Неравновесная критическая динамика структурно-неупорядоченной трехмерной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 102-107.

УДК 539.612

В.В. Прудников, П.В. Прудников, М.А. Новиков, Д.Н. Куликов

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

НЕРАВНОВЕСНАЯ КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СТРУКТУРНО-НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА*

Осуществлено теоретико-полевое описание неравновесной критической динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга в двухпетлевом приближении без использования метода е-разложения.

Ключевые слова: фазовые переходы и критические явления, коротковременная динамика, ренормгруппа, неупорядоченные системы.

Данная работа посвящена исследованию одновременного влияния эффектов нарушения пространственной трансляционной симметрии системы, создаваемых присутствием дефектов структуры, и эффектов нарушения временной трансляционной симметрии, обусловленных неравновесными начальными условиями системы, на характеристики аномально медленного неравновесного критического поведения ферромагнитных систем, описываемых моделью Изинга.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения, характеризуемыми нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как спиновые стекла [1]. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования [2, 3], могут наблюдаться и в обычных системах, испытывающих фазовые переходы второго рода, так как их критическая динамика характеризуется аномально большими временами релаксации.

В последнее десятилетие существенный прогресс был достигнут в понимании и описании неравновесного критического поведения макроскопических систем, далеких от состояния равновесия. Это, прежде всего, относится к явлениям критической релаксации систем при фазовых переходах второго рода [4]. Определяющими особенностями неравновесного критического поведения подобных систем являются критическое замедление времени релаксации системы и аномально большие времена корреляции различных состояний системы. Данные особенности приводят к реализации динамического скейлингового по-

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, М.А. Новиков, Д.Н. Куликов, 2009

* Работа поддержана грантом 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы»

ведения даже когда системы находятся в состояниях далеких от состояния равновесия. Основываясь на скейлинговом характере временнойзависимости термодинамических и корреляционных функций для неравновесных систем при температурах, близких к критической, в работе [4] был дан ренормгрупповой анализ неравновесной эволюции системы. В [4] было предсказано, что если начальное состояние ферромагнитной системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменных со значением относительной намагниченности, далеким от состояния насыщения Ш0<< 1, то в критической точке процесс релаксации системы из данного начального неравновесного состояния на макроскопически малых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем, характеризуемым новым независимым динамическим критическим индексом 0': т(/) ~ ^ . При этом, с увеличением времени коротковременная динамика увеличения параметра порядка сменяется на привычную долговременную динамику уменьшения параметра порядка со временем по степенному закону

т(£) ~ tяУ с показателем, определяемым отношением со статическими критическими индексами в и V и динамическим критическим индексом z. Была предсказана двухвременная зависимость для динамической функции отклика %(1;, 1^) и корреляционной функции С(1, 1ге), которая в коротко-временном режиме (1/1ш<<1) принимает вид степенной зависимости от отношения переменных 1/ш - время ожи-

дания), характеризуемой показателем 0:

x(t, О ~(t/tw)в,c(t, о ~(t/tw)в_1. (1)

Между показателями 0 и 0' в работе было получено связывающее их отношение 0'= 0+(2^~п)^, поэтому независимым критическим индексом является лишь один из них. С использованием метода е-разложения в работе [4] был проведен расчет нового динамического критического индекса 0' (как и показателя 0) в двухпетлевом приближении.

В работе [5] было осуществлено исследование влияния точечных замороженных де-

фектов структуры на характеристики неравновесного поведения и проведен расчет функции отклика; корреляционной функции и показателей их степенной зависимости от времени в коротко-временном режиме во втором порядке теории с использованием метода є-раз-ложения.

Однако, как показали наши исследования [6], рассмотрение критического поведения систем, описываемых многовершинными моделями, к которым относятся структурно-неупорядоченные системы, характеризуется рядом особенностей. Во-первых, применение метода є-разложения для ренормгруппового описания критического поведения в случае с многовершинными моделями дает ненадежные результаты. Это объясняется конкуренцией различных типов критического поведения в многопараметрическом пространстве модели, что делает протяжку полагаемого малым параметра є к значениям є=1 для трехмерных систем невозможной без пересечения областей стабильности различных фиксированных точек ренормгруп-повых уравнений. Кроме того, при описании структурно неупорядоченных систем ренормгрупповые уравнения при использовании є-разложения характеризуются случайным вырождением. Для получения достоверных результатов описания критического поведения многовершинных моделей требуется применение более надежного теоретико-полевого - метода ре-нормгруппового описания с фиксированной размерностью системы и последовательным применением методов суммирования асимптотических рядов к получающимся на каждом этапе вычислений рядам теории для ренормгрупповых функций.

Для описания критического поведения структурно неупорядоченных изингов-ских систем используется модельный гамильтониан Гинзбурга-Ландау-Вильсона:

н = | а* X | 2(х) + (V 5 (х))2 + V ( X ) 5 2(х) ]+ (2)

+ 4(х)1

4! \

где э(х) - поле параметра порядка (спиновой плотности, т=(Т-Тс)/Тс - приведённая температура, g - положительная константа, У(х) - потенциал поля дефектов. Для точечных дефектов накладывается требование на средние значения моментов слу-

чайных величин У(х) по примесным конфигурациям:

«У(х)» = 0, <<У(х)У(у)» = vS(x- у) . (3)

Пусть реализация в системе любой конфигурации параметра порядка в момент времени 1 определяется условием, что в начальный момент 1=0 для системы с начальной намагниченностью то распределение для поля параметра порядка б(х,0)= э0(х) характеризуется функцией распределения Р[эо] ~ ехр(- Но[эо]), где

и

,К] = Iddxj^oMx) -mo(x)]2j,(4)

а то-1 - ширина начального распределения намагниченности. Данное гауссовское распределение для поля параметра порядка может быть реализовано для температур Т>>Тс, при которых еще не возникает дальнодействующих корреляций для флуктуаций параметра порядка.

Будем рассматривать случай чисто релаксационной динамики параметра порядка (модель А), задаваемой уравнением Ланжевена

5ts(x, t) = -A ,(SH[sj. + Z(x, t),

os(x, t)

(5)

где А - кинетический коэффициент, в котором случайная сила £(х,1) - гауссовая случайная сила, моделирующая коротко-живущие возбуждения и задаваемая функционалом вероятности

- "4//1dd XIdt (Z( X, t ))2

(б)

P[Z] x exP <Z(x, t )>c = 0,

<Z(x, t)Z(y, t')>z = 2^8(x- y)S(t -1').

В рамках теоретико-полевого описания критической динамики вводится вспомогательное поле ~ (x ,t), позволяющее провести усреднение по случайным силам Z(x,t) и осуществить эквивалентное ланжевеновской динамике описание критической динамики с помощью производящего функционала W [h, h ] для динамических корреляциионных функций и функций отклика в виде:

W = ln{ j D(s, is) exp(-LV [s, ~, V] - H0 [s0 ]) x

I ~

expl I ddx j dt (h~ + hs)

(7)

в котором функционал действия LV [s, ~, V ] системы характеризуется выражением:

Lv =Idt Jd‘

xs

dt

Ss( x, t)

(8)

В выражении для производящего функционала (7) можно провести усреднение по случайным полям У(х)

| Р[У]ехр (-Lv [ 5, ~, V ]) = ехр( - L[s, ~ ] (9)

и получить функционал действия Ця, ~], не зависящий от случайных полей У(х) и являющийся трансляционно инвариантным, в следующем виде:

L[s, s ] = I dt I dd

x s

ds

—+ >(t-V2)s - A? dt

g — I dt I ddx {ss3}- v — I dt I ddx {s~ }

(10)

2

Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (10) при g=0 и у=0 позволяет при граничном условии Дирихле (то = <») получить выражения для затравочной функции отклика и затравочной корреляционной функции [4]:

С0(р, * - *') = ехр(-Цр2 +т)| г - г' |), (11)

С0°) (р, г, г') = С0е) (р, г - г') + С0) (р, г + г') , (12)

где

C0e) (p, t - t') = —^— exp(->(p2 + t) j t -1' j),

l

2

p +T l

С0 )(p, г + г') =-2-ехР(-Я-(р + т)(г + г'))-

р2 + т

При ренорм-групповом анализе модели для устранения возникающих в пределе т—— 0 при учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка расходимостей в динамических корреляционных функциях и функциях отклика нами были применены процедура размерной регуляризации и схема минимальных вычитаний [7] с последующим переопределением параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировкой полей функционала (10):

^ ^ г!/2^~ ^ 2~/2~,

— ^ (Zs/zу)1/2 >, т^ z;1 zтм2т,

v ^ ZvZ;2м4-dv, g ^ ZgZ;2gM4-d, ~0 ^ (Z уZo)l/2~o,

+

2

CO

CO

+

x

0

Рис. 1. Диаграммы, определяющие вклад в Г1(г0).

Линии означают корреляторы С((^, линии со стрелкой - пропагаторы Эо

где ц - размерный параметр. Вычисление всех констант перенормировки 2{, кроме £э, можно найти в работе [8]. Здесь представлен расчёт 20 для структурнонеупорядоченной модели Изинга при размерности системы й=3.

За счёт введения в теорию начальных условий вида (4), возникает необходимость в перенормировке функции отклика < ^(р, г)~ (-р, 0)), задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственноэнергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с использованием коррелятора (10), не обладающего свойством трансляционной инвариантности во времени. В работе [4] было введено следующее представление для данной функции отклика:

С 1(1)(р, г) = <^(р, г)~(-р, 0)) =

г ~ (14)

= I ^1,1 «Ж г, г")Г1(,о ^ гг'■

0

Одночастичная вершинная функция

Ор, г'){- } с одной вставкой поля ~0 в

двухпетлевом приближении описывается диаграммами, представленными на рис.1 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один коррелятор

С,(г). Множитель Ог 1 (р, г, г') определяется

Рис. 2. Диаграммы, определяющие вклад в Г/0). Линиям соответствует равновесный

коррелятор

C (e) ^0

равновесной составляющей коррелятора С 0е в (12). Отметим, что он отличен от равновесной функции отклика

(р, г - г') по причине интегрирования

в (14) по времени от начального момента с 2=0 вместо 2 = - да. Однако между ними можно установить функциональную связь уже в двухпетлевом приближении для структурно неупорядоченных систем, если воспользоваться вместо функционала

(4) функционалом й[э0] (2) с новыми вершинами взаимодействия в функционале действия (10)

2 ^ 2 2 8 61^ I^ { 503}-у— I* Iй*х {0 ~0

2

.0

. (15)

За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершинная

функция Г1(0Ч), локализованная на «поверхности» t=0. От первого слагаемого в (15), как показано нами в [9], флуктуаци-

онные поправки в Г1('0ч) возникают только

начиная с трехпетлевого приближения, в то время как за счет второго слагаемого в (15), обусловленного влиянием структурных дефектов, флуктуационные поправки

в Г1(0Ч) возникают уже начиная с двухпетлевого приближения (рис. 2). Подобно (14), имеет место следуюшее выражение:

Gll )(p, t — О = }<~l,l(p, t, ОГ/^, t '){іг(^)! dt''. (1б)

Решив интегральное уравнение

г

8 (г - V) = | К(я, г\г")г^ (я, 1){~(П}аг", (17)

г'

в каждом порядке теории найдем его ядро К(ц, 2', 2"), флуктуационные поправки к которому для неупорядоченных систем возникают начиная со второго порядка, а для однородных систем только с третьего

Значения одно- и двух-петлевых диаграмм, дающих вклад в Г1 0 (д = 0, о ) при с1=3

можно выразить

Диаграм- мы Симметрийные коэффициенты Значения при 6=3

А1 -Е/2 -1

А2 йл2/2 2/п

А3 йл2/2 2/п-1

А4 йл2 -9.565584/п2

А5 Еу/2 -2/п

А6 8.076400/п2

А7 Иу/2 ч/2 (2/п-1)

А8 Иу -5.277792/п2

А9 Иу -5.436128/п2

А10 ИУ/2 2л/2/п

В1 Иу -1

В2 Иу -1п2

В3 ИУ/2 -4.432304/п2

порядка теории. В результате, одночастичная вершинная функция Г10 (р, г) ,

определяющая функцию отклика на неравновесные начальные состояния системы, определяется выражением:

г

Г1,0 ^ г) = |К ^ г, г (Р, г ,){~0}йг' (18)

0

и задается в двухпетлевом приближении диаграммами, изображенными на рис.1 и 2, со значениями в таблице. Используя выражения (14), (16) - (18), а также осуществляя перенормировку полей в соответствии с (13), определим следующее нормировочное соотношение для определения перенормировочной константы 2о:

7 0-1/2 Гк0(р = 0,70/22 = ц2) = 1, (19)

где Гк0(р, 0) - Фурье-образ перенормированной одночастичной вершинной функции Г10 (р, г) , рассчитываемой в

удобной для нормировки точке с т=0, импульсом р=0 и частотой йа/22 = ц2. Последовательная реализация изложенной процедуры и расчет диаграмм при й=3 позволили вычислить константу перенормировки 2о в двухпетлевом приближении:

70 = 1 +■§■8к + 0,126828^2 - 0,6089328^, (20)

где gR, щ - перенормированные константы связи.

Инвариантность по отношению к ренорм-групповым преобразованиям обобщенной связной функции Грина

дифференциальным ренорм-групповым

уравнением Каллана-Симанчика [7]:

N/2 + + (г + у0)М/2 + Т-1д - +

т0

+ 0М + &дя + ктдт + Рg д , + в д , ]о^ = 0.

(21)

Ренорм-групповые функции - коэффициенты в (19), характеризуются выражениями:

7 = (д.Л1п ^, У = (д.Л1п ,

С = (дДІп Л, к = (ЗДІП т,

= (дД V Р = (дД,,

^0 = (дД1п г 0,

(22)

где (дц )0 = обозначает дифферен-

цирование с постоянными затравочными параметрами g, V, А и т. Для коротковре-меного режима неравновесной критической релаксации принципиально новой является лишь ренорм-групповая функция уо, которая в двухпетлевом приближении, как показали наши расчеты, принимает следующее выражение:

70 =-78я +0,4571278^ -0,6149958^. (23)

Неподвижная точка ^*, V) ренорм-груп-повых преобразований определяется из системы уравнений:

Р(, *, V*) = 0,Р(, *, V •) = 0.

(24)

Общее решение дифференциального уравнения (21) методом характеристик в неподвижной точке характеризуется следующей скейлинговой формой [4]:

О"*({х, Отт-1, Л,,*, V*, М) =

= 1 (-2+п )^+(^+ 2+п~)у+(+ 2+п~ +п0Т2г х (25)

X ({1 х, 12+^’ г}, т-2+К, т-Ч2+с‘, 2, 8 *, V*, ц), где п = У*, П~ = ~ * и п0 = у* - показатели

аномальных размерностей. Можно связать функции в (25) с критическими индексами, фигурирующими в скейлинго-вых соотношениях, например:

7 = 2 + С*,1/V = 2-к\

е Го е' С +7 + г0/2 (26)

2(2 + ГГ 2 + С* ’

и задающими динамический критический индекс z, критический индекс V корреляционной длины, 0 и & - критические индексы неравновесной эволюции функции отклика и намагниченности. В результате в данной работе для неупорядоченной модели Изинга были получены следующие выражения для критических индексов неравновесной эволюции:

*

е = 8— 0,1142817(8 *)2 + 0,1745828 V,

6

*

е = + 0,125v* - 0,123968(8*)2 + 27)

6

+ 0,146806088*V* -0,0156245^*)2.

Для дальнейших вычислений нами были использованы значения констант связи в неподвижной точке с g*=2,2514(42), ^=-0,7049(13). Данные значения были определены в работе [10] при применении различных методов суммирования к р& р¥ -функциям в (24), вычисленным при d=3 в шестипетлевом приближении. Однако ряды теории по константам связи как для р-функций, так и для критических индексов в (27) являются асимптотическими. Для получения физически разумных значений критических индексов для трехмерных систем применяются специально разработанные методы суммирования асимптотических рядов [10], из которых наиболее эффективными являются методы Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения. К ряду для индекса 0 в (27) нами были применены данные методы суммирования. В результате были вычислены следующие значения 0 при применении метода Паде-Бореля:

0'=0,0919;

метода Паде-Бореля-Лероя (при значении параметра Ь=2,221426 [10]):

0'=0,1203;

метода конформного Паде-Бореля:

9= 0,1044.

Итоговое среднее значение критического индекса:

Сопоставление рассчитанных в данной работе значений критического индекса 9 со значением 9'=0,0867, полученным при применении метода е-разложения в работе [5] в том же двухпетлевом приближении теории, показывает, что все они превышают это значение и максимальным отклонением характеризуется значение 9'=0,1203, полученное при применении метода суммирования Паде-Бореля-Лероя. Все рассчитанные в данной работе значения критического индекса 9 попадают в интервал погрешностей показателя 9-0,10(2), измеренного в работе [11] при численных исследованиях методом коротковременной динамики трехмерной модели Изинга с различными спиновыми концентрациями. В нашей работе [12] численными методами осуществлено уточнение 9 для случая с p=0,8 путем более прецезионных измерений. Полученное в [12] значение 0'=0,120(1б) хорошо согласуется с рассчитанным средним значением 9'=0,1055(82) и, в особенности, с 9'=0,1203, полученным при применении метода Паде-Бореля-Лероя.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Crisanti A., Ritort F. // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. R181.

[2] Calabrese P., Gambassi A. // Phys. Rev. E. 2002.

V. 65. 066120.

[3] Schehr G, Paul R. // Phys. Rev. E. 2005. V. 72.

016105.

[4] Janssen H.K., Schaub B, Schmittmann B. // Z.

Phys. B. 1989. V. 73. P.539.

[5] Oerding K., Janssen H.K. // J. Phys. A. 1995. V.

28. P.4271.

[6] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys. Rev. В. 2000. V. 62. P. 8777; Phys. Rev. B. 2001. V. 63. № 18. P. 184201; Прудников В.В., Прудников П.В. // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. № 3. С. 636.

[7] Васильев А.Н. Квантовополевая ренорм-группа

в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: ПИЯФ, 1998.

[8] Прудников В.В. и др. // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. С. 972.

[9] Прудников В.В., Прудников П.В., Калашников И.А.,

Циркин С.С. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. Вып. 6. С. 1251.

[10] Криницын А.С., Прудников В.В., Прудников П.В. // ТМФ. 2006. Т. 147. №1. С. 137.

[11] Schehr G., Paul R. // J. Phys: Conf. Series. 2006. V. 40. P. 27.

[12] Прудников В.В. и др. // Вестник ОмГУ. 2008. № 4. С. 35.

9= 0,1055(82).