CC BY
2МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.55
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ
О.Е. Антоненкова, Н.А. Часова
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В работе получено вложение пространства ЛР,Я (ю) в пространство Л(а) при всех 1 < р, д < и соответствующем условии на весовые функции. Доказательство этого утверждения опирается на свойства правильно изменяющихся на интервале (0,1) функций со, а также некоторые оценки
функций из классов ЛР,Я (с).
Ключевые слова: единичный шар, голоморфная функция, смешанная норма, теорема вложения.
Символом £ обозначим множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций ю, для которых существуют положительные числа тс, Мю, , причем тс, Е (0, 1), такие,
. сз(Хг) что тю < ^ со (г)
измеримая ограниченная функция е(х) такая, что с точностью до ограниченной снизу и сверху функции,
Г е(и) и
I. х
При этом
< Мю при всех г е (0,1), Ле , 1]. Можно доказать, что если юе £, то найдется
ю(х) = ехр| | du >, х е (0,1).
1пт.„ ✓ ч 1пМ„ ^ ,ч
с ■ < е(и) < , \, и е (0, 1).
1п(1/да) " ' 1п(1 ЧсУ Важным примером таких функций служат функции со( ) = ^, t е (0,1), аЕ я. Они часто встречаются в асимптотических оценках в теории вероятностей и математической статистике (см. [1]).
Пусть Вп =
2 = (z1,..., 2п) :
открытый единичный шар в и-мерном
3 4 <1
. j=l 1
комплексном пространстве Сп , £ - граница шара Ви, 1 < Р, Я < .
Пусть далее Н(Вп) - множество всех голоморфных в Ви функций. Обозначим через ЬР'Я (с) пространство измеримых в Ви функций / для которых
1р,д (ю)
Ю - г) Ц/«)^а(с)
Р
dr
где da(^) - нормированная мера Лебега на сфере £. Подпространство Ьм (ю) , состоящее из голоморфных в В функций, обозначим через ЛР,Я(ю) , то есть ЛР,Я (с) = ЬР'Я (ю)о Н(Вп).
Через Л(а) (а>-1) обозначим пространство голоморфных в Ви функций, для которых
п
0
£
j(i-id2 h f(сщо
< .
Ранее авторами исследовано поведение тёплицевых операторов в пространствах Лр'д{а) при 1 < р, д < , а также в классах Харди-Соболева в единичном шаре (см. [2, 3, 4]), на основе которого решена известная проблема Глисона в классах Л),д {Вп ) (1 < р, д ,
а > 0) типа Соболева (см. [5]). Важную роль в этих исследованиях играют интегральные представления функций из соответствующих пространств. Установив условия, при которых справедливо вложение пространства Лр'д {а) в пространство Л{а) при всех 1 < р, д , можно, например, распространить хорошо известное интегральное представление функций из класса Л)а) (см. [6]) на функции из Лр'д {а).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть 1 < p,q , Се S, oa(t} = a(t J —гт
l®(t)
\q
, a>a„, тогда имеет место
' с "
следующее вложение Лр'д Л{а).
Доказательство. Перейдем к полярным координатам и применим к внутреннему
интегралу неравенство Гельдера с показателем р' = р , получим
р -1
j(l -dl2)Г|f(d)dv(d) = с](1 - r)a J|f(d)da(c)r2n-1dr <
< Ci J(1 - r)a Jfd) Pda(d) Jdad)
V Sn
У VSn
1
V
r 2n-1dr.
Затем, учитывая, что (1 -1|2 )* = С (1 - \S\Cq (1 - d) и применяя неравенство Гельдера
q к
с показателем q =-, будем иметь
q -1
]1 -d2 ft f (£№)
< C
J с(1 - r) Jf(d\ 'dais)
dr
f 1
JCa(1 - r ty
1
V
V 0
<
* С\А\Ард {а).
Таким образом, мы получили вложение пространства Лр'д {а) в пространство Л)а) при а>аа. Теорема доказана.
Список литературы
1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.
2. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Об ограниченности оператора Тёплица с аналитическим символом в некоторых весовых пространствах аналитических в единичном шаре функций// Теоретические и прикладные аспекты естественнонаучного образования в эпоху цифровизации. матер. Всеросс. науч.-практич. конф. - Брянск, 2022. - С. 93-94.
3. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. О поведении интегральных операторов в классах Харди-Соболева в единичном шаре// Современные тенденции развития фундаментальных и
в
в
о
S
о
q
S
в
0
n
n
прикладных наук: матер. V Всеросс. науч.-практич. конф. с междунар. участием. - Брянск: БГИТУ, 2022. - С. 100-103.
4. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Исследование ограниченности теплицевых операторов в пространствах Харди-Соболева в единичном шаре из Cn // Вестник Омского университета. - Омск: ОмГУ, 2022. - Т 27. - № 2. - С. 4-8.
5. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. О проблеме Глисона в некоторых классах голоморфных в единичном шаре функций // Современные тенденции развития фундаментальных и прикладных наук: матер. V Всеросс. науч.-практич. конф. с междунар. участием. - Брянск: БГИТУ, 2022. - С. 103-105.
6. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn . - М.: Мир, 1984. - 456 с.
Сведения об авторах
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
EMBEDDING THEOREMS IN SOME CLASSES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS
IN A BALL
O.E. Antonenkova, N.A. Chasova
Bryansk State engineering-technological University
The paper obtained an embedding of space Ap'q (O) into space AA (a) for all 1 < p, q and
corresponding condition on weight functions. The proof of this statement relies on the properties of functions O that change correctly on the interval (0,l), as well as some estimates of functions from classes Ap'q(o). Keywords: unit ball, holomorphic function, mixed norm, embedding theorem.
References
1. Seneta E. Correctly changing functions. - M.: Nauka, 1985. - 141 p.
2. Antonenkova O.E., Chasova N.A. About the boundedness of Toeplitz operator with an analytic symbol in some weight spaces of analytic functions in a unit ball // Theoretical and applied aspects of natural science education in the era of digitalization. mater. All-Russian Scientific and Practical Conference. - Bryansk, 2022. - P. 93-94.
3. Antonenkova O.E., Chasova N.A. About the behavior of integral operators on Hardy-Sobolev classes in a unit ball// Modern trends in the development of fundamental and applied sciences: mater. V All-Russian Scientific and Practical conference with international participation -Bryansk: BGITU, 2022. - P. 100-103.
4. Antonenkova O.E., Chasova N.A. Investigation of the boundedness of Toeplitz operators in Hardy-Sobolev spaces in a unit ball of Cn // Herald of Omsk university. - 2022. - T 27. - No. 2. - P. 4-8.
5. Antonenkova O.E., Chasova N.A. About the Gleason problem in some classes of holomorphic functions in a unit ball // Modern trends in the development of fundamental and applied sciences: mater. V All-Russian Scientific and Practical conference with international participation -Bryansk: BGITU, 2022. - P. 103-105.
6. Rudin U. Theory of functions in a unit ball from. - M.: Mir, 1984. - 456 p.
About authors
Antonenkova O.E. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
Chasova N.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
