленных эффектов сильного замедления корреляционных эффектов на временах t tw ~ tw >> 1 из-за пин-нинга доменных стенок на дефектах в графиках зависимостей Тх от C (рис. 5) проявляется наличие двух линейных участков: первый участок соответствует изменению автокорреляционной функции C(t, tw) на временах t tw ^ tw >> 1, а второй - значениям C(t, tw) для долговременного этапа эволюции с t — tw >> tw >> 1. Видно, что протяженность второго участка растет с увеличением концентрации дефектов. Этим (вторым) участкам для всех рассмотренных спиновых концентраций с p < 1 соответствуют предельные значения ФДО X" = 0. В то же время анализ зависимостей Тх от C на первых участках, осуществленный на основе выражения (13) без рассмотрения предела C ^ 0, показывает, что если к определенным значениям X(tw) применить аппроксимацию X(tw ^ да), тогда можно получить приведенные в табл. 2 значения, близкие к среднеполевым значениям предельного ФДО X" = 0.8 [6]. Отклонения обусловлены влиянием флуктуационных эффектов и дефектов структуры.

Таблица 2

Значения флуктуационно-диссипативного отношения для систем с различными спиновыми концентрациями

p = 1.0 p = 0.95 ■O II о bo p = 0.6 p = 0.5

tw X(t - tw) >> tw tw X(t - tw) >> tw tw X(t-tw) >>tw tw X(t -tw) >> tw tw X(t - tw) >> tw

15 0,869(11) 20 0,713(12) 20 0,764(8) 80 0,699(3) 20 0,771(23)

25 0,826(12) 40 0,726(13) 30 0,757(12) 100 0,707(3) 40 0,748(21)

50 0,810(19) 80 0,733(16) 40 0,749(15) 140 0,710(3) 60 0,741(14)

W 0,784(5) W 0,740(3) W 0,736(6) W 0,726(5) W 0,726(1)

X” 0,784(5) X” 0 X” 0 X” 0 X” 0

38

В. В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко, В. В. Крижановский

В заключение отметим, что в результате численных исследований выявлено существенное влияние дефектов на неравновесную критическую динамику трехмерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного состояния. Показано, что с ростом концентрации дефектов происходит усиление эффектов старения. Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. В результате спадание автокорреляционной функции на временах t - tw >> tw >> 1 осуществляется по степенному закону критической релаксации намагниченности за счет пиннинга доменных стенок на дефектах, а предельные значения ФДО, определяемые динамикой доменов в долговременном режиме, становятся равными нулю. Показано, что критические показатели, характеризующие асимптотическое поведение автокорреляционной функции и динамической восприимчивости, характеризуются принадлежностью различным классам универсальности критического поведения, а именно: критического поведения «чистых» систем, слабо неупорядоченных с p = 0.95, 0.8 и сильно неупорядоченных с p = 0.6, 0.5 [14-16].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Henkel M., Pleimling M. Non Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2 : Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Heidelberg : Springer, 2010. 544 p.

[2] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[3] Crisanti A., Ritort F. Violation of the fluctuation-dissipation theorem in glassy systems: basic notions and the numerical evidence // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. Vol. 36. P. R181.

[4] Cugliandolo L. F. The effective temperature // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44. P. 483001.

[5] Komatsu K., L'Hote D., Nakamae S., Mosser V., Konczykowski M., Dubois E., Dupuis V., Perzyn-ski R. Experimental Evidence for Violation of the

Fluctuation-Dissipation Theorem in a Superspin Glass // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. P. 150603.

[6] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 2.

[7] Janke W. Monte Carlo methods in classical statistical physics // Lecture Notes in Physics. 2008. Vol. 739. P. 79140.

[8] Ferrenberg A. M., Landau D. P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44. P. 5081.

[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132.

С. 417.

[10] Guida R., ZinnJustin J. Critical exponents of the N-vector model // J. Phys. A. 1998. Vol. 31. P. 8103.

[11] Криницы/н А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // ТМФ. 2006. Т. 147. С. 137.

[12] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov E. A., Rychkov M. V. Shorttime dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys . Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 011130.

[13] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Наука, 2013. 316 с.

[14] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы для неравновесного критического поведения в трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. С. 462.

[15] Прудников В. В., Вакилов А. Н., Талашок Д. В. Динамика возмущений начального состояния системы в исследовании критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100. Р. 760.

[16] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.