CC BY
32
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 4. С. 40-44.
УДК 539.173
И.А. Калашников, В.В. Прудников, П.В. Прудников, С.С. Циркин
Омский государственный университет им. Ф. М Достоевского
РЕНОРМ-ГРУППОВОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ В ТРЕХПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ*
The theoretical-field renormalization group description of nonequilibrium initial states influence on critical evolution of order parameter is offered. The dissipative relaxation behavior (model A) is considered to obtain the initial slip exponent 0 for pure systems with n-component order parameter. Exponent 0 is calculated in three-loop approximation
Данная статья посвящена изучению влияния неравновесных начальных состояний на эволюцию намагниченности m(t) в критической точке. Как показано в [1], критическая эволюция системы из начального состояния с малой намагниченностью то = т(0)<<1 приводит к универсальному скейлинговому поведению для m(t) на коротко-временном этапе ее критической эволюции. Вычисление показателей, характеризующих степенную зависимость намагниченности, будем осуществлять методом ренорм-группы (РГ) и £-разложения.
В соответствии с теорией скейлинга сингулярная часть потенциала Гиббса системы Фвшд (t, т, h, то) характеризуется обобщённой однородностью относительно основных переменных, задающих состояние системы в критической области,
Ф (t, т, h, m0) =ЪФ (ЪаЧ, Ъатт, bahh, bamm0) , (i)
времени ^ приведённой температуры т, поля к и начальной намагниченности шо, здесь Ь - фактор подобия, си - показатели подобия. Как следствие этого, в критической точке (т = 0, к = 0) намагниченность ш = - бФ/бк характеризуется следующей временной зависимостью
/ ч —(а +1)/а т—< / — а /а. ч.
т(г, ш0) = г к гГт(т0г т г). (2)
—а I аг
Разложение правой части в (2) по малой величине т0г т г приво-
дит к степенной зависимости
т(г) ~ г (а*+ат+1)/аг ~ гв. (3)
Все а, за исключением Сш, можно связать с известными критическими индексами, описывающими поведение систем без учета эффек-
© И.А. Калашников, В.В. Прудников, П.В. Прудников, С.С. Циркин, 2007 * Работа частично поддержана грантом МК-8738.2006.2 программы Президента РФ.
Ренорм-групповое описание неравновесной критической релаксации...
42
тов коротковременной эволюции. Поэтому в [1] был введён новый независимый динамический критический индекс 0, который, как было показано при ренорм-групповом описании неравновесного критического поведения системы в [1], принимает положительные значения. Было показано, что при временах г > гcr ~
~ т(0)—'1/(6+в/^) начальный режим, характеризующийся увеличением намагниченности ш(í), переходит в режим критической релаксации системы к равновесному значению и имеет степенную зависимостью
т ~ г в/^ (см. рис. 1). Можно показать, что при эволюции системы из начального упорядоченного состояния с Шо = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке также определяется
степенной зависимостью т ~ г в / ™.
Модель. Проведём расчёт индекса 0. Для описания критического поведения однородных систем в состоянии равновесия используется модельный гамильтониан Гинзбурга - Ландау - Вильсона:
яе1>] = {асх {![(у5(х))2 + т 52(х)]+
+ ^ 4(х)}, 4!
(4)
где э(х) - поле параметра порядка, т -приведённая температура фазового перехода второго рода, д - амплитуда взаимодействия флуктуаций параметра порядка.
Рис. 1. Схематический график эволюции намагниченности в критической точке из неравновесного начального состояния с малой то
Пусть реализация в системе любой конфигурации параметра порядка в момент времени Ї определяется условием, что в начальный момент Ї = 0 распределение для поля параметра порядка э(х, 0)=
= эо(х) характеризуется функцией распределения Р[эо] ~ ехр(-Но[зо]), где
Hо[5о] = |^х ^[5о(х) — то(х)]2^ . (5)
Будем рассматривать случай чисто релаксационной динамики параметра порядка (модель А), задаваемой уравнением Ланжевена
5ts(x, г) = —\-^HЩ- + £(x, г) , (6)
55(х,г)
в котором случайная сила £ является белым шумом с кинетическим коэффициентом А:
<£(х, г))? = о,
(С (х, г К (у, г'))? = 2А5 (х — у )8(г — г'). (7)
В рамках теоретико-полевого описания динамики критических явлений [2; 3] вводится вспомогательное поле 5(х,г) и производящий функционал для динамических корреляционных функций и функций отклика в виде Ж[к, к] =
1п{|Б(s, Ш) ехр( -Ь[я, Я] -НоЫ) х
/да Л
хехр I | ^х | & (НЯ + Ня) },
(8)
где функционал действия Ь системы характеризуется выражением:
¿[5, 5 ] = | С | х {5[5 + Л(т — V2 )5 +
(9)
Рассмотрение гауссовой составляющей функционала (9) при д =0 позволяет при граничном условии Дирихле (то = ») получить
[1] выражения для затравочной функции отклика Со(р, г — г') и затравочной корреляционной функции со°)(р, г, г') :
°о (p, г — г') = ехР(—Мр2 + т) I г — г' |),
где
СЧр, г, О = С0')(р, г - О + +^4^ г + г,) ,
С0°^ г - г') = ~Г---х
р + т
х ехр(-Я(р2 +т)| г - г'|),
(10)
(11)
0
a
ООО
Рис. 2. Диаграммы, определяющие вклад в вершинные функции Г1(‘
(i)
0
линии — затравочные корреляторы, линии со стрелкой - затравочные пропагаторы, «поверхность» t = 0 обозначена вертикальной чертой
1
C0 fe t +t') - -'
p‘ + т
x exp(-Л(p2 + т)(. + t')).
(12)
Ренорм-групповой анализ модели
Для устранения возникающих в пределе т—— 0 расходимостей в динамических корреляционных функциях и функциях отклика при учете взаимодействия критических флуктуаций параметра порядка нами была применена процедура размерной регуляризации и схема минимальных вычитаний [4] с последующим переопределением параметров гамильтониана и мультипликативной перенормировкой полей функционала (9):
в перенормировке функции отклика <5(р, г)~(— р, о)) , задающей влияние начальных состояний системы. Поправочные слагаемые в собственно-энергетической части функции отклика, возникающие за счет эффектов взаимодействия флуктуаций параметра порядка, характеризуются приводимыми динамическими диаграммами Фейнмана, поскольку их вычисление осуществляется с использованием коррелятора (12), не обладающего свойством трансляционной инвариантности во времени.
В работе [1] было введено следующее представление для данной функции отклика:
і
<s(p, t)~(- p, 0)) = J G11 (q, t, t ') x
t f)[so]dt ' .
s ^ Z1/2 s, Л^ (Zs Z~ )1/2Л g ^ZgZ
2 £ s gM ,
[so]'
(14)
Вершинная функция Г1(го) в трехпетлевом приближении описывается диаграммами, представленными на рис. 2 и характеризуемыми требованием, чтобы они содержали хотя бы один коррелятор
Со^). Множитель Си(q, г, г') вычисляется с использованием равновесной составляющей Сое). Отметим, что он отличен от
равновесной функции отклика G1( eq) (1 - 1')
по причине интегрирования в (12) по времени от начального момента с 1=0 вместо 1= =-». Однако между ними можно установить функциональную связь [5], если вос-
(ІЗ)
-’о ^о>
где £ = 4 - й, р - размерный параметр. Вычисление всех констант перенормировки 2;, кроме 20, можно найти в работе
[2]. Схема расчета 20 и результаты ее расчета в двухпетлевом приближении приведены в [1]. В данной работе осуществлен расчет 2 в следующем трехпетлевом приближении теории.
За счёт введения в теорию начальных условий вида (6), возникает необходимость
пользоваться вместо функционала (6) функционалом НаЦ^] (4). За счет усреднения по начальным полям возникает дополнительная вершина взаимодействия Го4"1,
локализованная на «поверхности» í = 0.
Подобно (12), имеет место следующее выражение:
g;;)(p, і -1)=Jg,,, (q,t,i") x x Г|(,0') (p, і")[„гі] dl " .
(15)
Рис. 3. Диаграммы, определяющие вклад в вершинную функцию Г/0®): линии - равновесный коррелятор (13)
формальное выражение для определения 20:
Решив
конечно
уравнение
интегральное
И)
5(г—г')=\гаг"к^г", г') Г о (q, г)[5(/)] в каждом порядке теории, найдем ядро К ^, г " , г') , флуктуационные поправки к которому для данной модели возникают только в третьем порядке теории (рис. 3).
Используя (12) и (13), а также перенормировку полей (11), несложно составить
n + 2 g n + 2
I2
- £ | ln 2 - —
2 о—1/2 £ Ле"“"Г^, г )[~о]
при £ ^ о , где
Г1,о^ = о, г)[«„] =
= |о^г К ^ = о; г, г ' )Г«^ = о, г)[ ^
Реализация изложенной выше процедуры и расчет диаграмм с использованием метода £-разложения позволила вычислить константу перенормировки 20 в трехпетлевом приближении:
1
216
(n + 5)(n + 6) + | -6-(—19 + 9ln2)(n + 2) + S(-'1 + 6ln2)(n + S) |-
l.lS619(n + 3,I3SS2)£2 ]
Инвариантность по отношению к ре-норм-групповым преобразованиям обобщённой связанной функции Грина
GM
= <[s]N [~]N[~0]M ) можно выразить
■ NN -І І-“ J І_°0
дифференциальным уравнением ренорм группы Каллана-Симанчика [1;4]:
(16)
ренорм-групповых преобразований д определяется из уравнения: /3(ё ) = 0 . Общее решение дифференциального уравнения (15) методом характеристик [1] в неподвижной точке характеризуется следующей скейлинговой формой
[уії/2 + ~~У/2 + (? + у0)М/2 + + /£>м+СЮх+кідт+Рд я ]ОМ^ = 0. (17)
Ренорм-групповые функции Вильсона в (15) характеризуются выражениями:
г = (дД1п ^, г = (дД1п ^,
С = (дД1п ^ 70 = (дД1п ^ (18)
к = (дЛ1пТ в = (дД ё,
G
({ x , t}, т, т0- ;, Л, g *, м) =
= I(d-2+п —+(d + 2+ П —+(d + 2+ П x GMn ({l x, l2+z* t}, ті-
Л, g*, m),
\M
(19)
где (5M )0 = (dM)0 обозначает дифференци-
рование с постоянными затравочными параметрами д, А и т. Неподвижная точка
где п = у = у и п0 =У0 - показатели аномальных размерностей.
*
*
Результаты расчета индексов 6 и 6' для модели Изинга и ХУ-модели и их сравнение с результатами компьютерного моделирования
Метод вычисления Значения индексов в
модель Изинга (n=1)
2-петлевое приближение
Подстановка £ = 1 0.130 (подстановка є = 1)
Суммирование ПБ 0.138 Суммирование ПБ
3-петлевое приближение
Подстановка £ = 1 0.0791 (подстановка є = 1)
Суммирование ПБ 0.1078 Суммирование ПБ
Компьютерное моделирование 0.108(2) [8] Компьютерное моделирование
Можно связать функции в (16) с критическими индексами, фигурирующими в скейлинговых соотношениях, например: г = 2 + <;*, 1/у = 2 - к*,
Y
0 = - (z*+ y* + )/(2 + Z*),
2
(20)
и задающими динамический критический индекс z, критический индекс V корреляционной длины и критический индекс 0 не/1 п + 2 (Л б£ (
0 — --------£ I 1 +-----— I п + 3 + (п +
4(п + 8) ^ (п + 8)2 I
7,2985£2 , 3 10 2 ,
----------— (п + 17,3118 п +1
(п + 8)4
Ряды £-разложения являются асимптотически сходящимися, и для получения физически разумных значений критических индексов для трехмерных систем при £ = 1 применяются методы суммирования асимптотических рядов. К ряду £-разложения (19) для индекса 0 был применен метод суммирования Паде -Бореля (ПБ) [6] с использованием аппрок-симанты [2/1]. Это позволило получить следующие результаты, представленные в таблице.
Проведенное в таблице сопоставление значений индекса 0 с результатами компьютерного моделирования модели Изинга и ХУ-модели методом коротковременной динамики наглядно демонстрирует, что результаты расчета в трехпетлевом приближении находятся в гораздо лучшем согласии с результатами моделирования, чем результаты двухпетлевого приближения при применении к ним методов суммирования и чем значения индексов при непо-
равновесной эволюции намагниченности.
Используя результаты работ [8; 9] по определению в трехпетлевом приближении координаты устойчивой неподвижной точки д* для однородной системы и динамического критического индекса z для модели Изинга был в итоге проведен расчет критический индекс 0 для системы с п-компо-нентным параметром порядка:
8)ln-
2j (21)
53,2670 n + 383,5519) j + O (s4).
средственной подстановке в ряды £-разложения (19) значения £ = 1.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z. Phys. 1989. V. 73. P. 539.
[2] Lawrie I.D., Prudnikov V.V. // J.Phys. C. 1984. V. 17. P. 1655.
[3] Bausch R., Janssen H.K., Wagner H. // Z. Phys. 1976. V. 24. P. 113.
[4] Васильев А.Н. Квантовополевая ренорм-группа в теории критического поведения и стохастической динамике. Спб.: ПИЯФ, 1998.
[5] Oerding K., Janssen H.K. // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 3369.
[6] Криницын А.С., Прудников В.В., Прудников П.В.
// ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137.
[7] Jaster A, Mainville J., Schülke L., Zheng B. // J.
Phys. A: Math.Gen. 1999. V. 32. P. 1395.
[8] Антонов Н.В., Васильев А.Н. // ТМФ. 1984. Т. 60. С. 59.
[9] Kleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde V., Chetyr-kin K.G., Larin S. // arXiv:hep-th/9503239. 1995.
