Неравновесное критическое поведение твердых тел с дальнодействующей корреляцией дефектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 76-82.

УДК 544.344

П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, М.И. Яковлев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ ДЕФЕКТОВ*

Осуществлено теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении без использования е-разложения.

Ключевые слова: неравновесное критическое поведение, дефекты, теоретикополевое описание.

Статья посвящена исследованию одновременного влияния неравновесных начальных состояний и эффектов корреляции дефектов структуры на эволюцию структурно неупорядоченных твердых тел при фазовых переходах второго рода.

Определяющими особенностями неравновесного поведения систем при фазовых переходах второго рода являются критическое замедление времени релаксации системы и аномально большие времена корреляции различных состояний системы. Данные особенности приводят к реализации динамического скейлингового поведения, даже когда системы находятся в состояниях, далеких от состояния равновесия. В [1] при использовании ренорм-группового подхода впервые было показано, что если начальное состояние ферромагнитной системы характеризуется высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значением относительной намагниченности то<< 1, то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем, характеризуемым новым независимым динамическим критическим индексом 0': т(() ~ . При этом с увеличением времени коротковременная ди-

намика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную релаксационную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону т(() ~ ( в/яУ с показателем, определяемым отношением в / гм со статическими критическими индексами в и V и динамическим критическим индексом г.

В [1] также предсказывалась двухвременная зависимость для динамической функции отклика х(?, (а) и корреляционной функции С(£ а), которая в коротковременном режиме (? / а<< Г) принимает вид степенной зависимости от отношения переменных ( / а (а - время ожидания), характеризуемой показателем 0:

* Работа поддержана грантами РФФИ 10-02-00507, 10-02-00787, Президента РФ МК-3815.2010.2 и грантами Министерства образования и науки РФ 02.740.11.0541 и 2.1.1/13956.

© П.В. Прудников, Д.Н. Куликов, М.И. Яковлев, 2011

хо, о - (і/ ое, са о - (ґ/ о9-1. (1)

Между показателями 9 и 0' в работе было получено связывающее их отношение в = в + (2 — z — п)/ ^, поэтому независимым критическим индексом является лишь один из них.

Исследование влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел представляет большой теоретический и практический интерес [2]. В настоящее время установлено, что наличие даже малой концентрации дефектов структуры может радикально изменить критическое поведение системы. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением влияния точечных и пространственно некоррелированных дефектов. В то же время вопрос о влиянии эффектов корреляции дефектов на критическое поведение систем, в особенности на характеристики их неравновесного критического поведения, значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодействующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. В силу этого к моделям систем с дальнодействую-щей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в полимерах [3] при описании сверхтекучести Не4 в аэрогеле [4], в неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [5]. При исследовании неравновесных свойств наличие дальнодейст-вующей корреляции дефектов может привести к более яркому проявлению эффектов старения и нарушению флуктуацион-но-диссипативного отношения [6].

Для описания сложных протяженных дефектов вводятся различные модели структурного беспорядка. В данной работе исследуется модель Вейнриба - Гальперина с так называемой дальнодействую-щей изотропной корреляцией дефектов

[7], когда парная корреляционная функция ё(х - у) спадает с расстоянием между дефектами по степенному закону

ё(х — У) ~ Iх — у^ (2)

где а - параметр корреляции дефектов структуры. При наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, ее критическое поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба - Гальперина при значениях параметра корреляции a = d - 1 или a = d - 2 соответственно, где d - размерность системы. В работе [7] впервые с применением метода £-разложения было показано, что дальнодействующая изотропная корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем, а проведенное в нашей работе [8] теоретико-полевое описание непосредственно трехмерных систем с даль-нодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении позволило получить более достоверные значения индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями параметра корреляции а. В [8] показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение систем не только с однокомпонентным параметром порядка, как в случае некоррелированных дефектов, но и с многокомпонентными параметрами порядка.

В данной работе ставится задача осуществления исследования неравновесного критического поведения неупорядоченной системы с учетом эффектов влияния даль-нодействующей корреляции дефектов и определения динамического критического индекса в' в рамках теоретико-полевого подхода с фиксированной размерностью системы d = 3 в двухпетлевом приближении с последующим применением к рядам различных методов суммирования.

Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изинговских систем используется модельный гамильтониан Гинзбурга - Ландау - Вильсона:

H = Jddx {2[т52 (x) + (Vs(x))2 + V(x)s2 (x)] +

■ (3)

где S (x) - поле n-компонентного параметра порядка (спиновой плотности), т = (T- Tc) / Tc - приведенная температура фазового перехода второго рода, U - положительная константа, V(x) - потенциал поля дефектов. Для дефектов с дальнодейст-вующей корреляцией на средние значения

моментов случайных величин У(х) по конфигурациям дефектов накладывается требование

«V(х)» = 0, «V(х)У(у)» = #(х- у) (4)

с ё(х- у), задаваемой выражением (2). Фу-рье-образ данной корреляционной функции равен ё(К) = V + цка— для малых значений волнового вектора к, где V и ш - положительные константы, характеризующие взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле некоррелированных и пространственно протяженных дефектов структуры соответственно. Для значений параметра корреляции а > ё вклад второго слагаемого в ^(к) несущественен, и гамильтониан в (3) соответствует модели с некоррелированными дефектами. Для а < ё слагаемое с ш становится доминирующим для малых к и определяет эффекты влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем.

В данной работе для исследования влияния дальнодействующей корреляции дефектов был использован формализм описания критической релаксации системы из начальных неравновесных состояний с т0 << 1, впервые разработанный в работе [9] для систем с некоррелированными дефектами при их фиксированной размерности ё = 3 без применения метода £-разложения.

Будем рассматривать эволюцию неупорядоченной системы при Т = Тс из начального состояния с начальной намагниченностью шо, характеризуемого функцией распределения Р[ 30 ] ~ ехр(- Н0[ 30 ]) для поля параметра порядка з (х, ( = 0) = з0 (х) с

j ddxТsq(x) - тйо(x)]2j, (5)

где Т01 - ширина начального распределения намагниченности. Данное гауссовское распределение для поля параметра порядка может быть реализовано для температур Т>>Тс, при которых еще не возникает дальнодействующих корреляций для флуктуаций параметра порядка.

Релаксационная динамика параметра порядка задается уравнением Ланжевена

д5(х о = -л оН[з] +с(х о, (6)

оз (х, ¿)

где X - кинетический коэффициент, С, (х, ¿) - гауссовая случайная сила, моделирующая короткоживущие возбуждения и задаваемая функционалом вероятности

P[C]X exp -ddx\ dt(Z(X, t))2 , (7)

Z( x, 0) с = 0,

Z(X, t)Z(y, t))z = 2Л8(x- y)S(t- t).

В рамках теоретико-полевого описания критической динамики вводится вспомогательное поле s(x, t) , позволяющее провести усреднение по случайным силам Z (x, t) и осуществить эквивалентное лан-жевеновской динамике описание критической динамики с помощью производящего функционала W[h, h ] для динамических корреляционных функций и функций отклика в виде

W = ln{j D(s, is) exp(-Ly [s, 5, V] - H0 [s0]) x

I

x exp I j ddx j dt (his + hs)

\

},

(8)

в котором функционал действия LV [s, s, V] системы характеризуется выражением

LV = j dt j ddxs

ds(x, t)

■іШ-As

(9)

дґ Зз(х, і)

В выражении для производящего функционала (8) можно провести усреднение по случайным полям У(х)

I Р[У]ехр (— Ьу [5, 5, V]) = ехр( — Ь[3, 5]) (10)

и получить функционал действия Ь[з, 3 ],

не зависящий от случайных полей У(х) и являющийся трансляционно инвариантным, в следующем виде:

L[s, s] = j dt j dd

x s

q

d s

— + — (t - V2) s-As

dt

^ да л 2 да да

+u-jdt jddx (s3)--jdtjHfjd

u q l q q

x x

х{ ёёуё(х- у) з (х, ¿) з(х, 0 5 (у, t') з(у, t'). (11)

Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (11) при и = 0 и ё(х) = 0 позволяет при граничном условии Дирихле (т0 = да) получить выражения для затравочной функции отклика и затравочной корреляционной функции [1]:

С0(к, t- ¿0 = ехр(-1(к2 +т)| t- ( |), (12) С0 °)(к, t, Г) =

= С0(е) (к, ? - Г) + С0М (к, ? + О, (13)

где С0(е) (к, і - Ґ) =

к2 1

-ехр(-А(к2 + т) | і - Ґ |),

-ехр(-6( к2 +т)(і + Ґ)).

г+ О = --р + г

При учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка в пределе т —— 0 возникают расходимости в динамических корреляционных функциях и функциях отклика. Для их устранения нами была применена ренорм-групповая процедура переопределения параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировки полей функционала (11):

/25,

5 -6-и -ш-

¿1/25,

>(Z5 /2,)1/26, ии,

Д,2Г2

5 -т -у-

► ^г2 ■■4-а'

(14)

¿и " у,

1/2 я

^0>

где /и - размерный параметр. Вычисление констант перенормировки при фиксированной размерности системы й = 3, кроме Z0, было осуществлено в работе [8]. В настоящей работе проведен расчет и критического индекса 0'.

За счет введения в теорию начальных условий вида (5) возникает необходимость в перенормировке функции отклика (5( к, /)5 (-к ,0)), задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственно-энергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с использованием коррелятора (13), не обладающего свойством трансляционной инвариантности во времени. В работе [1] было введено следующее представление для данной функции отклика:

С'Кк, /) =(5(к, /)5(-к, 0)) =

= {еи(к, /, ог<;0(к, г^6Г. (15)

Одночастичная вершинная функция г{;0 (к, ^'){3,} с одной вставкой поля 50 в

двухпетлевом приближении описывается диаграммами, представленными на рис. 1 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один коррелятор С0Ч Множитель Сп(к, ?, f) определяется равновесной составляющей коррелятора с0е) в (13). Отметим, что он отличен от

равновесной функции отклика 0(^ (к, ґ - Ґ) по причине интегрирования в (15) по времени от начального момента с і =0 вместо ^ = -да. Однако между ними можно установить функциональную связь уже в двухпетлевом приближении для структурно неупорядоченных систем, если воспользоваться, вместо функционала (5), функционалом Л[5з] (3) с новыми вершинами взаимодействия в функционале действия (11):

Х X

*1 66уё(х- у) §0 (Х, І) 50 (Х, і) §0 (у, І') 50 (у, І'). (16)

а ¡по

1-00-

А8 А9 А10

Рис. 1. Диаграммы, определяющие вклад в Г^д : линии - затравочные корреляторы С^, линии со стрелкой - затравочные функции отклика 00,

волнистые линии - взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов

За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная функция Г1(е09), локализованная на «поверхности» і = 0. От первого слагаемого в (16), как показано нами в [9], флуктуаци-онные поправки в Г^ возникают только

начиная с трехпетлевого приближения, в то время как за счет второго слагаемого в (16), обусловленного влиянием структурных дефектов, флуктуационные поправки в Г( е09) возникают уже начиная с двухпетлевого приближения (рис. 2).

Рис. 2. Диаграммы, определяющие вклад в г[е0?) : линиям соответствует равновесный коррелятор С0е)

г

Подобно (15), имеет место следующее выражение:

Gf (k, t -1 ) =

= jGu(k, t, ()Г|‘У(*, (")„„„ dt. (17)

t'

Решив интегральное уравнение

S(t- t) = J К(q, t', í)^ (q, t){s(,.)}dt”> (18) t'

в каждом порядке теории найдем его ядро K(qXO, флуктуационные поправки к которому для неупорядоченных систем возникают начиная со второго, а для однородных систем - только с третьего порядка теории. В результате одночастичная вершинная функция Г\ 0 (k, t), определяющая функцию отклика на неравновесные начальные состояния системы, описывается выражением

r,o(k,t) = JК(k, t, t')ri(;0(k, 0{,}dt (19)

o

и задается в двухпетлевом приближении диаграммами, изображенными на рис. 1 и 2.

Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм при й =3 позволили вычислить константу перенормировки 20 из нормировочного соотношения для фурье-образа перенормированной одночастичной вершинной функции

^’о"1/2Г1^^0(к = 0, ю/2Л = /иг) = 1. (20)

Так, в двухпетлевом приближении 2 (п + 2)

20 = 1 +—-----— Ып +

0 (п+8) п

(2,81972 пг +11,645 п +12,0182)

+

(п + 8)

( 2,03496 п + 4,06993) (п + 8)

URVR

-a

( п + 2 )

1 (п + 8)

где Ып, и - перенормированные константы связи, а1 - коэффициент ряда, характеризующийся зависимостью от параметра корреляции а. Численные значения а; (а) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения коэффициентов рядов (21), (23), (27) и (28) для различных значений параметра корреляции а

a ai b1 Ь2 C1 C2 d1 d2 d3 d4 d5

3,0 2,03496 1,06993 2,13985 0,32998 0,65996 0,12500 0,24665 0,49330 0,03125 0,01563

2,9 1,85303 0,88568 1,77136 0,28398 0,56797 0,12529 0,20124 0,40247 0,02610 0,01063

2,8 1,70741 0,73076 1,46152 0,24561 0,49122 0,12618 0,16308 0,32615 0,02153 0,00640

2,7 1,58957 0,59613 1,19225 0,21261 0,42522 0,12767 0,12991 0,25982 0,01741 0,00264

2,6 1,49350 0,47502 0,95005 0,18331 0,36661 0,12979 0,10006 0,20011 0,01363 - 0,00088

2,5 1,41461 0,36158 0,72315 0,15625 0,31249 0,13258 0,07204 0,14409 0,01013 - 0,00438

2,4 1,34965 0,25126 0,50251 0,13033 0,26065 0,13610 0,04475 0,08950 0,00681 - 0,00812

2,3 1,29575 0,13885 0,27769 0,10427 0,20854 0,14042 0,01686 0,03373 0,00363 - 0,01240

2,2 1,25053 0,01889 0,03778 0,07676 0,15352 0,14562 - 0,01297 - 0,02594 0,00052 - 0,01768

2,1 1,21210 - 0,11411 - 0,22821 - 0,04648 0,09296 0,15182 - 0,04613 - 0,09227 - 0,00257 - 0,02468

2,0 1,17773 - 0,26964 - 0,53927 - 0,01111 0,02223 0,15916 - 0,08497 - 0,16999 - 0,00571 - 0,03475

Инвариантность по отношению к ре-норм-групповым преобразованиям обобщенной связной функции Грина СМ ы =([ 5 ]ы [ 5 ]ы [ 50]м) можно выразить дифференциальным ренорм-групповым уравнением Каллана - Симанчика [7]:

[уЫ /2 + у N /2 + (у + у0)М /2 + +^т0-1дТ01 + Мдм + £Лдл + кгдт +

+в д „ + АА+Лд „ ] СМы = 0. (21)

Ренорм-групповые функции - коэффициенты в (19), они характеризуются выражениями

y = (дД1п , ? = (дД1п 4,

z = (дД1п Л, к = (0Д1п г,

Pu = (дД U в = (дДи

Pw = (дЛ w Y = (дЛ1п Z0,

(22)

где (ди) 0 = обозначает дифферен-

цирование с постоянными затравочными параметрами Ы, V, ш, X и т. Для коротковременного режима неравновесной критической релаксации принципиально новой является лишь ренорм-групповая функция уо, которая в двухпетлевом приближении, как показали наши расчеты, принимает следующее выражение:

2 (n + 2)

Yo =------------ ----------L

UR +

(n + 8)

(0,360563 n2 +12,703 n + 23,9637) (+8) 1 (1,06993 n + 2,13985)

(n + 8)

URUR '

+

(An+b2 )

urWR .

( ö) -r-r- (23)

(n + 8)

Численные значения b1(a) и Ьг(а) представлены в табл. 1.

* * *

Неподвижная точка (u , v, w) ре-норм-групповых преобразований определяется из системы уравнений ßu (U*, v*, w*) = 0, ßv(u*, v*, w*) = 0,

ßw(u, v*, w*) = 0. (24)

Общее решение дифференциального уравнения (21) методом характеристик в неподвижной точке представлено следующей скейлинговой формой [1]:

G^jn ({x, t}, т, т—1, Я, u, v*, w*, м) =

= j..d—2+П)у+(+2+П)у+(+2+П+П) x xG^({Ix, l2+Z t},Tl-2+K,

,112+z , Я, u , v , w\ м),

(25)

где = у , = у и п0 = У - показатели

аномальных размерностей. Можно связать функции в (25) с критическими индексами, фигурирующими в скейлинго-вых соотношениях, например:

е = —

z = 2 +Z*,1/ v = 2 — к ,

y0

------^, ^'=-^ +^ +Г°/2, (26)

2(2 + £) 2 + ^

и задающими динамический критический индекс I, критический индекс V корреляционной длины, 0 и 0' - критические индексы неравновесной эволюции функции отклика и намагниченности. В результате в данной работе для неупорядоченных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов и п-компонентным параметром порядка были получены следующие выражения для критических индексов неравновесной эволюции:

в = Ц+21 U —

2 (n + 8)

(0,0901407 n2 + 3,17574 n + 5,99092) (n + 8)2

(0,329981 n + 0,659963) * *

— ------------------------ U * v * —

(n + 8)

(u*)2 —

( Cn+ c2 ) (n + 8)

u* w*,

(27)

(u*)2 —

в.= (п+_2) и- _

2 (п + 8)

(0,0901407 п2 + 3,43728 п + 6,51399)

(п + 8)2

П10_ # (0,246648 п + 0,493296) #

-0,125у*-^---------- ---- --------и* V*-

(п + 8)

-0,015625(у*)2 -61ш*-

_(62п + 63 ) и * ш*-64У * ш * - 65 (ш*)2. (28)

(п + 8) 4 ^ ’

Значения коэффициентов С1, с2 и 61, 62, 63, 64, 65, зависящие от параметра корреляции а, представлены в табл. 1. Для дальнейших вычислений нами были использованы значения констант связи в неподвижной точке, которые были определены в работе [11] при применении различных методов суммирования к в, в, в -функциям из работы [8], вычисленным при 6=3 в двухпетлевом приближении. Однако ряды теории по константам связи как для вфункций, так и для критических индексов в (27) и (28) являются асимптотическими. Для получения физически разумных значений критических индексов для трехмерных систем применяются специально разработанные методы суммирования асимптотических рядов, из которых наиболее эффективными являются методы Паде - Бореля, Паде - Бореля - Лероя и автомодельного приближения [12; 13]. К ряду для индекса в’ в (28) нами были применены данные методы суммирования. Усредненные по всем примененным методам суммирования значения индекса в’, вычисленные для различных значений числа компонент параметра порядка п, представлены в табл. 2.

Таблица 2 Значения критического индекса в' для различных значений параметра корреляции а и числа компонент параметра порядка п

a n = i n = 2 n = 3

3,0 0,i29(i 0) 0,i 72(i i ) 0,204(i 3)

2,9 0,i 29(i i ) 0,i 69(i 3) 0,207 (i 4)

2,8 0,i 29(i i ) 0,i 7i (i 4) 0,206(i 7)

2,7 0,i30(i 2) 0,i 73(i 5) 0,209(i 8)

2,6 0,i 3i (i 2) 0,i 75(i 6) 0,2i2(i 9)

2,5 0,i32(i 3) 0,i 76(i 6) 0,2i 5(20)

2,4 0,i33(i 3) 0,i 78(i 7) 0,2i 7 (20)

2,3 0,i34(i 3) 0,i 80(i 8) 0,220(2i)

2,2 0,i 35(i 4) 0,i 82(i 8) 0,222(22)

2,i 0,i 37(i 4) 0,i 83(i 8) 0,224(22)

2,0 0,i 38(i 4) 0,i 85(i 9) 0,226(23)

Сопоставление полученных значений индекса в для модели Изинга с результатами компьютерного моделирования для случая некоррелированных дефектов структуры (а = 3,0) в’ = 0,127(16) [9] и изотропно распределенных линейных дефектов (а = 2,0) в’ = 0,149(11) [14] демонстрирует их хорошее согласие в пределах статистической погрешности. Различие полученных значений при сравнении с результатами компьютерного моделирования неравновесного критического поведения систем с многокомпонентным параметром порядка с изотропно распределенными линейными дефектами (а = 2,0) в’ = 0,374(14) для ХУ модели [14] и в’ = 0,365(71) для модели Гейзенберга [15] объясняется низким порядком приближения теории и тем фактом, что в работах

[14; 1S] при расчете значений индекса в’ не проводилась процедура учета поправок к скейлингу. После применения данной процедуры к результатам компьютерного моделирования согласие с результатами теоретико-полевого расчета должно улучшиться.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Janssen H. K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. B. 1989. V. 73.

[2] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. 2003. Т. 173.

[3] Blavats'ka V., Ferber C., Holovatch Yu. // Phys. Rev. E. 2001. V. 64.

[4] Vasquez C. R., Paredes R. V., Hasmy A., Jullien R. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90.

[5] KorzhenevskiiA. L., Luzhkov A. A., Schirma-cher W. // Phys. Rev. B. 1998. V. 50.

[6] Calabrese P., Gambassi A. // Phys Rev. E. 2002. V. 65.

[7] Weinrib A., Halperin B. і. // Phys. Rev. B. 1983. V. 27.

[8] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Fedorenko A. A. // Phys. Rev. В. 2000. V. 62.

[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Рычков М. В. // ЖЭТФ. 2010. Т. 137.

[10] Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Циркин С. С. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133.

[11] Прудников П. В., Яковлев М. И., Бакланов А. В., Воронина А. О., Горохова О. В. // Вестн. Ом. ун-та. 2010. Вып. 2.

[12] Криницын А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. // ТМФ. 2006. Т. 147.

[13] Gluzman S., Yukalov V. і. // Phys. Rev. Letters. 1997. V. 79.

[14] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Zheng B., et al. // Prog. Theor. Phys. 2007. V. 117.

[15] Прудников П. В., Медведева М. А, Желты-шев П. А. // Вестн. Ом. ун-та. 2010. Вып. 4.