Особенности ренормгрупповогоописания неравновесной критической динамики и результаты их исследования Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 30-33.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.В. Лаврухин

ОСОБЕННОСТИ РЕНОРМГРУППОВОГО ОПИСАНИЯ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ*

Представлена методика и результаты ренормгруппового описания неравновесной критической релаксации модели А с эволюцией из начальных состояний, соответствующих полностью упорядоченному низкотемпературному и неупорядоченному высокотемпературному состояниям параметра порядка. Показано, как в критическом режиме уже в приближении теории среднего поля возникают эффекты нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы и двухвременная зависимость для корреляционной функции и функции отклика. Для универсального флуктуационно-диссипа-тивного отношения проведен расчет флуктуационных и примесных поправок при фиксированной размерности пространства ё = 3. Для вычисления предельного значения флуктуационно-диссипативного отношения применен метод суммирования рядов Паде - Бореля.

Ключевые слова: неравновесное критическое поведение, ренормализационная группа, флуктуационно-диссипативное отношение, эффекты старения.

В последние годы большой интерес исследователей был связан с изучением неравновесного поведения систем с медленной динамикой [1; 2]. Такие комплексные системы, как спиновые стекла [3], материалы, испытывающие фазовые переходы второго рода [4; 5], а также мультислойные магнитные сверхструктуры типа Co/Cr [6; 7], характеризуются аномально большими временами релаксации, поэтому исследование их динамических свойств становится крайне актуальной проблемой. Одним из наиболее интересных явлений, проявляющихся на неравновесном этапе эволюции, является эффект старения: корреляционная функция и функция отклика системы проявляют нетривиальную двухвременную зависимость от времен s и t > s, где s - время ожидания или возраст системы, т. е. время, прошедшее с момента приготовления системы до начала измерения ее свойств, а t - время измерения. При этом времена t, s << trei - времени релаксации системы.

Явление старения характеризуется ростом характеристических времен релаксации и корреляции системы с увеличением ее «возраста» - времени ожидания s. В режиме равновесной динамики корреляционная функция и функция отклика системы зависят только от временного промежутка t - s .

Явление старения сопровождается нарушением флуктуационно-дис-сипативной теоремы (ФДТ), для описания которого вводятся такие новые понятия, как флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО) [8] и эффективная температура [9]. Наше исследование связано с изучением методами ренормгруппы и теоретико-полевого описания эффектов старения и нарушения ФДТ в системах, испытывающих фазовый переход второго рода, при их неравновесном критическом поведении.

Пусть система, описываемая гамильтонианом Гинзбурга - Ландау - Вильсона

Н =j d

^(V^)2 + ifo + y(x))q)2 +1 g0q>4

Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562.

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, И. В. Лаврухин, 2017

приведена в критическое состояние из неравновесного начального состояния ^ = 0) [10]. В (1) р - параметр порядка,

г0 ~ (Т — Т)/ Т - приведенная температура,

^(х) - поле дефектов структуры с гауссовым

распределением

(у(х)) = 0, (у( х) у(у)) = v5(x — у), (2)

где V - положительная константа, пропорциональная концентрации дефектов и квадрату величины их потенциала. Для случая систем без примесей ^(х) = 0.

Влияние начального состояния с намагниченностью т0 можно учесть, усредняя характеристики системы с весом ехр(—И0 [р0]), где

Яо[фо1 = | а3 |[фо(х) — то]2. (3)

Для описания релаксационной критической динамики данной системы (модель А в классификации работы [11]) применяется уравнение эволюции

др х ') = —пр7)+ ^" • (4)

где % - дельта - коррелированная гауссова случайная сила

(£. (х, t) (х',Г)) = 205(х — х') 5 ^ — Зи. (5)

Для описания неравновесных свойств системы вводится корреляционная функция С(%в), характеризующая временные и пространственные корреляции значений параметра порядка

С, (t, 5)=(ф, (t) ф, (5)) —(ф, (t)) (ф, (5)), (6)

и функция отклика задающая реакцию

поля параметра порядка на малое внешнее поле, включенное в момент времени ожидания в,

R,, (t, s) =

Чъ (t)> h

Shj (s)

(7)

Связь этих двух функций определяется

ФДТ:

R (t, s) =

1 dC.. (t, s)

ds

(8)

где Т - температура. В равновесном режиме двухвременная зависимость переходит в зависимость данных функций от времени наблюдения t - в. Однако на неравновесном этапе релаксации ФДТ может нарушаться, поэтому для описания системы вводят ФДО: , ч ТЯ (^5) Хх (t, 5) = ТТГТТ"), (9)

д5Сх 5)

предельное значение которого

Xда = lim lim Х^0(t, s),

s ^да t ^да

(10)

как было показано в [12; 13], является универсальной характеристикой неравновесного поведения в рамках определенной динамической модели. Для ФДО, заданного в импульсном пространстве

TR (t,s)

Xq (t, s) =-, (11)

q dsC (t, s)

справедливо равенство предельных отношений

lim Хх=0(t, s) = lim X = 0(t, s). (12)

С учетом временной зависимости приведенной температуры в критическом режиме

r - t

1/(^ t 1 ддя начального неупорядоченного состояния с р(0) = т0 =0 нами были получены затравочные корреляционная функция и функция отклика в импульсном пространстве в виде [14]

О = — 5 ) V (13)

C0(t, t') =1 -(е-q2Н - е-q2(t+s)), (14) q q t \ '

дающие значения предельного ФДО X "=0 = 1/2 и X = 1, что свидетельствует о

нарушении ФДТ для моды параметра порядка с д = 0.

Для описания эволюции из начального упорядоченного состояния с р(0) = т0 ^ 0 необходимо учитывать также ненулевое значение намагниченности системы, которое описывается решением дифференциального уравнения

дт т3 т — + — +-- +

дГ 3 t — х—1 +УI (ад) С^, о + 0(я1) = о. (15)

Затравочные пропагаторы при этом имеют вид

Я о 5) = е^ — 5)5 ехр{—д2^ — 5) +

+ ['Л' т2^')}, (16)

3 5

С0а, 5) = Я^, t (t', 5) (17)

что приводит к значению предельного ФДО ^;=о=6/7.

Эффекты влияния флуктуаций параметра порядка и их взаимодействия, а также наличия примесей в системе на функцию отклика и корреляционную функцию можно учесть по теории возмущения в виде разложения в ряд по степеням вершин взаимодействия £0 и V . Коэффициенты при них будут определяться диаграммами Фейнмана с соответствующими симметрийными множителями

h=0

32

В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.В. Лаврухин

Я = Я0 - g0Я11 + £ XЯ2' - v0Л11 +

I

+ £о V X Л2'+ V2 X (18)

I I

С = С0 - £оС11 + £ X С2" - VС? +

I

+ ^о X СГ+ VIX С- (19)

/ 7

Ряды теории возмущений для физических величин являются асимптотическими. Для получения их разумных значений к соответствующим рядам применяются различные методы суммирования [10]. В данной работе для вычисления предельного ФДО был применен метод суммирования Паде - Бо-реля.

В результате нами были получены значения предельного ФДО для эволюции систем из различных начальных состояний с учетом влияния примесей (табл.). Для сопоставления

Хда

, полученные в рамках применения метода е-разложения [12; 15; 16] и методов Монте-Карло [2; 17-20].

Сопоставление значений флуктуационно-диссипативного отношения, рассчитанных в данной работе $ = 3) с результатами, полученными методами ¿-разложения и Монте-Карло (МК) для высокотемпературного (ВТС) и низкотемпературного (НТС) начальных состояний

Система 1 начальное состояние d = 3 £- разложение МК

Чистая модель Изинга, ВТС 0,416(29) 0,429(6) [12] 0,380(13) [2; 17]; 0,390(12) [18]

Разбавленная модель Изинга, ВТС 0,446(59) 0,416 [15] 0,413(11) [2; 17] 0,415(18) [18]

Чистая XY модель, ВТС 0,400(27) 0,416(8) [12] 0,43(4) [20]

Чистая модель Гейзенберга, ВТС 0,386(23) 0,405(10) [12] -

Чистая модель Изинга, НТС 0,86 0,78 [16] 0,77(6) [2], 0,784(5) [19]

Разбавленная модель Изинга, НТС - 0 [19]

В работе выделены классы универсальности неравновесного критического поведения, характеризующиеся различными начальными значениями параметра порядка и присутствием дефектов. Проведен анализ влияния флуктуаций параметра порядка и их сильного взаимодействия. Проведены расчеты значений ФДО в рамках ре-нормгруппового подхода с фиксированной размерностью й = 3, а также осуществлено

сопоставление результатов расчета (табл.) с

результатами, полученными ранее другими

методами [2; 15-20].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2. Ageing and Dynamical Scaling Far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Heidelberg: Springer, 2010. 544 p.

[2] Prudnikov P.V., Prudnikov V.V, Pospelov E.A., Malyarenko P.N., Vakilov A.N. Ageing and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of the three-dimensional pure and diluted Ising models // Progress of Theoretical and Experimental Physics. 2015. 053A01.

[3] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184.

[4] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[5] Prudnikov V.V, Prudnikov P.V., Pospelov E.A. Influence of disorder on ageing and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3d Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech.: Theory and Experiment. 2016. 043303.

[6] Mukherjee T., Pleimling M., Binek Ch. Probing equilibrium by nonequilibrium dynamics: aging in Co/Cr superlattices // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. 134425.

[7] Прудников В. В., Прудников П. В., Пуртов А. Н., Мамонова М. В. Эффекты старения в неравновесном поведении мультислойных магнитных структур // Письма в ЖЭТФ. 2016. Т. 104. Вып. 11. С. 797-805.

[8] Crisanti A., Ritort F. Violation of the fluctuation-dissipation theorem in glassy systems: basic notions and the numerical evidence // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. Vol. 36. P. R181.

[9] Cugliandolo L. F. The effective temperature // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44. P. 483001.

[10] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. 316 с.

[11] Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49. P. 435-479.

[12] Calabrese P., Gambassi A. Two-loop critical fluctuation-dissipation ratio for the relaxational dynamics of the O(N) Landau-Ginzburg Hamiltonian // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. 066101.

[13] Godreche C., Luck J.M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems // J. Phys.: Cond. Matter. 2002. Vol. 14. P. 1589.

[14] Прудников В. В., Лаврухин И. В. Нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в магнитных системах в режиме неравновесной критической динамики // Известия вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 7/2. C. 95-101.

[15] Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation-dissipation ratio for the dilute Ising model // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. 212407.

[16] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical aging of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. : Theory and Experiment. 2006. P06016.

[17] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. Вып. 10. С. 693-699.

[18] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга //ЖЭТФ. 2014. Т. 145. Вып. 3. С. 462-471.

[19] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. Вып. 3. С. 192-201.

[20] Abriet S., Karevski D. Off equilibrium dynamics in the 3d-XY system // Eur. Phys. J. 2004. Vol. 41. P. 79-85.